2025屆福建省龍巖市一級校聯(lián)盟高三上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省龍巖市一級校聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以或，所?故選：B2.命題“”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)槊}“”為假命題等價(jià)于“”為真命題，所以，所以只需.設(shè)，則在上單增，所以.所以，即.故選：A3.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則的值為（）A.64 B.14 C.10 D.3【答案】C【解析】由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，可知：，所以，由等差數(shù)列的性質(zhì)“當(dāng)時(shí)，”可知：，所以.故選：C.4.已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為（）A.4 B.6 C. D.8【答案】D【解析】因正數(shù)a，b滿足，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以的最小值為8.故選：D5.人臉識別就是利用計(jì)算機(jī)檢測樣本之間的相似度，余弦距離是檢測相似度的常用方法.假設(shè)二維空間中有兩個(gè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，定義余弦相似度為，余弦距離為.已知點(diǎn)，若P，Q的余弦距離為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以，，所以，，，所以，則，的余弦距離為，所以，所以.故選：D6.已知等比數(shù)列的公比為，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】根據(jù)題意，成立時(shí)，有，結(jié)合，得，即qn-1q2①當(dāng)時(shí)，可得，所以，即；②當(dāng)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，，可得，所以，為奇數(shù)時(shí)，，可得，所以，因此不存在滿足成立，綜上所述，成立的充要條件是，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.7.已知函數(shù)，若對任意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè).由對任意，都有，即，也就是，所以在單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，所以；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以恒成立，即恒成立，又因?yàn)?，所以，所以只需即可，所以或，所?在單調(diào)遞增，還應(yīng)該滿足，即或，又因?yàn)椋?故選：A8.已知，定義運(yùn)算@:，其中是函數(shù)的導(dǎo)數(shù).若，設(shè)實(shí)數(shù)，若對任意恒成立，則的最小值為（）A. B. C.e D.2e【答案】B【解析】因?yàn)樗?，即，所以，即對任意，恒成?設(shè)，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.因?yàn)閷θ我?，恒成立，所以對任意，恒成?所以對任意，恒成立.即恒成立.設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，.所以對任意，恒成立，只需即可.故的最小值為.故選：B二、多選題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，則（）A. B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)， D.在上的投影向量的坐標(biāo)為【答案】ABD【解析】因?yàn)?，所以，所以，故A正確；因?yàn)?，且，所以，即，故B正確；因?yàn)?，所以，即，故C錯(cuò)誤；因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛椋訢正確.故選：ABD10.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，對任意都有，且，，則（）A.的圖象關(guān)于直線對稱 B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C. D.為偶函數(shù)【答案】AC【解析】∵，則的圖象關(guān)于直線對稱，故A正確，B錯(cuò)誤；∵函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則，又，∴，則，即，∴函數(shù)的周期為8，則，故C正確；∵，所以為奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤．故選：AC.11.已知函數(shù)，則（）A.是以為周期的函數(shù)B.存在無窮多個(gè)零點(diǎn)C.的值域?yàn)镈.至少存在三個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得為偶函數(shù)【答案】ACD【解析】對于A,，，則是以為周期的函數(shù)，故A正確.對于B，C，因?yàn)榈闹芷跒?，所以只需研究在區(qū)間上的正負(fù)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，且，所以在上恒成?當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，有最大值1，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的最小值為.綜上所述，在上的取值均大于沒有零點(diǎn).故在上沒有實(shí)數(shù)根，即在上沒有零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤，C正確.對于D，由，可得的圖象關(guān)于直線對稱，當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于軸對稱，此時(shí)為偶函數(shù).由是的周期，可知當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù).又因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于直線對稱，可知當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù).綜上所述，當(dāng)時(shí)，至少存在這三個(gè)值，使得為偶函數(shù)，故D正確.故選：ACD.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復(fù)數(shù)滿足，則_____________.【答案】【解析】由題意得，，∴.13.已知函數(shù).曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則____________【答案】【解析】由于，故，，，，，解得，．.14.黎曼猜想由數(shù)學(xué)家波恩哈德黎曼于1859年提出，是至今仍未解決的世界難題.黎曼猜想研究的是無窮級數(shù)，我們經(jīng)常從無窮級數(shù)的部分和入手.已知正項(xiàng)數(shù)列an的前項(xiàng)和為，且滿足，則______.（其中表示不超過的最大整數(shù)）【答案】88【解析】由題意可得，當(dāng)時(shí)，，化簡得，又當(dāng)時(shí)，，解得或（舍去），所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列，所以，即.故當(dāng)時(shí)，①，所以當(dāng)時(shí)，，設(shè)，由①可得，S>1+2×(3-2+所以.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;（2）將的圖象先向右平移個(gè)單位長度，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，求在上的最大值和最小值.解：（1）依題意得，所以的最小正周期為令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）將的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，再將所得圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到函數(shù)的圖象.令，由，可得.因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上的最大值為，最小值為.16.已知數(shù)列an的前項(xiàng)和為，等差數(shù)列bn的前項(xiàng)和為.（1）求an和bn（2）設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）因?yàn)椋偎援?dāng)時(shí)，，又，所以.當(dāng)時(shí)，，②①式減去②式得，所以.又，所以，所以an是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.設(shè)等差數(shù)列bn的公差為，因?yàn)?，可得，解得，所以，即bn的通項(xiàng)公式為.（2）因可得則數(shù)列的前2n項(xiàng)和，令，，則，所以，，.17.在中，內(nèi)角所對的邊分別是.（1）求角;（2）如圖，已知為平面內(nèi)一點(diǎn)，且四點(diǎn)共圓，，求四邊形ABCD周長的最大值.解：（1），由正弦定理可得.因?yàn)?，所以，則，且，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋瑒t，可得，所以.（2）因?yàn)?，所以，又，所以由余弦定理可得，所以，?因?yàn)樗狞c(diǎn)共圓，，所以.在中，由余弦定理可得，所以，所以.由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，則，所以當(dāng)時(shí)，四邊形ABCD的周長取得最大值，最大值為18.已知函數(shù).（1）求fx的單調(diào)區(qū)間（2）設(shè)，若對任意，均存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由，，得.令，解得.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）因?yàn)閷θ我猓嬖?，使得，所以，?dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為0.由（1）得，當(dāng)時(shí)，在]上單調(diào)遞增，即當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以，解得，即.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得最大值.設(shè)，則，單調(diào)遞增，所以s(a)≥s12=ln綜上所述，的取值范圍為.19.南宋的數(shù)學(xué)家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積，體積的連續(xù)量問題轉(zhuǎn)化為求離散變量的垛積問題”.在他的專著《詳析九章算法·商功》中，楊輝將堆垛與相應(yīng)立體圖形作類比，推導(dǎo)出了三角垛、方垛、芻薨垛、芻童垛等的公式.如圖，“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球……第層球數(shù)比第層球數(shù)多，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列an.（1）求數(shù)列an（2）求的最小值；（3）若數(shù)列bn滿足，對于，證明：.解：（1）依題意，，則有，當(dāng)時(shí)，，又也滿足，所以.（2）函數(shù)定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，所以函數(shù)的最小值為0.（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，，令，則，則，因此，令，于是，兩a式相減得，因此，所以.福建省龍巖市一級校聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋曰?，所?故選：B2.命題“”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)槊}“”為假命題等價(jià)于“”為真命題，所以，所以只需.設(shè)，則在上單增，所以.所以，即.故選：A3.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則的值為（）A.64 B.14 C.10 D.3【答案】C【解析】由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，可知：，所以，由等差數(shù)列的性質(zhì)“當(dāng)時(shí)，”可知：，所以.故選：C.4.已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為（）A.4 B.6 C. D.8【答案】D【解析】因正數(shù)a，b滿足，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以的最小值為8.故選：D5.人臉識別就是利用計(jì)算機(jī)檢測樣本之間的相似度，余弦距離是檢測相似度的常用方法.假設(shè)二維空間中有兩個(gè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，定義余弦相似度為，余弦距離為.已知點(diǎn)，若P，Q的余弦距離為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以，，所以，，，所以，則，的余弦距離為，所以，所以.故選：D6.已知等比數(shù)列的公比為，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】根據(jù)題意，成立時(shí)，有，結(jié)合，得，即qn-1q2①當(dāng)時(shí)，可得，所以，即；②當(dāng)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，，可得，所以，為奇數(shù)時(shí)，，可得，所以，因此不存在滿足成立，綜上所述，成立的充要條件是，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.7.已知函數(shù)，若對任意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè).由對任意，都有，即，也就是，所以在單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，所以；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以恒成立，即恒成立，又因?yàn)?，所以，所以只需即可，所以或，所?在單調(diào)遞增，還應(yīng)該滿足，即或，又因?yàn)椋?故選：A8.已知，定義運(yùn)算@:，其中是函數(shù)的導(dǎo)數(shù).若，設(shè)實(shí)數(shù)，若對任意恒成立，則的最小值為（）A. B. C.e D.2e【答案】B【解析】因?yàn)樗?，即，所以，即對任意，恒成?設(shè)，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.因?yàn)閷θ我?，恒成立，所以對任意，恒成?所以對任意，恒成立.即恒成立.設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，.所以對任意，恒成立，只需即可.故的最小值為.故選：B二、多選題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，則（）A. B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)， D.在上的投影向量的坐標(biāo)為【答案】ABD【解析】因?yàn)?，所以，所以，故A正確；因?yàn)椋?，所以，即，故B正確；因?yàn)椋裕矗蔆錯(cuò)誤；因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛椋訢正確.故選：ABD10.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，對任意都有，且，，則（）A.的圖象關(guān)于直線對稱 B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C. D.為偶函數(shù)【答案】AC【解析】∵，則的圖象關(guān)于直線對稱，故A正確，B錯(cuò)誤；∵函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則，又，∴，則，即，∴函數(shù)的周期為8，則，故C正確；∵，所以為奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤．故選：AC.11.已知函數(shù)，則（）A.是以為周期的函數(shù)B.存在無窮多個(gè)零點(diǎn)C.的值域?yàn)镈.至少存在三個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得為偶函數(shù)【答案】ACD【解析】對于A,，，則是以為周期的函數(shù)，故A正確.對于B，C，因?yàn)榈闹芷跒?，所以只需研究在區(qū)間上的正負(fù)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，且，所以在上恒成?當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，有最大值1，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的最小值為.綜上所述，在上的取值均大于沒有零點(diǎn).故在上沒有實(shí)數(shù)根，即在上沒有零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤，C正確.對于D，由，可得的圖象關(guān)于直線對稱，當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于軸對稱，此時(shí)為偶函數(shù).由是的周期，可知當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù).又因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于直線對稱，可知當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù).綜上所述，當(dāng)時(shí)，至少存在這三個(gè)值，使得為偶函數(shù)，故D正確.故選：ACD.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復(fù)數(shù)滿足，則_____________.【答案】【解析】由題意得，，∴.13.已知函數(shù).曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則____________【答案】【解析】由于，故，，，，，解得，．.14.黎曼猜想由數(shù)學(xué)家波恩哈德黎曼于1859年提出，是至今仍未解決的世界難題.黎曼猜想研究的是無窮級數(shù)，我們經(jīng)常從無窮級數(shù)的部分和入手.已知正項(xiàng)數(shù)列an的前項(xiàng)和為，且滿足，則______.（其中表示不超過的最大整數(shù)）【答案】88【解析】由題意可得，當(dāng)時(shí)，，化簡得，又當(dāng)時(shí)，，解得或（舍去），所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列，所以，即.故當(dāng)時(shí)，①，所以當(dāng)時(shí)，，設(shè)，由①可得，S>1+2×(3-2+所以.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;（2）將的圖象先向右平移個(gè)單位長度，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，求在上的最大值和最小值.解：（1）依題意得，所以的最小正周期為令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）將的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，再將所得圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到函數(shù)的圖象.令，由，可得.因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上的最大值為，最小值為.16.已知數(shù)列an的前項(xiàng)和為，等差數(shù)列bn的前項(xiàng)和為.（1）求an和bn（2）設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）因?yàn)?，①所以?dāng)時(shí)，，又，所以.當(dāng)時(shí)，，②①式減去②式得，所以.又，所以，所以an是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.設(shè)等差數(shù)列bn的公差為，因?yàn)?，可得，解得，所以，即bn的通項(xiàng)公式為.（2）因可得則數(shù)列的前2n項(xiàng)和，令，，則，所以，，.17.在中，內(nèi)角所對的邊分別是.（1）求角;（2）如圖，已知為平面內(nèi)一點(diǎn)，且四點(diǎn)共圓，，求四邊形ABCD周長的最大值.解：（1），由正弦定理可得.因?yàn)?，所以，則，且，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋瑒t，可得，所以.（2）因?yàn)椋?，又，所以由余弦定理可得，所以，?因?yàn)樗狞c(diǎn)共圓，，所以.在中，由余弦定理可得，所以，所以.由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，當(dāng)且僅