《電路分析基礎(chǔ)》課件第14章

14.1磁場的基本物理量和基本性質(zhì)

14.2鐵磁物質(zhì)的磁化曲線

14.3磁路及磁路定律

14.4恒定磁通磁路的計算

14.5交流鐵芯線圈電路

14.6練習題及解答提示

習題14第14章磁路和鐵芯線圈電路在實際電子和電氣工程中，經(jīng)常應用各種機電能量或機電信號轉(zhuǎn)換設(shè)備，常見的有電機、變壓器、電磁鐵、電工測量儀表以及其他各種鐵磁元件，其本質(zhì)是磁和電的相互作用和相互轉(zhuǎn)換。在這些電氣設(shè)備中，不僅有電路的問題，同時還有磁路的問題，只有同時掌握了電路和磁路的基本理論，才能對各種電氣設(shè)備進行全面的分析。因此，研究磁和電的關(guān)系，掌握磁路的基本規(guī)律是非常必要的。

本章首先介紹磁場的基本知識，然后介紹鐵磁物質(zhì)的磁性能，磁路及其基本規(guī)律，在此基礎(chǔ)上，介紹恒定磁通磁路的計算，交變磁通磁路中的波形畸變和能量損耗，最后介紹鐵芯線圈的電路模型和分析方法。根據(jù)電磁場理論，一個運動電荷(電流)在它的周圍除產(chǎn)生電場外，還產(chǎn)生磁場，即磁場是由電流產(chǎn)生的。電氣設(shè)備中的磁場通常集中分布在由鐵磁物質(zhì)構(gòu)成的閉合路徑內(nèi)，這樣的路徑稱為磁路，如圖14-1所示為一變壓器的磁路示意圖。

磁路問題就是局限于一定路徑內(nèi)的磁場問題，因此磁場的各個基本物理量也適用于磁路，對磁路的分析計算實際上是對電磁場的求解問題。14.1磁場的基本物理量和基本性質(zhì)圖14-1變壓器的磁路示意圖14.1.1磁場的基本物理量

1.磁感應強度

磁感應強度是磁場的基本物理量，是根據(jù)洛侖茲力定義的。它是一個矢量，用符號B表示，其方向與磁場的方向一致。運動電荷在磁場中受到磁場力的作用，當運動電荷與磁場的方向垂直時，它所受到的磁力最大，記為Fmax。

又由實驗可知，磁場中任意給定點的Fmax與運動電荷所帶的電量q和運動速度u都成正比，即

Fmax∝qv那么磁感應強度B的大小為

(14-1)

磁感應強度的大小只與該點磁場的性質(zhì)有關(guān)，而與運動電荷的電量q和運動速度v無關(guān)，對應磁場中的不同點，磁感應強度也不同，它是表示磁場內(nèi)某點的磁場強弱和方向的物理量，磁場愈強，磁感應強度越大。若磁場內(nèi)各點的磁感應強度的大小相等、方向相同，這樣的磁場稱為均勻磁場。在國際單位制(SI)中，磁力Fmax的單位是牛頓(N)，電量q的單位是庫侖(C)，速度v的單位是米/秒(m/s)，則磁感應強度B的單位為特［斯拉］(T)，特斯拉也就是韋伯每平方米(Wb/m2)，有時也用電磁制單位高斯(GS)，1T相當于104GS。

2.磁通

穿過某一截面S的磁感應強度B的通量稱為磁通量，簡稱磁通。磁通是一個標量，用符號Φ來表示。它可用下式定義

(14-2)

可見，磁感應強度B在某截面S上的面積分就是通過該截面的磁通。

對于均勻磁場，磁感應強度B與垂直于磁場方向的面積S的乘積，稱為通過該面積的磁通Φ,即

Φ=BS

或(14-3)

由式(14-3)可見，磁感應強度在數(shù)值上可以看成與磁場方向垂直的單位面積所通過的磁通，故磁感應強度也稱為磁通密度。若用磁力線來描述磁場，使磁力線的疏密反映磁感應強度的大小，則通過某一面積的磁力線的總數(shù)就反映了通過該面積的磁通的大小，通過垂直于磁場方向的單位面積的磁力線數(shù)目就反映了該點的磁感應強度的大小。由于磁通的連續(xù)性，磁力線應是閉合的空間曲線。

磁通的參考方向與產(chǎn)生它的電流方向滿足右螺旋定則。在國際單位制(SI)中，磁通的單位是伏·秒，通常稱為韋［伯］(Wb)。在工程上有時用電磁制單位麥克斯韋(Mx)，1Wb相當于108Mx。

3.磁場強度

磁場強度是描述磁場的另一個物理量，它也是矢量，用符號H表示，它與磁感應強度B，磁介質(zhì)的磁導率μ之間有如下關(guān)系:

B=μH

(14-4)

由于鐵磁物質(zhì)的磁導率μ不是常量，因此在磁路中，式(14-4)所示的關(guān)系為非線性關(guān)系。

磁場中某點的磁場強度只取決于產(chǎn)生這個磁場的電流的分布，而與介質(zhì)無關(guān)，也就是說磁場強度反映的是磁場和電流的依存關(guān)系。當電流一定時，同一點的磁場強度不因磁場的介質(zhì)不同而不同，但磁感應強度是與介質(zhì)的磁性有關(guān)的。在國際單位制(SI)中，磁場強度的單位是安/米(A/m)。在工程上有時用電磁制單位奧斯特(Oe)，1A/m相當于4π×10－3Oe。

4.磁導率

磁導率是一個用來表示物質(zhì)的磁性質(zhì)的物理量，也就是用來衡量物質(zhì)導磁能力的物理量，用符號μ表示，定義為

(14-5)

真空的磁導率μ0=4π×10－7H/m，μ0是一個常數(shù)，非鐵磁物質(zhì)的磁導率與μ0相差無幾，故一般可將其視為μ0進行計算，B=μ0H，B與H成正比，它們之間有線性關(guān)系。而鐵磁物質(zhì)的磁導率很大，且大多數(shù)鐵磁物質(zhì)的磁導率不是常數(shù)，又B=μH，故B與H不成正比，它們之間為非線性關(guān)系。將其他物質(zhì)的磁導率μ與真空磁導率μ0的比稱做該物質(zhì)的相對磁導率，記為μr，則

(14-6)

非鐵磁物質(zhì)的μr≈1，即μ≈μ0；鐵磁物質(zhì)的μr很大，如硅鋼片的μr=6000~8000，而坡莫合金的μr可達1×105

左右。在國際單位制(SI)中，磁導率的單位是亨/米(H/m)。14.1.2磁場的基本性質(zhì)

磁場的基本性質(zhì)包括磁通連續(xù)性原理和安培環(huán)路定律，它們是分析磁路的基礎(chǔ)。

1.磁通連續(xù)性原理

磁通Φ是由式(14-2)定義的，而磁通連續(xù)性原理的內(nèi)容是：在磁場中，對磁感應強度的任意閉合面的積分為零，即

(14-7)

由于磁力線是閉合的空間曲線，顯然，穿進任一閉合面的磁通恒等于穿出此閉合面的磁通，式(14-7)的成立與磁場中的介質(zhì)分布無關(guān)。

2.安培環(huán)路定律

安培環(huán)路定律(也稱全電流定律)的內(nèi)容是：在磁場中，磁場強度沿任意閉合路徑的線積分，等于該閉合路徑所圍面積的全部電流的代數(shù)和,即

式中的是磁場強度矢量H沿任意閉合回路l(常取磁通作為閉合回路)的線積分，是穿過該閉合回線l所圍面積的電流的代數(shù)和，且該式與磁場中介質(zhì)的分布無關(guān)。(14-8)當電流的參考方向與閉合回線的繞行方向符合右螺旋定則時，該電流前取正號，反之取負號。在圖14-2(a)中，式(14-8)可表示為

對圖14-2(b)來說，取磁通作為閉合回線，且以其方向作為回線的繞行方向，則有

其中N為線圈的匝數(shù)。圖14-2安培環(huán)路定律示意圖鐵磁物質(zhì)鐵、鎳、鈷及其合金以及鐵氧體(又稱鐵淦氧)等都是構(gòu)成磁路的主要材料，它們的磁導率比真空磁導率μ0大得多，為其數(shù)十倍，數(shù)千倍，乃至數(shù)萬倍，且常與所在磁場的強弱及物質(zhì)磁狀態(tài)的歷史有關(guān)，其磁導率μ不是常量。本節(jié)討論鐵磁物質(zhì)的磁化性質(zhì)。

鐵磁物質(zhì)的磁化性質(zhì)一般由磁化曲線即B—H曲線表示。由于磁場強度H是決定于產(chǎn)生外磁場的電流的，而磁感應

強度B相當于電流在真空中所產(chǎn)生磁場和物質(zhì)磁化后的附加磁場的疊加，所以B—H曲線表明了物質(zhì)的磁化效應。14.2鐵磁物質(zhì)的磁化曲線14.2.1起始磁化曲線與磁飽和性

鐵磁物質(zhì)之所以具有被磁化的特性，是因為該類物質(zhì)不同于其他物質(zhì)，它具有磁疇的特殊結(jié)構(gòu)，當有外磁場作用時，就會產(chǎn)生很強的與外磁場同方向的磁化磁場，使鐵磁物質(zhì)的磁感應強度大大增加，就是說鐵磁物質(zhì)被強烈地磁化了。鐵磁物質(zhì)的這一磁性能廣泛應用于各種電氣設(shè)備中，例如電機、變壓器及各種鐵磁元件的線圈中都放有鐵芯。在這種具有鐵芯的線圈中通入不大的勵磁電流，便可產(chǎn)生足夠大的磁通和磁感應強度。非鐵磁物質(zhì)沒有磁疇的結(jié)構(gòu)，也就不具有磁化的特性。起始磁化曲線如圖14-3所示。真空中，B=μ0H，故B—H曲線是一條直線，如圖14-3中的直線①。曲線②即為起始磁化曲線，指鐵磁物質(zhì)從H=0，B=0開始磁化，該曲線一般可由實驗方法得出，在磁路的計算中非常重要。

可以看出，當外磁場由零逐漸增大時，磁感應強度B隨著磁場強度H開始增加較慢(oa1段)，然后迅速增長(a1a2段)，之后增長率減慢(a2a3段)，逐漸趨向于飽和(a3a4段)。

由于這條曲線的形狀與人腿的形狀相似，故把a1點稱為跗點，a2點稱為膝點，a3點稱為飽和點，a3點以上曲線趨于一條直線，其斜率決定于真空的磁導率μ0。圖14-3中也給出了磁導率μ隨H的變化曲線，即曲線③。圖14-3鐵磁物質(zhì)起始磁化曲線

14.2.2磁滯回線與磁滯性

當鐵芯線圈中通有交變電流時，鐵芯就受到交變磁化，當電流變化一次時，磁感應強度B隨磁場強度H而變化的關(guān)系如圖14-4所示，稱為磁滯回線，它不同于起始磁化曲線。

圖14-4磁滯回線

如果把磁場強度由零增加到+Hm值，使鐵磁物質(zhì)達到磁飽和點a(不超過磁飽和點)，相應的磁感應強度為Bm。當磁場強度H減小，磁感應強度B也隨之減小，但不是按原來上升的起始磁化曲線減小，而是沿著比起始磁化曲線稍高的曲線下降，即圖中的ab段。當H的值減小到零時，B的值不為零，這種磁感應強度的改變落后于磁場強度改變的現(xiàn)象稱為磁滯現(xiàn)象，簡稱磁滯。對應于H=0時的磁感應強度(圖中的Br)稱為剩余磁感應強度，簡稱剩磁。若要消去剩磁，需將鐵磁物質(zhì)反向磁化。當H在相反方向增加到Hc值時，B降為零。此磁場強度值Hc稱為矯頑磁場強度，簡稱矯頑力。當H繼續(xù)反向增加時，鐵磁物質(zhì)開始反向磁化，當H=－Hm時，反向磁化達到飽和點a′(不超過磁飽和點)，當H由－Hm回到零時，磁感應強度沿a′b′變化而完成了一個循環(huán)。由圖14-4所示磁滯回線的形狀，可將鐵磁物質(zhì)分為兩大類。一類是軟磁材料，它的磁滯回線狹窄，回線面積較小，磁導率高，如硅鋼片、鐵鎳合金、鐵淦氧磁體、純鐵、鑄鐵、鑄鋼等都是軟磁材料。電機、變壓器的鐵芯就是用硅鋼片疊成的。另一類是硬磁材料，有較高的剩磁感應Br和較大的矯頑磁力Hc，它的磁滯回線較寬，如鎢鋼、鈷鋼等都是硬磁材料，用來制成永久磁鐵。軟磁材料和硬磁材料的磁滯回線如圖14-5所示。圖14-5軟磁材料和硬磁材料磁滯回線14.2.3基本磁化曲線

對于同一鐵磁物質(zhì)制成的鐵芯，取不同的Hm值的交變磁場進行反復磁化，將得到一系列磁滯回線，如圖14-6中虛線所示，將各磁滯回線頂點連成的曲線稱為基本磁化曲線，如圖14-6中實線所示。進行磁路計算時常用基本磁化曲線代替磁滯回線以得到簡化，而基本磁化曲線和初始磁化曲線是很接近的，工程上給出的磁化曲線都是基本磁化曲線，有時也用表格的形式給出，稱為磁化數(shù)據(jù)表，計算時可查閱。表14-1為鑄鋼及常用電工硅鋼片的磁化數(shù)據(jù)表。圖14-6基本磁化曲線表14-1常用鐵磁材料磁化數(shù)據(jù)表14.3.1磁路

為了用較小的電流產(chǎn)生足夠大的磁通(或磁感應強度)，在電機、變壓器等各種鐵磁元件中，常用鐵磁物質(zhì)做成

一定形狀的鐵芯。由于鐵芯的磁導率較其他物質(zhì)高得多，所以磁通的絕大部分經(jīng)過鐵芯而形成一個閉合通路，這種

約束在限定鐵芯范圍內(nèi)的磁通通過的路徑，稱為磁路。圖14-7給出了幾種常見的電氣設(shè)備的磁路。14.3磁路及磁路定律圖14-7幾種常見磁路圖(a)是一種單相變壓器的磁路。

圖(b)和圖(c)是接觸器和繼電器的磁路。

圖(d)是直流電機的磁路。

圖(e)是電工儀表的磁路。

磁路中的磁通可以分為兩部分，絕大部分是通過磁路(包括氣隙)閉合的，該部分稱為主磁通，用Φ表示；小部分是穿出鐵芯的，通過磁路周圍非鐵磁物質(zhì)(包括空氣)而閉合的，該部分稱為漏磁通，用Φσ表示，如圖14-8(a)所示。工程中采取有效措施，使漏磁通只占總磁通的很小一部分，可將漏磁通略去不計；同時選定鐵芯的幾何中心閉合線作為主磁通的路徑，則圖14-8(a)可用圖14-8(b)來表示。圖14-8主磁通與漏磁通14.3.2磁路的基本物理量

磁路分析中所涉及的物理量與磁場中的物理量相同，只是增加了兩個新的物理量：磁通勢和磁壓降。

1.磁通勢

將圍繞磁路的環(huán)形線圈的電流i與其匝數(shù)N的乘積Ni稱為該線圈電流產(chǎn)生的磁通勢，也稱為磁動勢，簡稱磁勢，用符號Fm表示，即

Fm=Ni

(14-9)

磁通勢的方向與產(chǎn)生它的線圈電流之間符合右手螺旋定則。在國際單位制(SI)中，其單位為安［培］(A),但有時也用安匝(At)。

磁通勢是產(chǎn)生磁通的激勵，磁路中磁通勢的作用類似于電路中電壓源的作用。

2.磁壓降

每段磁路中的磁場強度H與磁路長度l的乘積稱為該段磁路的磁壓降或磁位差，用符號Um表示，即

Um=Hl

(14-10)

磁壓降的方向與磁場強度H的方向一致。在國際單位制(SI)中，磁壓降的單位為安［培］(A)。14.3.3磁路的基本定律

1.磁路的基爾霍夫定律

磁路的基爾霍夫定律由描述磁場性質(zhì)的磁通連續(xù)性原理和安培環(huán)路定律推導而得到的，它們是分析計算磁路的基礎(chǔ)。

1)磁路的基爾霍夫第一定律

由于磁通的連續(xù)性，如果忽略漏磁通，則可認為全部磁通都在磁路內(nèi)穿過，那么磁路就與電路相似，在一條支路內(nèi)處處具有相同的磁通。對于有分支磁路，如圖14-9所示，在磁路分支點a作閉合面。圖14-9有分支磁路根據(jù)磁通連續(xù)性原理，可知穿過閉合面的磁通代數(shù)和必為零，即

－Φ1+Φ2+Φ3=0或Φ1=Φ2+Φ3

將其寫成一般形式，即

(14-11)

式(14-11)為磁路的基爾霍夫第一定律表達式，其內(nèi)容是：在磁路的分支點所連各支路磁通的代數(shù)和等于零?；蛘哒f進入分支點閉合面的磁通之和等于流出分支點閉合面的磁通之和。

上述定律在形式上與電路的基爾霍夫電流定律(KCL)相似，故有時把此定律稱為磁路的基爾霍夫第一定律。

2)磁路的基爾霍夫第二定律

磁路可以分為截面積相等、材料相同的若干段，磁路中任意截面上的磁通的分布認為是均勻的，并且各段磁路中的磁場強度處處相同，方向與磁路中心線平行。那么各段磁路中的磁場強度H與dl方向相同，式(14-8)所表示的安培環(huán)路定律中的矢量點積則簡化為標量的乘積，即安培環(huán)路定律在磁路中可以簡化為如下形式：

或表示為

(14-12)

若引入磁通勢和磁壓降，可表示為

(14-13)

式(14-13)為磁路的基爾霍夫第二定律表達式，其內(nèi)容是：在磁路的任意閉合回路中，各段磁壓降的代數(shù)和等于各磁通勢的代數(shù)和。上述定律在形式上與電路的基爾霍夫電壓定律(KVL)相似，故有時把此定律稱為磁路的基爾霍夫第二定律。應用該定律時，要選一繞行方向，磁通的參考方向與繞行方向一致時，該段磁壓降取為正號，反之取負號；勵磁電流的參考方向與磁路回線繞行方向之間符合右手螺旋關(guān)系時，該磁通勢取正號，反之取負號。對于圖14-9所示磁路右側(cè)的閉合路徑，由磁路的安培環(huán)路定律，可寫為

H1l1+H2l2+H0l0+H3l3=N1i1－N2i2

式中H1，H2，H3，H0分別為l1，l2，l3，l0段的磁場強度，繞行方向為順時針方向。

2.磁路的歐姆定律

設(shè)在磁路中取出某一段由磁導率為μ的材料構(gòu)成的均勻磁路，其橫截面為S，長度為l，磁路中磁通為Φ，如圖14-10所示。則因，故該段的磁壓降(磁位差)為

式中

(14-14)(14-15)

稱為該段磁路的磁阻，磁阻的倒數(shù)稱為磁導，用Λm表示，即

在國際單位制(SI)中，磁阻的單位為每亨(H－1)，磁導的單位為亨［利］(H)。(14-16)圖14-10磁路段式(14-14)在形式上與電路的歐姆定律表達式相似，反映的是一段磁路磁通與磁壓降之間的約束關(guān)系，當Rm為常量(不隨Φ而變)，則又稱為磁路的歐姆定律。需要注意的是，一般情況下不能應用磁路的歐姆定律進行計算，因為鐵磁物質(zhì)的磁導率不是常量，磁阻是非線性的。當對磁路作定性分析時，則可應用磁阻及磁導的概念。根據(jù)以上介紹的磁路基本定律，可見磁路與電路中的有關(guān)定律在形式上有相似之處，但兩者在本質(zhì)上是不同的。例如，電路中電流會由于開路而中斷，但磁路中有磁通勢則必然伴有磁通，即使磁路中有空氣隙存在，磁通并不中斷。電路中有電流一般就有功率損耗，但在恒定磁通下的磁路卻沒有功率損耗。磁路的計算涉及到磁路各部分的有關(guān)尺寸，但對集總參數(shù)電路來說，它的計算不涉及任何尺寸問題。

由于電路和磁路中的兩類約束方程的相似性，線性磁路(磁阻Rm為常數(shù))與線性電路的計算類似，如表14-2所示。下面舉例說明磁路的計算方法。表14-2電路與磁路對比

例14-1

磁路如圖14-11(a)所示，已知鐵芯平均長度l=

20cm，截面積S=1cm2，空氣隙長度l0=0.2mm，鐵芯材料的相對磁導率μr=1000，若需在磁路中產(chǎn)生磁通Φ=10－4Wb，試求所需的勵磁線圈的磁通勢Fm和空氣隙的磁壓降Um0。

圖14-11例14-1題圖

解為了便于分析，常用電路圖的概念畫出相應的磁路圖，如圖14-11(b)所示。

各部分磁阻可由式(14-15)求?。?/p>

空氣隙磁阻

鐵芯磁阻

由式(14-14)和式(14-13)可得

線圈的磁通勢

Fm=Um=Φ(Rm0+Rm)=10－4(1.59×106+1.59×106)=318A

空氣隙的磁壓降

Um0=ΦRm0=10－4×1.59×106=159A

由本例的計算結(jié)果可見，空氣隙雖然很短，它只占磁路平均長度的千分之一，但空氣隙的磁壓降卻占總磁通勢的一半。這是由于空氣的磁導率比鐵磁物質(zhì)的磁導率小得多的原因，很小的空氣隙會有很大的磁阻，因此會有大的磁壓降。恒定磁通磁路是指磁路中各勵磁線圈的電流是直流，即磁路中的磁通和磁通勢都是恒定的，有時也稱為直流磁路。

對磁路的計算一般分為兩類問題，一類是預先給定磁通(或磁感應強度)，然后按照給定的磁通和磁路的結(jié)構(gòu)及材料去求所需的磁通勢。另一類問題是預先給定磁通勢，要求求出磁路中的磁通。14.4恒定磁通磁路的計算恒定磁通磁路的線圈中不會產(chǎn)生感應電動勢。從電路的角度來看，當線圈兩端加直流電壓時，其電流只取決于線圈電阻，與磁路的性質(zhì)無關(guān)；從磁路的歐姆定律可知，磁路的磁通勢也是恒定的，但磁通的大小卻與磁路的性質(zhì)有關(guān)，磁通隨磁阻的增加而減小，而鐵磁物質(zhì)的磁阻又與磁路的飽和程度有關(guān)，是非線性的。

恒定磁通磁路的計算常分為：無分支恒定磁通磁路和有分支恒定磁通磁路的計算，在介紹各種磁路計算之前，先對有關(guān)計算作一說明。

1.磁路的長度

在磁路計算中，一般都取其平均長度(中心線長度)作為磁路的長度。

2.磁路的面積

(1)鐵磁物質(zhì)部分。

磁路中鐵磁物質(zhì)部分的截面積用磁路的幾何尺寸直接計算。若鐵芯由涂有絕緣漆的電工硅鋼片疊成時，實際鐵芯有效面積比由幾何尺寸算出的截面積要小，要考慮一個小于1的疊裝因數(shù)KFe，KFe也稱填充因數(shù)，KFe與硅鋼片的厚度、表面絕緣層的厚度及疊裝的松緊程度有關(guān)，一般在0.9~0.97之間。

(2)空氣隙部分。

磁路中有空氣隙時，氣隙邊緣的磁感應線將有向外擴張的趨勢，稱為邊緣效應，氣隙越長，邊緣效應越顯著，其結(jié)果使有效面積大于鐵芯的截面積，如圖14-12所示。

工程上一般認為，當氣隙長度不超過矩形截面短邊或圓形截面半徑的1/5時，可用下面兩式計算氣隙的有效面積。矩形截面

S0=(a+l0)(b+l0)≈ab+(a+b)l0

(14-17)

圓形截面

S0=π(r+l0)2≈πr2+2πrl0

(14-18)圖14-12氣隙的邊緣效應

以上兩式中，l0為氣隙長度，a、b為矩形截面的長和寬，r為圓形截面的半徑。通常當氣隙長度很小時，則可用鐵芯的截面積替代空氣隙的截面積進行計算。14.4.1恒定磁通無分支磁路計算

1.已知磁通求磁通勢

無分支磁路的主要特點在于不計及漏磁通時，磁路中處處都有相等的(主)磁通Φ，如已知磁通和各磁路段的材料及尺寸，可按下述步驟去求磁通勢：

(1)將磁路按材料和截面積的不同分成若干段，要求每一段磁路具有相同的材料和截面積。

(2)按磁路所給尺寸分別計算各段的截面積和平均長度。

(3)根據(jù)已知的磁通計算各磁路段的磁感應強度

,由于各磁路段截面積不同，因此磁感應強度就不同。

(4)計算相應各段磁路的磁場強度H。

需查閱對應鐵磁材料的基本磁化曲線或磁化數(shù)據(jù)表，求得每一磁路段的磁場強度。

對于空氣隙，可按下式計算磁場強度

(5)求每一磁路段的磁壓降Um(=Hl)。(14-19)

(6)由式(14-13)求出所需磁通勢Fm(=NI)。

將上述計算步驟歸納如下：

下面用例題來說明磁路的計算。B－H曲線

例14-2

圖14-13(a)所示磁路，其尺寸(mm)已標明在圖上，所用硅鋼片的基本磁化曲線如圖14-13(b)所示，設(shè)填充因數(shù)KKe=0.90，勵磁繞組的匝數(shù)為120，求在該磁路中獲得Φ=15×10－4Wb所需的電流。

圖14-13例14-2題圖

解

(1)該磁路為無分支磁路。磁路由硅鋼片和空氣隙構(gòu)成，硅鋼片部分有兩種截面積，故應分為三段來計算。

(2)求每段的截面積和平均長度。

鐵芯1段

鐵芯2、3段

氣隙段

(3)求每磁路段的磁感應強度。

(4)求每磁路段的磁場強度。

由圖14-13(b)所示曲線查得

H1=170A/m,H2=4500A/m

由式(14-19)得空氣隙的磁場強度

H0=0.8×106B0=10.53×105A/m

(5)求每磁路段的磁壓降

Um1=H1l1=170×0.16=27.2A

Um2=H2l2=4500×0.398=1791A

Um0=H0l0=10.53×105×0.002=2106A

(6)求總磁通勢。

Fm=Um1+Um2+Um0=27.2+1791+2106=3924A

由于Fm=NI，故勵磁電流

本例說明：氣隙雖小，但對磁路的磁壓分配影響很大；l2部分的截面積較小，在磁通Φ=15×10－4Wb作用下已處于飽和狀態(tài)(見圖14-13(b))，使這部分硅鋼片的磁導率顯著下降，故Um2較大，否則空氣隙的磁位差所占比例還要高。

例14-3

有一環(huán)形鐵芯線圈，其內(nèi)徑為10cm，外徑為15cm，鐵芯材料為鑄鋼。磁路中含有一空氣隙，其長度等于0.2cm，設(shè)勵磁線圈中通有1A的電流，如要得到0.9T的磁感應強度，試求線圈匝數(shù)。

解磁路的平均長度

從表14-1所示的鑄鋼材料查出，當B=0.9T時，對應的H1=798A/m，則

鐵芯段H1l1=798×(39.2－0.2)×10－2=311A氣隙段

總磁通勢

所需線圈匝數(shù)

2.已知磁通勢求磁通

由于磁路的非線性，各磁路段的磁阻與磁通的量值有關(guān)，在沒有求出磁路的磁通之前，不能把各磁路段的磁位差求出來。因此，對已知磁通勢求磁通問題，一般可用試探法，其計算步驟如下：

(1)先假設(shè)一個磁通值，按此磁通用已知磁通求磁通勢的計算步驟求出磁通勢。

(2)將計算所得磁通勢與已知磁通勢加以比較。修正第一次假設(shè)的磁通值，并反復修正，直到所得磁通勢與已知磁通勢相近為止。下面通過例題來說明具體的計算。

例14-4

圖14-14(a)所示磁路中，空氣隙的長度l0=1mm，磁路橫截面面積S=16cm2，中心線長度l=50cm，線圈的匝數(shù)N=1250，勵磁電流I=800mA，所用鑄鋼材料的基本磁化曲線如圖14-14(b)，求磁路中的磁通。

圖14-14例14-4題圖

解此磁路由兩段構(gòu)成，各磁路段的面積和平均長度為鑄鋼段

S1=16cm2=16×10－4m2

l1≈50cm=0.5m

氣隙段(為簡化起見，忽略空氣隙的邊緣效應)

S0≈16×10－4m2

l0=0.1cm=1×10－3m

磁路中的磁通勢為

Fm=NI=1250×800×10－3=1000A由于空氣隙的磁阻較大，用試探法時可暫設(shè)整個磁路磁通勢都用于空氣隙中，這樣計算出的磁通作為第1次試探值，記為Φ′，即

由于設(shè)S1=S0，故得磁感應強度為

由圖(b)查得

H′=1410A/m空氣隙中的磁場強度

磁通勢為

由于，則要進行第2、3…次試探，直至誤差小于某一給定值為止。從第2次試探起，各次試探值與前一次試探值之間可按下式聯(lián)系起來。

各次試探結(jié)果見表14-3。表14-3例14-4用表由表14-3可見，可將第4次試探值作為最后的結(jié)果，即所求的磁通

Φ=Φ4=13.11×10－4Wb

另外，還可用試探法和作圖相結(jié)合的方法，以便更快、更準確地找到所求的磁通。如圖14-15所示，如果用試探法已求得Φ1、Φ2、Φ3，都與所求的磁通Φ有偏差，可作出Fm—Φ

曲線，將a1、a2、a3點用光滑的曲線連接起來，在這條曲線上，便可得到所求的磁通Φ，也就是a點所對應的磁通。

顯然,試探法實質(zhì)上是已知磁路磁通求磁通勢的多次計算方法。圖14-15Fm—Φ曲線

14.4.2恒定磁通對稱分支磁路計算

對稱分支磁路在實際應用中很常見，如圖14-7(b)所示的接觸器磁路、圖14-7(d)所示的電機磁路，都屬于這類電路。這種磁路存在著對稱軸，如圖14-16所示磁路中的AB軸。AB軸兩側(cè)磁路的幾何形狀完全對稱，磁路的磁通也是對稱的。當已知對稱分支磁路的磁通求磁通勢時，只需要取對稱軸的一側(cè)磁路計算(將對稱分支磁路轉(zhuǎn)化成了無分支磁路)，即可求出整個磁路所需的磁通勢。圖14-16對稱分支磁路需要注意的是，取對稱軸一側(cè)磁路計算時，中間鐵芯柱(對稱軸)的面積為原鐵芯柱的一半，中間柱(對稱軸)的磁通也減為原來的一半。但磁感應強度和磁通勢卻保持不變。這種磁路的計算也有兩類問題：一類是已知磁通求磁通勢；另一類是已知磁通勢求磁通。具體的計算步驟及方法同無分支磁路。

例14-5

對稱分支鑄鋼磁路如圖14-16所示，欲在中間鐵芯柱產(chǎn)生磁通Φ=1.8×10－4Wb的磁通，求所需磁通勢。圖中單位為cm。

解以AB為對稱軸，取對稱軸的一側(cè)磁路進行計算，如圖14-16(b)所示，將對稱分支磁路的計算轉(zhuǎn)化為無分支磁路的計算，則圖(b)中磁路的磁通為原來的一半，即

由磁路計算步驟計算如下：

(1)無分支磁路的截面、材料相同，為一段磁路段。

(2)磁路段的截面、平均長度分別為

S=1×1=1cm2=10－4m2

l=2(7.5－1)+2(10－1)=31cm=0.31m

(3)磁路段磁感應強度為

(4)由表14-1，得

H=798A/m

(5)磁路的磁壓降為

Um=Hl=798×0.31=247.4A

(6)磁通勢為

Fm=Hl=247.4A

對于有分支不對稱磁路的計算比較復雜，但分析的依據(jù)仍然是磁通連續(xù)性原理和安培環(huán)路定律以及各磁路段材料的磁化曲線和結(jié)構(gòu)尺寸。上節(jié)介紹的是直流激勵情況下鐵芯線圈的穩(wěn)定狀態(tài)，當線圈電壓給定，其電流決定于線圈電阻，與磁路情況無關(guān)，恒定磁通的磁路中沒有功率損耗。本節(jié)介紹正弦激勵下鐵芯線圈電路的穩(wěn)定狀態(tài)，由于電流是交變的，會引起感應電壓，電路中的電壓、電流關(guān)系與磁路有關(guān)，且交變的磁通使鐵芯交變磁化，產(chǎn)生功率損耗，情況要復雜得多。14.5交流鐵芯線圈電路14.5.1線圈電壓和磁通的關(guān)系

如圖14-17所示的交流鐵芯線圈，忽略線圈電阻及漏磁通，并選擇線圈電壓u、電流i、磁通Φ及感應電動勢e的參考方向如圖所示。

根據(jù)電磁感應定律，得

圖14-17交流鐵芯線圈

其中N為線圈的匝數(shù)。由式(14-21)可見，當電壓為正弦量時，磁通也是正弦量，為了得到它們之間的關(guān)系，設(shè)磁通

Φ=Φmsinωt

則

可見電壓的相位比磁通超前90°，并得感應電壓的有效值與主磁通的最大值的關(guān)系為

(14-22)

(14-23)式(14-23)是常用的重要公式，該式表明：

(1)電源的頻率及線圈的匝數(shù)一定時，若線圈電壓的有效值U不變，則主磁通的最大值Φm不變。

(2)線圈電壓的有效值改變時，Φm與U成正比地改變，而與磁路情況無關(guān)，但電流則與磁路有關(guān)。

(3)式(14-23)是在不計線圈電阻和漏磁通的情況下推得的，當給定正弦電壓激勵時，磁通最大值已基本確定，并

基本保持為正弦波形。14.5.2交變磁通電流和磁通的波形

在正弦電壓作用下，鐵芯線圈中的電流i和磁通Φ不是線性關(guān)系，i與Φ的關(guān)系可根據(jù)基本磁化曲線求得，由圖14-17，有Φ=BS，而勵磁電流i=Hl/N，所以只要把鐵芯的基本磁化曲線上B的坐標乘以S，H的坐標乘以l/N，即可獲得表示鐵芯特性的Φ—i曲線，如圖14-18(a)所示，其形狀與B—H曲線相似。圖14-18交變磁通電流和磁通的波形由前述電壓與磁通波形關(guān)系可知，當電壓為正弦波時，磁通也為正弦波，但電流卻是具有尖頂?shù)姆钦也?，這種波形畸變顯然是由Φ—i曲線的非線性引起的，其實質(zhì)是由于磁飽和所造成的。電壓越高，磁通越大，鐵芯飽和越嚴重，則電流波形畸變后變得更尖。若電壓與磁通的振幅都較小，鐵芯沒有飽和，則電流波形將更接近正弦波。

當電流作正弦變化且工作至飽和區(qū)域時，磁通具有平頂波形，如圖14-18(b)所示。

由圖14-18可見，由于Φ—i曲線的對稱性，非正弦的電流和磁通波形都是奇諧波函數(shù)，主要含有三次諧波，且隨著鐵芯飽和程度的提高，三次諧波分量就越顯著。14.5.3功率損耗

在交流鐵芯線圈中，如果磁通隨時間變化，鐵磁物質(zhì)的磁滯現(xiàn)象會產(chǎn)生磁滯損耗，電磁感應現(xiàn)象會在鐵磁物質(zhì)中產(chǎn)生渦流，引起渦流損耗。通常把磁滯損耗和渦流損耗的總和稱為磁損耗，或稱為鐵芯損耗，簡稱鐵損。

1.磁滯損耗

磁滯損耗功率與鐵磁物質(zhì)磁滯回線的面積成正比。對同一鐵芯，磁滯回線的形狀與磁感應強度的最大值Bm有關(guān)。工程上常用下式計算磁滯損耗。

式中Bm為磁感應強度最大值，單位為T；n由Bm值決定，當Bm<1T時，取n=1.6；當Bm>1.6T時，取n=2;f為工作頻率，單位為Hz；σn是與材料有關(guān)的系數(shù)，取決于所用單位；V為鐵芯體積，單位為m3；Ph為磁滯損耗，單位為W。(14-24)

2.渦流損耗

鐵芯中的磁通變化時，不僅線圈中產(chǎn)生感應電動勢，鐵芯中也產(chǎn)生感應電動勢，鐵芯中的感應電動勢使鐵芯中產(chǎn)生旋渦狀的電流，稱為渦流。渦流在鐵芯中垂直于磁通方向的平面內(nèi)流動，如圖14-19所示，圖(a)為實心鐵芯，圖(b)為鋼片疊裝鐵芯。

渦流會消耗能量使鐵芯發(fā)熱，這種能量損耗稱為渦流損耗。

工程中常用下式計算渦流損耗

(14-25)圖14-19鐵芯中的渦流式中σe為與鐵芯材料的電阻率、厚度及磁通波形有關(guān)的系數(shù)，Pe為渦流損耗，單位為W。

在電機、變壓器等電磁設(shè)備中，常用兩種方法減少渦流損耗，一是增大鐵芯材料的電阻率，比如可在鋼片中滲入硅使其電阻率大為提高。二是把鐵芯沿磁場方向剖分為許多薄片相互絕緣后再疊合成鐵芯，可增大鐵芯中渦流路徑的電阻。這兩種方法都能有效地減少渦流。在工頻下采用的硅鋼片有0.35mm和0.5mm兩種規(guī)格，而在高頻時常采用鐵粉芯或鐵淦氧磁體，這些材料有更大的電阻率。而在有些場合，渦流也是有用的，例如在冶金、機械生產(chǎn)中所用的高頻熔煉、高頻焊接以及各種感應加熱等都是渦流原理的應用。

鐵損會使鐵芯發(fā)熱、溫度升高，對電機、變壓器的運行性能影響很大，在實際應用中應采取有效措施，盡量減少鐵損。14.5.4交流鐵芯線圈的電路模型

含鐵芯的線圈是常見的電路器件(元件)，由于鐵磁物質(zhì)的磁飽和性，磁滯性及鐵損現(xiàn)象的存在，對其難于建立

準確的電路模型而進行精確的分析，本節(jié)利用等效正弦波的方法建立鐵芯線圈在交流電路中的近似電路模型，以便于用相量法進行分析計算。

1.忽略線圈電阻和漏磁通的作用

當圖14-20(a)所示的鐵芯線圈中通以交變電流時，其中便有交變磁通。

假設(shè)線圈電阻上電壓為uR，漏磁通在線圈上的感應電壓為uσ，主磁通在線圈上的感應電壓為u。

當忽略了線圈電阻和漏磁通時，則有線圈端電壓u1≈u。圖14-20鐵芯線圈的電壓電流關(guān)系

當線圈兩端電壓u1為正弦量時，由于，主磁通Φ也是正弦量，由圖14-18可知，此時電流為非正弦量，為簡化計算便于應用相量法，采用等效正弦電流替代實際非正弦電流，其條件是兩者的有效值相等，且有功功率不變。設(shè)主磁通Φ=Φmsin(ωt)，則

其中，N為線圈的匝數(shù)，則感應電壓的有效值

式中Bm為磁感應強度最大值。由此得到圖14-20(b)所示的相量圖，圖中等效電流相量有兩個分量，分量與電壓相量同相(用來計及鐵芯損耗)，為電流的有功分量；分量與磁通相量

同相，滯后電壓的相位為π/2，稱為鐵芯的磁化電流，為勵磁電流的無功分量。通常>>

,α非常小，稱為損耗角。這樣便得到了圖14-20(c)所示的等效電路模型。

等效電路模型由兩條并聯(lián)支路組成，一條支路為電導G0，另一支路為電感L0。假設(shè)P、Q分別表示鐵芯的有功功率和無功功率，則有

P=IaU，Q=IrU

得

P和Q與Bm的關(guān)系是比較復雜的，按交變磁通磁路的觀點才可嚴格計算，由式(14-26)可見，一般來說電導G0和電感L0都不是常數(shù)，而是隨Bm或U而變，故在等效電路模型中均用非線性元件表示。(14-26)

2.計及線圈電阻和漏磁通的作用

線圈電阻R上的電壓

漏磁通產(chǎn)生的感應電壓

式中Lσ=ψσ/I為漏電感，由于漏磁通主要經(jīng)過空氣閉合，可認為ψσ與I之間為線性關(guān)系，漏電感Lσ可視為常數(shù)，則

(14-27)式中，為線圈電阻上的電壓，對應的損耗PCu=RI2，稱為銅損；為漏磁通產(chǎn)生的感應電壓；為主磁通的感應電壓。相應的電路模型及相量圖如圖14-21所示。圖中UR和Uσ一般僅為U的長度的百分之幾，圖中所畫是有意放大的。

圖14-21鐵芯線圈的電路模型及相量圖

例14-6

有一鐵芯線圈，加電壓u=311cos314tV，其中電流i=0.8cos(314t－85°)+0.25cos(942t－105°)A，電流不為正弦量，試求等效正弦電流。

解

(1)等效正弦電流的有效值等于非正弦周期電流的有效值，則

(2)等效正弦電流的有功功率等于非正弦周期電流的有功功率，則

(3)求正弦電流與正弦電壓之間的相位差。由于P=

UIcosφ,則

得等效正弦電流為

例14-7

已知鐵芯線圈電阻為0.1Ω,漏磁感抗為0.8Ω，外加交流電壓U1=100V，測得電流I=10A，有功功率P=200W,試求線圈的銅損、鐵損，主磁通產(chǎn)生的感應電壓U和磁化電流Ir。

解鐵芯線圈的電路模型如圖14-22所示。

鐵損

PFe=P－PCu=P－RI2=200－0.1×102=190W圖14-22例14-7題圖功率因數(shù)

則φ=arccos0.2=78.5°

取相量圖如圖

14-22所示。

由式(14-27)，得主磁通產(chǎn)生的感應電壓為

得U=92V由相量圖，得磁化電流

Ir=Isin78.1°=10sin78.1°=9.8A

相量圖中將放大了，以便于看清楚各相量間關(guān)系。

1.具有空氣隙的鐵芯線圈如圖14-23所示，鐵芯由鑄鋼制成，尺寸單位為cm，若勵磁線圈的匝數(shù)為1764，試求線圈內(nèi)通過多大電流時，在空氣隙中才能產(chǎn)生0.00144Wb的磁通。

提示：這是一個無分支磁路，已知磁通，求磁通勢的問題。首先將磁路分段，計算各段的截面積和長度；由B=Φ/S計算各段的磁感應強度；根據(jù)鑄鋼的磁化數(shù)據(jù)表(表14-1)查出對應各段的磁場強度，最后