2025屆河北省邢臺(tái)市質(zhì)檢聯(lián)盟高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省邢臺(tái)市質(zhì)檢聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，其中滿(mǎn)足，故.故選：B2.已知向量，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A.1 B.1 C. D.【答案】A【解析】由題可知：，又，，則，解得.故選：A.3.在數(shù)列中，若，則下列數(shù)是中的項(xiàng)的是（）A.4 B.4 C. D.3【答案】B【解析】由，，，可知以3為周期，依次為，顯然B正確.故選：B4.已知是第四象限角，為其終邊上的一點(diǎn)，且，則（）A.4 B.4 C. D.【答案】C【解析】由三角函數(shù)的定義可知，解得，因?yàn)槭堑谒南笙薜慕?，所以，則，故選：C.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋?，同時(shí)除以，得，即，故選：C.6.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為21，且，則（）A. B.2 C.6 D.4【答案】C【解析】由題意知，正項(xiàng)等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為21，且，則，解得.故選：C.7.函數(shù)的所有零點(diǎn)的和為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得，則函數(shù)的零點(diǎn)即函數(shù)與函數(shù)在上的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).對(duì)于函數(shù)，其最小正周期為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)值從3減小到-3,當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)值從-3增大到3.類(lèi)似可得函數(shù)在區(qū)間上的圖象變化情況.如圖分別作出和在上圖象如下.由圖可知，兩函數(shù)在上的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故兩者的交點(diǎn)與也關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故即函數(shù)的所有零點(diǎn)的和為故選：C.8.已知，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋栽?,+∞上均單調(diào)遞增，所以，即，對(duì)于，構(gòu)造函數(shù)，易知時(shí)，f'x>0，即此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則所以，因?yàn)樵?,+∞上單調(diào)遞增，所以，綜上.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.若復(fù)數(shù)，是方程的兩個(gè)根，則（）A.為純虛數(shù) B.C. D.【答案】ABD【解析】方程，，方程的根為，即方程的根為，，不妨設(shè)，，則為純虛數(shù)，故A正確；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，則，故D正確.故選：ABD10.已知表示不超過(guò)的最大整數(shù)．設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，則（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.因?yàn)?，，，，所以，，所以?故選：AC11.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為則下列說(shuō)法正確的是（）A.是等比數(shù)列B.C.中存在不相等的三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列D.若，則的取值范圍為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，根據(jù)題意易知，所以是等比數(shù)列，以1為首項(xiàng)，3為公比，，故A正確；對(duì)于B，同理，，即所以是等比數(shù)列，以3為首項(xiàng)，3為公比，，則，故B正確；對(duì)于C，假設(shè)中存在不相等的三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，不妨設(shè)該三項(xiàng)為，則，即，因?yàn)?，所以，則上式不成立，所以不存在，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，若n為奇數(shù)，則，，而由A項(xiàng)可知，遞增，所以，，則，若n為偶數(shù)，則，，同理由A項(xiàng)可知，遞增，所以，，則，而，則，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在答題卡中的橫線(xiàn)上．12.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則______．【答案】【解析】由題可知：.13.將一副三角板按如圖所示的位置拼接：含角的三角板的長(zhǎng)直角邊與含角的三角板的斜邊恰好重合.與相交于點(diǎn).若，則___________.【答案】【解析】由題可知.由可得：，則，解得.14.已知四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)滿(mǎn)足，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)Px,y，是中點(diǎn)，則,由可得,故，所以，故當(dāng)時(shí)，取到最小值，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.某紅茶批發(fā)地只經(jīng)營(yíng)甲?乙?丙三種品牌的紅茶，且甲?乙?丙三種品牌的紅茶優(yōu)質(zhì)率分別為.（1）若該紅茶批發(fā)地甲?乙?丙三種品牌的紅茶市場(chǎng)占有量的比例為，小張到該批發(fā)地任意購(gòu)買(mǎi)一盒紅茶，求他買(mǎi)到的紅茶是優(yōu)質(zhì)品的概率；（2）若小張到該批發(fā)地甲?乙?丙三種品牌店各任意買(mǎi)一盒紅茶，求他恰好買(mǎi)到兩盒優(yōu)質(zhì)紅茶的概率.解：（1）設(shè)事件分別表示小張買(mǎi)到的紅茶品牌為甲品牌、乙品牌、丙品牌，事件表示他買(mǎi)到的紅茶是優(yōu)質(zhì)品，則依據(jù)已知可得，，由全概率公式得，所以他買(mǎi)到的紅茶是優(yōu)質(zhì)品的概率為.（2）設(shè)事件表示他恰好買(mǎi)到兩盒優(yōu)質(zhì)紅茶，組成事件的情況有：甲乙優(yōu)質(zhì)紅茶丙非優(yōu)質(zhì)紅茶、甲丙優(yōu)質(zhì)紅茶乙非優(yōu)質(zhì)紅茶，乙丙優(yōu)質(zhì)紅茶甲非優(yōu)質(zhì)紅茶，且優(yōu)質(zhì)與否互相獨(dú)立，則，所以他恰好買(mǎi)到兩盒優(yōu)質(zhì)紅茶的概率為.16.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）若，求面積的最大值．解：（1）由，可得，即，所以，，因?yàn)椋?，又，所以．?）由余弦定理可得，因?yàn)椋?，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．故△面積的最大值為．17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）令，得，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，兩式相減得，即，所以，所以，即，所以，又，符合上式，所以；（2），則，，兩式作差得，即，所以．18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）若曲線(xiàn)與在上至少有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍；（3）若，、，且，，求的最小值．解：（1）當(dāng)時(shí)，，，可得，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線(xiàn)斜率，所以切線(xiàn)方程為，即．（2）由，得，令，其中，則，其中，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增．所以，，所以，則的取值范圍為．（3）因?yàn)?、，且，，所以，設(shè)函數(shù)，則，可得在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，即對(duì)時(shí)恒成立．設(shè)，則．設(shè)，則，令，解得．當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增．，，當(dāng)時(shí)，，，則，，所以存在，使得，即．當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．，當(dāng)時(shí)，，又整數(shù)，所以的最小值為．19.已知，定義：數(shù)列共有項(xiàng)，對(duì)任意，存在，使得，或存在，使得，則稱(chēng)數(shù)列為“封閉數(shù)列”．（1）若，判斷數(shù)列是否為“封閉數(shù)列”；（2）已知遞增數(shù)列為“封閉數(shù)列”，求；（3）已知數(shù)列單調(diào)遞增，且為“封閉數(shù)列”，若，證明：是等比數(shù)列．（1）解：由題意知，數(shù)列為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．因?yàn)楹途皇侵械捻?xiàng)，所以數(shù)列不是“封閉數(shù)列”．（2）解：由題意數(shù)列遞增可知，則不是中的項(xiàng)，所以是中的項(xiàng)，即．因?yàn)?，所以都是中的?xiàng)，所以，得，由，得，所以．（3）證明：因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增，所以，則不是中的項(xiàng)，所以是中的項(xiàng)，即．因?yàn)椴皇侵械捻?xiàng)，所以是中的項(xiàng)，所以．因?yàn)楣灿许?xiàng)，所以①，類(lèi)似地，，則不是中的項(xiàng)，所以是中的項(xiàng)，，所以②，由①和②得，所以是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列．河北省邢臺(tái)市質(zhì)檢聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，其中滿(mǎn)足，故.故選：B2.已知向量，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A.1 B.1 C. D.【答案】A【解析】由題可知：，又，，則，解得.故選：A.3.在數(shù)列中，若，則下列數(shù)是中的項(xiàng)的是（）A.4 B.4 C. D.3【答案】B【解析】由，，，可知以3為周期，依次為，顯然B正確.故選：B4.已知是第四象限角，為其終邊上的一點(diǎn)，且，則（）A.4 B.4 C. D.【答案】C【解析】由三角函數(shù)的定義可知，解得，因?yàn)槭堑谒南笙薜慕?，所以，則，故選：C.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋?，同時(shí)除以，得，即，故選：C.6.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為21，且，則（）A. B.2 C.6 D.4【答案】C【解析】由題意知，正項(xiàng)等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為21，且，則，解得.故選：C.7.函數(shù)的所有零點(diǎn)的和為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得，則函數(shù)的零點(diǎn)即函數(shù)與函數(shù)在上的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).對(duì)于函數(shù)，其最小正周期為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)值從3減小到-3,當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)值從-3增大到3.類(lèi)似可得函數(shù)在區(qū)間上的圖象變化情況.如圖分別作出和在上圖象如下.由圖可知，兩函數(shù)在上的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故兩者的交點(diǎn)與也關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故即函數(shù)的所有零點(diǎn)的和為故選：C.8.已知，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以?,+∞上均單調(diào)遞增，所以，即，對(duì)于，構(gòu)造函數(shù)，易知時(shí)，f'x>0，即此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則所以，因?yàn)樵?,+∞上單調(diào)遞增，所以，綜上.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.若復(fù)數(shù)，是方程的兩個(gè)根，則（）A.為純虛數(shù) B.C. D.【答案】ABD【解析】方程，，方程的根為，即方程的根為，，不妨設(shè)，，則為純虛數(shù)，故A正確；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，則，故D正確.故選：ABD10.已知表示不超過(guò)的最大整數(shù)．設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，則（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.因?yàn)?，，，，所以，，所以?故選：AC11.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為則下列說(shuō)法正確的是（）A.是等比數(shù)列B.C.中存在不相等的三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列D.若，則的取值范圍為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，根據(jù)題意易知，所以是等比數(shù)列，以1為首項(xiàng)，3為公比，，故A正確；對(duì)于B，同理，，即所以是等比數(shù)列，以3為首項(xiàng)，3為公比，，則，故B正確；對(duì)于C，假設(shè)中存在不相等的三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，不妨設(shè)該三項(xiàng)為，則，即，因?yàn)椋?，則上式不成立，所以不存在，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，若n為奇數(shù)，則，，而由A項(xiàng)可知，遞增，所以，，則，若n為偶數(shù)，則，，同理由A項(xiàng)可知，遞增，所以，，則，而，則，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在答題卡中的橫線(xiàn)上．12.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則______．【答案】【解析】由題可知：.13.將一副三角板按如圖所示的位置拼接：含角的三角板的長(zhǎng)直角邊與含角的三角板的斜邊恰好重合.與相交于點(diǎn).若，則___________.【答案】【解析】由題可知.由可得：，則，解得.14.已知四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)滿(mǎn)足，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)Px,y，是中點(diǎn)，則,由可得,故，所以，故當(dāng)時(shí)，取到最小值，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.某紅茶批發(fā)地只經(jīng)營(yíng)甲?乙?丙三種品牌的紅茶，且甲?乙?丙三種品牌的紅茶優(yōu)質(zhì)率分別為.（1）若該紅茶批發(fā)地甲?乙?丙三種品牌的紅茶市場(chǎng)占有量的比例為，小張到該批發(fā)地任意購(gòu)買(mǎi)一盒紅茶，求他買(mǎi)到的紅茶是優(yōu)質(zhì)品的概率；（2）若小張到該批發(fā)地甲?乙?丙三種品牌店各任意買(mǎi)一盒紅茶，求他恰好買(mǎi)到兩盒優(yōu)質(zhì)紅茶的概率.解：（1）設(shè)事件分別表示小張買(mǎi)到的紅茶品牌為甲品牌、乙品牌、丙品牌，事件表示他買(mǎi)到的紅茶是優(yōu)質(zhì)品，則依據(jù)已知可得，，由全概率公式得，所以他買(mǎi)到的紅茶是優(yōu)質(zhì)品的概率為.（2）設(shè)事件表示他恰好買(mǎi)到兩盒優(yōu)質(zhì)紅茶，組成事件的情況有：甲乙優(yōu)質(zhì)紅茶丙非優(yōu)質(zhì)紅茶、甲丙優(yōu)質(zhì)紅茶乙非優(yōu)質(zhì)紅茶，乙丙優(yōu)質(zhì)紅茶甲非優(yōu)質(zhì)紅茶，且優(yōu)質(zhì)與否互相獨(dú)立，則，所以他恰好買(mǎi)到兩盒優(yōu)質(zhì)紅茶的概率為.16.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）若，求面積的最大值．解：（1）由，可得，即，所以，，因?yàn)?，所以，又，所以．?）由余弦定理可得，因?yàn)?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．故△面積的最大值為．17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）令，得，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，兩式相減得，即，所以，所以，即，所以，又，符合上式，所以；（2），則，，兩式作差得，即，所以．18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）若曲線(xiàn)與在上至少有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍；（3）若，、，且，，求的最小值．解：（1）當(dāng)時(shí)，，，可得，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線(xiàn)斜率，所以切線(xiàn)方程為，即．（2）由，得，令，其中，則，其中，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增．所以，，所以，則的取值范圍為．（3）因?yàn)椤?，且，，所以，設(shè)函數(shù)，則，可得在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，即對(duì)時(shí)恒成立．設(shè)，則．設(shè)，則，令，解得．當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增．，，當(dāng)時(shí)，，，則，，所以存在，使得，即．當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．，當(dāng)時(shí)，，又整數(shù)，所以的最小值為．19.已知，定義：數(shù)列共有項(xiàng)，對(duì)任意，存在，使得，或存在，使得，則稱(chēng)數(shù)列為“封閉數(shù)列