2024-2025學年甘肅省蘭州市高二上冊11月月考數(shù)學檢測試題（含解析）

2024-2025學年甘肅省蘭州市高二上學期11月月考數(shù)學檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．有以下命題：①如果向量與任何向量不能構成空間向量的一組基底，那么的關系是不共線；②為空間四點，且向量不構成空間的一個基底，那么點一定共面；③已知向量是空間的一個基底，則向量，也是空間的一個基底．其中正確的命題是A．①② B．①③ C．②③ D．①②③2．設向量、、不共面，則下列可作為空間的一個基底的是（）A． B．C． D．3．在四面體中，點在上，且，為中點，則等于（

）A． B．C． D．4．已知，，是空間單位向量，且滿足，若向量.則在方向上的投影的最大值為（

）A． B． C． D．5．已知直線l的方程為y+1=2，若設l的斜率為a，在y軸上的截距為b，則logab的值為()A． B．2 C．log26 D．06．以,為端點的線段的垂直平分線方程是A． B．C． D．7．若直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積S為（

）A． B．C． D．8．已知拋物線：的焦點為,是C上一點，，則（

）A．1 B．2 C．4 D．8二、多選題（本大題共4小題）9．下列關于空間向量的命題中，正確的有（

）A．若向量，與空間任意向量都不能構成基底，則∥；B．若非零向量，，滿足，，則有∥；C．若，，是空間的一組基底，且，則，，，四點共面；D．若，，是空間的一組基底，則向量，，也是空間一組基底；10．若是空間的一個基底，則下列各組中能構成空間一個基底的是（）A． B．C． D．11．若兩條平行直線：與：之間的距離是，則的可能值為（

）A． B． C． D．12．（多選題）兩條平行直線l1，l2分別過點P(-1，3)，Q(2，-1)，它們分別繞P，Q旋轉，但始終保持平行，則l1，l2之間的距離可能取值為（

）A．1 B．3 C．5 D．7三、填空題（本大題共4小題）13．在空間四邊形中，，，，點在線段上，且，點是的中點，則.14．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設，，，，A1C1與B1D1的交點為E，則=.15．在斜三棱柱中，的中點為，，則可用表示為．16．已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為．四、解答題（本大題共6小題）17．直線過點且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點，是否存在這樣的直線同時滿足下列條件:①△AOB的周長為12;②△AOB的面積為6.18．已知長方體中，，點N是AB的中點，點M是的中點．建立如圖所示的空間直角坐標系．（1）寫出點的坐標；（2）求線段的長度；19．已知圓：和：(1)求證：圓和圓相交；(2)求圓和圓的公共弦所在直線的方程和公共弦長．20．橢圓：()的長軸長等于圓：的直徑，且的離心率等于．直線和是過點且互相垂直的兩條直線，交于、兩點，交于、兩點．(1)求的標準方程；(2)當四邊形的面積為時，求直線的斜率()．21．設直線與.（1）若∥，求、之間的距離；（2）若直線與兩坐標軸的正半軸圍成的三角形的面積最大，求直線的方程.22．如圖所示，在多面體中，四邊形，，均為正方形，為的中點，過，，的平面交于點．(1)證明：．(2)求二面角的余弦值．

答案1．【正確答案】C【詳解】解：①如果向量與任何向量不能構成空間向量的一組基底，那么的關系是不共線；所以不正確．反例：如果有一個向量為零向量，共線但不能構成空間向量的一組基底，所以不正確．②O，A，B，C為空間四點，且向量不構成空間的一個基底，那么點O，A，B，C一定共面；這是正確的．③已知向量是空間的一個基底，則向量，也是空間的一個基底；因為三個向量非零不共線，正確．故選C．2．【正確答案】C【詳解】對于A選項，因為，所以，、、共面，所以，不能作為空間的一個基底，A不滿足；對于B選項，因為，所以，、、共面，所以，不能作為空間的一個基底，B不滿足；對于C選項，設、、共面，則存在、使得，所以，、、共面，與題設條件矛盾，故假設不成立，所以，、、不共面，即能作為空間的一個基底，C滿足；對于D選項，因為，所以，、、共面，所以，不能作為空間的一個基底，D不滿足.故選：C.3．【正確答案】B【詳解】連接，如下圖所示：

因為為的中點，則，因為點在上，且，則，因為，故選：B.4．【正確答案】D根據(jù)投影的計算公式，將投影化為關于的函數(shù)，然后再求函數(shù)的最大值即可.【詳解】因為，∴，，∴①，因為要求最大值，故不妨取，令，則，代入①式得②，令，故②式小于等于.故選：D.5．【正確答案】B【詳解】∵直線的方程為∴直線的斜率為2，在軸上的截距為4，即∴故選B6．【正確答案】D【詳解】由，所以點中點坐標為，又由斜率公式可得，所以垂直平分線的斜率為，所以垂直平分線的方程為，即.7．【正確答案】D【詳解】∵ab≠0，∴令y＝0，得x＝，令x＝0，得y＝，∴三角形的面積S＝.選D.8．【正確答案】A【分析】解方程即得解.【詳解】由題得拋物線的準線方程為，則有，即有，解得．故選A.9．【正確答案】ACD【分析】根據(jù)空間向量基本定理，能作為基底的向量一定是不共面的向量，由此分別分析判斷即可【詳解】對于A，若向量，與空間任意向量都不能構成基底，則可得向量，是共線向量，即∥，所以A正確，對于B，若非零向量，，滿足，，則向量與不能確定，可能平行，所以B錯誤，對于C，若，，是空間的一組基底，且，則由空間向量基本定理可得，，，四點共面，所以C正確，對于D，因為，，是空間的一組基底，所以對于空間中的任意一個向量，存在唯一的實數(shù)組，使，所以向量，，也是空間一組基底，所以D正確，故選：ACD10．【正確答案】ABD【詳解】由于是空間的一個基底，所以不共面，對于A，向量分別與共線，所以不共面，能構成空間一個基底；對于B，若共面，則存在唯一實數(shù)對，使得，則，無解，所以不存在實數(shù)滿足，因此不共面，能構成空間一個基底；對于C，由于，故這三個向量是共面的，不能構成基底；對于D，若共面，則存在唯一實數(shù)對，使得，則，無解，所以不存在實數(shù)滿足，因此不共面，能構成空間一個基底.故選：ABD.11．【正確答案】AB【分析】由兩直線平行可得n，再利用平行直線間的距離公式計算可得m，相加即可得到答案.【詳解】由題意，，，所以，所以：，即，由兩平行直線間的距離公式得，解得或，所以或.故選：AB.本題考查兩直線的位置關系以及平行直線間的距離公式，考查學生的數(shù)學運算能力，是一道容易題.12．【正確答案】ABC【詳解】當兩直線l1，l2與直線PQ垂直時，兩平行直線l1，l2間的距離最大，最大距離為：，所以l1，l2之間的距離的取值范圍是.故選：ABC13．【正確答案】【詳解】如下圖所示，連接，，所以，.故答案為.14．【正確答案】【詳解】矩形中，對角線、相交于點，向量，矩形中，；矩形中，，，又，．故

15．【正確答案】【詳解】.故答案為.16．【正確答案】【分析】設分別為和的中點，把異面直線與所成角轉化為直線與所成的角，根據(jù)中位線定理，結合余弦定理求得和的余弦值，即可求解.【詳解】如圖所示，設分別為和的中點，可得，，且，所以異面直線與所成角即為直線與所成的角，作的中點為，則為直角三角形，因為，在中，由余弦定理可得，所以，所以，在中，，在中，可得，又因為異面直線所成角的范圍是，所以與所成的角的余弦值為.故答案為.17．【正確答案】存在，.【詳解】解：設直線方程為，若滿足條件（1），則=12.①又因為直線過點所以.②由①②可得，解得，∴所求直線的方程為=1或=1，即或.若滿足條件（2），則，③由題意得=1，④由③④整理得，解得∴所求直線的方程為=1或=1，即或.綜上所述，存在同時滿足（1）（2）兩個條件的直線，其方程為.18．【正確答案】（1）；（2）；【分析】（1）由點為坐標原點及，即可求得點的坐標；（2）由兩點距離公式，即可求得和的長度.【詳解】（1）由題意，點為坐標原點，所以因為，可得又因為點N是AB的中點，點M是的中點，所以.（2）由兩點距離公式得：，.19．【正確答案】(1)證明見解析(2)，【分析】（1）由圓心距與兩圓半徑的和、差比較可得；（2）兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程，由勾股定理求弦長．【詳解】（1）標準方程是，，，標準方程是，，，，顯然，所以兩圓相交．（2）兩圓方程相減得，即為公共弦所在直線方程，到直線的距離為，所以公共弦長．20．【正確答案】(1)；(2).【詳解】（1）由題意得，∴，∵，∴，∴，

故橢圓的標準方程為；（2）根據(jù)題意，直線的斜率存在且不為零，故設直線：，則直線：，由，得，恒成立，

設、，則，，

∴，

∵圓心到直線：的距離，

又，∴，

∵，∴四邊形的面積，

由，解得或，由，得．21．【正確答案】（1）；（2）.【詳解】（1）若l1∥l2，則，∴，∴m＝6，∴l(xiāng)1：x﹣2y﹣1＝0，l2：x﹣2y﹣6＝0∴l(xiāng)1，l2之間的距離d；（2）由題意，，∴0＜m＜3，直線l2與兩坐標軸的正半軸圍成的三角形的面積Sm（3﹣m），∴m時，S最大為，此時直線l2的方程為2x+2y﹣3＝0．22．【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，由正方體的性質得到，即可得到平面，根據(jù)線面平行的性質證明即可；（2）由（1）知為的中點，設，建立如圖