第10章平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)-1

3.1典型隨機(jī)過(guò)程3.2隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)分析3.3白噪聲通過(guò)線性系統(tǒng)3.4隨機(jī)序列通過(guò)離散線性系統(tǒng)§3平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)13.1典型的隨機(jī)過(guò)程1、白噪聲白噪聲的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)

平穩(wěn)白噪聲功率譜密度：白噪聲樣本函數(shù)波形

白噪聲相關(guān)系數(shù)：2、正態(tài)隨機(jī)過(guò)程如果一個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)的任意n維分布都服從正態(tài)分布，則稱(chēng)該隨機(jī)過(guò)程為正態(tài)隨機(jī)過(guò)程。一維分布特征函數(shù)

設(shè)X(t)是正態(tài)隨機(jī)過(guò)程，若有

則X(t)稱(chēng)為廣義平穩(wěn)正態(tài)過(guò)程。平穩(wěn)正態(tài)過(guò)程性質(zhì)：對(duì)于正態(tài)隨機(jī)過(guò)程而言，廣義平穩(wěn)與嚴(yán)格平穩(wěn)等價(jià)；不相關(guān)與獨(dú)立等價(jià)；一般平穩(wěn)正態(tài)噪聲與信號(hào)之和為非平穩(wěn)的正態(tài)過(guò)程。若平穩(wěn)正態(tài)過(guò)程具有均勻的功率譜密度，則稱(chēng)此過(guò)程為平穩(wěn)正態(tài)白噪聲。滿(mǎn)足

例1、設(shè)隨機(jī)過(guò)程，其中A、B是兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量，且有，，為常數(shù)，求此過(guò)程的一維概率密度。例2、一零均值高斯過(guò)程X(t)，其協(xié)方差函數(shù)為：求在時(shí)刻t1=0、t2=1、t3=2抽樣的三維概率密度。3.2隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)分析微分方程法；沖擊響應(yīng)法；頻譜法；3.3白噪聲通過(guò)線性系統(tǒng)1、沖激響應(yīng)法

h(t)X(t)Y(t)若X(t)平穩(wěn)?均值系統(tǒng)的輸出

?互相關(guān)函數(shù)若X(t)平穩(wěn)當(dāng)輸入X(t)為白噪聲，系統(tǒng)的輸出

系統(tǒng)h(t)X(t)互相關(guān)函數(shù)測(cè)量系統(tǒng)辨識(shí)結(jié)構(gòu)圖?自相關(guān)函數(shù)若X(t)平穩(wěn)輸入輸出相關(guān)函數(shù)關(guān)系圖平穩(wěn)情況2頻譜法

輸入輸出相關(guān)函數(shù)關(guān)系圖3

平穩(wěn)性討論(1)若輸入X(t)平穩(wěn)，h(t)在(-

，+)存在，則輸出Y(t)平穩(wěn)，且與X(t)聯(lián)合平穩(wěn)；(2)對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，即當(dāng)t<0時(shí)，h(t)=0，且假定輸入X(t)平穩(wěn)。?若輸入從-

加入(雙側(cè)隨機(jī)信號(hào))結(jié)論：輸出平穩(wěn)，若X(t)遍歷，則Y(t)遍歷?若輸入從t=0時(shí)加入，(單側(cè)隨機(jī)信號(hào))結(jié)論：輸出不平穩(wěn)例1

如圖所示的RC電路，輸入為零均值的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,

且相關(guān)函數(shù)為求輸出Y(t)的自相關(guān)函數(shù)。

X1(t)X2t)6

2

3

2

1FY(t)思考題：

相互獨(dú)立的隨機(jī)電壓信號(hào)X1(t)和X2(t)施加于RC網(wǎng)絡(luò)。電路中電阻無(wú)噪，已知求系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。

CX(t)Y(t)R3.3白噪聲通過(guò)線性系統(tǒng)?白噪聲通過(guò)積分系統(tǒng)相關(guān)函數(shù)：功率譜密度：相關(guān)時(shí)間：?白噪聲通過(guò)微分系統(tǒng)RCX(t)Y(t)功率譜密度：相關(guān)函數(shù)：?白噪聲通過(guò)理想低通系統(tǒng)|H(

)|K0

-

相關(guān)函數(shù)：輸出功率：輸出功率譜：理想低通隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)

pwc-0pwct)(tYR理想低通隨機(jī)信號(hào)：相關(guān)時(shí)間：相關(guān)系數(shù)：?白噪聲通過(guò)高斯型帶通系統(tǒng)0輸出功率譜：相關(guān)函數(shù)：輸出功率：-5-4-3-2-1012345-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.3高斯型帶通隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)

參量正比與系統(tǒng)帶寬，故相關(guān)時(shí)間與反比。相關(guān)時(shí)間：相關(guān)系數(shù)：3.4隨機(jī)序列通過(guò)離散線性系統(tǒng)等效噪聲帶寬隨機(jī)序列通過(guò)離散線性系統(tǒng)時(shí)間序列模型1：噪聲等效通能帶(等效噪聲帶寬)0等效原則：理想系統(tǒng)與實(shí)際系統(tǒng)在同一白噪聲激勵(lì)下，兩個(gè)系統(tǒng)的輸出平均功率相等，且理想系統(tǒng)的增益為實(shí)際系統(tǒng)的最大增益。對(duì)于可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，由帕斯瓦爾定理：?對(duì)于帶通系統(tǒng)離散系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)?低通性質(zhì)：(1)噪聲等效通能帶只由線性系統(tǒng)特性確定；(2)對(duì)于帶通系統(tǒng)，輸出平均功率對(duì)于低通系統(tǒng)，輸出平均功率(3)當(dāng)線性系統(tǒng)的形式及級(jí)數(shù)確定后，噪聲等效通能帶與3dB帶寬有確定關(guān)系，級(jí)數(shù)越高，兩者越接近。例1

低通濾波器的單位沖激響應(yīng)為求系統(tǒng)噪聲等效通能帶。例2離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程為求系統(tǒng)噪聲等效通能帶。2:

隨機(jī)序列通過(guò)離散線性系統(tǒng))(nh)(nh)(nX)(nX)(nY)(nY系統(tǒng)輸出系統(tǒng)描述均值:若X(n)平穩(wěn):相關(guān)函數(shù):若X(n)平穩(wěn):功率譜密度：若用z變換表示,則例3：設(shè)一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)序列X(n)的自相關(guān)函數(shù)為，線性系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是求輸出Y(n)的自相關(guān)函數(shù)及功率譜密度。3:

常用時(shí)間序列模型式中X(n)為零均值、方差為

2的平穩(wěn)白噪聲，模型稱(chēng)為自回歸－滑動(dòng)平均模型，用ARMA(N,r)表示。1、時(shí)間序列模型許多隨機(jī)序列可以看成是典型的白噪聲序列激勵(lì)一個(gè)線性系統(tǒng)所產(chǎn)生的，一般表示式為：當(dāng)系數(shù)均為零時(shí)，模型稱(chēng)為自回歸模型（Autoregressive），用AR(N)表示。，若模型系數(shù)多項(xiàng)式的根全在單位圓內(nèi)，即其根的模都小于1，則AR(N)模型是平穩(wěn)的。當(dāng)系數(shù)均為零時(shí)，模型稱(chēng)為滑動(dòng)平均模型(MovingAverage)，用MA(r)表示。，若模型系數(shù)多項(xiàng)式的根全在單位圓內(nèi)，即其根的模都小于1，則MA(r)模型是可逆的。例4設(shè)有如下差分方程描述的離散線性系統(tǒng)，

X(n)=aX(n-1)+W(n)系統(tǒng)如圖所示，其中W(n)為平穩(wěn)白噪聲，方差為

2，模型所產(chǎn)生的隨機(jī)過(guò)程稱(chēng)為AR過(guò)程，求一階AR過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜。單位延遲X(n)W(n)aX(n-1)單位延遲X(n)W(n)aX(n-1)例5:設(shè)有如下差分方程描述的離散線性系統(tǒng)，

X(n)=b0W(n