2025屆高考數(shù)學二輪總復習專題3數(shù)列第2講數(shù)列通項與求和課件

第2講數(shù)列通項與求和考點一求數(shù)列的通項公式例1(2024福建廈門模擬)南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式,所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同,高階等差數(shù)列中前后兩項之差并不相等,但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.現(xiàn)有高階等差數(shù)列,其前7項分別為1,2,4,7,11,16,22,則該數(shù)列的第50項為(

)A.1224

B.1225

C.1226

D.1227C解析

設數(shù)列{an}的前7項分別為1,2,4,7,11,16,22,由題意可得a2-a1=1,a3-a2=2,a4-a3=3,…,a50-a49=49,上述等式累加可得a50-a1=1+2+3+…+49==1

225,所以a50=a1+1

225=1

226.故選C.增分技巧求數(shù)列{an}通項公式的常用方法[對點訓練1]已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,滿足Sn=an+1-2,a2=12,則S4=

.

160考點二分組轉化法求和例2已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且4Sn=(an-1)(an+3)(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)將數(shù)列{an}和{2n}中所有的項,按照從小到大的順序排列得到一個新數(shù)列{bn},求{bn}的前50項和.解

(1)依題意an>0,當n=1時,4a1=4S1=(a1-1)(a1+3),解得a1=3.由4Sn=(an-1)(an+3)(n∈N*),①當n≥2時,有4Sn-1=(an-1-1)(an-1+3),②所以(an+an-1)(an-an-1-2)=0,因為an+an-1>0,所以an-an-1=2(n≥2),所以數(shù)列{an}是首項為3,公差為2的等差數(shù)列,所以an=2n+1.(2)由(1)得,a50=101,又26<101<27,同時a44=89>26,所以b50=a44,所以b1+b2+…+b50=(a1+a2+…+a44)+(21+22+…+26)==2

024+126=2

150.所以{bn}的前50項和為2

150.解

由題意知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2n=a2n-1+1,a2n+1=a2n+2,所以a2n+1=a2n+2=a2n-1+3.所以數(shù)列{an}的奇數(shù)項是以1為首項,3為公差的等差數(shù)列.同理,由a2n+2=a2n+1+1=a2n+3知數(shù)列{an}的偶數(shù)項是以2為首項,3為公差的等差數(shù)列.從而數(shù)列{an}的前20項和為S20=(a1+a3+a5+…+a19)+(a2+a4+a6+…+a20)考點三裂項相消法求和例3已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,其前n項和為An,a7=15,A7=63,數(shù)列{bn}的前n項和為Bn,2Bn=3bn-3.(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;解

(1)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,設公差為d,∴an=2n+1,n∈N*.由已知2Bn=3bn-3,當n=1時,2B1=3b1-3=2b1,解得b1=3,當n≥2時,2Bn-1=3bn-1-3,∴2Bn-2Bn-1=(3bn-3)-(3bn-1-3)=3bn-3bn-1,n∈N*,即bn=3bn-1,∴數(shù)列{bn}是首項為3,公比為3的等比數(shù)列,∴bn=3n,n∈N*.[對點訓練3](2024河北邢臺一模)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且{Sn+n2}也是等差數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的公差;解

(1)設數(shù)列{an}的公差為d,則an=a1+(n-1)d=dn+a1-d.因為{Sn+n2}是等差數(shù)列,所以Sn+1+(n+1)2-Sn-n2為常數(shù),Sn+1+(n+1)2-Sn-n2=an+1+2n+1=nd+a1+2n+1=(d+2)n+a1+1,所以d+2=0,解得d=-2,即數(shù)列{an}的公差為-2.考點四錯位相減法求和例4(2023全國甲,理17)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,已知a2=1,2Sn=nan.(1)求{an}的通項公式;(2)求數(shù)列

的前n項和Tn.解

(1)由題意可知,2Sn=nan,①當n≥2時,2Sn-1=(n-1)an-1,②①-②得2an=nan-(n-1)an-1,∴(n-1)an-1=(n-2)an.∴an=n-1(n≥2),當n=1時,2a1=a1,a1=0,滿足上式,∴an=n-1(n∈N*).(方法二

累乘法)由2Sn=nan可知,當n=1時,2a1=a1,a1=0,a2=1,顯然a1=0,a2=1滿足,∴an=n-1(n∈N*).(2)由(1)可知an=n-1(n∈N*),∴an+1=n,[對點訓練4](2024湖南邵陽模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,c1=a2=3且S6-S3=27,數(shù)列{cn}滿足

設bn=c2n+c2n-1.(1)求{an}的通項公式,并證明:bn+1=2bn-3;(2)設tn=an(bn-3),求數(shù)列{tn}的前n項和Qn.(1)證明

設等差數(shù)列{an}的公差為d,由S6-S3=27,可得a4+a5+a6=27,即3a5=27,解得a5=9,又a2=3,可得d==2,所以an=a2+(n-2)d=3+(n-2)×2=2n-1,由數(shù)列{cn}滿足cn+1=可得c2n=c2n-1-1,c2n+1=2c2n,c2n+2=c2n+1-1,所以bn=c2n+c2n-1=2c2n+1,因為bn+1=c2n+2+c2n+1=4c2n-1=2(2c2n+1)-3,所以bn+1=2bn-3.(2)解

由(1)可知bn+1-3=2(bn-3),因為b1-3=c1+c2-3=c1+c1-1-3=2≠0,所以數(shù)列{bn-3}是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,所以bn-3=2×2n-1=2n,所以tn=(2n-1)×2n,所以Qn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n,則2Qn=1×22+3×23+5×24+…+(