2024屆江蘇省揚(yáng)州市高三上學(xué)期期末檢測(cè)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省揚(yáng)州市2024屆高三上學(xué)期期末檢測(cè)考試數(shù)學(xué)試題一?單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求）1.已知集合，則中元素個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】方程，表示圓心為，半徑為，則圓心到直線：的距離為，得直線與圓相切，只有一個(gè)交點(diǎn)，則中元素的個(gè)數(shù)為1.故選：B2.若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為在第一象限.故選：A3.已知平面向量，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知平面向量，故在上的投影向量為，故選：B4.計(jì)算機(jī)在進(jìn)行數(shù)的計(jì)算處理時(shí)，通常使用的是二進(jìn)制.一個(gè)十進(jìn)制數(shù)可以表示成二進(jìn)制數(shù)，則，其中，當(dāng)時(shí)，.例如，則十進(jìn)制數(shù)2024表示成二進(jìn)制數(shù)為.那么，二進(jìn)制數(shù)表示成十進(jìn)制數(shù)為（）A.1023 B.1024 C.2047 D.2048【答案】C【解析】由題設(shè)，.故選：C5.若，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，而，則，所以，即，由，則，即，綜上，.故選：D6.已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，且，則的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，可得，令，結(jié)合，則，所以在R上遞減，故，則原不等式解集為.故選：A7.已知，則（）A.0 B. C. D.1【答案】A【解析】已知，則，，，，則，，則.故選：A.8.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，若正方形的一邊為圓的一條弦，則的最大值為（）A. B. C. D.5【答案】C【解析】令且，，要使最大有，如下圖示，在中，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，所以的最大值為.故選：C二?多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分）9.已知函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則的圖象可能是（）A. B.C D.【答案】BC【解析】由已知得，若為偶函數(shù)，則恒成立，所以恒成立，故，則，所以時(shí)有，顯然C對(duì)，D錯(cuò)；若為奇函數(shù)，則恒成立，所以恒成立，故，則，所以時(shí)有，顯然B對(duì)，A錯(cuò)；故選：BC10.將兩組數(shù)據(jù)合并成一組數(shù)據(jù)后（可以有重復(fù)的數(shù)據(jù)），下列特征數(shù)一定介于合并前兩組數(shù)據(jù)的該種特征數(shù)之間（可以取等）的有（）.A.平均數(shù) B.極差 C.標(biāo)準(zhǔn)差 D.中位數(shù)【答案】AD【解析】平均數(shù)是所有數(shù)據(jù)總和除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，所以合并后的數(shù)據(jù)平均數(shù)一定介于合并前兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)之間，例如：2，4，平均數(shù)為3，4，6，平均數(shù)為5，合并后平均數(shù)為4，故A正確；極差是一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值之差，所以合并后的數(shù)據(jù)極差不一定介于合并前兩組數(shù)據(jù)的極差，例如：，2，8，這組數(shù)據(jù)極差為9；1，3，9，這組數(shù)據(jù)極差為8，而合并后的極差為10，故B錯(cuò)誤；標(biāo)準(zhǔn)差是一組數(shù)據(jù)的離散程度，所以合并后的數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差不一定介于合并前兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，例如：2，4，標(biāo)準(zhǔn)差為1，4，6，標(biāo)準(zhǔn)差為1，而合并后標(biāo)準(zhǔn)差為，故C錯(cuò)誤；中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)中間位置的數(shù)，所以合并后的數(shù)據(jù)中位數(shù)一定介于合并前兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，例如：，2，8，這組數(shù)據(jù)中位數(shù)為2；1，3，9，這組數(shù)據(jù)中位數(shù)為3，合并后中位數(shù)為2.5，故D正確.故選：AD.11.已知，若，且是的必要條件，則可能為（）A.的最小正周期為B.是圖象的一條對(duì)稱軸C.在上單調(diào)遞增D.在上沒有零點(diǎn)【答案】AC【解析】A：為的最小正周期為，則，此時(shí)是的必要條件，符合；B：為是圖象的一條對(duì)稱軸，則，所以且，則，此時(shí)不是的必要條件，不符合；C：為在上單調(diào)遞增，則有遞增，所以，即，此時(shí)是的必要條件，符合；D：為在上沒有零點(diǎn)，則有沒有零點(diǎn)，所以且，則或，此時(shí)不是的必要條件，不符合；故選：AC12.棱長為2的正方體中，下列選項(xiàng)中正確的有（）A.過的平面截此正方體所得的截面為四邊形B.過的平面截此正方體所得的截面的面積范圍為C.四棱錐與四棱錐的公共部分為八面體D.四棱錐與四棱錐的公共部分體積為【答案】ABD【解析】連接與線段上任意一點(diǎn)，過作交于，所以過平面截此正方體所得的截面為四邊形，A對(duì)；由上分析及正方體結(jié)構(gòu)特征易知：四邊形為平行四邊形，若為各線段上的中點(diǎn)時(shí)，四邊形為菱形，此時(shí)截面最小面積為；根據(jù)正方體的對(duì)稱性，從中點(diǎn)向或運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形面積都是由小變大，當(dāng)與重合時(shí)，截面最大面積為；綜上，過的平面截此正方體所得的截面的面積范圍為，B對(duì)；令交于，交于，交于，顯然是各交線的中點(diǎn)，若是中點(diǎn)，連接，所以四棱錐與四棱錐的公共部分為六面體，C錯(cuò)；其體積，D對(duì).故選：ABD三?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.若展開式中的常數(shù)項(xiàng)為120，則實(shí)數(shù)的值為__________.【答案】【解析】由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，令，可得，代入可得，解得.故答案為：.14.某圓臺(tái)的上下底面半徑分別為1和2，若它的外接球表面積為，則該圓臺(tái)的高為__________.【答案】【解析】若外接球半徑，則，可得，由圓臺(tái)軸截面外接圓為外接球最大截面圓，如下圖于，所以，則該圓臺(tái)的高.故答案為：15.已知橢圓的右焦點(diǎn)為是的中點(diǎn)，若橢圓上到點(diǎn)的距離最小的點(diǎn)有且僅有一個(gè)，則橢圓的離心率的取值范圍為__________.【答案】【解析】因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)，而是的中點(diǎn)，則因?yàn)闄E圓C上到點(diǎn)的距離最小的點(diǎn)有且僅有一個(gè)，又無論該點(diǎn)是在軸上方還是下方，由于橢圓的對(duì)稱性都會(huì)有2個(gè)最小點(diǎn)，而左右頂點(diǎn)中，右頂點(diǎn)更靠近點(diǎn)，所以右頂點(diǎn)到的距離最小，設(shè)是橢圓上的點(diǎn)，，，對(duì)于，其開口向上，對(duì)稱軸為，定義域?yàn)?，要使在處取得最小值，則在上單調(diào)遞減，所以，即，則，又，所以.故答案為：.16.有一個(gè)郵件過濾系統(tǒng)，它可以根據(jù)郵件的內(nèi)容和發(fā)件人等信息，判斷郵件是不是垃圾郵件，并將其標(biāo)記為垃圾郵件或正常郵件.對(duì)這個(gè)系統(tǒng)的測(cè)試具有以下結(jié)果：每封郵件被標(biāo)記為垃圾郵件的概率為，被標(biāo)記為垃圾郵件的有的概率是正常郵件，被標(biāo)記為正常郵件的有的概率是垃圾郵件，則垃圾郵件被該系統(tǒng)成功過濾（即垃圾郵件被標(biāo)記為垃圾郵件）的概率為__________.【答案】【解析】記“正常郵件”，“標(biāo)記為正常郵件”，則，，，所以，，故，所以.故答案為：四?解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟）17.在中，角所對(duì)的邊分別為.（1）求：（2）若，求的面積.解：（1）在中，由正弦定理得，又，所以，又，所以，所以，，所以，故，所以.（2）法一：在中，由余弦定理得，又，所以，解得，所以.法二：由（1）知，又，解得.在中，由正弦定理得，所以，所以.18.已知數(shù)列滿足.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.證明：（1）因?yàn)椋?，又，所以，故各?xiàng)均不為0，所以是常數(shù)，則數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列.解：（2）由（1）知，①，法一：因?yàn)椋?，又，所以，故各?xiàng)均不為0，所以是常數(shù)，則數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以②，①+②得：，所以.法二：因?yàn)?，所以，所以，所以時(shí)，，所以，又時(shí)，上式也成立，所以.19.如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，四邊形是邊長為2的菱形，平面平面分別為的中點(diǎn)，且.（1）求證：；（2）求二面角的余弦值.證明：（1）方法一：連結(jié).因?yàn)闉榈冗吶切?，是的中點(diǎn)，所以.又面面，面面面，所以面.因?yàn)槊?，所?在Rt中，所以，在中，所以，即，則.又，所以，又面，所以面，又面，所以，方法二：連結(jié)因?yàn)闉榈冗吶切?，是的中點(diǎn)，所以.又面面，面面面，所以面.如圖，在平面內(nèi)作，分別以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)，則.因?yàn)椋寓?，因?yàn)椋寓?，由①②，解得：（舍?fù)）.所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，所以，所以.解：（2）由（1）知，平面，又平面，所以，又，以為原點(diǎn)，所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，由（1）知，又，面，所以面，所以為平面的一個(gè)法向量.設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，因?yàn)?，所以取，則，則為平面一個(gè)法向量.所以，由圖知二面角的平面角為鈍角，余弦值為.20.某保險(xiǎn)公司有一款保險(xiǎn)產(chǎn)品，該產(chǎn)品今年保費(fèi)為200元/人，賠付金額為5萬元/人.假設(shè)該保險(xiǎn)產(chǎn)品的客戶為10000名，每人被賠付的概率均為，記10000名客戶中獲得賠償?shù)娜藬?shù)為.（1）求，并計(jì)算該公司今年這一款保險(xiǎn)產(chǎn)品利潤的期望；（2）二項(xiàng)分布是離散型的，而正態(tài)分布是連續(xù)型的，它們是不同的概率分布，但是，隨著二項(xiàng)分布的試驗(yàn)次數(shù)的增加，二項(xiàng)分布折線圖與正態(tài)分布曲線幾乎一致，所以當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)，可以利用正態(tài)分布處理二項(xiàng)分布的相關(guān)概率計(jì)算問題，我們知道若，則，當(dāng)較大且較小時(shí)，我們?yōu)榱撕?jiǎn)化計(jì)算，常用的值估算的值.請(qǐng)根據(jù)上述信息，求：①該公司今年這一款保險(xiǎn)產(chǎn)品利潤為50~100萬元的概率；②該公司今年這一款保險(xiǎn)產(chǎn)品虧損的概率.參考數(shù)據(jù)：若，則.解：（1）由題可知，則，記該公司今年這一款保險(xiǎn)產(chǎn)品利潤為變量，則，所以萬元.（2）因?yàn)?，?dāng)較大且較小時(shí)，，則.由于較大，，其中，若該公司今年這一款保險(xiǎn)產(chǎn)品利潤，則，；若該公司今年這一款保險(xiǎn)產(chǎn)品利潤，則，.答：（1），該公司今年這一款保險(xiǎn)產(chǎn)品利潤的期望為75萬元；（2）①該公司今年這一款保險(xiǎn)產(chǎn)品利潤為萬元的概率為0.683；②虧損的概率為0.0015.21.已知雙曲線的離心率為，且左焦點(diǎn)到漸近線的距離為.過作直線分別交雙曲線于和，且線段的中點(diǎn)分別為，.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線斜率的乘積為，試探究：是否存在定圓，使得直線被圓截得的弦長恒為4？若存在，請(qǐng)求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1）因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，左焦點(diǎn)，所以，則，又，所以，得，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題設(shè)知，設(shè)，則，得，，所以，又是的中點(diǎn)，所以，則，同理，法一：若，即，即，即，又，則，此時(shí)，此時(shí)，由圖形的對(duì)稱性，猜測(cè)直線過軸上一定點(diǎn).下面，驗(yàn)證一般性：，，則，所以三點(diǎn)共線.綜上，直線過定點(diǎn)所以存在定圓，使得直線被圓截得的弦長恒為4.法二：若，則，又，所以，所以直線的方程為，即，即，即，所以直線過定點(diǎn).若，即，即，即，又，則，此時(shí)，此時(shí)也過.故直線過定點(diǎn).所以存在定圓，使得直線被圓截得的弦長恒為4.22.已知函數(shù)的最小值為.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求證：.解：（1）因?yàn)?，令，可得，?dāng)時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增.所以，所以.證明：（2）由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，先證明.記，則，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，即，故，即.又，由單調(diào)性知：，即.再證明.記函數(shù)與和交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為.①當(dāng)時(shí)，，故，所以，.（或：的圖象在的圖象的下方，且兩個(gè)函數(shù)在上都是減函數(shù)）②當(dāng)時(shí)，記，所以.當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增.又，當(dāng)時(shí)，，即.故所以，故.（或的圖象在的圖象的下方，且兩個(gè)函數(shù)在上都遞增）綜上，.江蘇省揚(yáng)州市2024屆高三上學(xué)期期末檢測(cè)考試數(shù)學(xué)試題一?單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求）1.已知集合，則中元素個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】方程，表示圓心為，半徑為，則圓心到直線：的距離為，得直線與圓相切，只有一個(gè)交點(diǎn)，則中元素的個(gè)數(shù)為1.故選：B2.若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為在第一象限.故選：A3.已知平面向量，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知平面向量，故在上的投影向量為，故選：B4.計(jì)算機(jī)在進(jìn)行數(shù)的計(jì)算處理時(shí)，通常使用的是二進(jìn)制.一個(gè)十進(jìn)制數(shù)可以表示成二進(jìn)制數(shù)，則，其中，當(dāng)時(shí)，.例如，則十進(jìn)制數(shù)2024表示成二進(jìn)制數(shù)為.那么，二進(jìn)制數(shù)表示成十進(jìn)制數(shù)為（）A.1023 B.1024 C.2047 D.2048【答案】C【解析】由題設(shè)，.故選：C5.若，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，而，則，所以，即，由，則，即，綜上，.故選：D6.已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，且，則的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，可得，令，結(jié)合，則，所以在R上遞減，故，則原不等式解集為.故選：A7.已知，則（）A.0 B. C. D.1【答案】A【解析】已知，則，，，，則，，則.故選：A.8.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，若正方形的一邊為圓的一條弦，則的最大值為（）A. B. C. D.5【答案】C【解析】令且，，要使最大有，如下圖示，在中，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，所以的最大值為.故選：C二?多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分）9.已知函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則的圖象可能是（）A. B.C D.【答案】BC【解析】由已知得，若為偶函數(shù)，則恒成立，所以恒成立，故，則，所以時(shí)有，顯然C對(duì)，D錯(cuò)；若為奇函數(shù)，則恒成立，所以恒成立，故，則，所以時(shí)有，顯然B對(duì)，A錯(cuò)；故選：BC10.將兩組數(shù)據(jù)合并成一組數(shù)據(jù)后（可以有重復(fù)的數(shù)據(jù)），下列特征數(shù)一定介于合并前兩組數(shù)據(jù)的該種特征數(shù)之間（可以取等）的有（）.A.平均數(shù) B.極差 C.標(biāo)準(zhǔn)差 D.中位數(shù)【答案】AD【解析】平均數(shù)是所有數(shù)據(jù)總和除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，所以合并后的數(shù)據(jù)平均數(shù)一定介于合并前兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)之間，例如：2，4，平均數(shù)為3，4，6，平均數(shù)為5，合并后平均數(shù)為4，故A正確；極差是一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值之差，所以合并后的數(shù)據(jù)極差不一定介于合并前兩組數(shù)據(jù)的極差，例如：，2，8，這組數(shù)據(jù)極差為9；1，3，9，這組數(shù)據(jù)極差為8，而合并后的極差為10，故B錯(cuò)誤；標(biāo)準(zhǔn)差是一組數(shù)據(jù)的離散程度，所以合并后的數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差不一定介于合并前兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，例如：2，4，標(biāo)準(zhǔn)差為1，4，6，標(biāo)準(zhǔn)差為1，而合并后標(biāo)準(zhǔn)差為，故C錯(cuò)誤；中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)中間位置的數(shù)，所以合并后的數(shù)據(jù)中位數(shù)一定介于合并前兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，例如：，2，8，這組數(shù)據(jù)中位數(shù)為2；1，3，9，這組數(shù)據(jù)中位數(shù)為3，合并后中位數(shù)為2.5，故D正確.故選：AD.11.已知，若，且是的必要條件，則可能為（）A.的最小正周期為B.是圖象的一條對(duì)稱軸C.在上單調(diào)遞增D.在上沒有零點(diǎn)【答案】AC【解析】A：為的最小正周期為，則，此時(shí)是的必要條件，符合；B：為是圖象的一條對(duì)稱軸，則，所以且，則，此時(shí)不是的必要條件，不符合；C：為在上單調(diào)遞增，則有遞增，所以，即，此時(shí)是的必要條件，符合；D：為在上沒有零點(diǎn)，則有沒有零點(diǎn)，所以且，則或，此時(shí)不是的必要條件，不符合；故選：AC12.棱長為2的正方體中，下列選項(xiàng)中正確的有（）A.過的平面截此正方體所得的截面為四邊形B.過的平面截此正方體所得的截面的面積范圍為C.四棱錐與四棱錐的公共部分為八面體D.四棱錐與四棱錐的公共部分體積為【答案】ABD【解析】連接與線段上任意一點(diǎn)，過作交于，所以過平面截此正方體所得的截面為四邊形，A對(duì)；由上分析及正方體結(jié)構(gòu)特征易知：四邊形為平行四邊形，若為各線段上的中點(diǎn)時(shí)，四邊形為菱形，此時(shí)截面最小面積為；根據(jù)正方體的對(duì)稱性，從中點(diǎn)向或運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形面積都是由小變大，當(dāng)與重合時(shí)，截面最大面積為；綜上，過的平面截此正方體所得的截面的面積范圍為，B對(duì)；令交于，交于，交于，顯然是各交線的中點(diǎn)，若是中點(diǎn)，連接，所以四棱錐與四棱錐的公共部分為六面體，C錯(cuò)；其體積，D對(duì).故選：ABD三?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.若展開式中的常數(shù)項(xiàng)為120，則實(shí)數(shù)的值為__________.【答案】【解析】由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，令，可得，代入可得，解得.故答案為：.14.某圓臺(tái)的上下底面半徑分別為1和2，若它的外接球表面積為，則該圓臺(tái)的高為__________.【答案】【解析】若外接球半徑，則，可得，由圓臺(tái)軸截面外接圓為外接球最大截面圓，如下圖于，所以，則該圓臺(tái)的高.故答案為：15.已知橢圓的右焦點(diǎn)為是的中點(diǎn)，若橢圓上到點(diǎn)的距離最小的點(diǎn)有且僅有一個(gè)，則橢圓的離心率的取值范圍為__________.【答案】【解析】因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)，而是的中點(diǎn)，則因?yàn)闄E圓C上到點(diǎn)的距離最小的點(diǎn)有且僅有一個(gè)，又無論該點(diǎn)是在軸上方還是下方，由于橢圓的對(duì)稱性都會(huì)有2個(gè)最小點(diǎn)，而左右頂點(diǎn)中，右頂點(diǎn)更靠近點(diǎn)，所以右頂點(diǎn)到的距離最小，設(shè)是橢圓上的點(diǎn)，，，對(duì)于，其開口向上，對(duì)稱軸為，定義域?yàn)椋乖谔幦〉米钚≈?，則在上單調(diào)遞減，所以，即，則，又，所以.故答案為：.16.有一個(gè)郵件過濾系統(tǒng)，它可以根據(jù)郵件的內(nèi)容和發(fā)件人等信息，判斷郵件是不是垃圾郵件，并將其標(biāo)記為垃圾郵件或正常郵件.對(duì)這個(gè)系統(tǒng)的測(cè)試具有以下結(jié)果：每封郵件被標(biāo)記為垃圾郵件的概率為，被標(biāo)記為垃圾郵件的有的概率是正常郵件，被標(biāo)記為正常郵件的有的概率是垃圾郵件，則垃圾郵件被該系統(tǒng)成功過濾（即垃圾郵件被標(biāo)記為垃圾郵件）的概率為__________.【答案】【解析】記“正常郵件”，“標(biāo)記為正常郵件”，則，，，所以，，故，所以.故答案為：四?解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟）17.在中，角所對(duì)的邊分別為.（1）求：（2）若，求的面積.解：（1）在中，由正弦定理得，又，所以，又，所以，所以，，所以，故，所以.（2）法一：在中，由余弦定理得，又，所以，解得，所以.法二：由（1）知，又，解得.在中，由正弦定理得，所以，所以.18.已知數(shù)列滿足.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.證明：（1）因?yàn)?，所以，又，所以，故各?xiàng)均不為0，所以是常數(shù)，則數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列.解：（2）由（1）知，①，法一：因?yàn)?，所以，又，所以，故各?xiàng)均不為0，所以是常數(shù)，則數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以②，①+②得：，所以.法二：因?yàn)?，所以，所以，所以時(shí)，，所以，又時(shí)，上式也成立，所以.19.如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，四邊形是邊長為2的菱形，平面平面分別為的中點(diǎn)，且.（1）求證：；（2）求二面角的余弦值.證明：（1）方法一：連結(jié).因?yàn)闉榈冗吶切危堑闹悬c(diǎn)，所以.又面面，面面面，所以面.因?yàn)槊妫?在Rt中，所以，在中，所以，即，則.又，所以，又面，所以面，又面，所以，方法二：連結(jié)因?yàn)闉榈冗吶切?，是的中點(diǎn)，所以.又面面，面面面，所以面.如圖，在平面內(nèi)作，分別以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)，則.因?yàn)?，所以①，因?yàn)?，所以②，由①②，解得：（舍?fù)）.所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，所以，所以.解：（2）由（1）知，平面，又平面，所以，又，以為原點(diǎn)，所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，由（1）知，又，面，所以面，所以為平面的一個(gè)法向量.設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，因?yàn)?，所以取，則，則為平面一個(gè)法向量.所以，由圖知二面角的平面角為鈍角，余弦值為.20.某保險(xiǎn)公司有一款保險(xiǎn)產(chǎn)品，該產(chǎn)品今年保費(fèi)為200元/人，賠付金額為5萬元/人.假設(shè)該保險(xiǎn)產(chǎn)品的客戶為10000名，每人被賠付的概率均為，記10000名客戶中獲得賠償?shù)娜藬?shù)為.（1）求，并計(jì)算該公司今年這一款保險(xiǎn)產(chǎn)品利潤的期望；（2）二項(xiàng)分布是離散型的，而正態(tài)分布是連續(xù)型的，它們是不同的概率分布，但是，隨著二項(xiàng)分布的試驗(yàn)次數(shù)的增加，二項(xiàng)分布折線圖與正態(tài)分布曲線幾乎一致，所以當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)，可以利用正態(tài)分布處理二項(xiàng)分布的相關(guān)概率計(jì)算問題，我們知道若，則，當(dāng)