《電路分析基礎(chǔ)》課件3第9章

9.1正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率

9.2功率因數(shù)及其提高9.3最大功率傳輸*9.4計(jì)算機(jī)分析本章小結(jié)思考題習(xí)題9

正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率涉及十分廣泛。無論是能量的傳輸還是信息的獲取，都要研究其功率和能量。由于含有儲(chǔ)能元件，在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，除了有能量消耗外，還存在電磁能量的往返傳遞，這樣就使正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率比電阻電路的功率復(fù)雜得多。9.1正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率9.1.1瞬時(shí)功率

正弦穩(wěn)態(tài)下的單口網(wǎng)絡(luò)如圖9-1(a)所示，設(shè)

(9-1)

則單口網(wǎng)絡(luò)吸收的瞬時(shí)功率為

(9-2)

圖9-1(b)為瞬時(shí)功率p的波形圖。圖9-1單口網(wǎng)絡(luò)的瞬時(shí)功率及波形由波形圖可以看出，瞬時(shí)功率的頻率是電壓和電流頻率的2倍。當(dāng)p>0時(shí)，表明網(wǎng)絡(luò)此時(shí)吸收功率；當(dāng)p<0時(shí)，表明此時(shí)網(wǎng)絡(luò)向外發(fā)出功率。同時(shí)還注意到即使網(wǎng)絡(luò)是無源的，瞬時(shí)功率在一個(gè)周期的某一時(shí)間段里也可能是負(fù)的(如圖9-1(b)陰影部分所示)。對(duì)于無源網(wǎng)絡(luò)，負(fù)功率意味著電感或電容的儲(chǔ)能向外釋放能量，說明網(wǎng)絡(luò)與外電路間有能量的相互交換。若p在一個(gè)周期內(nèi)界定的正面積大于負(fù)面積，則說明單口網(wǎng)絡(luò)有能量消耗。9.1.2平均功率

因?yàn)樗矔r(shí)功率是隨時(shí)間變化的，要測(cè)量是比較困難的，所以在實(shí)際中多使用平均功率。

功率表就是測(cè)量的平均功率，并且我們?nèi)粘Ｉ钪兴玫碾娖魃蠘?biāo)注的就是平均功率。平均功率可定義為

(9-3)將式(9-2)代入上式，可得

(9-4)

其中，U為電壓的有效值，單位為V；I為電流的有效值，單位為A；φ=θu-θi為阻抗角，即與的相位差。

平均功率P的單位為W(瓦)，它表示網(wǎng)絡(luò)實(shí)際消耗的功率，因此也稱P為有效功率。

對(duì)于電阻元件，由于φ=0，即與同相位，所以平均功率為

PR=UI也可以寫為

顯然，這些公式與直流電路中的公式是相同的，只不過這里的電壓和電流用的是有效值。

對(duì)于電感元件或電容元件，由于φ=±90°，因此平均功率為

PL=PC=0

(9-5)電感元件和電容元件是不消耗功率的，真正消耗功率的是電阻元件。

正弦穩(wěn)態(tài)電路的平均功率可以有兩種計(jì)算方法：

(1)用公式P=UIcosφ計(jì)算。如圖9-2所示，若要計(jì)算整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的總功率P，這時(shí)U應(yīng)是總電壓的有效值，I就是總電流的有效值，而φ為與的相位差。若要計(jì)算N2網(wǎng)絡(luò)的功率P1=U1I1cosφ1，這時(shí)U1、I1就是N2網(wǎng)絡(luò)的端電壓和電流的有效值，而φ1為與的相位差。圖9-2平均功率的計(jì)算

(2)因網(wǎng)絡(luò)消耗功率的只有電阻，平均功率P＝各個(gè)電阻消耗的功率之和，即

或(9-6)

所以，只要把網(wǎng)絡(luò)中的所有電阻的功率加起來就可以了。平均功率的測(cè)量通常是在頻率低于幾百赫茲的時(shí)候，使用有兩個(gè)分離的線圈功率表來進(jìn)行。功率表的符號(hào)如圖9-3(a)、圖9-3(b)所示。其中一個(gè)線圈是用粗線繞成，電阻很小的固定線圈為電流線圈，另一個(gè)線圈是用很多細(xì)線繞成，電阻較高的可動(dòng)線圈為電壓線圈。電壓線圈和電流線圈上標(biāo)有“·”、“*”或“±”，稱為兩個(gè)線圈的同名端，是功率表的極性標(biāo)志。

在測(cè)量單口網(wǎng)絡(luò)的功率時(shí)，電路連接如圖9-3(c)所示。電流線圈測(cè)電流因而串入電路中，電壓線圈測(cè)電壓因而并在電路中。標(biāo)有“·”的接法根據(jù)電路的參考方向而定。圖9-3平均功率的測(cè)量9.1.3無功功率

有功功率反映了電阻消耗能量的程度，而儲(chǔ)能元件在電路中并不消耗功率，它在電路中有什么作用呢？從瞬時(shí)功率的波形圖可知，對(duì)于無源網(wǎng)絡(luò)，p為負(fù)表明網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的儲(chǔ)能元件向外電路釋放能量，即儲(chǔ)能元件與外電路交換能量。因此，把外電路與單口網(wǎng)絡(luò)內(nèi)儲(chǔ)能元件能量往返交換的速率，其最大值定義為無功功率，用符號(hào)Q表示，即

Q=UIsinφ

(9-7)雖然無功功率并非網(wǎng)絡(luò)真正吸收的功率，只是表示網(wǎng)絡(luò)中儲(chǔ)存的能量與外部能量交換的最大速率。但無功功率并非無用，工程實(shí)際中，無功功率是電機(jī)、變壓器等電氣設(shè)備正常工作所必需的。

無功功率的單位為乏(Var)，表示網(wǎng)絡(luò)中儲(chǔ)存的能量與外部能量交換的最大速率。

對(duì)于純電感：,表示電感吸收無功功率。

對(duì)于純電容：，表示電容發(fā)出無功功率。

對(duì)于純電阻：φ=0，Q=0，無功功率為零。電感吸收無功功率，電容產(chǎn)生無功功率，電阻無功功率為零。

正弦穩(wěn)態(tài)電路的無功功率可以有三種計(jì)算方法：

(1)用公式Q=UIsinφ計(jì)算，φ為與的相位差。

(2)由于電阻的無功功率為零，無功功率Q=各個(gè)儲(chǔ)能元件的無功功率之和，即

(9-9)

總無功功率為

Q=QL+QC

(9-10)

(3)Q與能量的關(guān)系。

已知電感的平均儲(chǔ)能為，電容的平均儲(chǔ)能

，電感的無功功率可表示為

(9-11)電容的無功功率可表示為

(9-12)

所以，無功功率為

Q=2ω(WL-WC)

(9-13)即無功功率Q正比于網(wǎng)絡(luò)中兩種儲(chǔ)能平均值之差。這就是說，當(dāng)WL=WC時(shí)，Q為零，表明兩種儲(chǔ)能元件在網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部自行交換能量，即磁場(chǎng)儲(chǔ)能釋放時(shí)正被電場(chǎng)所吸收，電場(chǎng)儲(chǔ)能釋放時(shí)被磁場(chǎng)所吸收，并不與外電路交換能量。只有當(dāng)WL≠WC時(shí)，網(wǎng)絡(luò)才與外電路交換能量。9.1.4視在功率和功率因數(shù)

在電工技術(shù)中，將單口網(wǎng)絡(luò)電壓有效值和電流有效值的乘積稱為視在功率，用S表示，即

S=UI

視在功率表征了電氣設(shè)備“容量”的大小。視在功率和量綱與有功功率的相同，為了與有功功率相區(qū)別，視在功率的單位用伏安(VA)或千伏安(kVA)表示。

比較P、Q、S的計(jì)算公式，單口網(wǎng)絡(luò)的視在功率S、平均功率P和無功功率Q，三者在數(shù)值上的關(guān)系為

(9-14)可見，P、Q、S構(gòu)成一個(gè)直角三角形，稱為功率三角形，如圖9-4(a)所示。由于P=URI=I2R，Q=UXI=I2X，S=UI=I2|Z|，故功率三角形、電壓三角形和阻抗三角形是相似三角形，如圖9-4(b)所示。圖9-4功率三角形及其相似形由于cosφ≤1，P=Scosφ，因此P≤S。也就是說，在一定大小的電壓、電流下，負(fù)載獲得的平均功率大小取決于cosφ，稱λ=cosφ為功率因數(shù)，φ也稱功率因數(shù)角。由于無

論φ是正還是負(fù)，cosφ總為正值，因此習(xí)慣上常同時(shí)加上“感性”、“容性”或“滯后”、“超前”字樣。所謂滯后，是指電流滯后電壓，即φ為正值的情況；所謂超前，是指電流超前電壓，即φ為負(fù)值的情況。對(duì)于燈泡、電爐、電扇等用電設(shè)備，常標(biāo)出平均功率，如40W的燈泡、1kW的電爐等。

而對(duì)變壓器、發(fā)電機(jī)這類電氣設(shè)備，由于功率因數(shù)與負(fù)載性質(zhì)及運(yùn)行方式有關(guān)，平均功率不是常數(shù)，因而往往只標(biāo)出其容量(視在功率)。9.1.5復(fù)功率

為了將單口網(wǎng)絡(luò)的視在功率S、平均功率P和無功功率Q用復(fù)功率統(tǒng)一起來，定義復(fù)功率為

(9-15)其中，稱為電流相量的共軛相量。顯然，復(fù)功率的實(shí)部是有功功率，虛部是無功功率，其模是視在功率。

復(fù)功率定義為電壓相量與電流相量的共軛的乘積。它包含了視在功率S、平均功率P和無功功率Q。

現(xiàn)在來討論復(fù)功率守恒的問題。

如圖9-5(a)所示兩個(gè)負(fù)載并聯(lián)的電路，應(yīng)用KCL，可得

電源提供的復(fù)功率為

式中，、是負(fù)載Z1、Z2吸收的復(fù)功率。

再看如圖9-5(b)所示兩個(gè)負(fù)載串聯(lián)的電路，應(yīng)用KVL，可得

電源提供的復(fù)功率為

式中，、是負(fù)載Z1、Z2吸收的復(fù)功率。圖9-5帶有串聯(lián)負(fù)載和并聯(lián)負(fù)載的電路可以推廣到一般的電路，電源提供的復(fù)功率應(yīng)等于各負(fù)載吸收的復(fù)功率之和，即

(9-16)上式稱為復(fù)功率守恒。顯然，復(fù)功率守恒包括了平均功率守恒和無功功率守恒，即

(9-17)

但在一般情況下，不存在視在功率守恒，即

S≠S1+S2+…+SN

(9-18)圖9-6例9-1的電路

【例9-1】

在如圖9-6所示正弦穩(wěn)態(tài)電路中，已知u＝220cos314t

Ｖ，求i1、i2、i及電路的有功功率P、無功功率Q、視在功率S。

解

=220∠0°Ｖ，支路電流為

總電流為

電流的時(shí)域表示為

=44∠-53.1

+22∠36.9

=26.4-j35.2+17.6+j13.2

=49.2∠-26.56

Ａ

i1＝44cos(314t-53.1

)Ａi2＝22cos(314t-36.9

)Ａi＝49.2cos(314t-26.56

)Ａ求電路中的功率，有兩種方法。

方法一：

P

＝UIcosφ＝220×49.2cos26.56°=9.68kW

Q

＝UIsinφ＝220×49.2sin26.56°=4.84kvar

S＝UI＝220×49.2=10.824kVA

方法二：

P=442×3+222×8=9.68kW

Q=442×4-222×6=4.84kvar

【例9-2】如圖9-7所示電路中，U=4V，I＝1V，ω=10rad/s，線圈消耗功率P＝4W，求線圈的R及L。圖9-7例9-2的電路

解方法一，用阻抗三角形求解。

因?yàn)橛泄β示褪请娮枭舷牡墓β?，所?/p>

阻抗模為

根據(jù)阻抗三角形，有

所以，得。

方法二：用功率三角形求解。因?yàn)橐曉诠β蕿镾=UI=4VA，所以，無功功率為

因?yàn)?，Q=I2XL=I2ωL，故有

【例9-3】

在圖9-8所示的電路中，US=50V，電源發(fā)出的功率是312.5W，求容抗XC的數(shù)值。

解方法一：用阻抗串并聯(lián)方法求解。

由

可求得

IR=6.25A圖9-8例9-3的電路，則有

應(yīng)用KCL，有

電感電壓為

根據(jù)題意，總電壓的有效值為50V，即

可得

即有XC=8Ω。方法二：用戴維南定理求解。

由P=I2R×8=312.5，可求得IR=6.25A，則有

UC=UR=6.25×8=50V

設(shè)-jXC為負(fù)載，則開路電壓和等效電阻為

圖9-9戴維南等效電路戴維南等效電路如圖9-9所示。要使UC=50V，由等效電路得

將和Z0代入上式，得

解得XC=8Ω。

方法三：用節(jié)點(diǎn)法求解。

由，可求得IR=6.25A，則有

UC=UR=6.25×8=50V

根據(jù)彌爾定理有

即

解得XC=8Ω。

方法四：用相量圖法求解。

由，可求得IR=6.25A，則有

UC=UR=6.25×8=50V圖9-10例9-3的相量圖以為參考相量，畫相量圖如圖9-10所示。從相量圖知，電壓三角形為等腰三角形，且電壓三角形的一半△ABC與電流三角形相似，即有

或

50IC=0.5ULIL

由于UL=8IL，因此

50IC=4I2L

由電流三角形，知I2L=I2C+6.252，代入上式有

50IC=4(I2C+6.252)或

解得IC=6.25A，根據(jù)容抗的定義有

【例9-4】

兩條支路的并聯(lián)電路，一條感性支路的功率因數(shù)為0.6，視在功率為1000VA，另一條容性支路的功率因數(shù)為0.8，視在功率為800VA。求這個(gè)電路總的有功功率、總視在功率和總功率因數(shù)。

解根據(jù)有功功率的定義P=Scosφ，所以總的有功功率為

P=PL+PC=1000×0.6+800×0.8=1240W根據(jù)感性支路的功率三角形

根據(jù)容性支路的功率三角形

總的無功功率為

Q=QL-QC=320var根據(jù)電路的功率三角形，總的視在功率為

功率因數(shù)為

自測(cè)題9-1

在正弦電流通過單口網(wǎng)絡(luò)時(shí)，下列關(guān)系中正確的是

。

(Ａ)S=P+Q(Ｂ)

(Ｃ)

(Ｄ)S=|Z|I2

自測(cè)題9-2

在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，若感性負(fù)載消耗的功率為72kW，功率因數(shù)為0.6，則此負(fù)載的無功功率為

。

(Ａ)-96kvar(Ｂ)96kvar(Ｃ)54kvar(Ｄ)-54kvar圖9-11自測(cè)題9-3

自測(cè)題9-3

如圖9-11所示的一段正弦穩(wěn)態(tài)電路，

若i超前于u的角度為120°，則其實(shí)際上是

。(Ａ)發(fā)出平均功率

(Ｂ)吸收平均功率

(Ｃ)既不發(fā)出也不吸收平均功率

自測(cè)題9-4

在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，已知單口無源網(wǎng)絡(luò)

在端電壓U=200V時(shí)電流I=10A，無功功率Q=-1200var，

則它的等效阻抗為

Ω。

(Ａ)20∠36.9°

(Ｂ)16-j12

(Ｃ)20∠-53.1°

(Ｄ)12+j169.2.1提高功率因數(shù)的意義

功率因數(shù)的概念廣泛應(yīng)用于電力傳輸和供電系統(tǒng)中，系統(tǒng)的功率因數(shù)取決于負(fù)載的性質(zhì)。

例如，白熾燈、電烙鐵、電阻爐等用電設(shè)備，可以看做是純電阻負(fù)載，它們的功率因數(shù)為1。但是，日常生活和生產(chǎn)中廣泛應(yīng)用的異步電動(dòng)機(jī)、感應(yīng)爐和日光燈等用電設(shè)備都屬于感性負(fù)載，它們的電流滯后于電源電壓。因此，在一般情況下功率因數(shù)總是小于1。功率因數(shù)過低會(huì)引起以下兩個(gè)問題：

(1)提高功率因數(shù)cosφ，可提高設(shè)備的利用率。9.2功率因數(shù)及其提高發(fā)電設(shè)備、變壓器等是根據(jù)額定電壓和額定電流設(shè)計(jì)的，它們的乘積稱為視在功率。如某發(fā)電設(shè)備的容量為Ｓ＝1000kVA。若負(fù)載的功率因數(shù)λ=1，則輸出功率P=1000kW，可帶100臺(tái)10kW的電動(dòng)機(jī)工作；若負(fù)載的功率因數(shù)λ=0.8，則輸出功率P=800kW，這時(shí)只可帶80臺(tái)

10kW的電動(dòng)機(jī)工作；若負(fù)載的功率因數(shù)λ=0.5，則輸出功率P=500kW，可帶50臺(tái)10kW的電動(dòng)機(jī)工作?？梢?，功率因數(shù)cosφ越高，設(shè)備利用率越高。圖9-12提高功率因數(shù)的意義

(2)提高功率因數(shù)cosφ，可減少傳輸線的功率損耗。

在如圖9-12所示供電系統(tǒng)的模型中，Rl代表傳輸線路的電阻，由于負(fù)載功率為

P=UIcosφ

線路上的電流為

因此，在電壓U和負(fù)載功率P一定的情況下，提高功率因數(shù)cosφ，可減小電流I，從而減少線路上的電能損耗Pl=I2Rl。由此可見，提高線路的功率因數(shù)既能提高設(shè)備的利用率，又能減少電能在輸送過程中的損耗。所以，提高功率因數(shù)具有重大的經(jīng)濟(jì)價(jià)值。為此，電力部門規(guī)定：對(duì)于功率因數(shù)低于0.7的用戶，要求用戶自行進(jìn)行功率補(bǔ)償；新通或新建的電力用戶的功率因數(shù)不應(yīng)低于0.9；對(duì)于功率因數(shù)不合要求的用戶將增收無功功率電費(fèi)。9.2.2提高功率因數(shù)的措施

功率因數(shù)低的根本原因在于生產(chǎn)和生活中的交流用電設(shè)備大多是感性負(fù)載，如三相異步電動(dòng)機(jī)的功率因數(shù)在輕載時(shí)為0.2~0.3，滿載時(shí)為0.8~0.9；日光燈的功率因數(shù)為0.45~0.55；電冰箱的功率因數(shù)為0.55左右。為了提高功率因數(shù)，必須保證負(fù)載原來的運(yùn)行狀態(tài)，即負(fù)載兩端的電壓、電流和負(fù)載的有功功率保持不變。根據(jù)這些原則，提高功率因數(shù)的方法往往采用在負(fù)載兩端并聯(lián)電容。

設(shè)圖9-13(a)所示感性負(fù)載，其端電壓為，有功功率為P。圖9-13(b)是并聯(lián)電容后電路的相量圖。圖9-13提高功率因數(shù)的措施從相量圖可知：

(1)在未并聯(lián)電容C前，線路上的電流與負(fù)載上的電流相同，即。

(2)并聯(lián)電容C后，線路上的總電流等于負(fù)載電流和電容電流之和，即。從相量圖看出，線路上的電流變小。它滯后于電壓的角度是φ，這時(shí)功率因數(shù)為cosφ；顯然，φ<φ1，故cosφ>cosφ1，即功率因數(shù)提高了。

應(yīng)該指出的是：

在感性負(fù)載兩端并聯(lián)電容可以提高功率因數(shù)，使總電流Ｉ減小，原來負(fù)載的端電壓U和功率P不變，因此對(duì)負(fù)載工作并無影響。怎樣從物理意義上來理解并聯(lián)電容后為什么能提高功率因數(shù)呢？從功率角度看，并聯(lián)電容前，負(fù)載所需的有功功率P和無功功率Q1均由電源提供，其表現(xiàn)為負(fù)載內(nèi)的儲(chǔ)能元件與外電源交換能量較多。所以，線路上的電流由兩部分組成，一部分為有功功率提供，一部分為無功功率交換能量提供。并聯(lián)電容后，由于負(fù)載上的電壓、電流和功率都不變，此時(shí)有功功率P仍由電源提供，無功功率Q1由電源提供一部分，另一部分由電容來提供。這樣感性負(fù)載的部分儲(chǔ)能在網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部與電容交換能量，一部分與外電源交換能量，從而減少了線路上的電流。如果功率因數(shù)提高到1，感性負(fù)載的儲(chǔ)能與電容儲(chǔ)能完全交換能量，而不需要與外電源交換能量。

這時(shí)，線路上的電流最小，從相量圖上也能看出這一點(diǎn)。9.2.3電容值的計(jì)算

現(xiàn)在來討論電容值的計(jì)算，可以用功率三角形的方法來推導(dǎo)出求電容值的一般公式。

設(shè)感性負(fù)載的有功功率為P，功率因數(shù)為cosφ1，接電容器后要使功率因數(shù)提高到cosφ。

由于并聯(lián)電容前后負(fù)載P是不變的，因此功率三角形的水平邊不變。并聯(lián)電容前后的功率三角形如圖9-14所示。圖9-14電容值的計(jì)算根據(jù)功率三角形，原感性負(fù)載的無功功率為

Q1=Ptanφ1

并聯(lián)電容后的無功功率為

Q=Ptanφ

故應(yīng)補(bǔ)償?shù)臒o功功率為

QC=Q1-Q=P(tanφ1-tanφ)

因?yàn)镼C=ωCU2，所以

(9-19)上式為端口功率因數(shù)由cosφ1提高到cosφ所需要并聯(lián)的電容值，并聯(lián)的電容也稱補(bǔ)償電容。

應(yīng)當(dāng)指出，在電力系統(tǒng)中，提高功率因數(shù)具有重大的經(jīng)濟(jì)價(jià)值，cosφ常為0.9左右。但是在電子系統(tǒng)、通信系統(tǒng)中，往往不考慮功率因數(shù)，而是考慮負(fù)載吸收的最大功率，因?yàn)橥ㄐ畔到y(tǒng)中的信號(hào)源都是弱信號(hào)。

【例9-5】

電路如圖9-15所示，已知U＝120V，I＝10A，負(fù)載為感性，功率因數(shù)cosφ＝0.6，若電源電壓不變，頻率f=50Hz，而在負(fù)載兩端并聯(lián)一個(gè)電容C，使功率因數(shù)提高到0.8，求此時(shí)的視在功率S和電容C的值。圖9-15例9-5的電路

解負(fù)載的功率為

P=UIcosφ1=120×10×0.6=720W

由并聯(lián)C后的功率三角形，得

所以，視在功率為

對(duì)應(yīng)于cosφ1=0.6，φ1=53.1°；cosφ=0.8，φ=36.9°，由式(9-19)得

自測(cè)題9-5

電路如圖9-16所示，電容C的作用是提高功率因數(shù)，若去掉C，則電流表A讀數(shù)

，電路的總有功功率

，視在功率

。

(A)增加(B)減少(C)不變

自測(cè)題9-6

正弦穩(wěn)態(tài)電路如圖9-17所示，已知：i=100cos(103t+30°)mA，電路消耗的平均功率P＝10W，則電路的功率因數(shù)是

。圖9-16自測(cè)題9-5圖9-17自測(cè)題9-6

自測(cè)題9-7

電路如圖9-18所示，u=100cos100tV，若負(fù)載(感性)的平均功率及無功功率分別為6W和8Var。如要求對(duì)電源呈現(xiàn)功率因數(shù)為１的總負(fù)載，則應(yīng)并聯(lián)的電容C=

。

(A)6μF(B)8μF(C)12μF(D)16μF圖9-18自測(cè)題9-7上節(jié)討論了功率因數(shù)的提高，它主要應(yīng)用在電力傳輸及供電系統(tǒng)中，而在電子及通信系統(tǒng)中主要考慮如何能夠?qū)⒆畲蠊β蕚鬏數(shù)截?fù)載。在第5章曾經(jīng)討論過最大功率傳輸定理，對(duì)于正弦穩(wěn)態(tài)電路，重新討論最大功率的傳輸問題。如圖9-19(a)所示，負(fù)載ZL是可變的，問在什么條件下負(fù)載ZL

能從正弦穩(wěn)態(tài)電路中獲得最大的平均功率PLmax。應(yīng)用戴維南定理，這個(gè)問題可以簡(jiǎn)化為如圖9-19(b)所示的戴維南等效電路。負(fù)載ZL如何從信號(hào)源獲得最大功率。9.3最大功率傳輸圖9-19最大功率的傳輸電路戴維南電壓和阻抗ZTh分別為信號(hào)源電壓和內(nèi)阻抗，其中ZTh=RTh+jXTh，它們是一定的。設(shè)ZL=RL+jXL，并且RL、XL均可獨(dú)立變化。當(dāng)RL、XL變化時(shí)，RL、XL滿足什么條件負(fù)載能得到最大功率。因?yàn)?/p>

(9-20)為使功率PL=I2RL最大，即

(9-21)

其中，UTh、RTh和XTh為固定值，而RL和XL是獨(dú)立變量。因此，要求PL最大就必須求出使和均為0的RL和XL。由式(9-21)得

(9-22)

(9-23)

由式(9-22)可知，令可得

XL=-XTh

(9-24)由式(9-23)可知，令可得

(9-25)

綜合考慮式(9-24)和式(9-25)，負(fù)載獲得最大功率的條件為

ZL=ZTh*或RL=RTh,XL=-XTh(9-26)最大功率傳輸?shù)臈l件為：負(fù)載阻抗等于戴維南阻抗的共軛復(fù)數(shù)，即ZL=ZTh*。

這時(shí)負(fù)載的最大功率為

(9-27)

稱這種狀態(tài)為共軛匹配或最佳匹配。只有當(dāng)ZL等于ZTh的共軛復(fù)數(shù)時(shí)，最大功率才能傳輸?shù)絑L上，而在有些情況下，這是不可能的。首先，RL和XL可能被限制在一定的范圍內(nèi)，這時(shí)，RL和XL的最優(yōu)值應(yīng)是調(diào)整XL

使其盡可能地接近-XTh，同時(shí)調(diào)整RL使其盡可能地接近

。

當(dāng)負(fù)載是純電阻時(shí)，即ZL=RL，負(fù)載獲得最大功率的條件由式(9-25)中XL=0得

(9-28)純電阻負(fù)載的最大功率傳輸?shù)臈l件為：負(fù)載電阻等于戴維南阻抗的模，即RL=|ZTh|。

當(dāng)負(fù)載ZL=RL+jXL中的RL不變，XL可變時(shí)，負(fù)載獲得最大功率的條件應(yīng)為式(9-24)。當(dāng)負(fù)載ZL=RL+jXL中的XL不變，RL可變時(shí)，負(fù)載獲得最大功率的條件應(yīng)為式(9-25)。

【例9-6】

電路如圖9-20(a)所示，電壓uS=100cos(1000t+45°)V。

(1)當(dāng)負(fù)載ZL為何值時(shí)可獲得最大功率，最大功率PLmax

是多少？

(2)當(dāng)負(fù)載為純電阻

ZL=RL時(shí)，RL為何值時(shí)可獲得最大功率，此時(shí)最大功率PLmax是多少？

(3)當(dāng)負(fù)載為ZL=1+jXLΩ時(shí)，當(dāng)L為何值時(shí)負(fù)載可獲得最大功率，最大功率PLmax是多少？圖9-20例9-6的電路

解電源電壓相量為，容抗為

用戴維南定理，先求出戴維南等效電路，戴維南電壓即開路電壓為

戴維南電阻為

戴維南等效電阻如圖9-20(b)所示。

(1)由于ZL沒有限制，因此要使ZL獲得最大功率，應(yīng)采用共軛匹配，即

最大功率為

(2)當(dāng)負(fù)載為純電阻ZL=RL時(shí)，要使RL可獲得最大功率，采用式(9-28)得

最大功率為

(3)當(dāng)負(fù)載為ZL=1+jXLΩ時(shí)，顯然只有XL可變。要使ZL可獲得最大功率，采用式(9-24)，即

可得電感值為

此時(shí)最大功率為

由此可見，共軛匹配時(shí)負(fù)載獲得的功率最大。

自測(cè)題9-8

正弦電壓源u＝100cos(1000t+45°)Ｖ，其內(nèi)阻抗Z0=10∠-45°Ω，負(fù)載阻抗ZL=

時(shí)，它可獲得最大功率，其值PLmax

＝

。

自測(cè)題9-9

在如圖9-21所示正弦穩(wěn)態(tài)電路中，如果Z要獲得最大功率，則Z＝

。

自測(cè)題9-10

正弦穩(wěn)態(tài)電路如圖9-22所示，已知負(fù)載阻抗ZL=5+j10Ω，若電源內(nèi)阻抗Z0的虛部和實(shí)部可單獨(dú)調(diào)節(jié)，要使負(fù)載獲得盡可能大的功率的條件是

。

(Ａ)Z0=0-j10Ω(Ｂ)Z0=5-j10Ω

(Ｃ)Z0=5+j10Ω(Ｄ)Z0=0圖9-21自測(cè)題9-9圖9-22自測(cè)題9-10在這里我們用MATLAB來研究功率因數(shù)提高的問題。首先編一個(gè)函數(shù)POFA()來計(jì)算并聯(lián)電容的值。函數(shù)如下：

functionPOFA(P，U，f，pf1，pf)

%P負(fù)載的有功功率，U電源電壓，f電源的頻率

%pf1原感性負(fù)載的功率因數(shù)，pf并聯(lián)電容后的功率因數(shù)

%計(jì)算出的電容單位為微法

a1=acos(pf1)；a=acos(pf)；*9.4計(jì)算機(jī)分析C=P*(tan(a1)-tan(a))/(2*pi*f*U∧2)*10∧6

以例9-5為例，計(jì)算如下:

>>POFA(720，120，50，0.6，0.8)

C=

92.8404

【例9-7】

有一感性負(fù)載，其額定電壓為220V，f=

50Hz，有功功率為10kW，cosφ=0.6?，F(xiàn)用并聯(lián)電容的方法提高功率因數(shù)。用MATLAB繪制功率因數(shù)與并聯(lián)電容的關(guān)系曲線，總電流與功率因數(shù)的關(guān)系曲線。分析并聯(lián)電容的變化對(duì)電路功率因數(shù)的影響。

解首先要找出功率因數(shù)與并聯(lián)電容的數(shù)學(xué)關(guān)系，根據(jù)功率三角形，并聯(lián)電容后電路的功率因數(shù)為

總電流與功率因數(shù)的關(guān)系為

通過MATLAB編程，可畫出兩個(gè)曲線圖，如圖9-23、圖9-24所示。

從圖9-23所示的功率因數(shù)cosφ與電容C的關(guān)系曲線可知，功率因數(shù)從0.6提高到0.85、0.9、0.95和1，所需要并聯(lián)的電容值為470μF、559μF、661μF和877μF。

從圖9-24所示的總電流I與功率因數(shù)cosφ的關(guān)系曲線可知，功率因數(shù)從0.6提高到0.85、0.9、0.95和1，總電流分別為53.48A、50.51A、47.85A和45.46A。從兩個(gè)圖上可以看出，cosφ從0.9到1，曲線變化越來越慢，這意味著電容值變化較多，電流變化少。具體數(shù)據(jù)為，功率因數(shù)從0.9提高到1，并聯(lián)的電容從559μF增加到877μF，電容增加57%，而電流由50.51A下降到45.46A，電流下降10%。因此工程實(shí)際中，并不要求用戶將功率因數(shù)提高到1，因?yàn)檫@樣做將大大增加電容設(shè)備的投資，帶來的經(jīng)濟(jì)效果卻并不顯著。

一般情況下，供電部門要求用戶將功率因數(shù)調(diào)整在0.9左右。圖9-23功率因數(shù)與電容的關(guān)系曲線圖9-24總電流與功率因數(shù)的關(guān)系曲線·

正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率有五種，即

·

瞬時(shí)功率：p=ui

·

有功功率(平均功率)：

P=UIcosφ

·

無功功率：Q=UIsinφ

·

視在功率：S=UI

·

復(fù)功率：

用功率三角形來表示各功率之間的關(guān)系十分直觀、簡(jiǎn)捷，并且與第8章介紹的阻抗三角形和電壓三角形是相似的，計(jì)算和分析功率時(shí)非常有用。本章小結(jié)

·只有電阻才消耗有功功率，而儲(chǔ)能元件L和C是不消耗有功功率的。

·

電感元件吸收無功功率，電容元件發(fā)出無功功率，而電阻的無功功率為0。

有關(guān)正弦穩(wěn)態(tài)功率的各種關(guān)系列表如下：有功功率是守恒的，無功功率是守恒的，復(fù)功率是守恒的，但視在功率不守恒。

功率因數(shù)的提高主要應(yīng)用在電力傳輸及供電系統(tǒng)中，它不僅可以提高設(shè)備的利用率，還可減少線路上的功率損耗，從而提高供電質(zhì)量。

一般采用并聯(lián)電容的方法來提高功率因數(shù)，這樣既不影響原電路的工作狀態(tài)，電容本身也不消耗功率，總電流又減少了。純電阻負(fù)載的功率因數(shù)為1，純電抗負(fù)載的功率因數(shù)為0。

最大功率傳輸主要應(yīng)用在通信系統(tǒng)、電子系統(tǒng)中，負(fù)載如何從信號(hào)源中獲得最大功率是它的主要問題。

當(dāng)滿足ZL=ZTh*時(shí)，將出現(xiàn)最大的功率傳輸。

當(dāng)負(fù)載ZL受到限制時(shí)，也可以推導(dǎo)出在某種情況下的最大功率傳輸，但只有在共軛匹配情況下，才有最佳的功率傳輸，負(fù)載獲得的功率最大。

1.有人說：“電感吸收無功功率，因而電源在每個(gè)瞬間不對(duì)電感作功”，這種說法對(duì)嗎？無功功率的“無功”意義究竟是什么？一個(gè)電感線圈直接接在電源上，同與一個(gè)電阻串聯(lián)后接在電源上，其吸收的無功功率是否一樣？

2.說明一個(gè)無源單口網(wǎng)絡(luò)的有功功率、無功功率、視在功率的物理意義，三者之間存在什么關(guān)系？什么是功率三角形？說明五個(gè)三角形之間的關(guān)系。思考題

3.有人說：“某負(fù)載的阻抗角就是這個(gè)負(fù)載的功率因數(shù)角，也就是負(fù)載電壓與電流的相位差”。這種說法對(duì)嗎？為什么？

4.功率因數(shù)的含義是什么？為什么要提高功率因數(shù)？

5.用串聯(lián)電容器的方法能否提高電路的功率因數(shù)？實(shí)際中為什么不采用此法？用并聯(lián)電容器的方法提高功率因數(shù)是否并聯(lián)電容器容量愈大，功率因數(shù)提高愈高？

6.用并聯(lián)電阻的方法能否提高電路的功率因數(shù)？

7.為什么供電部門并不要求把功率因數(shù)提高到１？

8.功率因數(shù)提高與最大功率傳輸各應(yīng)用在什么場(chǎng)合？為什么？

9.共軛匹配時(shí)，功率的傳輸效率是多少？基本練習(xí)題

9-1若正弦電壓源uS=240cos5000tV，負(fù)載為480Ω電阻和的電容并聯(lián)。求：

(1)電源發(fā)出的瞬時(shí)功率的最大值,電源吸收的瞬時(shí)功率的最大值。

(2)負(fù)載的平均功率、求負(fù)載的無功功率。

(3)負(fù)載是吸收還是產(chǎn)生無功功率。

(4)負(fù)載的功率因數(shù)。習(xí)題9

9-2電路如題9-2圖所示，已知負(fù)載兩端電壓u=220sin(314t-143.1°)V，電流i=-22sin(314t)A，求：

(1)負(fù)載阻抗Z，并指明性質(zhì)。

(2)負(fù)載的功率因數(shù)、有功功率和無功功率。

9-3如題9-3圖所示正弦穩(wěn)態(tài)電路，已知：i(t)=100cos(10t+30°)mA，且知該電路消耗功率P＝10W，功率因數(shù)cosφ=0.707。求電感L，并寫出u(t)的表達(dá)式。題9-2圖題9-3圖

9-4已知日光燈工作時(shí)燈管電阻為530Ω，鎮(zhèn)流器電阻為120Ω，感抗為600Ω，電源電壓為220V。求工作電流、鎮(zhèn)流器電壓、燈管電壓及功率因數(shù)。

9-5兩組負(fù)載并聯(lián)，一組S1=1000kVA，功率因數(shù)為0.6，另一組S2=500kVA，功率因數(shù)為1，求總的視在功率和總的有功功率。

9-6如題9-6圖所示為日光燈與白熾燈并聯(lián)的電路，圖中R1為燈管電阻，XL為鎮(zhèn)流器感抗，R2為白熾燈電阻。已知U=220V，鎮(zhèn)流器電阻不計(jì)，燈管功率為40W，功率因數(shù)為0.5，白熾燈功率為60W。求I1、I2、I及總的功率因數(shù)。

9-7電路如題9-7圖所示，已知I2=22A，求：

(1)電壓U、電流I1和I。

(2)電路總的有功功率、無功功率以及cosφ。題9-6圖題9-7圖

9-8求題9-8圖所示電路中的電流和以及電流源供給的有功功率和無功功率。

9-9電路如題9-9圖所示，已知電流表讀數(shù)為1.5A，求：

(1)總電流I和總電壓U；

(2)電源供給的S、P、Q。題9-8圖題9-9圖

9-10正弦穩(wěn)態(tài)電路如題9-10圖所示，全部?jī)x表均為理想的。已知：電壓表V1的讀數(shù)為220V，V2的讀數(shù)為110V，功率表W的讀數(shù)為40W，電源頻率為50