2024-2025學(xué)年北京市高二上冊(cè)統(tǒng)練三數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年北京市高二上學(xué)期統(tǒng)練三數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共10小題）1．直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．2．已知直線的方向向量且過(guò)點(diǎn)，則的方程為（

）A． B．C． D．3．過(guò)點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（）A． B．C．或 D．或4．下列說(shuō)法中正確的有（

）A．若兩直線平行，則兩直線的斜率相等B．若兩直線的斜率相等，則兩直線平行C．若兩直線的斜率乘積等于，則兩直線垂直D．若兩直線垂直，則兩直線的斜率乘積等于5．兩平行直線與之間的距離為（）A． B． C． D．6．已知直線與直線，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知一條光線從點(diǎn)發(fā)出被直線反射，若反射光線過(guò)點(diǎn)，則反射光線所在的直線方程為（）A． B． C． D．8．已知圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，且圓心在直線，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．9．如圖，二面角的大小為，棱上有兩點(diǎn)，線段，，，.若，，，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．10．若直線與直線交于點(diǎn)，則到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的最大值為（

）A． B． C． D．二、填空題（本大題共5小題）11．已知直線，，若，則實(shí)數(shù).12．已知點(diǎn)，若直線與線段相交，則直線l的傾斜角的取值范圍是．13．已知直線與直線交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A且與直線平行的直線方程為.14．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為．15．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面平面．給出下列四個(gè)結(jié)論：①的面積的最大值為；②滿足使的面積為2的點(diǎn)有且只有4個(gè)；③點(diǎn)可以是的中點(diǎn)；④線段的最大值為3．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題（本大題共4小題）16．已知的頂點(diǎn)為，，．(1)求邊的垂直平分線的一般式方程；(2)求的外接圓的方程．17．如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是矩形，．

(1)求證：；(2)從下面三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使五面體ABCDEF存在．求直線AE與平面BCF所成角的正弦值．條件①：平面平面，條件②：平面平面，條件③.注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．18．如圖，設(shè)直線：，：點(diǎn)A的坐標(biāo)為過(guò)點(diǎn)A的直線l的斜率為k，且與，分別交于點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)均為正數(shù)（1）設(shè)，求面積的最小值；（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得的值與k無(wú)關(guān)若存在，求出所有這樣的實(shí)數(shù)a；若不存在，說(shuō)明理由．19．已知集合的元素個(gè)數(shù)為且元素均為正整數(shù)，若能夠?qū)⒓戏殖稍貍€(gè)數(shù)相同且兩兩沒(méi)有公共元素的三個(gè)集合、、，即，，，，其中，，，且滿足，，、、、，則稱集合為“完美集合”.（1）若集合，，判斷集合和集合是否為“完美集合”？并說(shuō)明理由；（2）已知集合為“完美集合”，求正整數(shù)的值；（3）設(shè)集合，證明：集合為“完美集合”的一個(gè)必要條件是或.

答案1．【正確答案】D【詳解】，設(shè)其傾斜角為，則，又，則，即傾斜角為，故選：D2．【正確答案】A【詳解】由題意知直線的方向向量是，可得其斜率為，所以直線的方程為，即.故選.3．【正確答案】D【詳解】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0，滿足題意，又因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以直線的斜率為，所以直線方程為，即，當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，解得，所以直線方程為，故所求直線方程為或.故選：D.4．【正確答案】C【詳解】對(duì)于A，兩直線平行，可以是斜率都不存在，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若兩直線的斜率相等，則兩直線平行或重合，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若兩直線的斜率乘積等于，則兩直線垂直，故C正確；對(duì)于D，若兩直線垂直，可能是一條直線斜率為0，另一條直線斜率不存在，則不是兩直線的斜率乘積等于，故D錯(cuò)誤；故選：C5．【正確答案】C【詳解】由題意知，所以，則化為，所以兩平行直線與之間的距離為．故選：C．6．【正確答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，直線與直線的斜率均為，所以，充分性成立；當(dāng)時(shí)，，由解得，又當(dāng)時(shí)與重合，所以，必要性成立，故“”是“”的充要條件，故選：C7．【正確答案】A【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，因此反射光線所在直線過(guò)點(diǎn)，方程為，即.故選：A8．【正確答案】C【詳解】設(shè)圓心為，由題意得，即，解得，故圓心，半徑為，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C9．【正確答案】B【詳解】∵二面角的大小為，，，∴，.由題意得，，，∴，∴，即線段的長(zhǎng)為.故選：B.10．【正確答案】B【詳解】因?yàn)?，所以兩直線垂直，又直線過(guò)定點(diǎn)A3,2，直線過(guò)定點(diǎn)，所以，故交點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓（挖去點(diǎn)），如圖所示，其中圓心，半徑為1，所以線段的最大值為.故選：B.11．【正確答案】或【詳解】直線，，由，得，所以或.故或12．【正確答案】【詳解】直線過(guò)定點(diǎn)，則，，如圖，要使直線與線段相交，則直線l的的斜率應(yīng)滿足，所以直線l的傾斜角的取值范圍是.故答案為:.13．【正確答案】【詳解】設(shè)與直線平行的直線方程為，直線與直線交點(diǎn)滿足，將代入，得，故，則滿足題意的直線方程為.故14．【正確答案】【詳解】設(shè)Ax1,因?yàn)?，，所以、為圓上的兩點(diǎn).如圖：

則.又，所以，取中點(diǎn)，則.作直線：，作，，，，垂足分別為，，，.所以又，所以.即.所以.故15．【正確答案】①④【詳解】取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，，所以，所以，又，所以，所以，又平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，平面，所以平面平面，又平面平面，所以的軌跡為線段，對(duì)于①，由圖可知，當(dāng)在上時(shí)，此時(shí)三角形面積最大，因?yàn)?，所以面積的最大值為，故①正確；對(duì)于②，由圖可知，當(dāng)或時(shí)，的面積為2，所以滿足使的面積為2的點(diǎn)有且只有2個(gè)，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由圖易知，點(diǎn)不可能在線段上，所以點(diǎn)不可能是的中點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④,由圖易知，當(dāng)與重合時(shí)，此時(shí)長(zhǎng)度最大，最大值為，故④正確.故①④.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)中點(diǎn)為，所以，即，由題意得，所以邊上高的斜率為2，又因?yàn)榈拇怪逼椒志€過(guò)點(diǎn)，所以的垂直平分線的方程為：，即．（2）設(shè)的外接圓的方程為．將A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)代入上式得，解得，所以圓M的方程為，即．17．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)題意可得，利用線面平行判定定理證明平面，結(jié)合圖形即可證明；（2）選擇①，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得線面垂直，進(jìn)而可判斷線線垂直，進(jìn)而判斷五面體不存在，若選擇②③，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求出線面角的正弦值．【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以，又平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以；?）若選條件①：平面平面，則平面平面，，平面，所以平面平面所以，但是，因此不可能，所以選擇條件①的五面體不存在，若選擇條件②：平面平面，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，則，由，得，且，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，由平面，得，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，，則，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，令，得，，所以，，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．

若選擇條件③：，由于，,平面，所以平面，平面，所以平面平面，以下如選擇條件②相同.18．【正確答案】（1）；（2）存在；【分析】(1)利用直線的點(diǎn)斜式方程直線l的方程，再利用兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)得和，再結(jié)合題目條件得，當(dāng)時(shí)，得直線OA的方程為，和，以及，再利用點(diǎn)到直線的距離公式得點(diǎn)M和N到直線OA的距離，從而得面積，令，則，從而得S，再利用基本不等式求最值，計(jì)算得結(jié)論；(2)利用(1)的結(jié)論，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式得和，計(jì)算，由得結(jié)論．【詳解】(1)因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)，且斜率為k，所以直線l的方程為因?yàn)橹本€l與，分別交于點(diǎn)M，N，所以，因此由得，即，由得，即又因?yàn)镸，N的縱坐標(biāo)均為正數(shù)，所以，即而，因此又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，直線OA的方程為，，，且，所以點(diǎn)M到直線OA的距離為，點(diǎn)N到直線OA的距離為，因此面積令，則且，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以S的最小值為，即面積的最小值為(2)存在實(shí)數(shù)，使得的值與k無(wú)關(guān)．由(1)知：，，且因此，，所以又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，為定值，因此存在實(shí)數(shù)，使得的值與k無(wú)關(guān)．19．【正確答案】（1）是完美集合，不是完美集合；（2）可能值為：、、中任一個(gè)；（3）證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）將分為、、滿足條件，則是完美集合.將分