2005年湖南高考理科數(shù)學(xué)真題及答案

第頁|共頁2005年湖南高考理科數(shù)學(xué)真題及答案本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇）題兩部分，滿分150分.考試用時120分鐘.第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本大題共10小，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．復(fù)數(shù)z＝i＋i2＋i3＋i4的值是 （） A．－1 B．0 C．1 D．i2．函數(shù)f(x)＝的定義域是 （）A．－∞，0] B．[0，＋∞ C．（－∞，0） D．（－∞，＋∞）3．已知數(shù)列{log2(an－1)}（n∈N*）為等差數(shù)列，且a1＝3，a2＝5，則= （）A．2 B． C．1 D．4、已知點P（x，y）在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)，則z＝x－y的取值范圍是（）A1CBAB1C1D1DOA、[－2，－1]B、[－2，1]A1CBAB1C1D1DO5、如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，OA1B1C1D1的中心，則O到平面ABC1D1A、B、C、D、6．設(shè)f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，則f2005(x)＝（）A．sinx B．－sinx C．cosx D．－cosx7．已知雙曲線－＝1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，右準線與一條漸近線交于點A，△OAF的面積為（O為原點），則兩條漸近線的夾角為 （）A．30o B．45o C．60o D．90o8．集合A＝｛x|＜0＝，B＝｛x||x-b|＜a，若“a＝1”是“A∩B≠”的充分條件，則b的取值范圍是 （） A．－2≤b＜0 B．0＜b≤2 C．－3＜b＜－1 D．－1≤b＜29．4位同學(xué)參加某種形式的競賽，競賽規(guī)則規(guī)定：每位同學(xué)必須從甲．乙兩道題中任選一題作答，選甲題答對得100分，答錯得－100分；選乙題答對得90分，答錯得－90分.若4位同學(xué)的總分為0，則這4位同學(xué)不同得分情況的種數(shù)是 （）A．48 B．36 C．24 D．1810．設(shè)P是△ABC內(nèi)任意一點，S△ABC表示△ABC的面積，λ1＝，λ2＝，λ3＝，定義f(P)=(λ1,λ,λ3),若G是△ABC的重心，f(Q)＝（，，），則 （） A．點Q在△GAB內(nèi) B．點Q在△GBC內(nèi) C．點Q在△GCA內(nèi) D．點Q與點G重合第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題：本大題共5小題，每小題4分（第15小題每空2分），共20分，把答案填在答題卡中對應(yīng)題號后的橫線上.11．一工廠生產(chǎn)了某種產(chǎn)品16800件，它們來自甲．乙．丙3條生產(chǎn)線，為檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)量，決定采用分層抽樣的方法進行抽樣，已知甲．乙．丙三條生產(chǎn)線抽取的個體數(shù)組成一個等差數(shù)列，則乙生產(chǎn)線生產(chǎn)了件產(chǎn)品.12．在（1＋x）＋（1＋x）2＋……＋（1＋x）6的展開式中，x2項的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）13．已知直線ax＋by＋c＝0與圓O：x2＋y2＝1相交于A、B兩點，且|AB|＝，則＝.14．設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點（1，2）對稱，且存在反函數(shù)f－1(x)，f(4)＝0，則f－1(4)＝.15．設(shè)函數(shù)f(x)的圖象與直線x=a，x=b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數(shù)f(x)在[a，b]上的面積，已知函數(shù)y＝sinnx在[0，]上的面積為（n∈N*），（i）y＝sin3x在[0,]上的面積為；（ii）y＝sin（3x－π）＋1在[，]上的面積為.三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16．（本小題滿分12分） 已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小.17、（本題滿分12分）如圖1，已知ABCD是上、下底邊長分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對稱軸OO1折成直二面角，如圖2。（Ⅰ）證明：AC⊥BO1；（Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小。AABCDOO1ABOCO1D18．（本小題滿分14分） 某城市有甲、乙、丙3個旅游景點，一位客人游覽這三個景點的概率分別是0.4，0.5，0.6，且客人是否游覽哪個景點互不影響，設(shè)ξ表示客人離開該城市時游覽的景點數(shù)與沒有游覽的景點數(shù)之差的絕對值.（Ⅰ）求ξ的分布及數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）記“函數(shù)f(x)＝x2－3ξx＋1在區(qū)間[2，＋∞上單調(diào)遞增”為事件A，求事件A的概率.19．（本小題滿分14分） 已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦點為F1、F2，離心率為e.直線l：y＝ex＋a與x軸．y軸分別交于點A、B，M是直線l與橢圓C的一個公共點，P是點F1關(guān)于直線l的對稱點，設(shè)＝λ.（Ⅰ）證明：λ＝1－e2；（Ⅱ）確定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形20．（本小題滿分14分）自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響.用xn表示某魚群在第n年年初的總量，n∈N*，且x1＞0.不考慮其它因素，設(shè)在第n年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與xn成正比，死亡量與xn2成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，c.（Ⅰ）求xn+1與xn的關(guān)系式；（Ⅱ）猜測：當(dāng)且僅當(dāng)x1，a，b，c滿足什么條件時，每年年初魚群的總量保持不變？（不要求證明）（Ⅱ）設(shè)a＝2，b＝1，為保證對任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，則捕撈強度b的最大允許值是多少？證明你的結(jié)論.21．（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋bx，a≠0.（Ⅰ）若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f(x)的圖象C1與函數(shù)g(x)圖象C2交于點P、Q，過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C1，C2于點M、N，證明C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行.參考答案一、選擇題：1—5：BACCB6—10：CDDBA二、填空題：11．560012．3513．14．－215．，三、解答題：16．解法一由 得 所以 即 因為所以，從而 由知從而. 由 即 由此得所以解法二：由 由、，所以 即 由得 所以 即 因為，所以 由從而，知B+2C=不合要求. 再由，得所以ABOCO1Dxyz17．解法一（I）證明由題設(shè)知OAABOCO1Dxyz 所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角， 即OA⊥OB.故可以O(shè)為原點，OA、OB、OO1 所在直線分別為軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系， 如圖3，則相關(guān)各點的坐標是A（3，0，0）， B（0，3，0），C（0，1，）圖3 O1（0，0，）.圖3 從而 所以AC⊥BO1.（II）解：因為所以BO1⊥OC，由（I）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC，是平面OAC的一個法向量.設(shè)是0平面O1AC的一個法向量，由得.設(shè)二面角O—AC—O1的大小為，由、的方向可知，>，ABOCO1D 所以cosABOCO1D 即二面角O—AC—O1的大小是解法二（I）證明由題設(shè)知OA⊥OO1，OB⊥OO1， 所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，圖4 即OA⊥OB.從而AO⊥平面OBCO1圖4 OC是AC在面OBCO1內(nèi)的射影. 因為， 所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，從而OC⊥BO1 由三垂線定理得AC⊥BO1.（II）解由（I）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC. 設(shè)OC∩O1B=E，過點E作EF⊥AC于F，連結(jié)O1F（如圖4），則EF是O1F 內(nèi)的射影，由三垂線定理得O1F⊥ 所以∠O1FE是二面角O—AC—O1的平面角. 由題設(shè)知OA=3，OO1=，O1C=1， 所以， 從而， 又O1E=OO1·sin30°=， 所以即二面角O—AC—O1的大小是18．解：（I）分別記“客人游覽甲景點”，“客人游覽乙景點”，“客人游覽丙景點” 為事件A1，A2，A3.由已知A1，A2，A3相互獨立，P（A1）=0.4，P（A2）=0.5， P（A3）=0.6. 客人游覽的景點數(shù)的可能取值為0，1，2，3.相應(yīng)地，客人沒有游覽的景點數(shù)的可能取 值為3，2，1，0，所以的可能取值為1，3. P（=3）=P（A1·A2·A3）+P（）=P（A1）P（A2）P（A3）+P（）=2×0.4×0.5×0.6=0.24，13P0.760.24 P（=1）13P0.760.24 所以的分布列為 E=1×0.76+3×0.24=1.48.（Ⅱ）解法一因為所以函數(shù)上單調(diào)遞增，要使上單調(diào)遞增，當(dāng)且僅當(dāng)從而解法二：的可能取值為1，3.當(dāng)=1時，函數(shù)上單調(diào)遞增，當(dāng)=3時，函數(shù)上不單調(diào)遞增.0所以19．（Ⅰ）證法一：因為A、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點，所以A、B的坐標分別是.所以點M的坐標是（）.由即證法二：因為A、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點，所以A、B的坐標分別是設(shè)M的坐標是所以因為點M在橢圓上，所以即解得（Ⅱ）解法一：因為PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2設(shè)點F1到l的距離為d，由得所以即當(dāng)△PF1F2為等腰三角形.解法二：因為PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，設(shè)點P的坐標是，則由|PF1|=|F1F2|得兩邊同時除以4a2，化簡得從而于是.即當(dāng)時，△PF1F2為等腰三角形.20．解（I）從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為axn，被捕撈量為bxn，死亡量為（II）若每年年初魚群總量保持不變，則xn恒等于x1，n∈N*，從而由（*）式得因為x1>0，所以a>b.猜測：當(dāng)且僅當(dāng)a>b，且時，每年年初魚群的總量保持不變.（Ⅲ）若b的值使得xn>0，n∈N*由xn+1=xn(3－b－xn),n∈N*,知0<xn<3－b,n∈N*,特別地，有0<x1<3－b.即0<b<3－x1.而x1∈(0,2)，所以由此猜測b的最大允許值是1.下證當(dāng)x1∈(0,2)，b=1時，都有xn∈(0,2),n∈N*①當(dāng)n=1時，結(jié)論顯然成立.②假設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論成立，即xk∈(0,2),則當(dāng)n=k+1時，xk+1=xk(2－xk)>0.又因為xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2,所以xk+1∈(0,2)，故當(dāng)n=k+1時結(jié)論也成立.由①、②可知，對于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2).綜上所述，為保證對任意x1∈(0,2),都有xn>0，n∈N*，則捕撈強度b的最大允許值是1.21．解：（I），則因為函數(shù)h(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以<0有解.又因為x>0時，則ax2+2x－1>0有x>0的解.①當(dāng)a>0時，y=ax2+2x－1為開口向上的拋物線，ax2+2x－1>0總有x>0的解；②當(dāng)a<0時，y=ax2+2x－1為開口向下的拋物線，而ax2+2x－1>0總有x>0的解；則△=4+4a>0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根.此時，－1<a綜上所述，a的取值范圍為（－1，0）∪（0，+∞）.（II）證法一設(shè)點P、Q的坐標分別是（x1,y1），（x2,y2），0<x1<x2.則點M、N的橫坐標為C1在點M處的切線斜率