《電子設(shè)備可靠性工程》課件第9章

第9章機(jī)械零部件的可靠性設(shè)計(jì)9.1機(jī)械可靠性設(shè)計(jì)的基本特點(diǎn)9.2靜態(tài)應(yīng)力－強(qiáng)度干涉模型9.3幾種常用分布的可靠度計(jì)算9.4安全系數(shù)與可靠度9.5機(jī)械零件的可靠性設(shè)計(jì)9.1機(jī)械可靠性設(shè)計(jì)的基本特點(diǎn)

1.傳統(tǒng)的機(jī)械設(shè)計(jì)與機(jī)械可靠性設(shè)計(jì)的相同點(diǎn)

傳統(tǒng)的機(jī)械設(shè)計(jì)是采用確定的許用應(yīng)力法和安全系數(shù)法研究、設(shè)計(jì)機(jī)械零件和簡單的機(jī)械系統(tǒng)。這是廣大工程技術(shù)人員很熟悉的設(shè)計(jì)方法。而機(jī)械可靠性設(shè)計(jì)，又稱機(jī)械概率設(shè)計(jì)是以非確定性的隨機(jī)方法研究、設(shè)計(jì)機(jī)械零件和機(jī)械系統(tǒng)。它們共同的核心內(nèi)容都是針對所研究對象的失效與防失效問題，建立起一整套的設(shè)計(jì)計(jì)算理論和方法。在機(jī)械設(shè)計(jì)中，不論是傳統(tǒng)設(shè)計(jì)或概率設(shè)計(jì)，判斷一個零件是否安全都是將引起失效的一方，如零件中的載荷、應(yīng)力或變形等，與抵抗失效能力的一方，如零件的許用載荷、許用應(yīng)力或許用變形等，加以對比來判斷。

如果引起零件失效的一方，簡稱為“應(yīng)力”，用s表示，可用一多元函數(shù)來描述，即：(9-1)式中，影響失效的各項(xiàng)因素，如力的大小、力的作用位置、應(yīng)力集中、環(huán)境因素等。

若抵抗失效能力一方，簡稱為“強(qiáng)度”，用r表示，也可用一多元函數(shù)來描述，即：(9-2)式中：

影響零件強(qiáng)度的各項(xiàng)因素，如材料性能、表面質(zhì)量、零件尺寸等。

這里所指的“應(yīng)力”s和“強(qiáng)度”r顯然都是廣義的，當(dāng)r－s>0，表示零件處于安全狀態(tài)，當(dāng)r－s<0，零件處于失效狀態(tài)，r－s=0，零件處于極限狀態(tài)。因此，傳統(tǒng)的機(jī)械設(shè)計(jì)和機(jī)械可靠性設(shè)計(jì)的共同設(shè)計(jì)原理可表示為：(9-3)上式表明了零件完成預(yù)期功能所處的狀態(tài)，因此稱為狀態(tài)方程，或稱為工作能力方程。不論是傳統(tǒng)的機(jī)械設(shè)計(jì)或機(jī)械可靠性設(shè)計(jì)，都是以式（9-3）所表示的零件或系統(tǒng)各種功能要求的極限狀態(tài)和安全狀態(tài)作為設(shè)計(jì)依據(jù)，以保證零件在預(yù)期的壽命內(nèi)正常運(yùn)行。

2.傳統(tǒng)的機(jī)械設(shè)計(jì)與機(jī)械可靠性設(shè)計(jì)的不同點(diǎn)

(1)設(shè)計(jì)變量處理方法的不同

傳統(tǒng)的機(jī)械設(shè)計(jì)，把影響零件工作狀態(tài)的設(shè)計(jì)變量，如應(yīng)力、強(qiáng)度、安全系數(shù)、載荷、零件尺寸、環(huán)境因素等，都處理成確定性的單值變量，而描述狀態(tài)的數(shù)學(xué)模型，即變量于變量之間的關(guān)系，可通過確定性的函數(shù)進(jìn)行單值變換，這種把設(shè)計(jì)變量處理成單一確定值的方法，稱為確定性設(shè)計(jì)法。圖9-1表示了這種確定性設(shè)計(jì)法的模型。

機(jī)械可靠性設(shè)計(jì)，把設(shè)計(jì)中所涉及的變量，都處理成多值的隨機(jī)變量，它們都服從一定的概率分布，這些變量間的關(guān)系，可通過概率函數(shù)進(jìn)行多值變換，得到“應(yīng)力”s和“強(qiáng)度”r的概率分布，這種運(yùn)用隨機(jī)方法對設(shè)計(jì)變量進(jìn)行描述和運(yùn)算的方法，稱為非確定性概率設(shè)計(jì)方法。圖9-2表示了這種非確定性概率設(shè)計(jì)法的模型。圖9-1確定性設(shè)計(jì)法圖9-2非確定性概率設(shè)計(jì)法

(2)設(shè)計(jì)變量運(yùn)算方法的不同

在傳統(tǒng)的機(jī)械設(shè)計(jì)中，有一受拉力作用的桿件，則橫斷面上的正應(yīng)力為：上式表示了拉力F、橫斷面積A和應(yīng)力s之間確定性的函數(shù)關(guān)系，變量之間通過實(shí)數(shù)代數(shù)運(yùn)算，可得到確定性的單值變換。

在機(jī)械可靠性設(shè)計(jì)中，由于設(shè)計(jì)變量是非確定性的隨機(jī)變量，因此，它們均服從一定的分布規(guī)律，用概率函數(shù)及分布參數(shù)（如隨機(jī)變量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差）來表征。于是式(9-4)可寫成：(9-5)

式（9-5）表示非確定性隨機(jī)變量的數(shù)字特征之間的函數(shù)關(guān)系，可運(yùn)用隨機(jī)變量的組合運(yùn)算規(guī)則，得到變量與函數(shù)間的多值變換。

(3)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則含義的不同

在傳統(tǒng)的機(jī)械設(shè)計(jì)中，判斷一個零件是否失效，是以危險斷面的計(jì)算應(yīng)力

是否小于許用應(yīng)力[

]，計(jì)算安全系數(shù)n是否大于許用安全系數(shù)[n]來決定，相應(yīng)的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則為：(9-6)上式表示零件的強(qiáng)度儲備和安全程度，是一個確定不變的量，未能定量反映影響零件強(qiáng)度的許多非確定因素，因而不能回答零件在運(yùn)行中有多大可靠程度。

在可靠性設(shè)計(jì)中，由于應(yīng)力s和強(qiáng)度r都是隨機(jī)變量，因此，判斷一個零件是否安全可靠，是以強(qiáng)度r大于應(yīng)力s所發(fā)生的概率來表示，其設(shè)計(jì)準(zhǔn)則為：(9-7)式中R(t)表示在運(yùn)行中的安全概率，即可靠度。它是指零件在工作時間t內(nèi)的一種能力，這種能力是以“強(qiáng)度”r超過“應(yīng)力”s的概率來度量，顯然它是零件工作時間t的函數(shù)。式中[R]稱為零件的許用可靠度，它表示零件在規(guī)定的時間內(nèi)，規(guī)定的條件下實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)要求的一種能力，即許用安全概率。上式不僅能定量地回答零件在運(yùn)行中的安全、可靠程度，而且可以預(yù)測零件的壽命。

從以上的分析可知，機(jī)械可靠性設(shè)計(jì)是以應(yīng)力和強(qiáng)度為隨機(jī)變量作為出發(fā)點(diǎn)，應(yīng)用概率和統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行分析、求解，它可以有多種可靠性指標(biāo)供選擇，其中包括失效率、可靠度、平均無故障工作時間、維修度、有效度等。機(jī)械可靠性設(shè)計(jì)還可以考慮環(huán)境的影響，強(qiáng)調(diào)設(shè)計(jì)對產(chǎn)品可靠性的主導(dǎo)作用，并同時考慮產(chǎn)品的可維修性和承認(rèn)產(chǎn)品在設(shè)計(jì)期間以及其后都需要進(jìn)行可靠性增長試驗(yàn)，所有這些特點(diǎn)都標(biāo)志著機(jī)械可靠性設(shè)計(jì)已進(jìn)入實(shí)用階段。但由于傳統(tǒng)的機(jī)械設(shè)計(jì)方法積累了大量的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，其設(shè)計(jì)準(zhǔn)則和表現(xiàn)形式簡單、直觀、明確，應(yīng)用方便，因此為廣大工程技術(shù)人員所熟練采用，而在我國機(jī)械可靠性設(shè)計(jì)的數(shù)據(jù)還比較缺乏，這方面的數(shù)據(jù)的收集又是一項(xiàng)長期、費(fèi)錢的工作，因此，應(yīng)該將傳統(tǒng)的機(jī)械設(shè)計(jì)和機(jī)械可靠性設(shè)計(jì)有機(jī)地結(jié)合起來，以豐富發(fā)展機(jī)械設(shè)計(jì)理論，提高機(jī)械產(chǎn)品的設(shè)計(jì)水平。

9.2靜態(tài)應(yīng)力—強(qiáng)度干涉模型

這一章討論的問題只限于靜態(tài)，靜態(tài)指機(jī)械零部件所受的應(yīng)力不隨時間而變化的靜應(yīng)力或近似靜應(yīng)力；強(qiáng)度也不隨時間而改變。

前已述及，機(jī)械零件的強(qiáng)度和工作應(yīng)力均為隨機(jī)變量，呈分布狀態(tài)。這是由于影響零件強(qiáng)度的參數(shù)如材料的性能、尺寸、表面質(zhì)量等等均為隨機(jī)變量，影響應(yīng)力的參數(shù)如載荷工況、應(yīng)力集中、工作溫度、潤滑狀態(tài)也都是隨機(jī)變量的緣故。圖9-3應(yīng)力與強(qiáng)度分布情況圖9-4應(yīng)力與強(qiáng)度的干涉圖9-5圖9—4陰影部分的放大

9-3(a)圖所示情況可靠度為1，這種情況下，零件是絕對安全的，此時強(qiáng)度總大于應(yīng)力。9-3(c)圖的情況恰相反，可靠度為零，這時強(qiáng)度總小于應(yīng)力的。當(dāng)然，設(shè)計(jì)者一定要避免出現(xiàn)這種情況，但能否要求所有設(shè)計(jì)都處于9-3(a)的情況呢？顯然不是，這樣設(shè)計(jì)的零件必然尺寸過大，價格過高，不能算是一個成功的設(shè)計(jì)。

我們著力研究的是9-3(b)的情況，這就是應(yīng)力—強(qiáng)度干涉模型，該模型可清楚地揭示機(jī)械零件產(chǎn)生故障而有一定故障率的原因和機(jī)械強(qiáng)度可靠性設(shè)計(jì)的本質(zhì)，是進(jìn)行零件可靠性設(shè)計(jì)最基本而且是最主要的工具，它精確描述了產(chǎn)品強(qiáng)度和工作應(yīng)力這一對功能參數(shù)在實(shí)際工作中的隨機(jī)性，并給出了安全與否的定量指標(biāo)——可靠度R。

從9-3(b)圖可以看出，當(dāng)零件的強(qiáng)度和工作應(yīng)力的離散程度大時，干涉部分就會加大，零件的不可靠度也就增大;當(dāng)材料性能好，工作應(yīng)力穩(wěn)定而使應(yīng)力與強(qiáng)度分布的離散度小時，干涉部分會相應(yīng)地減小，零件的可靠度就會增大。另外，由該圖也可以看出，即使在安全系數(shù)大于1的情況下，仍然會存在一定的不可靠度，所以，以往傳統(tǒng)的機(jī)械設(shè)計(jì)方法只進(jìn)行安全系數(shù)的計(jì)算是不夠的，還需要進(jìn)行可靠度計(jì)算。

應(yīng)力與強(qiáng)度分布的干涉曲線如圖9-4所示，其干涉面積為圖中陰影部分。在干涉面積中將出現(xiàn)應(yīng)力s的取值大于強(qiáng)度r取值的情況，其可靠度定義為：(9-8)

把圖9-4中陰影部分放大，如圖9-5所示，應(yīng)力取值落在小區(qū)間ds的概率等于ds小微元的面積，即：式中：s

橫坐標(biāo)在干涉部分的任一取值。

零件強(qiáng)度r大于

的概率為：(9-9)若應(yīng)力與強(qiáng)度的隨機(jī)變量s、r相互獨(dú)立，應(yīng)力值處于小區(qū)間ds，且強(qiáng)度r大于應(yīng)力的概率為：強(qiáng)度的所有取值比應(yīng)力的所有取值都大的概率，即為可靠度：(9-10)同理可得，可靠度等于所有應(yīng)力取值小于強(qiáng)度取值的概率，即：(9-11)（9-10）和（9-11）式就是應(yīng)力、強(qiáng)度分布發(fā)生干涉時可靠度的一般表達(dá)式。

可靠度也可以用下面的實(shí)際運(yùn)算式表示。設(shè)零件的失效概率或不可靠度為F，則：又因?yàn)椋?，所以上式改寫為?9-12)或：(9-13)

由上述應(yīng)力—強(qiáng)度分布干涉模型及應(yīng)力—強(qiáng)度分布發(fā)生干涉時的可靠度、失效概率計(jì)算公式可知，為了計(jì)算機(jī)械零件的可靠度，必須在已知應(yīng)力和強(qiáng)度分布類型的前提下才能完成。9.3幾種常用分布的可靠度計(jì)算9.3.1應(yīng)力和強(qiáng)度均為正態(tài)分布時的可靠度計(jì)算

設(shè)零件強(qiáng)度隨機(jī)變量r與工作應(yīng)力隨機(jī)變量s都是正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)分別為：(9-14)(9-15)式中：

強(qiáng)度、應(yīng)力的均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差。

由概率論知識可知，應(yīng)力s、強(qiáng)度r均為正態(tài)分布時，干涉隨機(jī)變量

也服從正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)為：（9-16)而：(9-17)(9-18)(9-19)將式（9-19）化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，令：則：當(dāng):因此，可靠度可寫成：(9-20)由于正態(tài)分布的對稱性，上式可靠度的積分值可寫成：(9-21)上式的積分上限為：(9-22)

例9-1已知某機(jī)器零件的應(yīng)力s和強(qiáng)度r均為正態(tài)分布，其分布參數(shù)分別為:試計(jì)算零件的可靠度。

解

由式（9-22）得：因?yàn)椋河蓸?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表（附表1）查得：R(t)=0.99849.3.2應(yīng)力和強(qiáng)度均為對數(shù)正態(tài)分布的可靠度計(jì)算

當(dāng)X是一個隨機(jī)變量，且lnX服從正態(tài)分布，即

～

時，則稱X是一個對數(shù)正態(tài)分布，服從對數(shù)正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)f(x)如式（2-37）所式。

當(dāng)應(yīng)力s和強(qiáng)度r服從對數(shù)正態(tài)分布，即lnr和lns為正態(tài)分布，這意味著隨機(jī)變量

也服從正態(tài)分布，其分布參數(shù)為：

(9-24)這里的

的均值；

的標(biāo)準(zhǔn)差，稱為“對數(shù)均值”和“對數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差”。由可靠度的定義得：令：則上式可表示為：(9-25)這里的變量Y服從對數(shù)正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)為f(Y)，而lnY則服從正態(tài)分布，因此有關(guān)正態(tài)分布的一切性質(zhì)和計(jì)算方法都可在此應(yīng)用，可靠度為：(9-26)將上式化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：(9-27)這里的積分上限為：(9-28)由式（2-41）知對數(shù)正態(tài)隨機(jī)變量r的均值E[r]為：兩邊取對數(shù)后上式可改寫為：(9-29)由式（2-42）知對數(shù)正態(tài)隨機(jī)變量r的方差D[r]為：整理后可得：(9-30)同樣可得到：(9-31)

例9-2已知某機(jī)械零件的應(yīng)力s和強(qiáng)度r均為對數(shù)正態(tài)分布，其均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為:試計(jì)算該零件的可靠度。

解

按式（9-29）～（9-31）求出：將它們代入式（9-26）得：而：由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表[附表]查得：R(t)=0.99649.3.3應(yīng)力和強(qiáng)度均為指數(shù)分布的可靠度計(jì)算

當(dāng)應(yīng)力s與強(qiáng)度r均為指數(shù)分布時，其概率密度函數(shù)為：由式（9-10）有：由于則可靠度為：(9-33)9.3.4應(yīng)力為指數(shù)（或正態(tài)）而強(qiáng)度為正態(tài)（或指數(shù)）分布時的可靠度計(jì)算

應(yīng)力s呈指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為：強(qiáng)度r呈正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)為：由式（9-11）并考慮到指數(shù)分布只有正值且s<r，故有：而上式中：從而有：令：又令：則當(dāng)r=0時，z的下限為：代入上式并考慮到z是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量，故上式可改寫為：(9-35)再令：又令：則：當(dāng)r=0時，t的下限為,代入B的表達(dá)式得：(9-36)將式（9-35）、（9-36）代入式（9-34），得可靠度的表達(dá)式為：(9-37)

同理，當(dāng)強(qiáng)度r呈指數(shù)分布而應(yīng)力呈正態(tài)分布時，由（9-10）式可得到可靠度的表達(dá)式為：(9-38)

例9-3已知某機(jī)械零件強(qiáng)度r為正態(tài)分布， ,作用在零件上的應(yīng)力服從指數(shù)分布其均值為50MPa,試計(jì)算該零件的可靠度。

解

把上述數(shù)據(jù)代入式（9-37）得：9.3.5應(yīng)力為正態(tài)分布，強(qiáng)度為韋布爾分布時的可靠度計(jì)算

強(qiáng)度r為韋布爾分布時的概率密度函數(shù)為：累積分布函數(shù)為：均值和方差為：威布爾分布是三參數(shù)分布，很靈活，可以是多種多樣的形狀，m=1即為指數(shù)分布。

應(yīng)力s為正態(tài)分布時概率密度的函數(shù)為：把上述各式代入式（9-12）得：令：則上式第一項(xiàng)積分是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度曲線下從的面積，可以用

表示，而對于上式第二項(xiàng)積分。令：

則有：又因?yàn)椋河谑牵剑?-39）可改寫為：在上式中根據(jù)9.3.6強(qiáng)度和應(yīng)力為任意分布時的可靠度圖解計(jì)算法

對于應(yīng)力和強(qiáng)度，不論它們各是哪一種分布，也不論它們是哪兩種不同分布的組合，甚至只有應(yīng)力s和強(qiáng)度r的實(shí)測統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)而不知它們的理論分布時，都可用圖解法來近似地計(jì)算零件的可靠度。令：由累積分布函數(shù)的性質(zhì)可知，G與H的極限范圍是0~1，由此得到：(9-41)圖9-6圖解法求可靠度

例9-4對某零件的工作狀態(tài)進(jìn)行模擬試驗(yàn)，在模擬運(yùn)轉(zhuǎn)條件下對應(yīng)力作了10次觀測，得到應(yīng)力值及其相應(yīng)的累積頻率

，記錄如表9-1所示，將

對于s的曲線畫在圖9-7(a)上，此曲線是近似的應(yīng)力概率分布函數(shù)曲線。同樣，由零件的強(qiáng)度分析給出了14個強(qiáng)度值，數(shù)據(jù)列在表9-2中，

間的關(guān)系曲線如圖9-7(b)中所示。圖9-7應(yīng)力r和強(qiáng)度s的近似概率分布函數(shù)

查出應(yīng)力值時的H和G值，列在表9-3中，圖9-8畫出了G—H函數(shù)的關(guān)系曲線，量得曲線下的面積為0.9898，該值即為零件的可靠度。圖9-8G和H曲線9.3.7用蒙特卡羅模擬法求可靠度

蒙特卡羅(MonteCarlo)模擬法又稱為統(tǒng)計(jì)模擬試驗(yàn)法、隨機(jī)模擬法。它是以統(tǒng)計(jì)抽樣理論為基礎(chǔ)，以計(jì)算機(jī)為計(jì)算手段，通過對有關(guān)隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)抽樣檢驗(yàn)或隨機(jī)模擬，從而估計(jì)和描述函數(shù)的統(tǒng)計(jì)量，求解工程技術(shù)問題近似解的一種數(shù)值計(jì)算方法。由于其方法簡便，便于編制程序，能保證概率收斂，適用于各種分布且迅速、經(jīng)濟(jì)，因此在工程中得到廣泛應(yīng)用。

蒙特卡羅模擬法在應(yīng)力—強(qiáng)度分布干涉理論中的應(yīng)用，實(shí)際做法就是從應(yīng)力分布中隨機(jī)地抽取一個應(yīng)力值（樣本），再從強(qiáng)度分布中隨機(jī)地抽出一個強(qiáng)度值（樣本），然后將這兩個樣本相比較，如果應(yīng)力大于強(qiáng)度，則零件失效,反之，零件安全可靠。每一次隨機(jī)模擬相當(dāng)于對一個隨機(jī)抽取的零件進(jìn)行一次試驗(yàn)，通過大量重復(fù)的隨機(jī)抽樣及比較，就可得到零件的失效概率或可靠度的近似值。抽樣次數(shù)愈多，則模擬精度愈高。要獲得可靠的模擬計(jì)算結(jié)果，往往要進(jìn)行至少千次以上甚至上萬次的模擬。因此，隨機(jī)模擬需由計(jì)算機(jī)完成，模擬程序的流程圖如圖9-9所示。圖9-9應(yīng)力—強(qiáng)度模型模擬流程圖

例9-5已知應(yīng)力對數(shù)正態(tài)分布：s～ln(6.20463，0.099752),強(qiáng)度為正態(tài)分布：r～N(600，602

，用蒙特卡羅模擬法求可靠度。

解

按圖9-9編制計(jì)算機(jī)程序，輸入是s～ln(6.20463，0.099752)；r～N(600，602

，模擬次數(shù)N=1000，上機(jī)計(jì)算運(yùn)行結(jié)果為R=0.894。 9.4安全系數(shù)與可靠度

9.4.1經(jīng)典意義下的安全系數(shù)

在機(jī)械零件的常規(guī)設(shè)計(jì)中，以強(qiáng)度與應(yīng)力之比稱為零件的安全系數(shù)，它是常數(shù)。它來源于人們的直觀認(rèn)識和具體經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，具有直觀、易懂、使用方便并有一定的實(shí)踐依據(jù)，所以至今仍被機(jī)械設(shè)計(jì)的常規(guī)方法廣泛采用。但隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展及人們對客觀世界認(rèn)識的不斷深化，發(fā)現(xiàn)它有很大的盲目性和保守性，尤其對于那些對安全性要求很高的零部件，采用上述安全系數(shù)方法進(jìn)行設(shè)計(jì)，顯然有很多不合理之處，因?yàn)樗荒芊从呈挛锏目陀^規(guī)律。其實(shí)，只有當(dāng)材料的強(qiáng)度值和零件的工作應(yīng)力值離散性非常小時，上述定義的安全系數(shù)才有意義。

考慮到應(yīng)力與強(qiáng)度的離散性，進(jìn)而又有了平均安全系數(shù)與極限應(yīng)力狀態(tài)下的安全系數(shù)等。

以強(qiáng)度均值

與應(yīng)力均值

之比的安全系數(shù)：(9-42)稱為平均安全系數(shù)。強(qiáng)度的最小值rmin和應(yīng)力的最大值smax之比：(9-43)則為極限應(yīng)力與強(qiáng)度狀態(tài)下的最小安全系數(shù)。常用的安全系數(shù)也可定義為(9-44)上述各定義式也沒有離開經(jīng)典意義下的安全系數(shù)的范疇。9.4.2可靠性意義下的安全系數(shù)

如果將設(shè)計(jì)變量應(yīng)力與強(qiáng)度的隨機(jī)性概念引入上述經(jīng)典意義下的安全系數(shù)中，便可得出可靠性意義下的安全系數(shù)，這樣也就把安全系數(shù)與可靠度聯(lián)系起來了。例如，假設(shè)產(chǎn)品的工作應(yīng)力隨機(jī)變量為s，產(chǎn)品材料強(qiáng)度的隨機(jī)變量為r，則產(chǎn)品的安全系數(shù)

也是隨機(jī)變量，當(dāng)已知強(qiáng)度r和應(yīng)力s的概率密度函數(shù)f(s)和g(r)，由二維隨機(jī)變量的概率知識，可算出n的概率密度函數(shù)。因此，可通過下式算出零件的可靠度，即：(9-45)上式表明，當(dāng)安全系數(shù)是某一分布狀態(tài)，可靠度R(t)為安全系數(shù)n的概率密度函數(shù)f(n)在區(qū)間

內(nèi)的積分，見圖9-10，這種定義于可靠度之下的安全系數(shù)稱為可靠性安全系數(shù)。圖9-10安全系數(shù)n的概率密度函數(shù)

當(dāng)應(yīng)力s、強(qiáng)度r也服從正態(tài)分布的相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量

也服從正態(tài)分布。引入標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量：(9-46)(9-47)式中：

由正態(tài)分布隨機(jī)變量基本運(yùn)算公式，可得安全系數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：1.可靠性意義下的平均安全系數(shù)

可靠性意義下的平均安全系數(shù)定義為零件強(qiáng)度的均值

和零件危險斷面上應(yīng)力均值

之比，即：(9-49)

為把平均安全系數(shù)與零件的可靠度聯(lián)系起來，將聯(lián)結(jié)方程（9-22）與式（9-49）聯(lián)立求解，可得平均安全系數(shù)為：(9-50)

工程中時常給出強(qiáng)度的變異系數(shù)

和應(yīng)力的變異系數(shù)

，如果

以

、

來表示，上述經(jīng)推導(dǎo)可得：(9-51)式（9-50）和式（9-51）適用于應(yīng)力和強(qiáng)度均為正態(tài)分布的情況，工程中有些零件，如零件的靜強(qiáng)度、輪齒的彎曲疲勞強(qiáng)度等都可用正態(tài)分布來描述。這兩個公式直觀、明確地表示了安全系數(shù)與可靠度、強(qiáng)度參數(shù)、應(yīng)力參數(shù)之間的關(guān)系，能說明應(yīng)力和強(qiáng)度在相互干涉的情況下，零件的安全程度和可靠程度，從而賦予了平均安全系數(shù)新的含義。2.概率安全系數(shù)

概率安全系數(shù)定義為某一概率值（a）下零件的最小強(qiáng)度

與在另一概率值（b）下出現(xiàn)的最大應(yīng)力值

之比，即：(9-52)假設(shè)應(yīng)力和強(qiáng)度均服從正態(tài)分布，由正態(tài)分布的特性得：所以:

怎樣確定

和

呢？顯然，不同的取值概率a與b，

和

不同，這應(yīng)根據(jù)設(shè)計(jì)要求、零件的運(yùn)行狀況、材質(zhì)的優(yōu)劣和經(jīng)濟(jì)性等來決定。如果材料選得好一些，或零件的尺寸控制放寬一些，則強(qiáng)度取值概率可以取小一些，安全系數(shù)

就大些，通常工程設(shè)計(jì)中取累積概率a=95%時強(qiáng)度的下限值，而取累積概率b=99%時的應(yīng)力上限值（見圖9-11），由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可查得：

，因此式（9-53）可寫成：(9-54)式（9-53）、（9-54）所表示的概率安全系數(shù)，使安全系數(shù)的含義深化了一步，賦予了安全系數(shù)評價的新概念。它不僅把安全系數(shù)與可靠度及應(yīng)力、強(qiáng)度的分布參數(shù)聯(lián)系起來，而且考慮到應(yīng)力、強(qiáng)度在多大概率下取值，同材料的強(qiáng)度試驗(yàn)及實(shí)測載荷的要求結(jié)合起來。由式（9-54）中的

，所以

，這說明平均安全系數(shù)

偏于保守，而概率安全系數(shù)更接近實(shí)際情況。圖9-11某一概率值下的最小強(qiáng)度與最大應(yīng)力工程實(shí)際中還有另外一些安全系數(shù)的定義：(9-55)9.5機(jī)械零件的可靠性設(shè)計(jì)(9-56)若x，y相關(guān)，則：式中：

相關(guān)系數(shù)，若x，y完全線性相關(guān)，

=1，則

：若x，y線性無關(guān)，

=0，表示x，y相互獨(dú)立。2）正態(tài)隨機(jī)變量的乘積

已知x，y均為正態(tài)隨機(jī)變量，其乘積

，由概率論知：(9-57)若x，y相關(guān)時：3）正態(tài)隨機(jī)變量的商(9-58)若x，y相關(guān)時：

例9-7一力矩M作用在一臂長為L的桿件上，L與M均為獨(dú)立的隨機(jī)變量，并服從正態(tài)分布，已知參數(shù)為：

解

由于力矩

，因此根據(jù)（9-58）式可得作用力的均值和標(biāo)準(zhǔn)差為： 4）其它形式的正態(tài)變量函數(shù)式

其它形式的正態(tài)變量函數(shù)式由表9-5所示。

例9-8函數(shù)

，式中Ｍ，r1均為正態(tài)分布，又已知

，

值。解令：則：所以：又知：所以：2.隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差的近似計(jì)算

首先考慮x是一維變量的情況。對于

點(diǎn)用泰勒級數(shù)展開

至前三項(xiàng)：式中：B

余項(xiàng)。上式數(shù)學(xué)期望為(9-59)該式是數(shù)學(xué)期望的近似值，若方差D[x]很小，我們可以進(jìn)一步忽略第二項(xiàng)，得到：(9-60)為得到D[y]的近似值，再一次考慮泰勒級數(shù)展開到前兩項(xiàng)：對上式取方差，我們有：(9-61)

例9-9桿的半徑均值

，標(biāo)準(zhǔn)差

，求截面積A的均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差。解因此：應(yīng)用(9-59)式和(9-61)式得：面積的標(biāo)準(zhǔn)偏差：對于n維隨機(jī)變量函數(shù)f的近似值，即：設(shè)

：分別表示

的期望值和標(biāo)準(zhǔn)偏差的向量，用泰勒級數(shù)展開式可得：取數(shù)學(xué)期望，得：于是可得：如果進(jìn)一步忽略上式的第二項(xiàng)，則：(9-62)如果考慮泰勒級數(shù)展開式前兩項(xiàng)并取其方差：(9-63)以標(biāo)準(zhǔn)差為：

例9-10有一斷面為圓形的拉桿，已知材料的屈服極限,,拉桿直徑 mm，求拉桿所能承受的拉力

解

拉桿允許承受的拉力為：由式(9-62)可得拉力的均值為：對變量d、s求偏導(dǎo)數(shù)：由式(9-63)可得拉力的標(biāo)準(zhǔn)差為：9.5.2機(jī)械零件的概率工程設(shè)計(jì)

下面只對幾種典型的、數(shù)學(xué)模型較簡單的零件進(jìn)行討論，以達(dá)到舉一反三的目的。從數(shù)學(xué)模型及概率設(shè)計(jì)方面看，復(fù)雜零件只是設(shè)計(jì)變量的多少而已，無本質(zhì)上的差別。

1.承受純拉伸載荷的機(jī)械零件設(shè)計(jì)

設(shè)拉桿承受載荷隨機(jī)變量Q，服從Q～

，其最小截面積A～

，拉桿承受的拉應(yīng)力

S～

，且Q、A相互獨(dú)立，故

，由(9-58)式可得：

當(dāng)截面積是半徑為r的圓截面時，

，且有r～

，則：當(dāng)截面是以a為邊的正方形，

，且有a～

，則：

例9-11有一圓斷面拉桿，已知分布參數(shù)為：

所受載荷：拉桿材料的拉伸強(qiáng)度值：試計(jì)算：

(1)在可靠度R=0.999下，最小拉桿半徑。

(2)在此半徑基礎(chǔ)上，以

為間距，計(jì)算不同半徑下的可靠度，供結(jié)構(gòu)優(yōu)化時選取。

解：(1)計(jì)算工作應(yīng)力

由于：而：一般零件的公差尺寸均為其名義尺寸（或均值）的0.015倍，即：若此公差尺寸取3

水平，則有：由聯(lián)接方程求拉桿半徑整理后得到：代入聯(lián)接方程驗(yàn)算，取

而舍去

因此，為保證拉桿的可靠度為0.999，其半徑應(yīng)為

(２)計(jì)算不同半徑下的可靠度

從開始，每隔0.2mm取一

值，即7.2mm、7.4mm、7.6mm…代入聯(lián)接方程中，計(jì)算結(jié)果列于表9-6中。

例9-12設(shè)計(jì)一拉桿，已知作用于桿上的拉力載荷N，拉桿的強(qiáng)度極限MPa，Q與

服從正態(tài)分布，且相互獨(dú)立。試設(shè)計(jì)桿的半徑。并與常規(guī)設(shè)計(jì)加以比較。給定可靠度為0.999，確定直徑公差。

解

(1)按可靠性設(shè)計(jì)軸的尺寸工作應(yīng)力設(shè)拉桿半徑將已知數(shù)據(jù)代入聯(lián)接方程：解得：

(2)按常規(guī)方法設(shè)計(jì)軸的尺寸

用常規(guī)的設(shè)計(jì)方法：以強(qiáng)度極限為基準(zhǔn)，通常取安全系數(shù)n=2～3.5，現(xiàn)選用n=3，應(yīng)力：式中：[s]為許用應(yīng)力，取

,所以：得r=5.16mm，此值遠(yuǎn)大于3.188mm。反過來，若取r=3.188mm計(jì)算安全系數(shù)n，則：顯然常規(guī)設(shè)計(jì)是不敢采用此值的，而用可靠性設(shè)計(jì)，取

=3.188mm，可靠度高達(dá)0.999，其失效概率只有0.1%，從聯(lián)接方程可以看出，要保持這一高的可靠度必須使

值保持穩(wěn)定不變，即可靠性設(shè)計(jì)的先進(jìn)性是要以材料制造工藝的穩(wěn)定性及對載荷測定的準(zhǔn)確性為前提條件。

(3)用可靠性安全系數(shù)設(shè)計(jì)軸的尺寸

可靠性設(shè)計(jì)的計(jì)算法比較麻煩，尤其當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式變量較多或公式稍繁，如非圓斷面、復(fù)合應(yīng)力等情況，計(jì)算就很麻煩了。如果用可靠性意義下的平均安全系數(shù)來代替常規(guī)的安全系數(shù)，則將使設(shè)計(jì)大為簡化。

利用式(9-51)，已知：代入(9-51)得而：解得：結(jié)果與可靠性設(shè)計(jì)的軸的尺寸基本一致，而計(jì)算結(jié)果則簡單得多。

2.軸類零件的設(shè)計(jì)

軸是典型的機(jī)械零件之一，因其用途不同，所受載荷也不一樣，傳動軸只承受扭轉(zhuǎn)力矩作用，心軸則承受彎矩，而轉(zhuǎn)軸既要承受轉(zhuǎn)矩又要承受彎矩。

1）承受扭矩的軸的設(shè)計(jì)

在此，研究一端固定而另一端承受扭矩的實(shí)心軸的可靠性設(shè)計(jì)，例如汽車的扭桿彈簧。假定其應(yīng)力、強(qiáng)度均呈正態(tài)分布，則其靜強(qiáng)度可靠性設(shè)計(jì)步驟與前述步驟完全相同，僅應(yīng)力表達(dá)式有差別。

設(shè)軸的直徑為d（mm），單位長度的扭轉(zhuǎn)角

(rad)，軸的材料的剪切彈性模量為E(MPa)，軸橫截面的極慣性矩為

，則在轉(zhuǎn)矩為

的作用下，產(chǎn)生的剪應(yīng)力為：對于實(shí)心軸，

，因此有：而應(yīng)力的均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差為（以下用字母上面一橫代