2024屆黑龍江省齊齊哈爾市普高聯(lián)誼校高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省齊齊哈爾市普高聯(lián)誼校2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一?選擇題1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，解得，所以，又，所以．故選：D.2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】∵復(fù)數(shù)=,∴復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是（）,∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限，故選A.3.在等比數(shù)列中，，，則首項等于（）A.2 B.1 C. D.【答案】C【解析】，，，.故選：C.4.若平面向量，滿足，，且，則向量與夾角的大小是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)向量與的夾角是，則．又因為，所以．故選：A．5.設(shè)函數(shù)，則（）A.是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增 B.是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減C.是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增 D.是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減【答案】B【解析】因為函數(shù)的定義域為R，且，所以是奇函數(shù)，又，作出函數(shù)圖象如下圖：由圖知，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故選：B6.若函數(shù)在上單調(diào)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，因為在單調(diào)，所以，∴，故選：D.7.若為函數(shù)的極值點，則函數(shù)的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，因為是函數(shù)的極值點，所以，則，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．故選：C8.圣·索菲亞教堂（英語：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中國黑龍江省，是一座始建于1907年拜占庭風(fēng)格的東正教教堂，為哈爾濱的標(biāo)志性建筑，被列為第四批全國重點文物保護(hù)單位.其中央主體建筑集球?圓柱?棱柱于一體，極具對稱之美，可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)略它的美，小明同學(xué)為了估算索菲亞教堂的高度，在索非亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為在它們之間的地面上的點M（B，M，D三點共線）處測得樓頂A教堂頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測得塔頂C的仰角為30°，則小明估算索菲亞教堂的高度為（）A.30 B.60 C. D.【答案】D【解析】由題意知，，，所以，在中，，在中，由正弦定理得，，所以，在中，米，所以小明估算索菲亞教堂的高度為米．故選：D．二?多選題9.設(shè)向量，，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】對于A，，，A正確；對于B，，與不平行，B錯誤；對于C，，，C正確；對于D，，，D正確.故選：ACD.10.設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.最大 C. D.【答案】AD【解析】因為，所以，得，即，則A正確.當(dāng)時，，則，最小，故B錯誤.因為，所以，所以，對稱軸為，所以，則C錯誤.因為，所以D正確.故選：AD11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C.函數(shù)為偶函數(shù)D.若函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后關(guān)于軸對稱，則可以為【答案】ABD【解析】因為，所以的最小正周期為，故A正確；當(dāng)時，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，B正確；易知函數(shù)定義域為，又，所以函數(shù)不是偶函數(shù)，故C錯誤；函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為，由題意，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，所以，，即，，當(dāng)時，，故D正確．故選：ABD.12.如圖所示，在棱長為2正方體中，是線段上的動點，則下列說法正確的是（）A.平面平面B.的最小值為C.若直線與所成角的余弦值為，則D.若是的中點，則到平面的距離為【答案】ABD【解析】在正方體中，因為平面，平面，所以平面平面，故A正確；連接，由平面，平面，得，故在中，當(dāng)點與重合時，取最小值，故B正確；如圖，以、、所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，，則，，假設(shè)存在點，使直線與所成角的余弦值為，則，解得（舍去），或，此時點是中點，，故C錯誤；由且平面，平面，知平面，則到平面的距離，即為到平面的距離；是的中點，故，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，，故，所以點到平面的距離為，即到平面的距離為，D正確．故選：ABD.三?填空題13.已知函數(shù)，則______．【答案】【解析】因為，則，故.故答案為：.14.若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則__________．【答案】4【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，有，則，解得，所以．故答案為：4．15.已知，為坐標(biāo)原點，點（異于點）在直線上，則________.【答案】【解析】點（異于點）在直線上，可設(shè)，，可得，，則，且，所以，故答案為：.16.已知函數(shù)圖象上相鄰兩對稱軸的距離為，則函數(shù)的圖象與函數(shù)（，且的圖象所有交點的橫坐標(biāo)之和為________.【答案】4【解析】由題知，函數(shù)的最小正周期為，，所以，則.又，所以的圖象關(guān)于點中心對稱，作出和，且的圖象如圖所示，可知兩函數(shù)圖象共有4個交點，且關(guān)于點中心對稱，將4個交點從左到右設(shè)為，，則，故這4個交點的橫坐標(biāo)之和為:.故答案為：4.四?解答題17.在遞增的等比數(shù)列中，，，其中.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和.解：（1）由，等比數(shù)列是遞增數(shù)列，得，因此數(shù)列的公比，則，所以數(shù)列的通項公式是.（2）由（1）得，，.18.在中，角，，所對的邊分別為，，，.（1）求角；（2）若，求邊上高的最大值.解：（1）由正弦定理及，得.因為，所以，所以，所以.因為，所以.因為，所以.（2）由（1）及余弦定理得：，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，設(shè)邊上的高為，又因為，所以.即邊上高的最大值為.19.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)棱底面，點是的中點，，．（1）求與所成角的大小；（2）求與平面所成角的正弦值．解：（1），又底面，、底面，，，故以為坐標(biāo)原點，，，所在的直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，所以，所以，即與所成角的大小為；（2）由（1）知，，．設(shè)平面一個法向量為，則，取，則，，所以是平面的一個法向量，設(shè)與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為．20.已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項和，，．（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數(shù)列通項公式是；（2）方法1：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時，，，當(dāng)為奇數(shù)時，.所以.方法2：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)為奇數(shù)時，若，則，顯然滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時，..21.如圖，多面體中，四邊形為菱形，平面，，，，.（1）若是的中點，證明：平面平面；（2）求二面角的正弦值.（1）證明：連接，因為四邊形為菱形，且，所以與為等邊三角形.又中點為，所以.因為，所以，因為平面，平面，所以.又，平面，所以平面.因為平面，所以平面平面.（2）解：連接，，設(shè)，交于點，取中點，連接，所以，底面.以為原點，以，，分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則令，得；設(shè)平面的一個法向量為，則令，得；所以，所以二面角的正弦值為.22.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數(shù)有兩個不同零點，求的取值范圍，并證明.解：（1）當(dāng)時，，易知，所以曲線在點處的切線方程為：；（2）由已知可得，①若，則，，即在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，，又時，，所以函數(shù)存在兩個零點；②若時，，顯然不符合題意；③若時，令，當(dāng)時，令或，令，即在上單調(diào)遞減，和上單調(diào)遞增，函數(shù)極小值為，函數(shù)極大值為，此時函數(shù)至多有一個零點，不符合題意；當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，至多一個零點，不符合題意；當(dāng)時，令或，令，即在上單調(diào)遞減，和上單調(diào)遞增，函數(shù)極大值為，函數(shù)極小值為，此時函數(shù)至多有一個零點，不符合題意；綜上所述，時函數(shù)有兩個零點，則一正一負(fù)，不妨令，設(shè)，令，即在R上單調(diào)遞增，所以，，故時，有，時，有，即，所以，則，又因在上單調(diào)遞減，故，證畢.黑龍江省齊齊哈爾市普高聯(lián)誼校2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一?選擇題1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，解得，所以，又，所以．故選：D.2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】∵復(fù)數(shù)=,∴復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是（）,∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限，故選A.3.在等比數(shù)列中，，，則首項等于（）A.2 B.1 C. D.【答案】C【解析】，，，.故選：C.4.若平面向量，滿足，，且，則向量與夾角的大小是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)向量與的夾角是，則．又因為，所以．故選：A．5.設(shè)函數(shù)，則（）A.是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增 B.是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減C.是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增 D.是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減【答案】B【解析】因為函數(shù)的定義域為R，且，所以是奇函數(shù)，又，作出函數(shù)圖象如下圖：由圖知，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故選：B6.若函數(shù)在上單調(diào)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，因為在單調(diào)，所以，∴，故選：D.7.若為函數(shù)的極值點，則函數(shù)的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，因為是函數(shù)的極值點，所以，則，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．故選：C8.圣·索菲亞教堂（英語：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中國黑龍江省，是一座始建于1907年拜占庭風(fēng)格的東正教教堂，為哈爾濱的標(biāo)志性建筑，被列為第四批全國重點文物保護(hù)單位.其中央主體建筑集球?圓柱?棱柱于一體，極具對稱之美，可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)略它的美，小明同學(xué)為了估算索菲亞教堂的高度，在索非亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為在它們之間的地面上的點M（B，M，D三點共線）處測得樓頂A教堂頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測得塔頂C的仰角為30°，則小明估算索菲亞教堂的高度為（）A.30 B.60 C. D.【答案】D【解析】由題意知，，，所以，在中，，在中，由正弦定理得，，所以，在中，米，所以小明估算索菲亞教堂的高度為米．故選：D．二?多選題9.設(shè)向量，，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】對于A，，，A正確；對于B，，與不平行，B錯誤；對于C，，，C正確；對于D，，，D正確.故選：ACD.10.設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.最大 C. D.【答案】AD【解析】因為，所以，得，即，則A正確.當(dāng)時，，則，最小，故B錯誤.因為，所以，所以，對稱軸為，所以，則C錯誤.因為，所以D正確.故選：AD11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C.函數(shù)為偶函數(shù)D.若函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后關(guān)于軸對稱，則可以為【答案】ABD【解析】因為，所以的最小正周期為，故A正確；當(dāng)時，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，B正確；易知函數(shù)定義域為，又，所以函數(shù)不是偶函數(shù)，故C錯誤；函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為，由題意，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，所以，，即，，當(dāng)時，，故D正確．故選：ABD.12.如圖所示，在棱長為2正方體中，是線段上的動點，則下列說法正確的是（）A.平面平面B.的最小值為C.若直線與所成角的余弦值為，則D.若是的中點，則到平面的距離為【答案】ABD【解析】在正方體中，因為平面，平面，所以平面平面，故A正確；連接，由平面，平面，得，故在中，當(dāng)點與重合時，取最小值，故B正確；如圖，以、、所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，，則，，假設(shè)存在點，使直線與所成角的余弦值為，則，解得（舍去），或，此時點是中點，，故C錯誤；由且平面，平面，知平面，則到平面的距離，即為到平面的距離；是的中點，故，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，，故，所以點到平面的距離為，即到平面的距離為，D正確．故選：ABD.三?填空題13.已知函數(shù)，則______．【答案】【解析】因為，則，故.故答案為：.14.若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則__________．【答案】4【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，有，則，解得，所以．故答案為：4．15.已知，為坐標(biāo)原點，點（異于點）在直線上，則________.【答案】【解析】點（異于點）在直線上，可設(shè)，，可得，，則，且，所以，故答案為：.16.已知函數(shù)圖象上相鄰兩對稱軸的距離為，則函數(shù)的圖象與函數(shù)（，且的圖象所有交點的橫坐標(biāo)之和為________.【答案】4【解析】由題知，函數(shù)的最小正周期為，，所以，則.又，所以的圖象關(guān)于點中心對稱，作出和，且的圖象如圖所示，可知兩函數(shù)圖象共有4個交點，且關(guān)于點中心對稱，將4個交點從左到右設(shè)為，，則，故這4個交點的橫坐標(biāo)之和為:.故答案為：4.四?解答題17.在遞增的等比數(shù)列中，，，其中.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和.解：（1）由，等比數(shù)列是遞增數(shù)列，得，因此數(shù)列的公比，則，所以數(shù)列的通項公式是.（2）由（1）得，，.18.在中，角，，所對的邊分別為，，，.（1）求角；（2）若，求邊上高的最大值.解：（1）由正弦定理及，得.因為，所以，所以，所以.因為，所以.因為，所以.（2）由（1）及余弦定理得：，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，設(shè)邊上的高為，又因為，所以.即邊上高的最大值為.19.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)棱底面，點是的中點，，．（1）求與所成角的大小；（2）求與平面所成角的正弦值．解：（1），又底面，、底面，，，故以為坐標(biāo)原點，，，所在的直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，所以，所以，即與所成角的大小為；（2）由（1）知，，．設(shè)平面一個法向量為，則，取，則，，所以是平面的一個法向量，設(shè)與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為．20.已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項和，，．（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數(shù)列通項公式是；（2）方法