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第1頁(共1頁)2025年高考數(shù)學復習新題速遞之空間向量及其運算(2024年9月)一.選擇題(共8小題)1.(2024?湖南開學)已知空間向量p→=2a→-3b→A.(5,﹣3,4) B.(5,﹣2,4) C.(2,﹣3,3) D.(3,1,1)2.(2024?孝感開學)如圖,一塊礦石晶體的形狀為四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1,底面ABCD是正方形,CC1=3,CD=3,且∠C1CB=∠C1CD=60°,則向量A1A.29 B.34 C.52 D.33.(2024秋?呂梁月考)在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是BC,C1D1的中點.設(shè)AB→=a→,AD→A.-12a→+12b→+c→4.(2023秋?金安區(qū)校級期末)如圖,平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1的各棱長均為2,∠A1AB=∠A1AD=60°,∠DAB=90°,則|AA.26 B.25 C.23 5.(2023秋?敘州區(qū)校級期末)三棱柱ABC﹣DEF中,G為棱AD的中點,若BA→=a→,BC→A.-a→+b→-c→ B.16.(2024春?蜀山區(qū)校級期末)如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,E,F(xiàn)分別為BB1,A1C1中點,過A,E,F(xiàn)作三棱柱的截面交B1C1于M,且B1M=λA.13 B.12 C.23 7.(2024春?泗洪縣期中)已知空間單位向量a→,b→,c→A.3 B.6 C.3 D.68.(2023秋?三水區(qū)期末)如圖,M是四面體OABC的棱BC的中點,點N在線段OM上,點P在線段AN上,且MN=12ON,AP=34AN,用向量OA→,OB→,A.14OA→+1C.14OA→+二.多選題(共4小題)(多選)9.(2024?建安區(qū)校級開學)如圖,球O與棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的六個面都相切,P,Q,R分別為棱AA1,BC,C1D1的中點,G為正方形BCC1B1的中心,則()A.球O與該正方體的體積之比為π3B.球O與該正方體的表面積之比為π6C.直線PQ被球O截得的線段的長度為2 D.過A,R,G三點的正方體的截面與球O的球面的交線長為π(多選)10.(2024?湖南開學)如圖,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,M為CD1的中點,Q為CA1上靠近點A1的五等分點,則()A.AM→B.2AMC.AQ→D.5(多選)11.(2023秋?咸陽期末)在空間直角坐標系O﹣xyz中,若A(1,2,3),B(2,﹣1,0),C(﹣1,2,0),D四點可以構(gòu)成一個平行四邊形,則D的坐標可以為()A.(0,﹣1,﹣3) B.(﹣2,5,3) C.(4,﹣1,3) D.(3,﹣2,0)(多選)12.(2024秋?三元區(qū)校級月考)關(guān)于空間向量,以下說法正確的是()A.若a→?b→>0B.空間中的三個向量,若有兩個向量共線,則這三個向量一定共面 C.若對空間中任意一點O,有OP→=112OA→+14OBD.若分別表示空間兩向量的有向線段所在的直線是異面直線,則這兩個向量不共面三.填空題(共4小題)13.(2024?黑龍江開學)已知空間向量a→=(1,0,0),b→14.(2024春?華安縣校級月考)已知|a→|=3,b→15.(2023秋?萊蕪區(qū)校級月考)如圖,平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1各條棱長均為2,∠BAA1=∠DAA1=60°,∠BAD=90°,則線段AC1的長度為.16.(2023秋?寶安區(qū)期末)如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,已知PA→=a→,PB→=b→,PC四.解答題(共4小題)17.(2024?湖南開學)在空間直角坐標系中,已知點A(x,5﹣x,2x﹣1),B(1,x+2,2﹣x),C(1,2,3).(1)若AC→?BC→=2(2)求|AB|的最小值.18.(2024?原陽縣校級開學)如圖,在空間四邊形OABC中,2BD→=DC→,點E(1)試用向量a→,b(2)若OA=OB=OC=3,∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°,求OE→19.(2024秋?三元區(qū)校級月考)如圖,在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°.(1)求體對角線AC1的長度;(2)求證:四邊形BDD1B1為正方形.20.(2023秋?廣豐區(qū)校級期末)如圖,在棱長為4的正四面體ABCD中,E是AD的中點,BF→=3FC(1)求x+y+z的值;(2)求EF→?DF
2025年高考數(shù)學復習新題速遞之空間向量及其運算(2024年9月)參考答案與試題解析一.選擇題(共8小題)1.(2024?湖南開學)已知空間向量p→=2a→-3b→A.(5,﹣3,4) B.(5,﹣2,4) C.(2,﹣3,3) D.(3,1,1)【考點】空間向量的共線與共面.【專題】計算題;整體思想;綜合法;空間向量及應(yīng)用;數(shù)學運算.【答案】B【分析】由空間向量的線性運算和空間向量基本定理,結(jié)合單位正交基底,求向量的坐標.【解答】解:空間向量p→=2a→-3故p→+q→以{a→,故選:B.【點評】本題考查了空間向量的線性運算和空間向量基本定理,屬于基礎(chǔ)題.2.(2024?孝感開學)如圖,一塊礦石晶體的形狀為四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1,底面ABCD是正方形,CC1=3,CD=3,且∠C1CB=∠C1CD=60°,則向量A1A.29 B.34 C.52 D.3【考點】空間向量的數(shù)量積運算.【專題】整體思想;綜合法;空間向量及應(yīng)用;直觀想象;數(shù)學運算.【答案】D【分析】由已知結(jié)合向量的線性運算及向量數(shù)量積的性質(zhì)即可求解.【解答】解:設(shè)CD→=a→,則A1C→|A1C→|=|=9+9+9+2×3×3×=35.故選:D.【點評】本題主要考查了向量的線性運算及向量數(shù)量積的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.3.(2024秋?呂梁月考)在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是BC,C1D1的中點.設(shè)AB→=a→,AD→A.-12a→+12b→+c→【考點】空間向量的數(shù)乘及線性運算.【專題】對應(yīng)思想;定義法;空間向量及應(yīng)用;數(shù)學運算.【答案】A【分析】根據(jù)題意,由空間向量的線性運算,即可得到結(jié)果.【解答】解:由題意可得,EF→故選:A.【點評】本題考查空間向量的線性運算,屬于基礎(chǔ)題.4.(2023秋?金安區(qū)校級期末)如圖,平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1的各棱長均為2,∠A1AB=∠A1AD=60°,∠DAB=90°,則|AA.26 B.25 C.23 【考點】空間向量及其線性運算.【專題】計算題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;空間向量及應(yīng)用;邏輯推理;數(shù)學運算.【答案】B【分析】分析得出AC1→=AB【解答】解:∵平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1的各棱長均為2,∠A1AB=∠A1AD=60°,∠DAB=90°,∴AB→?A∵AC1→∴AC∴|A故選:B.【點評】本題考查知識點:向量的線性運算,向量的數(shù)量積,向量的模,主要考查學生的運算能力,屬于基礎(chǔ)題.5.(2023秋?敘州區(qū)校級期末)三棱柱ABC﹣DEF中,G為棱AD的中點,若BA→=a→,BC→A.-a→+b→-c→ B.1【考點】空間向量的數(shù)乘及線性運算.【專題】對應(yīng)思想;轉(zhuǎn)化法;空間向量及應(yīng)用;數(shù)學抽象.【答案】B【分析】利用空間向量的線性運算法則與向量相等的定義,求解即可.【解答】解:CG→=CA→+AG→=CA→+故選:B.【點評】本題考查了空間向量的線性運算與向量相等的應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題.6.(2024春?蜀山區(qū)校級期末)如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,E,F(xiàn)分別為BB1,A1C1中點,過A,E,F(xiàn)作三棱柱的截面交B1C1于M,且B1M=λA.13 B.12 C.23 【考點】空間向量的共線與共面.【專題】計算題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;空間向量及應(yīng)用;數(shù)學運算.【答案】B【分析】以向量AB→,AC→,AA1→【解答】解:根據(jù)題意,可得AE→=AB由B1M=12AA1因為A、E、M、F四點共面,所以向量EM→與AE→、設(shè)EM→=xAE→+yAF→,則-λ1+λAB→+λ1+λAC→+1所以-λ1+λ=xλ1+λ=y故選:B.【點評】本題主要考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征、向量的線性運算、空間向量的共面定理等知識,考查了計算能力、圖形的理解能力,屬于中檔題.7.(2024春?泗洪縣期中)已知空間單位向量a→,b→,c→A.3 B.6 C.3 D.6【考點】空間向量的數(shù)量積運算.【專題】計算題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;平面向量及應(yīng)用;邏輯推理;數(shù)學運算.【答案】A【分析】直接利用向量的運算求出結(jié)果.【解答】解:空間單位向量a→,b→,c→兩兩垂直,所以a→?所以:|a→故|a故選:A.【點評】本題考查的知識點:向量的線性運算,向量的數(shù)量積運算,主要考查學生的運算能力,屬于基礎(chǔ)題.8.(2023秋?三水區(qū)期末)如圖,M是四面體OABC的棱BC的中點,點N在線段OM上,點P在線段AN上,且MN=12ON,AP=34AN,用向量OA→,OB→,A.14OA→+1C.14OA→+【考點】空間向量的數(shù)乘及線性運算.【專題】計算題;對應(yīng)思想;綜合法;空間向量及應(yīng)用;數(shù)學運算.【答案】A【分析】利用空間向量基本定理,空間向量的線性運算求解即可.【解答】解:∵M是四面體OABC的棱BC的中點,MN=12∴OM→=12(OB→∵AP=34∴OP→=OA=14OA=1故選:A.【點評】本題考查空間向量基本定理,空間向量的線性運算,屬于中檔題.二.多選題(共4小題)(多選)9.(2024?建安區(qū)校級開學)如圖,球O與棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的六個面都相切,P,Q,R分別為棱AA1,BC,C1D1的中點,G為正方形BCC1B1的中心,則()A.球O與該正方體的體積之比為π3B.球O與該正方體的表面積之比為π6C.直線PQ被球O截得的線段的長度為2 D.過A,R,G三點的正方體的截面與球O的球面的交線長為π【考點】空間向量的夾角與距離求解公式.【專題】轉(zhuǎn)化思想;綜合法;空間位置關(guān)系與距離;數(shù)學運算.【答案】BC【分析】根據(jù)正方體和球的表面積和體積公式,可判定A錯誤;B正確;連接OP,OQ,AQ,取PQ中點M,得到OM⊥PQ,求得M到PQ的距離,結(jié)合圓的弦長公式,可判定C正確;以D為原點,建立空間直角坐標系,如圖所示,求得AO→=(-1,1,1)和平面ARG的法向量,結(jié)合距離公式,得到過A,R,【解答】解:因為球O與棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的六個面都相切,對于A中,可得正方體的體積為V1=2×2×2=8,球的半徑為r=1,體積為V2球O與該正方體的體積之比為V2V1對于B中,正方體的表面積為S1=6×2×2=24,球的表面積為S2所以球O與該正方體的表面積之比為S2S1對于C中,連接OP,OQ,可得OP=OQ=2再連接AQ,在直角△PAQ中,可得PQ=P取PQ中點M,連接OM,則OM⊥PQ,可得OM=O即點M到PQ的距離為22所以直線PQ被球O截得的線段的長度為2r2-O對于D中,以D為原點,以DA,DC,DD1所在的直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,如圖,A(2,0,0),R(0,1,2),G(1,2,1),O(1,1,1),則AR→設(shè)平面ARG的法向量為n→=(x,令x=1,可得y=0,z=1,所以n→所以點O到平面ARG的距離為d=|可得過A,R,G三點的正方體的截面恰好過球O的球心,所以截面交線的周長為2πr=2π,所以D錯誤.故選:BC.【點評】本題考查正方體、球的表面積和體積公式、點到平面的距離、圓的弦長公式等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,是中檔題.(多選)10.(2024?湖南開學)如圖,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,M為CD1的中點,Q為CA1上靠近點A1的五等分點,則()A.AM→B.2AMC.AQ→D.5【考點】空間向量的數(shù)乘及線性運算.【專題】計算題;整體思想;綜合法;立體幾何;數(shù)學運算.【答案】BD【分析】運用空間向量的基底表示,結(jié)合平面向量的三角形法則和線性運算規(guī)則可解.【解答】解:四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,M為CD1的中點,Q為CA1上靠近點A1的五等分點,則AM→即2AM→=AB→+2ADAQ→即5AQ→=AB→+AD故選:BD.【點評】本題考查了空間向量的基底表示和平面向量的三角形法則,屬于中檔題.(多選)11.(2023秋?咸陽期末)在空間直角坐標系O﹣xyz中,若A(1,2,3),B(2,﹣1,0),C(﹣1,2,0),D四點可以構(gòu)成一個平行四邊形,則D的坐標可以為()A.(0,﹣1,﹣3) B.(﹣2,5,3) C.(4,﹣1,3) D.(3,﹣2,0)【考點】空間向量的共線與共面;空間中的點的坐標.【專題】整體思想;綜合法;平面向量及應(yīng)用;數(shù)學運算.【答案】ABC【分析】分類考慮平行四邊形頂點的位置,結(jié)合向量的相等,即可求得D點坐標,即得答案.【解答】解:由題意得AB→設(shè)D的坐標為(x,y,z),若四邊形ABDC為平行四邊形,則AB→=CD→,則(1,﹣3,﹣3)=(x+1,y﹣此時D的坐標為(0,﹣1,﹣3).若四邊形ABCD為平行四邊形,則AB→則(1,﹣3,﹣3)=(﹣x﹣1,﹣y+2,﹣z),此時D的坐標為(﹣2,5,3).若四邊形ADBC為平行四邊形,則AD→則(x﹣1,y﹣2,z﹣3)=(3,﹣3,0),此時D的坐標為(4,﹣1,3).故選:ABC.【點評】本題主要考查了向量平行的坐標表示,屬于中檔題.(多選)12.(2024秋?三元區(qū)校級月考)關(guān)于空間向量,以下說法正確的是()A.若a→?b→>0B.空間中的三個向量,若有兩個向量共線,則這三個向量一定共面 C.若對空間中任意一點O,有OP→=112OA→+14OBD.若分別表示空間兩向量的有向線段所在的直線是異面直線,則這兩個向量不共面【考點】空間向量的共線與共面;空間向量的數(shù)量積運算.【專題】轉(zhuǎn)化思想;綜合法;空間向量及應(yīng)用;數(shù)學運算.【答案】BC【分析】根據(jù)空間向量共面定理,即可判斷出B的真假;根據(jù)a→?b→>0,得到a→,b→【解答】解:對A,若a→?b→>0,則a→,b對B,根據(jù)空間向量共面定理知:空間中三個向量,若有兩個向量共線,則這三個向量一定共面,故B正確;對C,因為OP→=112OA→+14OB→+2對D,分別表示空間兩向量的有向線段所在的直線是異面直線,因為空間中的向量是可以平行移動的,則兩條向量共面,故D錯誤.故選:BC.【點評】本題考查空間向量的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.三.填空題(共4小題)13.(2024?黑龍江開學)已知空間向量a→=(1,0,0),b→【考點】空間向量的共線與共面.【專題】轉(zhuǎn)化思想;轉(zhuǎn)化法;空間向量及應(yīng)用;數(shù)學運算.【答案】0.【分析】由已知可得c→=xa【解答】解:因為a→所以c→=xa→+yb→,即(1,1,m)=x(1,0,0)+y(0,1,0則x=1y=1.故答案為:0.【點評】本題主要考查空間向量的基本定理,屬于基礎(chǔ)題.14.(2024春?華安縣校級月考)已知|a→|=3,b→【考點】空間向量的數(shù)量積運算.【專題】整體思想;綜合法;空間向量及應(yīng)用;數(shù)學運算.【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)|2a→-【解答】解:由|a則|2a故答案為:37.【點評】本題考查了空間向量數(shù)量積的運算,重點考查了空間向量模的運算,屬基礎(chǔ)題.15.(2023秋?萊蕪區(qū)校級月考)如圖,平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1各條棱長均為2,∠BAA1=∠DAA1=60°,∠BAD=90°,則線段AC1的長度為25.【考點】空間向量的數(shù)量積運算.【專題】數(shù)形結(jié)合;向量法;空間向量及應(yīng)用;數(shù)學運算.【答案】25【分析】根據(jù)題意,利用空間向量數(shù)量積運算律求解即可.【解答】解:平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中,AB→,所以AC所以AC=AB→2+AD→2+AA1→2+=4+4+4+2×2×2×0+2×2×2×12+2×2×2所以|AC1→|=2所以線段AC1的長度為25故答案為:25【點評】本題考查了利用空間向量數(shù)量積求模長問題,是基礎(chǔ)題.16.(2023秋?寶安區(qū)期末)如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,已知PA→=a→,PB→=b→,PC【考點】空間向量及其線性運算.【專題】數(shù)形結(jié)合;定義法;空間向量及應(yīng)用;數(shù)學運算.【答案】12【分析】利用空間向量的線性運算即可求解.【解答】解:BE→=12BP→+12故答案為:12【點評】本題考查空間向量的線性運算,屬于基礎(chǔ)題.四.解答題(共4小題)17.(2024?湖南開學)在空間直角坐標系中,已知點A(x,5﹣x,2x﹣1),B(1,x+2,2﹣x),C(1,2,3).(1)若AC→?BC→=2(2)求|AB|的最小值.【考點】空間向量的數(shù)量積運算.【專題】計算題;整體思想;綜合法;空間向量及應(yīng)用;數(shù)學運算.【答案】(1)2或-1(2)357【分析】(1)根據(jù)向量的數(shù)量積坐標運算公式計算求參;(2)先由空間兩點間的距離公式計算,再結(jié)合二次函數(shù)值域求解.【解答】解:(1)由題意可得AC→因為AC→解得x=2或-1(2)由空間兩點間的距離公式,得|AB|=(1-x當x=87時,|AB|有最小值【點評】本題考查了向量的數(shù)量積坐標運算和空間兩點間的距離公式,屬于中檔題.18.(2024?原陽縣校級開學)如圖,在空間四邊形OABC中,2BD→=DC→,點E(1)試用向量a→,b(2)若OA=OB=OC=3,∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°,求OE→【考點】空間向量的數(shù)量積運算;空間向量基底表示空間向量.【專題】整體思想;綜合法;平面向量及應(yīng)用;數(shù)學運算.【答案】(1)12a→+13【分析】(1)先把OD→表示出來,然后由點E為AD的中點得OE(2)把OE→,BC【解答】解:(1)因為2BD→=所以BD→所以O(shè)D→因為點E為AD的中點,所以O(shè)E=1(2)因為OA=OB=OC=3,∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°,即|OA→|=|OB→|=|OC→|則BC→=OC所以O(shè)E=1=1【點評】本題考查了向量的運算性質(zhì),屬于中檔題.19.(2024秋?三元區(qū)校級月考)如圖,在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°.(1)求體對角線AC1的長度;(2)求證:四邊形BDD1B1為正方形.【考點】空間向量的數(shù)量積運算.【專題】對應(yīng)思想;向量法;空間向量及應(yīng)用;數(shù)學運算.【答案】(1)AC(2)證明見解答.【分析】(1)根據(jù)給定條件,利用空間向量數(shù)量積的運算律求出|AC1|;(2)利用平行六面體的結(jié)構(gòu)特征,結(jié)合已知及正方形的判斷推理即得.【解答】(1)解:在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中,AC由AB=AD=AA1=1,∠BAA1=∠BAD=∠DAA1=60°,得AD→所以|=AD=3+3×2×(2)證明:在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中,BB1=AA1=DD1,BB1∥AA1∥DD1,故四邊形BDD1B1為平行四邊形,由AB=AD=1,∠BAD=60°,得△ABD是等邊三角形,即BD=1=DD1,則平行四邊形BDD1B1為菱形,又BD→則BD→⊥BB1→所以四邊形BDD1B1為正方形.【點評】本題考查空間向量數(shù)量積的運算以及平行六面體的結(jié)構(gòu)特征等相關(guān)知識,屬中檔題.20.(2023秋?廣豐區(qū)校級期末)如圖,在棱長為4的正四面體ABCD中,E是AD的中點,BF→=3FC(1)求x+y+z的值;(2)求EF→?DF【考點】空間向量的數(shù)量積運算.【專題】數(shù)形結(jié)合;定義法;空間向量及應(yīng)用;數(shù)學運算.【答案】(1)12(2)9.【分析】(1)由題意,用DA→、DB→和DC→表示EF→,即可得出x、(2)由(1)知,利用數(shù)量積計算EF→?DF【解答】解:(1)因為E是AD的中點,BF→所以EF→=DF→-又EF→=xDA→+yDB→+zDC→所以x+y+z=-(2)因為DF→=1由正四面體ABCD的棱長為4,可得DA→?DB→=DA→?DC→=DB→?且DB→2=DC【點評】本題考查了空間向量的線性表示與數(shù)量積計算問題,是基礎(chǔ)題.
考點卡片1.空間中的點的坐標【知識點的認識】1、在x、y、z軸上的點分別可以表示為(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c),在坐標平面xOy,xOz,yOz內(nèi)的點分別可以表示為(a,b,0),(a,0,c),(0,b,c).2、點P(a,b,c)關(guān)于x軸的對稱點的坐標為(a,﹣b,﹣c,)點P(a,b,c)關(guān)于y軸的對稱點的坐標為(﹣a,b,﹣c,);點P(a,b,c)關(guān)于z軸的對稱點的坐標為(﹣a,﹣b,c,);點P(a,b,c)關(guān)于坐標平面xOy的對稱點為(a,b,﹣c,);點P(a,b,c)關(guān)于坐標平面xOz的對稱點為(a,﹣b,c,);點P(a,b,c)關(guān)于坐標平面yOz的對稱點為(﹣a,b,c,);點P(a,b,c)關(guān)于原點的對稱點(﹣a,﹣b,﹣c,).3、已知空間兩點P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)則線段P1P2的中點坐標為(x12.空間向量及其線性運算【知識點的認識】1.空間向量:在空間內(nèi),我們把具有大小和方向的量叫做向量,用有向線段表示.2.向量的模:向量的大小叫向量的長度或模.記為|AB→|,|a特別地:①規(guī)定長度為0的向量為零向量,記作0→②模為1的向量叫做單位向量;3.相等的向量:兩個模相等且方向相同的向量稱為相等的向量.4.負向量:兩個模相等且方向相反的向量是互為負向量.如a→的相反向量記為-5.平行的向量:兩個方向相同或相反的向量稱為平行的向量.6.注意:①零向量的方向是任意的,規(guī)定0→②單位向量不一定相等,但單位向量的模一定相等且為1;③方向相同且模相等的向量稱為相等向量,因此,在空間,同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量;④空間任意兩個向量都可以通過平移成為共面向量;⑤一般來說,向量不能比較大小.1.加減法的定義:空間任意兩個向量都是共面的,它們的加、減法運算類似于平面向量的加減法.空間向量和平面向量一樣滿足三角形法則和平行四邊形法則.2.加法運算律:空間向量的加法滿足交換律及結(jié)合律.(1)交換律:a(2)結(jié)合律:(a3.推廣:(1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量:A1(求空間若干向量之和時,可通過平移將它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量)(2)首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形,則它們的和為:零向量A11.空間向量的數(shù)乘運算實數(shù)λ與空間向量a→的乘積λ①當λ>0時,λa→與②當λ<0時,λa→與③當λ=0時,λa④|λa→|=|λ|?|aλa→的長度是a→的長度的|λ2.運算律空間向量的數(shù)乘滿足分配律及結(jié)合律.(1)分配律:①λ(②(λ+μ)a(2)結(jié)合律:λ(μ注意:實數(shù)和空間向量可以進行數(shù)乘運算,但不能進行加減運算,如λ±3.空間向量的數(shù)乘及線性運算【知識點的認識】1.空間向量的數(shù)乘運算實數(shù)λ與空間向量a→的乘積λ①當λ>0時,λa→與②當λ<0時,λa→與③當λ=0時,λa④|λa→|=|λ|?|aλa→的長度是a→的長度的|λ2.運算律空間向量的數(shù)乘滿足分配律及結(jié)合律.(1)分配律:①λ(②(λ+μ)a(2)結(jié)合律:λ(μ注意:實數(shù)和空間向量可以進行數(shù)乘運算,但不能進行加減運算,如λ±【解題方法點撥】﹣標量運算:進行數(shù)乘運算時,將標量與向量分量相乘.﹣線性組合:應(yīng)用線性組合公式,計算向量的線性組合結(jié)果.【命題方向】﹣向量數(shù)乘和線性運算:考查如何進行空間向量的數(shù)乘和線性組合運算.4.空間向量的共線與共面【知識點的認識】1.定義(1)共線向量與平面向量一樣,如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合,則這些向量叫做共線向量或平行向量,記作a→∥b(2)共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量.2.定理(1)共線向量定理對于空間任意兩個向量a→、b→(b→≠0),a→(2)共面向量定理如果兩個向量a→、b→不共線,則向量p→與向量a→、b→共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x【解題方法點撥】空間向量共線問題:(1)判定向量共線就是充分利用已知條件找到實數(shù)λ,使a→=λb→成立,或充分利用空間向量的運算法則,結(jié)合具體圖形,通過化簡、計算得出(2)a→∥b→表示空間向量共面問題:(1)利用向量法證明點共面、線共面問題,關(guān)鍵是熟練地進行向量表示,恰當應(yīng)用向量共面的充要條件,解題過程中注意直線與向量的相互轉(zhuǎn)化.(2)空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x,y),使MP→=xMA→+yMB→.滿足這個關(guān)系式的點P證明三個向量共面的常用方法:(1)設(shè)法證明其中一個向量可表示成另兩個向量的線性組合;(2)尋找平面α,證明這些向量與平面α平行.【命題方向】1,考查空間向量共線問題例:若a→=(2x,1,3),b→=(1,﹣2y,9),如果A.x=1,y=1B.x=12,y=-12C.x=16,y=-分析:利用共線向量的條件b→=λa→,推出比例關(guān)系求出解答:∵a→=(2x,1,3)與b→=(1,﹣2故有2x1∴x=16,y故選C.點評:本題考查共線向量的知識,考查學生計算能力,是基礎(chǔ)題.2.考查空間向量共面問題例:已知A、B、C三點不共線,O是平面ABC外的任一點,下列條件中能確定點M與點A、B、C一定共面的是()A.OM→=OA→+OB→+OC→B分析:根據(jù)共面向量定理OM→=m?OA→+n?OB→+p?OC解答:由共面向量定理OM→說明M、A、B、C共面,可以判斷A、B、C都是錯誤的,則D正確.故選D.點評:本題考查共線向量與共面向量,考查學生應(yīng)用基礎(chǔ)知識的能力.是基礎(chǔ)題.5.空間向量的數(shù)量積運算【知識點的認識】1.空間向量的夾角已知兩個非零向量a→、b→,在空間中任取一點O,作OA→=a→,OB→=b→,則∠2.空間向量的數(shù)量積(1)定義:已知兩個非零向量a→、b→,則|a→||b→|cos<a→,b→>叫做向量a→與b→的數(shù)量積,記作a→?b→(2)幾何意義:a→與b→的數(shù)量積等于a→的長度|a→|與b→在a→的方向上的投影|b→|cosθ的乘積,或b→的長度|b→|與3.空間向量的數(shù)量積運算律空間向量的數(shù)量積滿足交換律和分配律.(1)交換律:(λa→)?b→=λ(a(2)分配律:a→4.數(shù)量積的理解(1)書寫向量的數(shù)量積時,只能用符號a→?b→(2)兩向量的數(shù)量積,其結(jié)果是個實數(shù),而不是向量,它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦值的乘積,其符號由夾角的余弦值決定.(3)當a→≠0→時,由a→?b→=【解題方法點撥】利用數(shù)量積求直線夾角或余弦值的方法:利用數(shù)量積求兩點間的距離:利用向量的數(shù)量積求兩點間的距離,可以轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題,其基本思路是先選擇以兩點為端點的向量,將此向量表示為幾個已知向量的和的形式,求出這幾個已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模,利用公式|a→|=利用數(shù)量積證明垂直關(guān)系:(1)向量垂直只對非零向量有意義,在證明或判斷a→⊥b→時,須指明(2)證明兩直線的垂直可以轉(zhuǎn)化為證明這兩直線的方向向量垂直,將兩個方向向量表示為幾個已知向量a→,b→,c→【命題方向】求直線夾角或余弦值、兩點間的距離、證明垂直關(guān)系等問題最基本的是掌
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