中考數(shù)學(xué)教材知識梳理第五單元四邊形第20課時矩形菱形正方形課

第五單元四邊形

第20課時矩形、菱形、正方形1/31

中考考點(diǎn)清單考點(diǎn)1：矩形性質(zhì)與判定(高頻)考點(diǎn)2：菱形性質(zhì)與判定(高頻)考點(diǎn)3：正方形性質(zhì)與判定考點(diǎn)4：特殊四邊形關(guān)系矩形、菱形、正方形2/311.概念：有一個角為直角平行四邊形叫做矩形．如圖：2.性質(zhì)文字描述字母表示(參考圖(1))邊對邊分別平行AB∥CD，AD∥BC對邊分別相等AB=CD，AD=BC角四個角都是①____角∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°直矩形性質(zhì)與判定(高頻)考點(diǎn)

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3/31文字描述字母表示(參考圖(1))對角線對角線②____且相互平分AC=BD，OA=OC，OB=OD對稱性是軸對稱圖形，過每一組對邊中點(diǎn)直線都是矩形對稱軸，對稱軸有③______條；是中心對稱圖形，對角線交點(diǎn)是它④__________面積S＝a×b(a，b為相鄰兩條邊長)相等兩對稱中心4/31文字描述字母表示(參考圖(1))有一個角是直角⑤__________是矩形□ABCD∠ABC=90°對角線相等平行四邊形是矩形□ABCD⑥_________有三個角都是直角四邊形是矩形四邊形ABCD∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°3.判定□ABCD是矩形□ABCD是矩形四邊形ABCD是矩形平行四邊形AC=BD5/311.概念：一組鄰邊相等平行四邊形叫做菱形．如圖：2.性質(zhì)文字描述字母表示(參考圖(2))邊四邊都⑦_(dá)_____AB=BC=CD=AD對邊平行AB∥CD，AD∥BC角對角相等∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC鄰角互補(bǔ)∠BAD＋∠ADC=180°，∠ABC＋∠BCD=180°相等菱形性質(zhì)與判定(高頻)考點(diǎn)

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6/31文字描述字母表示(參考圖(2))對角線相互垂直且平分AC⊥BD，AC與BD相互平分平分一組⑧________AC平分∠DAB與∠BCD，BD平分∠ABC與∠ADC對稱性是軸對稱圖形，兩條對角線所在直線是它對稱軸，對稱軸有⑨_____條；是中心對稱圖形，對角線交點(diǎn)是它對稱中心面積S=m·n=CD·AE(m，n分別為兩對角線長，CD為邊，AE為CD邊上高)對角兩7/31文字描述字母表示(參考圖(2))有一組鄰邊⑩______平行四邊形是菱形□ABCD

AB=BC對角線?_________平行四邊形是菱形□ABCD

AC⊥BD四條邊都?_____四邊形是菱形四邊形ABCDAB=BC=

CD=AD3.判定□ABCD是菱形□ABCD是菱形四邊形ABCD是菱形相等相互垂直相等8/311.概念：一組鄰邊相等且一個角是直角平行四邊形叫做正方形．如圖：2.性質(zhì)文字描述字母表示(參考圖(3))邊四邊都?_____

AB=BC=CD=AD

對邊平行AB∥CD，AD∥BC

角四個角都是直角∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=?_______相等90°正方形性質(zhì)與判定考點(diǎn)

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9/31文字描述字母表示(參考圖(3))對角線相互垂直平分且?________AC⊥BD，AC與BD相互平分，AC=BD平分一組對角AC平分∠DAB與∠BCD，

BD平分∠ABC與∠ADC

對稱性是軸對稱圖形，兩條對角線以及過每一組對邊中點(diǎn)連線都是它對稱軸，對稱軸有四條；是中心對稱圖形，對角線交點(diǎn)是它對稱中心面積S=a2(a為邊長)相等10/31文字描述字母表示(參考圖(3))有一個角是90°?______是正方形菱形ABCD∠ABC=90°對角線相等?______是正方形菱形ABCDAC=BD有一組鄰邊相等?______是正方形矩形ABCDAB=BC對角線相互?______矩形是正方形矩形ABCDAC⊥BD3.判定菱形ABCD是正方形菱形ABCD是正方形四邊形ABCD是正方形矩形ABCD是正方形菱形菱形矩形垂直11/31文字描述字母表示(參考圖(3))有一組鄰邊相等，而且有一個角是直角平行四邊形是正方形□ABCDAB=BC

∠A=90°對角線相互?_________________四邊形是正方形四邊形ABCDAC⊥BDAC與BD相互平分AC=BD四邊形ABCD是正方形垂直平分且相等□ABCD是正方形12/31相等90°鄰邊特殊四邊形關(guān)系考點(diǎn)

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?？碱愋推饰隼?如圖，在□ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且OA=OB.(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)若AB=6，∠AOB=120°，求BC長．矩形相關(guān)證實(shí)與計算類型一

14/31(1)【思維教練】要證四邊形ABCD是矩形，已知四邊形ABCD是平行四邊形且OA=OB，可證其對角線AC=BD，從而可由對角線相等平行四邊形是矩形得證；證實(shí)：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD，∵OA=OB，∴OA=OB=OC=OD，∴AC=BD，∴□ABCD是矩形；15/31(2)【思維教練】要求BC長，已知在Rt△ABC中，AB=6，OB為Rt△ABC斜邊上中線，且∠AOB=120°，解直角三角形即可得解．解：∵∠AOB=120°，OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴BC=AB·tan30°=6×=，∴BC長為.16/31拓展1(曲靖)如圖，在矩形ABCD中，AD=10，CD=6，E是CD邊上一點(diǎn)，沿AE折疊△ADE，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上F處，M是AF中點(diǎn)，連接BM，則sin∠ABM=________．17/31【解析】∵在矩形ABCD中，AD=10，CD=6，沿AE折疊△ADE，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上F

處，∴AF=AD=10，∴BF==8，∵在Rt△ABF中，M是AF中點(diǎn)，∴AM=BM，∴∠ABM=∠BAM，∴sin∠ABM=sin∠BAM=18/31導(dǎo)方法指1.矩形判定普通思緒：(1)一個內(nèi)角為平行四邊形+90°(2)對角線相等四邊形+有三個內(nèi)角是直角

19/31導(dǎo)方法指2.應(yīng)用矩形性質(zhì)計算普通思緒：(1)依據(jù)矩形四個角都是直角，一條對角線將矩形分成兩個直角三角形，可用勾股定理或解直角三角形求線段長；(2)又依據(jù)矩形對角線相等且相互平分，故可借助對角線關(guān)系得到全等三角形；(3)矩形兩條對角線把矩形分成四個等腰三角形，在矩形性質(zhì)相關(guān)計算和證實(shí)中要注意這個結(jié)論利用,建立能夠得到線段或角度等量關(guān)系.20/31例2如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AE∥BD，過點(diǎn)D作ED∥AC，兩線相交于點(diǎn)E.(1)求證：四邊形AODE是菱形；(2)連接BE，交AC于點(diǎn)F.若BE⊥ED于點(diǎn)E，求∠AOD度數(shù)．菱形相關(guān)證實(shí)與計算類型二

21/31(1)【思維教練】要證四邊形AODE為菱形，已知鄰邊相等AO=OD，只需證四邊形AODE為平行四邊形，依據(jù)AE∥BD，ED∥AC即可得證；證實(shí)：∵AE∥BD，ED∥AC，∴四邊形AODE是平行四邊形，∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，AC=BD，∴OA=OD，∴矩形AODE是菱形；22/31(2)【思維教練】要求∠AOD度數(shù)，由(1)得，DE=OD

=BD，結(jié)合BE⊥ED可得∠EBD度數(shù)，進(jìn)而求得∠EDB角度，依據(jù)DE∥AC即可得解．解：由(1)得，四邊形AODE是菱形，∴DE=OD，∵OD=BD，∴DE=BD，∵BE⊥ED，∴∠EBD=30°，∴∠EDB=90°-∠EBD=60°，∵DE∥AC，∴∠AOD=180°-∠EDB=120°.23/31拓展2(青海)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，且AC=8，BD=6，則菱形ABCD高DH=_____．4.8【解析】∵S菱形ABCD=AC·BD=AB·DH，∴AC·BD=2AB·DH，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠AOB=90°，AO=AC=4，BO=BD=3，∴AB==5，∴8×6=2×5DH，∴DH=4.8.24/31導(dǎo)方法指1.菱形判定普通思緒：(1)一組鄰邊相等平行四邊形+菱形(2)對角線相互垂直四邊形+四邊相等2.菱形計算：(1)求角度時，應(yīng)注意菱形四條邊相等和對角相等、鄰角互補(bǔ)等，可利用等腰三角形性質(zhì)和平行線性質(zhì)，轉(zhuǎn)化要求角，直到找到與已知角存在關(guān)系；25/31導(dǎo)方法指(2)求長度(線段或者周長)時，應(yīng)注意使用等腰三角形性質(zhì).若菱形中有一個角為60°，則連接另外兩點(diǎn)對角線所分割兩個三角形為等邊三角形，故在計算時,可借助等邊三角形性質(zhì)求線段長；(3)求面積時，可利用菱形兩條對角線相互垂直，面積等于對角線乘積二分之一求解.26/31例3已知：如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上一點(diǎn)，DE平分∠ADC，EF∥DC交AD邊于點(diǎn)F，連接BD.(1)求證：四邊形FECD是正方形；(2)若BE=1，ED=2，求tan∠DBC值．正方形相關(guān)證實(shí)與計算類型三

27/31(1)【思維教練】要證四邊形FECD為正方形，先證其為平行四邊形，再依據(jù)一組鄰邊相等證實(shí)平行四邊形為菱形，最終由一個角為直角證實(shí)菱形FECD為正方形；證實(shí)：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ADC=∠C=90°，∵EF∥DC，∴四邊形FECD為平行四邊形，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，∵AD∥BC，∴∠ADE=∠DEC，∴∠CDE=∠DEC，∴CD=CE，∴四邊形FECD是菱形，又∵∠C=90°，∴四邊形FECD是正方形；28/31(2)【思維教練】要求tan∠DBC值，只需求在Rt△BCD中CD、BC長，已知DE長，在Rt△CDE中可求CD、EC長，從而求得BC長，即可求解．解：∵四邊形FECD是正方形，∴∠CDE=45°，∵ED=，∴CE=CD=ED·sin45°=×=2，∴BC=BE+EC=1+2=3，∴tan∠DBC=.29/31拓展3(青島)如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O