【八年級上冊數(shù)學浙教版】專題2.2 最值模型之將軍飲馬 專項講練（解析版）

第第頁專題2.2最值模型之將軍飲馬專項講練三角形中的最值（將軍飲馬模型）問題在考試中，無論是解答題，還是選擇、填空題，都是學生感覺有困難的地方，也恰是學生能力區(qū)分度最重要的地方，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學思想。在各類考試中都以中高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。在解決幾何最值問題主要依據(jù)是：①兩點之間，線段最短；②垂線段最短，涉及的基本方法還有：利用軸對稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。希望通過本專題的講解讓大家對這類問題有比較清晰的認識。注意：本專題部分題目涉及勾股定理，希望大家學習完第3章后再完成該專題訓練。【解題技巧】將軍飲馬模型圖形原理兩點之間線段最短兩點之間線段最短三角形三邊關系特征A，B為定點，l為定直線，P為直線l上的一個動點，求AP+BP的最小值A，B為定點，l為定直線，MN為直線l上的一條動線段，求AM+BN的最小值A，B為定點，l為定直線，P為直線l上的一個動點，求|AP-BP|的最大值轉(zhuǎn)化作其中一個定點關于定直線l的對稱點先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一個定點關于定直線l的對稱點作其中一個定點關于定直線l的對稱點題型1:求兩條線段和最小值例1．（2022·湖北江夏初二月考）在平面直角坐標系中，Rt△OAB的頂點A在x軸上，點A的坐標為（4，0），∠AOB=30°，點E的坐標為（1，0），點P為斜邊OB上的一個動點，則PA+PE的最小值為_____．【答案】【分析】作A關于OB的對稱點D，連接ED交OB于P，連接AP，過D作DN⊥OA于N，則此時PA+PC的值最小，求出AM和AD，再求出DN、EN，根據(jù)勾股定理求出ED，即可得出答案．【解析】作A關于OB的對稱點D，連接ED交OB于P，連接AP，過D作DN⊥OA于N，則此時PA+PC的值最小，∵DP=PA，∴PA+PE=PD+PE=ED，∵點A的坐標為（4，0），∠AOB=30°，∴OA=4，∴AM=OA=2，∴AD=2×2=4，∵∠AMB=90°，∠B=60°，∴∠BAM=30°，∵∠DNO=∠OAB=90°，∴DN∥AB，∴∠NDA=∠BAM=30°，∴AN=AD=2，由勾股定理得：DN===2，∵E（1，0），∴EN=4﹣1﹣2=1，在Rt△DNE中，由勾股定理得：DE===，即PA+PC的最小值是．故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱確定最短路線問題，坐標與圖形性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應用，熟練掌握最短路徑的確定方法找出點P的位置以及表示PA+PE的最小值的線段是解題的關鍵．變式1．（2022·甘肅西峰·八年級期末）如圖，在等邊△ABC中，E為AC邊的中點，AD垂直平分BC，P是AD上的動點．若AD=6，則EP+CP的最小值為_______________．【答案】6【分析】要求EP+CP的最小值，需考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化EP，CP的值，從而找出其最小值求解．【詳解】解：作點E關于AD的對稱點F，連接CF，∵△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中垂線，∴點E關于AD的對應點為點F，∴CF就是EP+CP的最小值．∵△ABC是等邊三角形，E是AC邊的中點，∴F是AB的中點，∴CF=AD=6，即EP+CP的最小值為6，故答案為6．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)和軸對稱等知識，熟練掌握等邊三角形和軸對稱的性質(zhì)是本題的關鍵．變式2．（2022·廣東新豐·八年級期末）如圖所示，在中，，直線EF是AB的垂直平分線，D是BC的中點，M是EF上一個動點，的面積為12，，則周長的最小值是______．【答案】8【分析】連接AD，AM，由EF是線段AB的垂直平分線，得到AM=BM，則△BDM的周長=BD+BM+DM=AM+DM+BD，要想△BDM的周長最小，即要使AM+DM的值最小，故當A、M、D三點共線時，AM+DM最小，即為AD，由此再根據(jù)三線合一定理求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接AD，AM，∵EF是線段AB的垂直平分線，∴AM=BM，∴△BDM的周長=BD+BM+DM=AM+DM+BD，∴要想△BDM的周長最小，即要使AM+DM的值最小，∴當A、M、D三點共線時，AM+DM最小，即為AD，∵AB=AC，D為BC的中點，∴AD⊥BC，，∴，∴AD=6，∴△BDM的周長最小值=AD+BD=8，故答案為：8．【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三線合一定理，解題的關鍵在于能夠根據(jù)題意得到當A、M、D三點共線時，AM+DM最小，即為AD．變式3．（2021·湖北洪山·八年級期中）如圖，將△ABC沿AD折疊使得頂點C恰好落在AB邊上的點M處，D在BC上，點P在線段AD上移動，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，則△PMB周長的最小值為___．【答案】18【分析】首先明確要使得△PMB周長最小，即使得PM+PB最小，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可知PM=PC，從而可得滿足PC+PB最小即可，根據(jù)兩點之間線段最短確定BC即為最小值，從而求解即可．【詳解】解：由翻折的性質(zhì)可知，AM=AC，PM=PC，∴M點為AB上一個固定點，則BM長度固定，∵△PMB周長=PM+PB+BM，∴要使得△PMB周長最小，即使得PM+PB最小，∵PM=PC，∴滿足PC+PB最小即可，顯然，當P、B、C三點共線時，滿足PC+PB最小，如圖所示，此時，P點與D點重合，PC+PB=BC，∴△PMB周長最小值即為BC+BM，此時，作DS⊥AB于S點，DT⊥AC延長線于T點，AQ⊥BC延長線于Q點，由題意，AD為∠BAC的角平分線，∴DS=DT，∵，，∴，即：，∴，解得：AB=14，∵AM=AC=6，∴BM=14-6=8，∴△PMB周長最小值為BC+BM=3+7+8=18，故答案為：18．【點睛】本題考查翻折的性質(zhì)，以及最短路徑問題等，掌握翻折的基本性質(zhì)，利用角平分線的性質(zhì)進行推理求解，理解并熟練運用兩點之間線段最短是解題關鍵．變式4．（2021·江陰市敔山灣實驗學校八年級月考）某班級在探究“將軍飲馬問題”時抽象出數(shù)學模型：直線同旁有兩個定點、，在直線上存在點，使得的值最?。夥ǎ喝鐖D1，作點關于直線的對稱點，連接，則與直線的交點即為，且的最小值為．請利用上述模型解決下列問題：（1）幾何應用：如圖2，中，，，是的中點，是邊上的一動點，則的最小值為；（2）幾何拓展：如圖3，中，，，若在、上各取一點、使的值最小，畫出圖形，求最小值并簡要說明理由．【答案】（1）；（2），圖和理由見解析【分析】（1）作點A關于BC的對稱點A′，連接A′E交BC于P，此時PA+PE的值最?。B接BA′，先根據(jù)勾股定理求出BA′的長，再判斷出∠A′BA=90°，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論；（2）作點C關于直線AB的對稱點C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，連接AC′，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答．【詳解】解：（1）如圖2所示，作點A關于BC的對稱點A′，連接A′E交BC于P，此時PA+PE的值最?。B接BA′．由勾股定理得，BA′=BA===2，∵是的中點，∴BE=BA=，∵，，∴∠A′BC=∠ABC=45°，∴∠A′BA=90°，∴PA+PE的最小值=A′E===．故答案為：；（2）如圖3，作點C關于直線AB的對稱點C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，連接AC′，則C′A=CA=2，∠C′AB=∠CAB=30°，∴△C′AC為等邊三角形，∴∠AC′N=30°，∴AN=C′A=1，∴CM+MN的最小值為C′N==．【點睛】本題考查的是軸對稱--最短路線問題、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短，解這類問題的關鍵是將所給問題抽象或轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，把兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段．例2．（2022·重慶初二月考）如圖，已知直線l1∥l2，l1、l2之間的距離為8，點P到直線l1的距離為6，點Q到直線l2的距離為4，PQ=，在直線l1上有一動點A，直線l2上有一動點B，滿足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此時PA+BQ=______．【答案】16．【詳解】作PE⊥l1于E交l2于F，在PF上截取PC=8，連接QC交l2于B，作BA⊥l1于A，此時PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．在Rt△PQD中，∵∠D=90°，PQ=，PD=18，∴DQ==，∵AB=PC=8，AB∥PC，∴四邊形ABCP是平行四邊形，∴PA=BC，CD=10，∴PA+BQ=CB+BQ=QC===16．故答案為16．變式5．（2022.山東青島九年級一模）如圖，已知A（3，1）與B（1，0），PQ是直線y＝x上的一條動線段且PQ＝（Q在P的下方），當AP+PQ+QB最小時，Q點坐標為（）A．（，） B．（，） C．（0，0） D．（1，1）【解答】解：作點B關于直線y＝x的對稱點B'（0，1），過點A作直線MN，使得MN平行于直線y＝x，并沿MN向下平移單位后得A'（2，0）連接A'B'交直線y＝x于點Q，如圖理由如下：∵AA'＝PQ＝，AA'∥PQ∴四邊形APQA'是平行四邊形∴AP＝A'Q∵AP+PQ+QB＝B'Q+A'Q+PQ且PQ＝∴當A'Q+B'Q值最小時，AP+PQ+QB值最小根據(jù)兩點之間線段最短，即A'，Q，B'三點共線時A'Q+B'Q值最小∵B'（0，1），A'（2，0）∴直線A'B'的解析式y(tǒng)＝﹣x+1∴x＝﹣x+1，即x＝∴Q點坐標（，）故選：A．變式6．（2022·廣東·深圳市福田區(qū)蓮花中學八年級期中）如圖，CD是直線x＝1上長度固定為1的一條動線段．已知A（﹣1，0），B（0，4），則四邊形ABCD周長的最小值為_________________．【答案】【解析】【分析】在y軸上取點E，使BE＝CD＝1，則四邊形BCDE為平行四邊形，根據(jù)勾股定理得到AB，作點A關于直線x＝1的對稱點A'，得到A'、E、D三點共線時，AD+DE最小值為A'E的長，根據(jù)勾股定理求出A'E，即可得解；【詳解】解：如圖，在y軸上取點E，使BE＝CD＝1，則四邊形BCDE為平行四邊形，∵B（0，4），A（﹣1，0），∴OB＝4，OA＝1，∴OE＝3，AB＝，作點A關于直線x＝1的對稱點A'，∴A'（3，0），AD＝A'D，∴AD+DE＝A'D+DE，即A'、E、D三點共線時，AD+DE最小值為A'E的長，在Rt△A'OE中，由勾股定理得A'E＝，∴C四邊形ABCD最小值＝AB+CD+BC+AD＝AB+CD+A'E＝+1+5＝+6．故答案為：．【點睛】本題主要考查了軸對稱最短路線問題、勾股定理、位置與坐標，準確分析作圖計算是解題的關鍵．題型2:求兩條線段差最大值例3．（2022·江蘇·無錫市江南中學八年級期末）如圖，點，在直線的同側(cè)，到的距離，到的距離，已知，是直線上的一個動點，記的最小值為，的最大值為，則的值為（

）A．160 B．150 C．140 D．130【答案】A【分析】作點A關于直線MN的對稱點，連接交直線MN于點P，則點P即為所求點，過點作直線，在根據(jù)勾股定理求出線段的長，即為PA+PB的最小值，延長AB交MN于點，此時，由三角形三邊關系可知，故當點P運動到時最大，過點B作由勾股定理求出AB的長就是的最大值，代入計算即可得．【詳解】解：如圖所示，作點A關于直線MN的對稱點，連接交直線MN于點P，則點P即為所求點，過點作直線，∵，，，∴，，，在中，根據(jù)勾股定理得，∴，即PA+PB的最小值是；如圖所示，延長AB交MN于點，∵，，∴當點P運動到點時，最大，過點B作，則，∴，在中，根據(jù)勾股定理得，，∴，即，∴，故選A．【點睛】本題考查了最短線路問題和勾股定理，解題的關鍵是熟知兩點之間線段最短及三角形的三邊關系．變式7．（2022·河北承德·八年級期末）如圖，點A，B在直線的同側(cè)，點A到的距離，點B到的距離，已知，P是直線上的一個動點，記的最小值為a，的最大值為b．（1）________；（2）________．【答案】

【分析】作點A關于直線MN的對稱點A，連接AB交直線MN于點P，過點A作直線AE⊥BD的延長線于點E，再根據(jù)勾股定理求出AB的長就是PA＋PB的最小值；延長AB交MN于點P，此時PA?PB＝AB，由三角形三邊關系可知AB＞|PA?PB|，故當點P運動到P點時|PA?PB|最大，作BE⊥AM，由勾股定理即可求出AB的長就是|PA?PB|的最大值．進一步代入求得答案即可．【詳解】解：如圖，作點A關于直線MN的對稱點A，連接AB交直線MN于點P，則點P即為所求點．過點A作直線AE⊥BD的延長線于點E，則線段AB的長即為PA＋PB的最小值．∵AC＝8，BD＝5，CD＝4，∴AC＝8，BE＝8＋5＝13，AE＝CD＝4，∴AB＝，即PA＋PB的最小值是a＝．如圖，延長AB交MN于點P，∵PA?PB＝AB，AB＞|PA?PB|，∴當點P運動到P點時，|PA?PB|最大，∵BD＝5，CD＝4，AC＝8，過點B作BE⊥AC，則BE＝CD＝4，AE＝AC?BD＝8?5＝3，∴AB＝＝5．∴|PA?PB|＝5為最大，即b＝5，∴a2?b2＝185?25＝160．故答案為：160．【點睛】本題考查的是最短線路問題及勾股定理，熟知兩點之間線段最短及三角形的三邊關系是解答此類問題的關鍵．題型3:求三條（周長）最小值（雙動點問題）【模型圖示】要求：點位定點，在直線，上分別找點，，使周長（即）最小操作：分別作點關于直線，的對稱點和，連結(jié)與直線，的交點為，，求長度通法：如上圖，一般會給一個特殊角（15°，30°，45°，60°，75°），連結(jié)，，，由對稱性可求也為特殊角（30°，60°，90°，120°，150°），，可得特殊等腰，利用三邊關系求出要求：點，為定點，直線，上分別找，，使周長（即）小操作：分別作點，關于直線，的對稱點和，連結(jié)與直線，的交點為，，例4．（2022·上虞市初二月考）如圖，點P是∠AOB內(nèi)任意一點，OP=6cm，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，若△PMN周長的最小值是6cm，則∠AOB的度數(shù)是（）A．15 B．30 C．45 D．60【答案】B【分析】分別作點P關于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，分別交OA、OB于點M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，由對稱的性質(zhì)得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，證出△OCD是等邊三角形，得出∠COD=60°，即可得出結(jié)果．【解析】分別作點P關于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，分別交OA、OB于點M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，如圖所示：∵點P關于OA的對稱點為D，關于OB的對稱點為C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵點P關于OB的對稱點為C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，∵△PMN周長的最小值是6cm，∴PM+PN+MN=6，∴DM+CN+MN=6，即CD=6=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等邊三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°，故選：B．【點睛】此題考查軸對稱的性質(zhì)，最短路線問題，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，證明三角形是等邊三角形是解題的關鍵．變式8．（2022·安徽安慶·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別取一點M、N，使△AMN的周長最小，則∠MAN＝_____°．【答案】80【分析】作點A關于BC、CD的對稱點A1、A2，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，連接A1、A2分別交BC、DC于點M、N，利用三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和角的和差關系即可得∠MAN．【詳解】如圖，作點A關于BC、CD的對稱點A1、A2，連接A1、A2分別交BC、DC于點M、N，連接AM、AN，則此時△AMN的周長最小，∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，∵點A關于BC、CD的對稱點為A1、A2，∴NA＝NA2，MA＝MA1，∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）＝130°﹣50°＝80°，故答案為：80．【點睛】本題考查了軸對稱的最短路徑問題，利用軸對稱將三角形周長問題轉(zhuǎn)化為兩點間線段最短問題是解決本題的關鍵．課后訓練：1.（2022·河南八年級期末）如圖，在中，，，，，平分交于點，，分別是，邊上的動點，則的最小值為__________．【答案】【分析】在上取點，使，連接，過點作，垂足為．利用角的對稱性，可知，則EC＋EF的最小值即為點C到AB的垂線段CH的長度，進而即可求解．【詳解】解：如圖，在上取點，使，連接，過點作，垂足為．平分，根據(jù)對稱可知．，．，當點、、共線，且點與點重合時，的值最小，最小值為CH=，故答案為．【點睛】本題考查了軸對稱-線段和最小值問題，添加輔助線，把兩條線段的和的最小值化為點到直線的距離問題，是解題的關鍵．2．（2022·四川成都·七年級期末）如圖，分別以線段AB的兩個端點為圓心，以大于AB長為半徑作弧，兩弧交于點M和點N，在直線MN上取一點C，連接CA，CB，點D是線段AC的延長線上一點，且CD＝AC，點P是直線MN上一動點，連接PD，PB，若BC＝4，則PD+PB的最小值為___．【答案】6【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)判斷即可；【詳解】解：由作法得MN垂直平分AB，∴CA＝CB＝4，PA＝PB，∵CD＝AC＝2，∴AD＝6，∵PA+PD≤AD（點A、P、D共線時取等號），∴PA+PD的最小值為6，∴PB+PD的最小值為6．故答案為6．【點睛】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)和軸對稱最短距離問題，準確分析計算是解題的關鍵．3．（2022·安徽蕪湖市·八年級期末）如圖，在中．，若，，，將折疊，使得點C恰好落在AB邊上的點E處，折痕為AD，點P為AD上一動點，則的周長最小值為___．【答案】20．【分析】根據(jù)由沿AD對稱,得到，進而表示出，最后求周長即可．【詳解】由沿AD對稱得到，則E與C關于直線AD對稱，，∴，如圖,連接，由題意得，∴，當P在BC邊上，即D點時取得最小值12，∴周長為，最小值為．故答案為:20．【點睛】本題考查了三角形折疊問題，正確讀懂題意是解本題的關鍵．4．（云南省紅河哈尼族彝族自治州建水縣2021-2022學年八年級上學期期末數(shù)學試題）如圖，在等邊中，BC邊上的高，E是高AD上的一個動點，F(xiàn)是邊AB的中點，在點E運動的過程中，存在最小值，則這個最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】先連接CE，再根據(jù)EB=EC，將FE+EB轉(zhuǎn)化為FE+CE，最后根據(jù)兩點之間線段最短，求得CF的長，即為FE+EB的最小值．【詳解】解：如圖，連接CE，∵等邊△ABC中，AD是BC邊上的中線，∴AD是BC邊上的高線，即AD垂直平分BC，∴EB=EC，∴BE+EF=CE+EF，∴當C、F、E三點共線時，EF+EC=EF+BE=CF，∵等邊△ABC中，F(xiàn)是AB邊的中點，∴AD=CF=6，即EF+BE的最小值為6．故選：B【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)等知識，熟練掌握和運用等邊三角形的性質(zhì)以及軸對稱的性質(zhì)是解決本題的關鍵．解題時注意，最小值問題一般需要考慮兩點之間線段最短或垂線段最短等結(jié)論．5．（2022·山東山東·八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，線段所在直線的解析式為，是的中點，是上一動點，則的最小值是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】作點關于的對稱點，連接，與的交點，即符和條件的點，再求出，的坐標，根據(jù)勾股定理求出的值，即為的最小值．【詳解】作點關于的對稱點，連接交于，此時，的值最小，最小值為的長，∵線段所在直線的解析式為，∴，，∴，，是的中點，∴，∵是點關于的對稱點，∴，，，∴四邊形是正方形，∴，∴的最小值是．故選：C．【點睛】本題考查一次函數(shù)求點的坐標和性質(zhì)，軸對稱最短路徑問題，勾股定理，掌握軸對稱最短路徑的確定方法是解題的關鍵．6．（2022·河南安陽市·八年級期末）如圖，在中，，，的面積為12，于點D，直線EF垂直平分BC交AB于點E，交BC于點F，P是線段EF上的一個動點，則的周長的最小值是（）A．6 B．7 C．10 D．12【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知為底邊上的高線，根據(jù)面積關系即可求得的長，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知點和點關于直線EF對稱，所以當與重合時，的值最小，根據(jù)和的長度即可求得周長的最小值．【詳解】如圖∵的面積為12，∴，，解得，，∵直線EF垂直平分BC交AB于點E，∴點和點關于直線EF對稱，∴當與重合時，的值最小，最小值等于的長，∴周長的最小值是，故選：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、軸對稱最短路線問題的應用、三角形的面積等，解題的關鍵是準確找出點的位置．7.（2022?蕪湖期末）如圖，在銳角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面積為8，BD平分∠ABC．若M、N分別是BD、BC上的動點，則CM+MN的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】過點C作CE⊥AB于點E，交BD于點M′，過點M′作M′N′⊥BC于N′，則CE即為CM+MN的最小值，再根據(jù)三角形的面積公式求出CE的長，即為CM+MN的最小值．【答案】解：過點C作CE⊥AB于點E，交BD于點M′，過點M作MN′⊥BC于N′，∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于點E，M′N′⊥BC于N∴M′N′＝M′E，∴CE＝CM′+M′E∴當點M與M′重合，點N與N′重合時，CM+MN的最小值．∵三角形ABC的面積為8，AB＝4，∴×4?CE＝8，∴CE＝4．即CM+MN的最小值為4．故選：B．【點睛】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出等腰直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的定義求解是解答此題的關鍵．8．（2022·河南·安陽市殷都區(qū)教科培中心八年級期末）如圖，在中，，邊的垂直平分線分別交，于點，，點是邊的中點，點是上任意一點，連接，，若，，周長最小時，，之間的關系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接AP，根據(jù)線段垂直垂直平分線的性質(zhì)可知PA=PC，．由，即得出，由此可知當A、P、D在同一直線上時，最?。俑鶕?jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可知AD為的平分線，即．最后根據(jù)三角形外角性質(zhì)即得出，由此即可判斷．【詳解】如圖，連接AP，∵直線MN是線段AC的垂直平分線，且P在線段MN上，∴PA=PC，．∵,∴．由圖可知CD為定值，當A、P、D在同一直線上時，最小，即為的長，∴此時最?。逥是邊BC的中點，AB=AC，∴AD為的平分線，∴．∵，即，∴．故選C．【點睛】本題考查線段垂直垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義以及三角形外角性質(zhì)．根據(jù)題意理解當A、P、D在同一直線上時最小是解題關鍵．9．（2022·廣東廣州·八年級期末）如圖，點D是∠FAB內(nèi)的定點且AD=2，若點C、E分別是射線AF、AB上異于點A的動點，且△CDE周長的最小值是2時，∠FAB的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】作D點分別關于AF、AB的對稱點G、H，連接GH分別交AF、AB于C′、E′，利用軸對稱的性質(zhì)得AG=AD=AH=2，利用兩點之間線段最短判斷此時△CDE周長最小為DC′+DE′+C′E′=GH=2，可得△AGH是等邊三角形，進而可得∠FAB的度數(shù)．【詳解】解：如圖，作D點分別關于AF、AB的對稱點G、H，連接GH分別交AF、AB于C′、E′，連接DC′，DE′，此時△CDE周長最小為DC′+DE′+C′E′=GH=2，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，得AG=AD=AH=2，∠DAF=∠GAF，∠DAB=∠HAB，∴AG=AH=GH=2，∴△AGH是等邊三角形，∴∠GAH=60°，∴∠FAB=∠GAH=30°，故選：A．【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題：熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，會利用兩點之間線段最短解決路徑最短問題．11．（2022·湖北·武漢市六中位育中學八年級）如圖，，為上一動點，，過作交直線于，過作交直線于點，若，當?shù)闹底畲髸r，則________．【答案】123°【分析】當DM與DP重合，AN與AB重合時，|AN-DM|的值最大，此時|AN-DM|=AB，畫出相應的圖形，根據(jù)條件，利用三角形的內(nèi)角和、鄰補角的意義，求出結(jié)果．【詳解】解：當DM與DP重合，AN與AB重合時，|AN-DM|的值最大，此時|AN-DM|=AB，∵∠ABC=114°，∴∠CDE=180°-114°=66°，∴∠MCD=90°-66°=24°，又∵AB=BC，∴∠ACB=（180°-114°）÷2=33°，∴∠ACE=180°-∠ACB-∠DCM=180°-33°-24°=123°，故答案為：123°．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和、直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)題意畫出相應圖形是解決問題的關鍵．12．（2021·全國·八年級專題練習）如圖，四邊形中，，，點為直線左側(cè)平面上一點，的面積為則的最大值為___．【答案】10【分析】如圖，過點F作FH⊥EC于H.過點F作直線l//EC，作點C關于直線l的對稱點C'，連接AC'交直線l于F'，此時|F'A?F'C'|的值最大，即|FA?FC|的值最大，最大值為線段AC'的長．【詳解】解：如圖，過點F作FH⊥EC于H．∵△CFE的面積為8，即EC?FH=8，CE=8，∴FH=2，過點F作直線l//EC，作點C關于直線l的對稱點C'，連接AC'交直線l于F'，此時|F'A?F'C'|的值最大，即|FA?FC|的值最大，最大值為線段AC'的長，過點C'作C'K⊥AB于K．∵∠C'KB=∠KEC=∠ECC'=90°，∴四邊形CEKC'是矩形，∴CC'=EK=4，EC=KC'=8，∵AE=10，∴AK=AE?EK=10?4=6，∴AC'=，∴|FA?FC|的最大值為10．故答案為10．【點睛】本題考查軸對稱?最短問題，三角形的面積，直角梯形等知識，解題的關鍵是學會利用軸對稱解決最值問題，屬于中考填空題中的壓軸題．13．（2022·湖北十堰·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，．在BC，CD上分別找一點M，N，使周長最小，則的度數(shù)為_________．【答案】160°【分析】要使周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作點A關于BC和CD的對稱點，即可得到，進而求得，即可得到答案．【詳解】作點A關于BC和CD的對稱點，連接，交BC于M，交CD于N，則即為周長最小值，故答案為：160°．【點睛】本題考查的