2024-2025學(xué)年安徽省高二上冊(cè)11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（A卷）（含解析）

2024-2025學(xué)年安徽省高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（A卷）一、單選題（本大題共8小題）1．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A． B． C． D．2．已知，向量，且，則（

）A．1 B．-1 C．2 D．-23．已知點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且是直線的一個(gè)方向向量，若角的終邊落在直線上，則（

）A． B． C． D．4．如圖，在三棱錐中，是線段的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．5．已知圓被軸截得的弦長(zhǎng)為，圓，則兩圓的公共弦所在的直線方程為（

）A． B．C． D．6．如圖，在平行六面體中，，，則（

）A． B． C． D．7．已知雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，，直線經(jīng)過(guò)，且與交于，兩點(diǎn).若，，則的離心率為（

）A． B． C． D．8．?dāng)?shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”.事實(shí)上，很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，例如，與相關(guān)的代數(shù)問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的幾何問(wèn)題.若曲線，且點(diǎn)M，N分別在曲線和圓：上，則M，N兩點(diǎn)間的最大距離為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．關(guān)于空間向量，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若共線，則B．已知，若，則C．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則P，A，B，C四點(diǎn)共面D．若向量能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則也能構(gòu)成空間的一個(gè)基底10．若，直線，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線過(guò)定點(diǎn)B．直線一定經(jīng)過(guò)第一象限C．點(diǎn)到直線的距離的最大值為D．的充要條件是11．已知橢圓分別為的左、右焦點(diǎn)，A，B分別為的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到距離的最大值和最小值分別為3和1.下列結(jié)論正確的是（

）A．橢圓的離心率為B．存在點(diǎn)，使得C．若，則外接圓的面積為D．的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約公元前262年—公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作有中這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱(chēng)為阿波羅尼斯圓.已知點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡所對(duì)應(yīng)的阿波羅尼斯圓的半徑為.13．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)滿足，當(dāng)時(shí)，的值為.14．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)焦點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，且，若，則直線的斜率為.四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)，，分別為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若，求直線DE與平面的距離.16．在平面直角坐標(biāo)系中，圓為過(guò)點(diǎn)，，的圓.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，求弦中點(diǎn)的軌跡方程.17．已知四棱錐中，底面四邊形ABCD是正方形，底面，是線段的中點(diǎn)，在線段上，且滿足與所成的角為.

(1)證明：；(2)求平面與平面夾角的余弦值.18．已知雙曲線的離心率為，，分別為其左、右焦點(diǎn)，為雙曲線上任意一點(diǎn)，且的最小值是.(1)求雙曲線的方程；(2)記雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，，直線與的右支交于，兩點(diǎn).（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）若直線，的斜率分別為，，證明：是定值.19．若橢圓：上的兩個(gè)點(diǎn)滿足，則稱(chēng)M，N為該橢圓的一個(gè)“共軛點(diǎn)對(duì)”，點(diǎn)M，N互為共軛點(diǎn).顯然，對(duì)于橢圓上任意一點(diǎn)，總有兩個(gè)共軛點(diǎn).已知橢圓，點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的兩個(gè)共軛點(diǎn)分別記為.(1)當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，求；(2)當(dāng)直線斜率存在時(shí)，記其斜率分別為，其中，求的最小值；(3)證明：的面積為定值.

答案1．【正確答案】D【詳解】得到，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為．故選：D.2．【正確答案】A【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，所以，所?故選：A3．【正確答案】A【詳解】因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，且平行于向量，所以直線的方程為，當(dāng)時(shí)，取終邊上的點(diǎn)，可得，當(dāng)時(shí)，取終邊上的點(diǎn)，可得，所以若角的終邊落在直線上，則，所以.故選：A.4．【正確答案】D【詳解】連接，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，所?故選：D.5．【正確答案】C【詳解】根據(jù)題意，可知圓，即圓，圓心為，半徑，令，則有：，根據(jù)韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式可求：，所以，故圓的半徑，故圓，又因?yàn)閳A，設(shè)AB為兩圓的公共弦所在的直線，則有作差變形可得：；即直線AB的方程為.故選：C6．【正確答案】B【詳解】設(shè)，因?yàn)榱骟w是平行六面體，所以，因?yàn)?，代入?jì)算可得：，故有：，所以，所以，因?yàn)椋?故選：B7．【正確答案】B【詳解】由題意知，，且A，B都在雙曲線的右支上．設(shè)，則，，．在中，，得，則，.在中，，即，得．所以雙曲線C的離心率為.故選：B8．【正確答案】C【詳解】因?yàn)?，所以可以轉(zhuǎn)化為到的距離，同理，可以轉(zhuǎn)化為到的距離，因?yàn)?，所以到兩定點(diǎn)和的距離之和為，所以在以點(diǎn)和為焦點(diǎn)的橢圓上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則，即，又，所以，所以曲線，即橢圓的方程為：，又因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，則M，N兩點(diǎn)間的最大距離可以轉(zhuǎn)化為圓心到橢圓上的點(diǎn)的最大距離再加上圓的半徑，點(diǎn)在，故，所以圓心到橢圓上點(diǎn)的距離，因?yàn)殚_(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為，所以在上單調(diào)遞減，故，則，所以M，N兩點(diǎn)間的最大距離是．9．【正確答案】BCD【詳解】若同向且，此時(shí)，即不成立，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，則，即，得，故B正確；因?yàn)椋?，所以P，B，A，C四點(diǎn)共面，故C正確；假設(shè)，則方程無(wú)解，即不存在實(shí)數(shù)x，y使得該式成立，所以不共面，可以作為基底向量，故D正確．故選：BCD.10．【正確答案】ABD【詳解】由，即為，令，解得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，故A正確；因?yàn)?，則的斜率存在且不為零，在軸上的截距，所以一定經(jīng)過(guò)第一象限，故B正確；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離的最大，最大值為，故C錯(cuò)誤；若，則，因?yàn)?，故有，?jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以，所以的充要條件是，故D正確．故選：ABD11．【正確答案】ACD【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到距離的最大值和最小值分別為3和1，故有：，解得：，橢圓的離心率，故A正確；B選項(xiàng)，若橢圓上存在點(diǎn)，使得，則點(diǎn)在圓上，又因?yàn)榉匠探M無(wú)解，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)，則，若，即，在中，由余弦定理可得，因?yàn)?，所以，根?jù)正弦定理可知，，故C正確；D選項(xiàng)，設(shè)，則：，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以的最小值為，故D正確.故選：ACD12．【正確答案】【詳解】設(shè)，因?yàn)椋?jiǎn)得到圓，是以為圓心，為半徑的圓．故答案為.13．【正確答案】/0.25【詳解】長(zhǎng)方體中，，，，，故，解得或，因?yàn)椋詽M足要求，不合要求，舍去.故14．【正確答案】【詳解】設(shè)，，由題意設(shè)直線：，聯(lián)立可得：，，由拋物線的定義可得：，所以，所以，又因?yàn)?，所以，解?故答案為.15．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）因?yàn)闉橹比庵?，所以，又，分別為AB，的中點(diǎn)，所以，所以，又平面平面，所以平面；（2）因?yàn)闉橹比庵?，且，以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因，則，則，因?yàn)?，則，即，設(shè)平面的法向量為，則，解得，取，則，所以平面的一個(gè)法向量為，又，即，所以點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)椋謩e為AB，的中點(diǎn)，故有直線平面，所以直線DE與平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，故直線DE與平面的距離.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故有：，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)弦MN的中點(diǎn)，

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，當(dāng)直線斜率為0時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，當(dāng)直線斜率存在且不為0時(shí)，由垂徑定理知，點(diǎn)的軌跡是以CG為直徑的圓．由，得，，整理得：；17．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）因?yàn)榈酌妫业酌?，所以，又因?yàn)闉檎叫危傻?，因?yàn)?，且平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，即為，且是線段的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)椋移矫?，所以平面，因?yàn)槠矫妫裕唬?）根據(jù)題意可知，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，可得，可得，則，因?yàn)樵诰€段上，設(shè)，其中，則，因?yàn)榕c所成的角為，可得，解得，所以，所以，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，又，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，可得故平面與平面夾角的余弦值為.18．【正確答案】(1)(2)（i）；（ii）是定值.【詳解】（1）由題意可得：，設(shè)Px,y，F(xiàn)1?c,0，，所以，因?yàn)镻x,y在雙曲線上，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，的最小值是，所以，又，又因?yàn)?，所以，所以雙曲線的方程為.（2）（i）設(shè)，直線，由，消元得.則，且，則，解得.