《電路分析基礎(chǔ)》課件3第8章

8.1引言8.2正弦波與相量8.3頻域下的三個基本元件

8.4頻域下的電路定律

8.5RLC串聯(lián)與RLC并聯(lián)電路

8.6簡單電路的分析

8.7復(fù)雜電路的分析

8.8相量圖分析

*8.9正弦穩(wěn)態(tài)電路的計算機(jī)分析

本章小結(jié)思考題習(xí)題8

到目前為止，討論的電路都是直流電源作為激勵。從本章開始，將要研究激勵電源為正弦波的電路。從前面兩章講述的一階電路和二階電路的知識可知，電路的響應(yīng)由兩部分構(gòu)成，即自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)。由于自由響應(yīng)的形式是含有負(fù)指數(shù)的，因此當(dāng)t→∞時，自由響應(yīng)將會趨于零，因此，自由響應(yīng)也稱為暫態(tài)響應(yīng)。當(dāng)激勵是直流電源時，強(qiáng)迫響應(yīng)也是常數(shù)，由于t→∞只剩下強(qiáng)迫響應(yīng)了，因此這時的強(qiáng)迫響應(yīng)就稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，即直流穩(wěn)態(tài)。8.1引言如果輸入正弦電源呢？如圖8-1所示，當(dāng)電源電壓uS=Usmcosωt時，響應(yīng)u0也由自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)組成。

自由響應(yīng)與輸入電源是無關(guān)的，它將隨著時間的增加而消失。這時的強(qiáng)迫響應(yīng)與激勵電源的形式是相同的，也是同頻率的正弦波，即u0=uof=Uomcos(ωt+θ)，也稱為正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。也就是說，正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是微分方程的特解，正弦穩(wěn)態(tài)分析就是要解決這個特解的問題。圖8-1動態(tài)電路的激勵與響應(yīng)用時域的方法來求正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是非常麻煩的。本章將用變換的方法來進(jìn)行正弦穩(wěn)態(tài)分析，這就是相量法。從本章開始，專門研究正弦函數(shù)輸入下的穩(wěn)態(tài)解，即特解。為什么要用較大篇幅研究正弦穩(wěn)態(tài)電路，即我們常稱為交流電路呢？這主要基于以下原因：

(1)正弦交流電應(yīng)用廣泛，無論是工廠、照明、家用電器等，幾乎都是交流電。

(2)正弦交流電容易產(chǎn)生、傳輸，需要直流時可方便地將交流變?yōu)橹绷鳌?/p>

(3)正弦波是一個基本信號，借助于傅里葉級數(shù)，可以把非正弦周期信號分解為各種頻率不同的正弦波。

因此，正弦穩(wěn)態(tài)分析具有廣泛的理論及實(shí)際意義。8.2.1正弦信號

通常把sin函數(shù)和cos函數(shù)統(tǒng)稱為正弦函數(shù)或正弦信號。考慮正弦電壓

u=Umsin(ωt+φ)

(8-1)

其中，Um為正弦波的振幅即最大值；ω為角頻率簡稱頻率，ω=2πf，單位為rad/s；φ稱為初相或相位，即正弦波的起點(diǎn)。

如u1=10sin(ωt+45°)，u2=20cos(ωt+45°)，畫出波形如圖8-2所示。8.2正弦波與相量圖8-2正弦波正弦波的振幅、頻率、初相稱為正弦波的三要素，這三個量確定后，正弦波就確定了。反之，在正弦波的圖形中找出這三個量，正弦波的表達(dá)式就寫出來了。

兩個同頻率的正弦波的初相之差稱為相位差。

為了計算出兩個正弦波的相位差，必須先將正弦波轉(zhuǎn)換成sin函數(shù)或cos函數(shù)，相關(guān)的轉(zhuǎn)換公式為

sin(ωt±180°)=-sinωt

cos(ωt±180°)=-cosωt

sin(ωt±90°)=±cosωt

cos(ωt±90°)=sinωt如圖8-2所示，兩個正弦波u1與u2的相位差，可以將u1化成cos，即

u1=10sin(ωt+45°)=10cos(ωt+45°-90°)

=10cos(ωt-45°)

相位差為θ=-45°-45°=-90°。

也可以將u2轉(zhuǎn)化成sin函數(shù)，即

u2=20cos(ωt+45°)=20sin(ωt+45°+90°)

=20sin(ωt+135°)相位差為θ=45°-135°=-90°，表示u1滯后u290°，或u2超前u190°。相位差與起始點(diǎn)無關(guān)。

正弦電壓或電流的另一個重要特征是它的有效值。在一個周期時間里，若交流電量與直流電量有相同的光、熱等效應(yīng)，則對應(yīng)的直流電量的數(shù)值稱為交流電量的有效值。設(shè)有兩個相同的電阻R，分別通以周期電流i和直流電流I。當(dāng)周期電流i流過電阻R時，該電阻在一個周期T內(nèi)所消耗的電能為

當(dāng)直流電流I流過電阻R時，在相同的時間T內(nèi)消耗的電能與上式相同，即

或

(8-2)

在正弦情況下，可以計算得

(8-3)即正弦量的有效值等于正弦量的最大值除以。以后都用相應(yīng)的大寫字母表示正弦交流電量的有效值。工程上，當(dāng)談到正弦交流電量大小時，若無特殊說明，均指有效值。例如，日常用的正弦交流電壓為220V，是指有效值，其最大值。常用的交流電壓表、電流表測量的也是它們的有效值。8.2.2復(fù)數(shù)運(yùn)算

在正弦穩(wěn)態(tài)分析中，正弦量被變換為相量表示。因?yàn)橄嗔勘日伊扛菀子嬎悖嗔渴怯脕肀硎菊伊康膹?fù)數(shù)，所以有必要對復(fù)數(shù)運(yùn)算進(jìn)行復(fù)習(xí)。

設(shè)X為一復(fù)數(shù)，a和b分別為其實(shí)部和虛部，則

X=a+jb

(8-4)其中，，為虛數(shù)單位。上式為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式。X也可以寫成極坐標(biāo)形式或指數(shù)形式

(8-5)圖8-3復(fù)數(shù)X的矢量表示復(fù)數(shù)X還可以在平面上用矢量表示，如圖8-3所示。矢量的長度為X的模r，矢量與實(shí)軸的夾角是X的輻角。a、b、r和之間的關(guān)系可以從圖8-3中得出

(8-6)

(8-7)

所以，X也可以寫為

設(shè),

,

,復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算為加法運(yùn)算：

X1+X2=(a1+a2)+j(b1+b2)

(8-8)

減法運(yùn)算：

X1-X2=(a1-a2)+j(b1-b2)

(8-9)

乘法運(yùn)算：

(8-10)

除法運(yùn)算：

(8-11)

倒數(shù)運(yùn)算：

(8-12)

復(fù)數(shù)共軛：

(8-13)

從以上這些運(yùn)算可以總結(jié)出其基本規(guī)律：

復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算，先化為代數(shù)式，再運(yùn)算。復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，先化為指數(shù)式，再運(yùn)算。因此，在復(fù)數(shù)的運(yùn)算中，常需進(jìn)行復(fù)數(shù)兩種形式間的轉(zhuǎn)換。

【例8-1】

已知：A1=10+j3,A2=-2+j6,B1=10∠30°,B2=2∠-170°，計算：。

解由于復(fù)數(shù)可以用矢量表示，因此復(fù)數(shù)的加減也可以用幾何作圖來實(shí)現(xiàn)。設(shè)有復(fù)數(shù)A和B，可以用兩種方法作圖進(jìn)行加減運(yùn)算。

方法一是平行四邊形法則，A+B的和如圖8-4所示。如果是A-B，應(yīng)寫成A+(-B)，這樣又變成了A加上-B。其中-B是將B旋轉(zhuǎn)180°的矢量。A-B的差如圖8-4所示。

方法二是多角形法則，即將所有要相加的矢量頭尾相連(有箭頭的端稱為頭，另一端稱為尾)，最后的頭尾相連就是多個矢量相加的結(jié)果。設(shè)有三個矢量A、B、C，將它們作平移后頭尾相連，再將最前矢量的尾和最后矢量的頭相連就是和A+B+C。如圖8-5所示。圖8-4平行四邊形法則圖8-5多角形法則平行四邊形法則對求兩個矢量的相加很方便，但對多個矢量的相加就顯得比較麻煩。而多角形法則對多個矢量的相加就十分容易。所以，在正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析中，多采用后者。

另外，還有一個特殊的復(fù)數(shù)，即

1∠90°=ej90°=cos90°+jsin90°=j

(8-14)(8-15)

從以上可知，復(fù)數(shù)j實(shí)際上就是模為1，角度為90°的矢量。進(jìn)一步可知，jA就是將矢量A正方向旋轉(zhuǎn)90°，其模不變。-jA就是將矢量A反方向旋轉(zhuǎn)90°，如圖8-6所示。圖8-6jA和-jA的矢量8.2.3相量

正弦函數(shù)的相量是含幅值和相角的復(fù)數(shù)。

相量的概念可以用歐拉公式來描述：

e±jθ=cosθ±jsinθ

(8-16)

它給出了正弦和余弦函數(shù)的另一種表示方法。將余弦函數(shù)作為指數(shù)的實(shí)數(shù)部分，將正弦函數(shù)作為指數(shù)的虛數(shù)部分，即

cosθ=Re［ejθ］

(8-17)

sinθ=Im［ejθ］

(8-18)其中，Re表示取實(shí)部；Im表示取虛部。

在分析正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的過程中，采用余弦函數(shù)，利用式(8-17)，正弦電壓可以表示為

(8-19)

或

(8-20)在上式中，是一個包含給定正弦函數(shù)的幅值和相角的復(fù)數(shù)，稱這個復(fù)數(shù)為給定正弦函數(shù)的相量，則

(8-21)其中，符號

讀作“的相量變換”。而反相量變換記為

(8-22)

或簡寫為

(8-23)相量變換可以將時域的正弦量變換到復(fù)數(shù)域，有時也稱為頻域。式(8-23)將時域和頻域聯(lián)系起來，也就是說在時域進(jìn)行的三角函數(shù)運(yùn)算，可以變換到頻域進(jìn)行復(fù)數(shù)的運(yùn)算，運(yùn)算的結(jié)果再反變換到時域。

這種變換分析方法在電路、信號與系統(tǒng)的分析中占有重要的地位。在后續(xù)課程“信號與系統(tǒng)”中還要討論其他的變換方法。相量變換法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的基本思路可用圖8-7說明。上面三個方框表示正弦穩(wěn)態(tài)電路的時域分析，當(dāng)正弦激勵時，正弦穩(wěn)態(tài)分析就是求解微分方程的特解，同時要進(jìn)行復(fù)雜的三角函數(shù)運(yùn)算，計算十分復(fù)雜。下面三個方框示意正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量法分析，正弦電壓、電流進(jìn)行相量變換后變成相應(yīng)的相量，時域網(wǎng)絡(luò)變換成頻域網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)行的是復(fù)數(shù)計算。顯然相量法分析計算簡化，規(guī)律性強(qiáng)。在下面的分析中可以看到，它將把電阻電路與正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析方法統(tǒng)一起來。圖8-7相量變換法的基本思路應(yīng)用相量變換法進(jìn)行正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析，應(yīng)注意以下問題。

(1)本書的反相量變換采用的是取實(shí)部，即

(8-24)

也有的書采用取虛部，即

(8-25)這兩種方法實(shí)質(zhì)上是相同的。但在同一問題中不允許采用兩種標(biāo)準(zhǔn)，即要么采用取虛部，要么采用取實(shí)部。兩種結(jié)果沒有什么區(qū)別。

(2)相量分為兩種表示形式，一種稱最大值相量，即相量的模取最大值，如，相量帶有下標(biāo)“

m”，這在國外教材上用得較多。在我國常用有效值相量，即相量的模取有效值，如。顯然，它們之間相差

倍，并沒有本質(zhì)的差別。只是在進(jìn)行反相量變換時，正弦量的最大值是。在本書中，一般使用有效值相量。

(3) 相量與正弦量是一一對應(yīng)的關(guān)系，即一種變換的關(guān)系。相量與正弦量并不是相等的關(guān)系。因?yàn)橄嗔渴菑?fù)數(shù)或矢量，是頻域的表示形式。正弦量是時間函數(shù)，是時域的表示形式。

既包含時域又包含頻域的表達(dá)式是沒有實(shí)際物理意義的。(4)正弦量變換成相量的運(yùn)算，其先決條件是：正弦量必須是同頻率的。即相量的運(yùn)算是在同頻率下進(jìn)行的，不同頻率的正弦量不可變換成相量運(yùn)算。

(5)為了表達(dá)和運(yùn)算方便，對電路的電壓或電流作如下規(guī)定：

用小寫字母u、i表示時間函數(shù)；用大寫字母U、I表示有效值；用帶下標(biāo)“m”的量Um、

Im表示最大值；用大寫字母上帶“·”的量、表示相量。所以在書寫時應(yīng)注意這些差別。

【例8-2】

已知i1=5sin(ωt+30°)A,i2=-8cos(ωt-45°)A，i3=-6sin(ωt-120°)A。求i=i1+i2+i3。

解先進(jìn)行相量變換

其最大值相量：

進(jìn)行反相量變換，有

i=2.64cos(ωt-39.37°)A

自測題8-1

若電流i1=10sin(100t+30°)A，i2=20sin(100t-10°)A，則i1的相位比i2超前

。

(Ａ)20°

(Ｂ)-20°

(Ｃ)40°(Ｄ)-40

自測題8-2

若正弦電壓源有效值U1=U2=100V，它們順向串聯(lián)后的電壓有效值與反向串聯(lián)后的電壓有效值相等，則和的相位差可能為

。

(Ａ)0

(Ｂ)±

(Ｃ)±

(Ｄ)其他

自測題8-3

在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，若兩元件串聯(lián)時，元件上的電壓分別為

則總電壓u=u1+u2=

V。

(Ａ)173.2∠45°(Ｂ)193.2∠45°

(Ｃ)j173.2

(Ｄ)51.8∠45°

自測題8-4

在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，下列各式錯誤的是

。

(Ａ)

(Ｂ)

(Ｃ)

(Ｄ)U＝50sin(

t＋45°)V

I＝6Ａu＝30cos(200t＋40°)V

自測題8-5

在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，下列各式正確的是

。

(Ａ)I＝30∠-30°Ａ

(Ｂ)

(Ｃ)

(Ｄ)上節(jié)引入了相量的概念，只要解決了電壓、電流的頻域表示形式，也就解決了電源的相量表示。但如何將時域電路變換為頻域電路呢？本節(jié)將討論這個問題，即頻域下電阻元件、電感元件和電容元件的伏安關(guān)系。

8.3.1電阻元件

如圖8-8(a)所示電阻元件，由歐姆定律可知，如果電阻上的電流為正弦函數(shù)iR=Imcosωt，電阻兩端的電壓為

uR=RiR=RImcosωt=Umcosωt8.3頻域下的三個基本元件其中，電壓和電流的最大值與有效值為

Um=RIm,U=RI

(8-27)

相量變換為

所以，有

(8-28)這就是電阻兩端電壓和電流的關(guān)系。圖8-8(b)為頻域下電阻的電路圖。式(8-28)包含了一個重要信息：電阻兩端的電壓和電流之間沒有相位移動，也就是說，電壓和電流是同相位的。可以用圖8-8(c)的矢量圖(也稱相量圖)表示。圖8-8電阻元件的時域和頻域電路8.3.2電感元件

下面推導(dǎo)電感的電流相量與它兩端的電壓相量之間的關(guān)系。如圖8-9(a)所示電感元件，如果電感上的電流為正弦函數(shù)iL=Imcosωt，則電感兩端的電壓為

(8-29)其中，電壓和電流的最大值與有效值為

Um=ωLIm,U=ωLI

(8-30)

相量變換為，則電感電壓為

因?yàn)?/p>

，所以有

(8-31)

這就是電感兩端電壓和電流的關(guān)系。圖8-9(b)為頻域下電感的電路圖。從式(8-31)中可看出，電壓和電流之間的相位正好相差90°，也就是說，電壓超前電流90°或電流滯后電壓90°，其關(guān)系可以用圖8-9(c)的相量圖表示。圖8-9電感元件的時域和頻域電路由式(8-30)，可定義

(8-32)

式中，XL稱為電感的感抗，單位為Ω。顯然感抗與電阻相當(dāng)，不同的是感抗XL是頻率的函數(shù)，并與ω成正比。當(dāng)一定大小的電流通過時，頻率越高，感抗越大，電壓越大。這是因?yàn)轭l率越高，電流和相應(yīng)的磁通變化越快，自感電壓就越大的緣故。因此在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，感抗體現(xiàn)了電感元件反抗正弦電流通過的作用。有兩種極端情況：

(1)當(dāng)ω→0時，XL→0，即對于直流電流，電感元件相當(dāng)于短路。這與前面介紹的直流穩(wěn)態(tài)下電感等效于短路的概念是一致的。

(2)當(dāng)ω→∞時，XL→∞，即電感元件對極高頻率的電流有極強(qiáng)的抑制作用，極限情況下相當(dāng)于開路。因此，在電子線路中，常用電感線圈作為高頻扼流圈。

8.3.3電容元件

與推導(dǎo)電感的電流相量與它兩端的電壓相量之間的關(guān)系類似。如圖8-10(a)所示電容元件，如果電容上的電壓為正弦函數(shù)uC=Umcosωt，則流過電容的電流為

(8-33)其中，電壓和電流的最大值與有效值為

(8-34)

相量變換為，則電感電壓為

因?yàn)?，所以?/p>

(8-35)或

(8-36)

這就是電容兩端電壓和電流的關(guān)系。圖8-10(b)為頻域下電容的電路圖。從式(8-35)中可以看出電壓和電流之間的相位正好相差90°，也就是說，電流超前電壓90°或電壓滯后電流90°?？梢杂脠D8-10(c)的相量圖表示。圖8-10電容元件的時域和頻域電路由式(8-34)，可定義

(8-37)

式中，XC稱為電容的容抗，單位為Ω。顯然容抗與感抗相似，XC是頻率的函數(shù)，但與ω成反比。在一定大小的電壓作用下，頻率越高，容抗越小，電流越大。這是因?yàn)轭l率越高，電壓變化越快，在同樣微小的時間內(nèi)移動的電荷越多的緣故。因此在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，容抗體現(xiàn)了電容元件反抗正弦電流通過的作用。有兩種極端情況：

(1)當(dāng)ω→0時，XC→∞，即對于直流電流，電容元件相當(dāng)于開路。在電子線路中，常用電容元件作為隔斷直流之用。(2)當(dāng)ω→∞時，XC→0，即電容元件對極高頻率的電流有極大的導(dǎo)流作用，極限情況下，相當(dāng)于短路。利用這一特點(diǎn)，在電子線路中，常用電容作為旁路高頻電流。

到目前為止，我們得到了R、L、C三個基本元件在頻域的伏安關(guān)系。表8-1總結(jié)了這些特性。表8-1

RLC元件的時域和頻域特性

【例8-3】

電壓為u=12cos(60t+45°)V加到0.1H電感元件上，求通過電感的穩(wěn)態(tài)電流。

解電壓相量為，ω=60rad/s，于是

反相量變換到時域的電流為

i=2cos(60t-45°)A

自測題8-6

在關(guān)聯(lián)方向下，元件的下列伏安關(guān)系不正確的是

。

(Ａ)U=ωLI(Ｂ)

(Ｃ)

(Ｄ)

自測題8-7

電感元件上的電壓相位滯后其電流90°，電容元件上的電流相位滯后其電壓90°，這個結(jié)論

成立。

(Ａ)根本不可能

(Ｂ)電容、電感為非線性元件時

(Ｃ)電感電流和電壓，電容電流和電壓為非關(guān)聯(lián)參考方向時

(Ｄ)電感電流和電壓，電容電流和電壓為關(guān)聯(lián)參考方向時

自測題8-8

已知電容元件的電流i=10sin(ωt+60°)，在關(guān)聯(lián)方向下，其電壓為

。

(Ａ)

(Ｂ)

(Ｃ)

(Ｄ)

自測題8-9

某元件上測得的電壓和電流波形如圖8-11所示，則該元件為

。

(Ａ)電阻元件(Ｂ)電感元件

(Ｃ)電容元件(Ｄ)不能確定圖8-11自測題8-98.4.1阻抗

8.2節(jié)討論三個基本元件伏安關(guān)系的相量形式，即

(8-38)

如果表示為電壓相量與電流相量之比，可寫成

(8-39)8.4頻域下的電路定律將這三種表達(dá)式統(tǒng)一起來，可寫成

(8-40)

其中，Z為電路元件的阻抗。上式也稱為頻域下的歐姆定律，或歐姆定律的相量形式。

阻抗定義為電壓相量與電流相量之比，單位為Ω。

正弦穩(wěn)態(tài)電路中的阻抗與直流電阻電路中的電阻的作用相當(dāng)，在電路中起反抗電流通過電路的作用。阻抗的定義還含有更多的意義，阻抗進(jìn)一步可以寫成

(8-41)

其中，阻抗的模為電壓有效值與電流有效值之比，即

(8-42)阻抗角為電壓與電流的相位差，即

φZ=θu-θi

(8-43)

阻抗Z作為復(fù)數(shù)，式(8-41)是阻抗的極坐標(biāo)式。Z也可以用代數(shù)式表示

Z=R+jX

(8-44)

其中，R=Re［Z］是電阻，X=Im［Z］是電抗。于是

Z=R+jX=|Z|∠φZ

圖8-12阻抗三角形R、X、|Z|、φZ之間的關(guān)系為

這些關(guān)系式可以用如圖8-12所示的直角三角形來表示，這個三角形稱為阻抗三角形。

阻抗三角形表示了阻抗模、阻抗角、電阻、電抗之間的關(guān)系，是最重要的計算方法之一。8.4.2導(dǎo)納

在電阻電路中，歐姆定律有兩種形式，即

U=RI,I=GU

(8-45)

在正弦穩(wěn)態(tài)電路中的歐姆定律也有兩種形式，即

(8-46)

式中，Y為電路元件的導(dǎo)納，它是Z的倒數(shù)。導(dǎo)納定義為電流相量與電壓相量之比，是阻抗的倒數(shù)，單位為S。

正弦穩(wěn)態(tài)電路中的導(dǎo)納與直流電阻電路中的電導(dǎo)的作用相當(dāng),在電路中起導(dǎo)通電流的作用。導(dǎo)納的定義還含有更多的意義，導(dǎo)納進(jìn)一步可以寫成

(8-47)其中，導(dǎo)納的模為電流有效值與電壓有效值之比，即

(8-48)

導(dǎo)納角為阻抗角的負(fù)值，即

φY=-φZ=-(θu-θi)

(8-49)導(dǎo)納Y作為復(fù)數(shù)，式(8-47)是導(dǎo)納的極坐標(biāo)式。Y也可以用代數(shù)式表示

Y=G+jB

(8-50)其中，G=Re［Y］是電導(dǎo)，B=Im［Y］是電納，于是

Y=G+jB=|Y|∠φY圖8-13導(dǎo)納三角形G、B、|Y|、φY之間的關(guān)系為

這些關(guān)系式可以用如圖8-13所示的直角三角形來表示，這個三角形稱為導(dǎo)納三角形。

導(dǎo)納三角形表示了導(dǎo)納模、阻抗角、電導(dǎo)、電納之間的關(guān)系，是最重要的計算方法之一。

表8-2匯集了三個基本元件的阻抗和導(dǎo)納。表8-2三個基本元件的阻抗和導(dǎo)納8.4.3阻抗與導(dǎo)納的關(guān)系

阻抗與導(dǎo)納之間的關(guān)系是倒數(shù)的關(guān)系。如果將阻抗變換成導(dǎo)納，有

(8-51)

實(shí)部和虛部分別為

(8-52)如果將導(dǎo)納變換成阻抗，有

(8-53)

實(shí)部和虛部分別為

(8-54)阻抗還可以用等效電路來表示，如圖8-14(a)所示為電阻與電抗串聯(lián)電路。當(dāng)X為正時，表明元件為電感元件當(dāng)X為負(fù)時，表明元件為電容元件。導(dǎo)納也可以有相應(yīng)的等效電路，如圖8-14(b)所示為電導(dǎo)與電納并聯(lián)組成。當(dāng)B為正時，表明元件為電容元件；當(dāng)B為負(fù)時，表明元件為電感元件。顯然，兩種電路可以互相等效變換。如果將圖8-14(a)所示的串聯(lián)電路等效變換為圖8-14(b)所示的并聯(lián)電路，用式(8-52)。反之，則用式(8-54)。圖8-14阻抗和導(dǎo)納的等效電路8.4.4

KVL和KCL的相量形式

基爾霍夫定律是電路分析的依據(jù)，在正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析中也是一樣。因此必須導(dǎo)出頻域下的基爾霍夫定律。

對于KVL，時域形式為

(8-55)

設(shè)uk為正弦量，即，因此上式變?yōu)?/p>

(8-56)或

(8-57)

由于ejωt≠0，因此

(8-58)

這就是KVL的相量形式。

通過類似的推導(dǎo)，同樣可以導(dǎo)出KCL的相量形式，即

(8-59)至此，我們分別導(dǎo)出了歐姆定律和基爾霍夫定律兩條定律的相量形式，引出了阻抗和導(dǎo)納的概念。這些定律與電阻電路的同一定律的形式完全相同，其差別僅在于這里不直接用時域的電壓和電流，而是變換到頻域的相應(yīng)的相量；不用電阻和電導(dǎo)，而是用阻抗和導(dǎo)納?，F(xiàn)將電路分析中的兩大類電路的電路變量、電路定律、電路元件的伏安關(guān)系歸納如表8-3所示。從中可知，表中的各項(xiàng)形式完全相同。表8-3兩類電路分析方法的比較

結(jié)論：引入阻抗后，相量法與直流電路分析法完全一樣，即直流電路應(yīng)用的所有計算方法、定理、等效變換等可以完全用于相量法來求解正弦穩(wěn)態(tài)電路。

【例8-4】

在圖8-15所示電路中，已知

，，求Z2。解電路的總阻抗為圖8-15例8-4的電路由于

Z=Z1+Z2

因此，有

Z2=Z-Z1=10+j10-7-j6=3+j4Ω圖8-16例8-5的電路

【例8-5】

電路如圖8-16所示，求電路的等效阻抗。

解先找出電路的伏安關(guān)系式，應(yīng)用KVL，有

或

等效阻抗為

【例8-6】

二端無源網(wǎng)絡(luò)Ｎ如圖8-17所示，已知：

；ω=1rad/s；。求N的最簡等效電路。圖8-17例8-6的電路

解根據(jù)阻抗的定義

寫成代數(shù)式為

所以，，虛部為負(fù)，表明元件是電容，即有

等效電路如圖8-18(a)所示。圖8-18例8-6的解圖本題也可以用導(dǎo)納的方法找最簡電路。導(dǎo)納為

所以，G=0.0866S，R=≈11.55Ω，導(dǎo)納虛部為正，表明元件是電容，即有

等效電路如圖8-18(b)所示。

自測題8-10

一個電感線圈(電阻忽略不計)接在U＝100V，f＝50Hz的交流電源上，流過2A電流。如果把它接在U＝150V，f＝60Hz的交流電源上，則流過的電流I

＝

A。

自測題8-11

二端網(wǎng)絡(luò)端電壓，電流

，二端網(wǎng)絡(luò)的入端阻抗Z=

；等效導(dǎo)納Y=

。圖8-19自測題8-13

自測題8-12

若R、L串聯(lián)電路中，，，則R和X分別為

Ω和

Ω。(A)25(B)-25

(C)43.3

(D)-43.3

自測題8-13

在圖8-19所示正弦穩(wěn)態(tài)電路中，電流

=

。8.5.1

RLC串聯(lián)電路

RLC串聯(lián)電路是最典型的正弦穩(wěn)態(tài)電路，如圖8-20(a)所示是時域電路，如圖8-20(b)所示是頻域電路，根據(jù)KVL，列電壓方程為

(8-60)8.5

RLC串聯(lián)與RLC并聯(lián)電路其中，，電抗為

。阻抗的模為

(8-61)阻抗角為(8-62)圖8-20

RLC串聯(lián)電路在RLC串聯(lián)電路中，如果X>0，即感抗ωL大于容抗，則阻抗角φZ>0，這時電路的阻抗呈感性，電路中的電壓超前于電流。如果X<0，即感抗ωL小于容抗，則阻抗角φZ<0，電路的阻抗呈容性，電路中的電壓滯后于電流。如果X=0，即感抗ωL等于容抗，則阻抗角φZ=0，電路的阻抗呈阻性，電路中的電壓與電流同相位?，F(xiàn)在來研究RLC串聯(lián)電路的相量圖。畫相量圖首先要確定參考相量，即相位為零的相量。

由于是串聯(lián)電路，各元件中的電流是一樣的，因此選取電流作參考相量。電路的電壓方程為

(8-63)總電壓由三個分電壓組成，根據(jù)三個元件上的伏安關(guān)系，每個元件上電壓與電流都有固定的相位關(guān)系及相量圖(見表8-1)?，F(xiàn)在的任務(wù)是將三個單獨(dú)的相量圖合在一起，采用多角形法則，構(gòu)成整個電路的相量圖。圖8-21(a)是感性電路的相量圖，圖中X>0，UL>UC，φZ>0；圖8-21(b)是容性電路的相量圖，圖中X<0，UL<UC，φZ<0；圖8-21(c)是阻性電路的相量圖，圖中X=0，UL=UC，φZ=0，這種電路也稱諧振電路。關(guān)于諧振的問題，將在第12章中作詳細(xì)分析。圖8-21

RLC串聯(lián)電路的相量圖從圖8-21(a)、圖8-21(b)可知，電阻電壓、電抗電壓

和總電壓構(gòu)成直角三角形。這個三角形稱為電壓三角形，如圖8-22(a)所示。顯然電壓三角形與阻抗三角形是相似三角形，如圖8-22(b)所示。圖8-22電壓三角形與阻抗三角形電壓三角形表示了電阻電壓、電抗電壓和總電壓的數(shù)量關(guān)系，并與阻抗三角形相似，是重要的計算方法之一。

另外，從圖8-21的相量圖中還知，元件上的電壓值可能大于總電壓值。如電感上的電壓或電容上的電壓，這在直流電阻電路中是沒有的，其原因是電壓是相量相加。

【例8-7】

在圖8-23所示的三個正弦穩(wěn)態(tài)電路中，電壓表V1和V2測量的有效值標(biāo)在表旁，求電壓表V的讀數(shù)。圖8-23例8-7的電路

解在圖8-23(a)中，初學(xué)者往往認(rèn)為總電壓為3+4=7V，但是在這里是錯的。因?yàn)樗鼈兪窍嗔肯嗉樱傠妷号c電阻電壓、電容電壓構(gòu)成電壓三角形，即

所以，電壓表的讀數(shù)為5V。

在圖8-23(b)中，由于是同類元件，和是同方向的相量，總電壓為

U=UC1+UC2=3+4=7V

所以，電壓表的讀數(shù)為7V。在圖8-23(c)中，由于電感電壓與電容電壓相差180°，

和是反方向的相量，總電壓為

U=|UL-UC|=|3-4|=1V

所以，電壓表的讀數(shù)為1V。

【例8-8】

在圖8-24所示的兩個正弦穩(wěn)態(tài)電路中，所標(biāo)電壓為有效值。已知圖8-24(b)的參數(shù)有R=XL=XC，求電壓表V及V1和V2讀數(shù)。圖8-24例8-8的電路

解

(1)在圖8-24(a)中，總電壓與電阻電壓、電抗電壓構(gòu)成電壓三角形。顯然總電壓U=100V(斜邊)，電阻電壓UR=60V(水平邊)，那么電抗電壓(垂直邊)為

而UX=|UL-UC|，已知UL=100V，所以有兩種可能。

如果電路是感性的，UL>UC，于是UC=20V，所以，電壓表的讀數(shù)為20V。

如果電路是容性的，UL<UC，于是UC=180V，所以，電壓表的讀數(shù)為180V。

(2)在圖8-24(b)中，已知R=XL=XC，可見電路是阻性的。從圖8-21(c)的相量圖可知，在阻性情況下，總電壓與電阻電壓相同，即U=UR。所以，電阻R上的電壓為5V。

由于串聯(lián)元件的電流是相同的，三個元件的阻抗模也相同，因此，三個元件上的電壓有效值必相同，故有

UL=UC=UR=5V所以，電壓表V2的讀數(shù)為5V。電壓表V1的讀數(shù)為

【例8-9】

在如圖8-25所示的正弦穩(wěn)態(tài)電路中，已知US=120V，XC=48Ω，開關(guān)S閉合和斷開時電流表的讀數(shù)均為4A。求R和XL。圖8-25例8-9的電路

解圖8-25所示電路是RLC串聯(lián)電路，根據(jù)題意，電路的阻抗模為

開關(guān)閉合可以根據(jù)阻抗三角形得

開關(guān)斷開可以根據(jù)阻抗三角形得

①或

R2+(XL-48)2=302②

聯(lián)立求解①和②，得

R=18Ω，XL=24Ω

【例8-10】

如圖8-26所示正弦穩(wěn)態(tài)電路中，已知電壓表V1的讀數(shù)為9V，V2的讀數(shù)為17V，電流表讀數(shù)為2A，求電壓表V的讀數(shù)。圖8-26例8-10的電路

解對于RL支路，電阻電壓、電感電壓和RL上的電壓U2構(gòu)成電壓三角形，有

所以

對于RLC串聯(lián)電路，電阻電壓、電抗電壓和總電壓U構(gòu)成電壓三角形，有

或

U2=82+(15-9)2

所以

故電壓表V的讀數(shù)為10V。8.5.2

RLC并聯(lián)電路

RLC并聯(lián)電路也是最典型的正弦穩(wěn)態(tài)電路,如圖8-27所示。根據(jù)KCL，列電流方程為

(8-64)其中，

電納為

這里，BC=ωC,稱為容納；

，稱為感納。導(dǎo)納的模為

(8-65)

導(dǎo)納角為

(8-66)圖8-27

RLC并聯(lián)電路在RLC并聯(lián)電路中，如果B>0，即容納ωC大于感納

，則導(dǎo)納角φY>0，阻抗角φZ<0，這時電路的阻抗呈容性，電路中的電流超前于電壓。如果B<0，，則導(dǎo)納角φY<0，阻抗角φZ>0，電路的阻抗呈感性，電路中的電流滯后于電壓。如果B=0，則φY=φZ=0，電路的阻抗呈阻性，電路中的電壓與電流同相位。

現(xiàn)在來研究RLC并聯(lián)電路的相量圖。畫相量圖首先要確定參考相量。由于是并聯(lián)電路，各元件中的電壓是一樣的，因此選取電壓作參考相量。電路的電流方程為

(8-67)總電流由三個分電流組成，根據(jù)三個元件上的伏安關(guān)系，每個元件上電壓與電流都有固定的相位關(guān)系及相量圖(見表8-1)。現(xiàn)在的任務(wù)是將三個單獨(dú)的相量圖合在一起，采用多角形法則，構(gòu)成整個電路的相量圖。圖8-28(a)是容性電路的相量圖，圖中B>0，IC>IL，φZ<0；圖8-28(b)是感性電路的相量圖，圖中B<0，IC<IL，φZ>0；圖8-28(c)是阻性電路的相量圖，圖中B=0，IL=IC，φZ=0，這種電路也稱諧振電路。關(guān)于諧振的問題，將在第12章中作詳細(xì)分析。圖8-28

RLC并聯(lián)電路的相量圖從圖8-28(a)、圖2-28(b)可知，電阻電流、電納電流

和總電流構(gòu)成直角三角形。這個三角形稱為電流三角形，如圖8-29(a)所示。顯然電流三角形與導(dǎo)納三角形是相似三角形，如圖8-29(b)所示。圖8-29電流三角形與導(dǎo)納三角形電流三角形表示了電阻電流、電納電流和總電流的數(shù)量關(guān)系，并與導(dǎo)納三角形相似，是重要的計算方法之一。

另外，從圖8-28的相量圖中還知，元件上的電流值可能大于總電流值。如電感上的電流或電容上的電流，這在直流電阻電路中是沒有的，其原因是電流是相量相加。

從以上分析可知，正弦穩(wěn)態(tài)電路的工作狀態(tài)有三種，即感性、容性和阻性。對于一般電路如圖8-30所示，如何判斷電路是感性還是容性的呢？圖8-30一般正弦穩(wěn)態(tài)電路一般方法是用阻抗角來判斷，即

?φZ>0,總電流滯后總電壓，電路為感性。

?

φZ<0,總電流超前總電壓，電路為容性。

?

φZ=0,總電流與總電壓同相，電路為阻性。

故根據(jù)阻抗角來判斷電路的性質(zhì)，對任何電路均適用。

【例8-11】

在圖8-31所示的三個正弦穩(wěn)態(tài)電路中，電流表A1、A2和A3測量的有效值標(biāo)在表旁。求電流表A的讀數(shù)。

解在圖8-31(a)中，初學(xué)者往往認(rèn)為總電流是3+4=

7A，但是在這里是錯的。因?yàn)樗鼈兪窍嗔肯嗉樱傠娏髋c電阻電流、電容電流構(gòu)成電流三角形，即

所以，電流表的讀數(shù)為5A。

在圖8-31(b)中，由于是同類元件，和是同方向的相量?？傠娏鳛?/p>

I=IC1+IC2=3+4=7A

所以，電流表的讀數(shù)為7A。在圖8-31(c)中，由于電感電流與電容電流相差180°，

和是反方向的相量，因此總電流為

電流表的讀數(shù)為5A。圖8-31例8-11的電路

【例8-12】

在圖8-32所示的兩個正弦穩(wěn)態(tài)電路中，所標(biāo)電壓為有效值。已知圖8-32(b)中的參數(shù)R=XL=XC。求電流表A及A1、A2讀數(shù)。

解

(1)在圖8-32(a)中，如果LC2支路是感性的，電容C1中的電流與LC2支路電流方向相反，則總電流，即電流表A的讀數(shù)為

I=I1-I2=1A圖8-32例8-12的電路如果LC2支路是容性的，電容C1中的電流與LC2支路電流方向相同，則總電流，即電流表A的讀數(shù)為

I=I1+I2=5A

(2)在圖8-24(b)中，已知R=XL=XC，可見電路是阻性的。從圖8-28(c)的相量圖可知，在阻性情況下，總電流與電阻上的電流相同，即I=IR。所以，電阻R中的電流為3A。由于并聯(lián)元件的電壓是相同的，三個元件的阻抗模也相同，因此，三個元件上的電流有效值必相同，故有

IL=IC=IR=3V

所以，電流表A2的讀數(shù)為3A。電流表A1的讀數(shù)為

自測題8-14

已知R=XL=XC=10Ω，則三者串聯(lián)后的等效阻抗模為

。

(A)10(B)14.14(C)20(D)30

自測題8-15

在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，當(dāng)RLC串聯(lián)時，電流與總電壓同相，則下列各關(guān)系中正確的是

。

(Ａ)ωL2C=1

(Ｂ)ω2LC=1(Ｃ)ωLC=1(Ｄ)ω=LC

自測題8-16

在RLC并聯(lián)電路中，若，則總電流相位比電壓

。

(Ａ)滯后(Ｂ)超前(Ｃ)同相(Ｄ)不能確定圖8-33自測題8-17

自測題8-17

在圖8-33所示正弦穩(wěn)態(tài)電路中，兩元件1、2接成并聯(lián)。若表A的讀數(shù)的平方等于表A1讀數(shù)的平方與表A2讀數(shù)的平方之和，則條件是

。

(Ａ)元件1為電阻，元件2為電感

(Ｂ)元件1為電容，元件2為電容

(Ｃ)元件1為電容，元件2為電感

(Ｄ)元件1為電感，元件2為電感圖8-34自測題8-18

自測題8-18

在圖8-34所示的正弦穩(wěn)態(tài)電路中，設(shè)整個電路呈感性，計算電路的阻抗角即與的相位差，下列各式中正確的是

。

(Ａ)

(Ｂ)

(Ｃ)

(Ｄ)

自測題8-19

圖8-35(a)所示無源二端網(wǎng)絡(luò)的端口伏安關(guān)系如圖8-35(b)所示，此無源二端網(wǎng)絡(luò)的入端復(fù)阻抗Zi=

Ω，電路性質(zhì)為

。圖8-35自測題8-19阻抗串-并聯(lián)構(gòu)成的電路一般稱為簡單電路。由8.2節(jié)至8.3節(jié)的敘述可知，相量變換法和阻抗、導(dǎo)納的引入，正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析與電阻電路的分析方法完全類似。即只要把電阻電路中的電阻變成阻抗、電導(dǎo)換成導(dǎo)納、電壓或電流換成電壓相量或電流相量，所有的公式、定理、方程均成立。這就將電阻電路與正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析方法統(tǒng)一起來，只不過正弦穩(wěn)態(tài)電路要進(jìn)行復(fù)數(shù)計算，而電阻電路則是實(shí)數(shù)計算。8.6簡單電路的分析對于阻抗串聯(lián)，合并后的等效阻抗為

Zeq=Z1+Z2+Z3+…+Zn

若兩個阻抗串聯(lián)，其分壓公式為

對于阻抗并聯(lián)，合并后的等效阻抗為

等效導(dǎo)納為

Yeq=Y1+Y2+Y3+…+Yn

若兩個阻抗并聯(lián)，則等效阻抗為

若兩個阻抗并聯(lián)，其分流公式為

顯然，以上公式與電阻電路中的相應(yīng)公式形式上完全相同。還有一些公式，如星形與三角形變換公式、電橋平衡條件、網(wǎng)孔方程、節(jié)點(diǎn)方程等，這里就不一一列舉了。

【例8-13】

電路如圖8-36(a)所示，正弦電流源iS=8cos200000tA，求i1，i2，i3和u。

解本題采用最大值相量，電流源相量為。感抗為

ωL=200000×40×10-6=8Ω

容抗為

圖8-36例題8-13的電路因此，頻域等效電路如圖8-36(b)所示，總導(dǎo)納為

所以，電壓為

各支路電流為

時域表達(dá)式為

【例8-14】

在圖8-37所示電路中，已知電壓源uS=220

sin314tV；電流i1=22sin(314t-45°)A，

i2=11sin(314t+90°)A，求各儀表讀數(shù)及電路參數(shù)R、L和C的值。圖8-37例題8-14的電路

解因?yàn)殡娏鞅?、電壓表的?shù)值為有效值，所以，各儀表的讀數(shù)如下：

電流表A1的讀數(shù)為

電流表A2的讀數(shù)為

I2=11A

電壓表Ｖ的讀數(shù)為

U=220V

電流相量為

故總電流為

電流表Ａ的讀數(shù)為11A。

對RL支路，阻抗為

因此，R=10Ω，XL=10Ω，故電感為

對于C支路，阻抗為

或

【例8-15】

在圖8-38所示電路中，已知電壓表V1為100V，電流表A1為10A，求電流表Ａ和電壓表Ｖ的讀數(shù)是多少？

解從右往左計算，設(shè)并聯(lián)支路的電壓為100∠0°V，則電容支路的電流應(yīng)超前90°，即

A，從而計算電流

圖8-38例題8-15的電路總電流為

總電壓為

故電流表Ａ的讀數(shù)為10Ａ，電壓表V的讀數(shù)為141.1V。

【例8-16】

在圖8-39所示電路中，將如圖虛框所示被測線圈與電容C串聯(lián)可測其R、L值。

若調(diào)節(jié)ω=2×104rad/s時，電源電壓US=14.14V，線圈電壓URL=22.4V，電容電壓為10V，電流為1ｍA。求R、L的值。圖8-39例題8-16的電路

解根據(jù)題意，容抗為

線圈R與L串聯(lián)構(gòu)成阻抗三角形，即

①

式中，阻抗單位為kΩ。

RLC串聯(lián)又構(gòu)成阻抗三角形，即

②聯(lián)立求解①、②，可得R=10kΩ，XL=20.1kΩ。所以

【例8-17】

在圖8-40所示電路中，若電壓比電流超前45°，求R應(yīng)為何值？圖8-40例題8-17的電路

解方法一：用分壓公式計算。

由于比超前90°，比超前45°，因此比超前45°。應(yīng)找出與的關(guān)系式。設(shè)

則有

即

要使比滯后45°，令上式實(shí)部與虛部相等，即

有

方法二：用戴維南定理計算。

將電感作為負(fù)載，求戴維南等效電路，開路電壓為

顯然與同相，等效電阻為

圖8-41戴維南等效電路戴維南等效電路如圖8-41所示，要使與相差45°，必有

R0=XL

即

解得R=1.5Ω。

自測題8-20

如圖8-42所示二端網(wǎng)絡(luò)，已知ω=

3rad/s，則二端網(wǎng)絡(luò)的阻抗Z＝

Ω。

自測題8-21

在圖8-43所示電路中，下列關(guān)系中正確的是

。

(Ａ)

(Ｂ)

(Ｃ)

(Ｄ)圖8-42自測題8-20圖8-43自測題8-21

自測題8-22

在圖8-44所示正弦穩(wěn)態(tài)電路中，保持不變，當(dāng)開關(guān)S閉合時電流表讀數(shù)將

。

(Ａ)增加(Ｂ)不變

(Ｃ)有些減少(Ｄ)減至零圖8-44自測題8-24對于較復(fù)雜的正弦穩(wěn)態(tài)電路，可以用網(wǎng)孔分析法、節(jié)點(diǎn)分析法、疊加定理、戴維南和諾頓定理來分析，其分析方法和電阻電路所介紹的方法完全相同。下面用實(shí)例說明。

【例8-18】

在如圖8-45(a)所示電路中，

，求電流iL。8.7復(fù)雜電路的分析圖8-45例題8-18的電路

解電壓源的電壓相量為，感抗為XL=ωL=1Ω，畫出的頻域電路如圖8-45(b)所示。用網(wǎng)孔法計算，應(yīng)用KVL，對網(wǎng)孔1：

①

對網(wǎng)孔2：

②

受控源的控制量與網(wǎng)孔電流的關(guān)系為

③

將③代入②，得

④

聯(lián)立求解①和④，可得所以，電流為

【例8-19】

在如圖8-46所示電路中，已知，若使電流，求電壓源。

解用戴維南定理求解比較適合，令電流所在的支路為負(fù)載，只要戴維南等效電路的開路電壓，必有電流。將負(fù)載支路斷開后，開路電壓為

圖8-46例題8-19的電路即

【例8-20】

在如圖8-47(a)所示電路中，證明：若XL=XC，則不論Z為何值，電流不改變。圖8-47例題8-20的電路

解用諾頓定理來證明，令阻抗Z支路為負(fù)載，求出的諾頓等效電路如圖8-46(b)所示。

等效電路中的電流源為負(fù)載短路的短路電流，即

若令等效阻抗Z0=∞，則Z中的電流為電流源中的電流，即無論Z為何值，而不變。所以，令等效阻抗

必有，即XL=XC。

【例8-21】

電路如圖8-48所示，用疊加定理求電壓。

解應(yīng)用疊加定理，令電流源和電壓源單獨(dú)作用。當(dāng)電流源單獨(dú)作用時，有

當(dāng)電壓源單獨(dú)作用時，有

圖8-48例題8-21的電路所以電壓為

【例8-22】電路如圖8-49所示，求節(jié)點(diǎn)電壓和。圖8-49例題8-22的電路

解用節(jié)點(diǎn)分析法，設(shè)超節(jié)點(diǎn)如圖8-49陰影部分所示。對超節(jié)點(diǎn)應(yīng)用KCL，得

或

(8-22(a))理想電壓源與節(jié)點(diǎn)電壓的關(guān)系為

(8-22(b))

將式(8-22(b))代入式(8-22(a))，得

解得

由式(8-22(b))，得

在前幾節(jié)的正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析中，所用的方法都是解析法。通過若干例題的計算可知，這些計算方法對一般電路都是適用的。但是在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，有一些比較特殊的問題。比如只知道某些相量的模或相角，或只知道某些相量之間的相位差等。這些問題當(dāng)然可以用解析法計算，但如果能用各相量之間的幾何關(guān)系來分析會更容易些。相量圖分析法提供了另一條分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的途徑。8.8相量圖分析所謂相量圖分析，就是在沒有進(jìn)行計算之前，利用支路電壓和支路電流的相量關(guān)系以及基爾霍夫定律，畫出電路的各電壓電流的相量圖。從幾何關(guān)系上求解未知量。所以，相量圖分析的關(guān)鍵是要能正確地畫出相量圖。

畫相量圖步驟是：

?

先選擇某一相量為參考相量，以便于繼續(xù)畫出其他相量為原則。串聯(lián)電路一般選電流為參考相量；并聯(lián)電路一般選電壓為參考相量。

?

按KCL、KVL，根據(jù)R、L、C元件上的電壓相量和電流相量的關(guān)系(見表8-4)，逐個畫出相對應(yīng)的相量。

?

用平行四邊形或多角形法則，畫出電路的相量圖。表8-4支路電壓與支路電流的相位關(guān)系

【例8-23】

RC移相電路如圖8-50所示，輸出電壓與輸入電壓之間的相位差θ隨可調(diào)電阻R的變化而變化。當(dāng)R由0變到∞時，試分析圖中的兩種移相電路輸入電壓與輸出電壓的移相范圍和特點(diǎn)。圖8-50例題8-23的電路

解

(1)畫相量圖，為了敘述方便起見，以輸入電壓為參考相量。由于是RC支路，因此電流相量超前。電阻上的電壓與同相，輸出電壓比滯后90°。又根據(jù)KVL，電壓方程為，顯然，這三個電壓構(gòu)成電壓三角形，如圖8-51(a)所示。當(dāng)R改變時，和就要變化，但三個電壓始終保持直角三角形。由幾何關(guān)系可知，隨R的變化，直角三角形頂點(diǎn)的軌跡是個半圓。

當(dāng)R→0時，與趨于同相；當(dāng)R→∞時，比滯后趨于90°，所以，和的移相范圍是0至90°，并且

比滯后。另外，輸出電壓的幅值將由大變小。圖8-51例題8-23的相量圖

(2)畫法基本上與圖8-51(a)相同，只不過多了一條電阻支路。它由兩個相同的電阻r串聯(lián)，因此，A點(diǎn)必是輸入電壓的中點(diǎn)。顯然B點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)，于是輸出電壓的相量就是從A到B的相量，如圖8-51(b)所示。

當(dāng)R→∞時，與趨于同相；當(dāng)R→0時，比

超前趨于180°。所以，和的移相范圍是0至180°，并且比超前。另外，輸出電壓的幅值為半徑，即輸出電壓Uo始終是輸入電壓Ui的一半。

【例8-24】

電路如圖8-52(a)所示，求電路中R為何值時，電壓為最大？

解畫相量圖，電路由兩條支路并聯(lián)，故以電壓為參考相量(線段MN)。

RC支路的畫法：電流相量超前，電阻上的電壓與電流同相，電容電壓比電流滯后90°，故得三角形BN(上邊三角形)。

RL支路的畫法：電流相量滯后，電阻上的電壓與電流同相，電感電壓比電流滯后90°，故得三角形MAN(下邊三角形)。如圖8-52(b)所示。圖8-52例題8-23的用圖可見，UAB通過圓心時其值最大。故兩個電壓三角形必須全等，由于阻抗三角形與電壓三角形相似，如圖8-52(c)所示，有θ1=θ2,即

故有

解得R=16Ω。

【例8-25】在如圖8-53所示電路中，調(diào)整R和C，使它們的阻抗模為5000Ω，電源頻率為1000Hz。

(1)求出使和之間產(chǎn)生30°相位差的R值及C值。

(2)相對于電壓而言，是滯后還是超前?圖8-53例題8-25的電路

解方法一：解析法。

(1)根據(jù)分壓公式，有

電壓之比為

(8-25(a))根據(jù)題意，可列方程

即有

解得R=2.5kΩ，C=0.037μF。

(2)從式(8-25(a))可知，滯后于。

方法二：相量圖法。

(1)畫出RC電路的電壓三角形和阻抗三角形如圖8-54所示，兩個三角形是相似的。圖8-54電壓三角形和阻抗三角形由阻抗三角形圖8-54(b)可得

(2)從圖8-54(a)的相量圖可知，滯后于。

【例8-26】在圖8-55(a)所示電路中，頻率為f=50Hz，調(diào)整電容C的容量，使開關(guān)S斷開和閉合時，流過電流表的讀數(shù)保持不變。求電容C的值。圖8-55例題8-26的用圖

解方法一：解析法。

為使開關(guān)S閉合前后總電流不變，