《電路與信號(hào)分析》課件第7章

7.1周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開7.2周期信號(hào)的頻譜7.3非周期信號(hào)的傅里葉變換7.4一些常用信號(hào)的頻譜分析7.5傅里葉變換的性質(zhì)7.6線性電路的頻域分析7.7電路無失真?zhèn)鬏斝盘?hào)的條件習(xí)題7第7章電路與信號(hào)的頻域分析7.1周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開

將信號(hào)表示為不同頻率正弦分量的線性組合，稱為信號(hào)的頻譜分析。本節(jié)闡述周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式與指數(shù)形式展開法，指出這兩種展開式中系數(shù)之間的關(guān)系。

一個(gè)連續(xù)信號(hào)若在(－∞，∞)區(qū)間，每隔一定時(shí)間T按相同的變換規(guī)律重復(fù)變化，則此信號(hào)稱為周期信號(hào)，其表達(dá)式為

f(t)=f(t－nT)

(7-1)

式中n為整數(shù)。滿足該式最小的非零正值T稱為該信號(hào)的周期，

稱為該信號(hào)的(重復(fù))角頻率。7.1.1三角型傅里葉級(jí)數(shù)

由高等數(shù)學(xué)可知，任意周期信號(hào)f(t)若滿足狄里赫利條

件，①在一個(gè)周期T內(nèi)絕對(duì)可積，即，

②在一個(gè)周期T內(nèi)只有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)，③在一個(gè)周期T內(nèi)只有有限個(gè)極大與極小值時(shí)，則它可展開成為下列三角型傅里葉級(jí)數(shù)：

(7-2)式中

(7-3)

(7-4)

(7-5)

上述積分式中，t0為任選時(shí)刻，一般常取t0=0或；

稱為基本角頻率(以弧/秒計(jì))或基波角頻率；an和bn稱為傅里葉系數(shù)。利用信號(hào)波形的對(duì)稱性，可以方便地求得傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)。常見的信號(hào)有偶函數(shù)、奇函數(shù)、偶諧函數(shù)以及奇諧函數(shù)，它們的定義以及其傅里葉級(jí)數(shù)的特有規(guī)律如表7-1中所示。表7-1周期信號(hào)的對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)

由于有

ancosnω0t+bnsinnω0t=Ancos(nω0t+jn)

因此，式(7-2)的傅里葉級(jí)數(shù)又可寫成另一種緊湊的三角型傅里葉級(jí)數(shù)

(7-6)

式中

A0=a0(7-7)

(7-8)

(7-9)

A0為信號(hào)在一個(gè)周期內(nèi)的平均值，稱為信號(hào)的直流分量(其頻率為零)。Ancos(nω0t+jn)稱為信號(hào)的n次諧波分量。當(dāng)n=1時(shí)，為A1cos(ω0t+j1)，稱為信號(hào)的一次諧波分量或基波；當(dāng)n=2時(shí)，為A2cos(2ω0t+j2)，稱為信號(hào)的二次諧波分量；以此類推。式(7-6)說明任意一個(gè)滿足狄里赫利條件的周期信號(hào)可以分解成直流分量和一系列的諧波分量之和，各諧波分量的頻率是基頻f0=1/T的n倍(n為正整數(shù))，各諧波分量的振幅和相位分別由式(7-8)與式(7-9)給定。7.1.2指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)

因?yàn)檎伊靠捎弥笖?shù)函數(shù)來表示，所以三角型傅里葉級(jí)數(shù)可以表示成指數(shù)型級(jí)數(shù)。根據(jù)歐拉公式

(7-10)

(7-11)將上兩式代入式(7-2)得

令

(n=1，2，3，…)(7-12)由式(7-4)和式(7-5)可知，an是n的偶函數(shù)，bn是n的奇函

數(shù)，于是，因此

(7-13)而由式(7-12)和式(7-3)可知

于是，將式(7-13)合并為一個(gè)和式

(7-14)

式(7-14)就稱為指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)。其中n為從-∞到∞的整數(shù)。可以看出指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)比三角型傅里葉級(jí)數(shù)的公式更為緊湊，并能推廣出非周期信號(hào)的頻譜——傅里葉變換。將式(7-4)和式(7-5)中的an和bn的計(jì)算公式代入，即可得到傅里葉復(fù)系數(shù)Fn為

(7-15)式(7-6)表明任意周期信號(hào)可以分解成為頻率在0~∞范圍內(nèi)的一系列諧波信號(hào)的疊加，而式(7-14)說明它又可以分解成為頻率在-∞~∞范圍內(nèi)的一系列復(fù)指數(shù)信號(hào)的疊加，兩者實(shí)際上是完全一致的。

表7-2綜合了三角型和指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉系數(shù)以及各系數(shù)之間的關(guān)系。表7-2周期信號(hào)展開為傅里葉級(jí)數(shù)

負(fù)頻率實(shí)際上是不存在的，只是數(shù)學(xué)演算的結(jié)果。正、負(fù)頻率的復(fù)指數(shù)分量總是共軛成對(duì)出現(xiàn)的，一對(duì)共軛的正負(fù)頻率的復(fù)指數(shù)分量恰好合成一個(gè)實(shí)有的正頻率的諧波分量，即

例7-1試求圖7-1中所示的周期鋸齒波信號(hào)的三角型及指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)。

解圖7-1所示周期鋸齒波在周期內(nèi)的表達(dá)式為

圖7-1周期鋸齒波

(1)將f(t)展開成三角型的傅里葉級(jí)數(shù)。由式(7-3)~式(7-5)可得由于f(t)是奇函數(shù)，f(t)cosω0t也是t的奇函數(shù)，因此它們?cè)趯?duì)稱區(qū)間上的積分值為零，使a0=an=0；而f(t)sinω0t是t的偶函數(shù)，因此它在對(duì)稱區(qū)間上積分值等于半?yún)^(qū)間積分值的兩倍。因此，f(t)為奇函數(shù)時(shí)，傅里葉展開式中只有bn的正弦項(xiàng)。

(2)將f(t)展開成指數(shù)型的傅里葉級(jí)數(shù)。根據(jù)指數(shù)型與三角型傅里葉系數(shù)之間的關(guān)系可得

F0=a0=0

Fn也可根據(jù)式(7-15)直接積分得到。因而

7.2周期信號(hào)的頻譜

如上所述，一個(gè)周期信號(hào)，只要滿足狄里赫利條件，就可展開成一系列頻率分量之和。各種周期信號(hào)之間的區(qū)別，就在于它們各自所包含的頻率分量的成分不同，即角頻率(ω=nω0)、幅度|Fn|(或An)、相位θn(或jn)不相同。為了把周期信號(hào)具有的頻率分量以及各分量的特征形象地表示出來，就采用頻譜圖的表示方法，即將周期信號(hào)的各個(gè)頻率分量的振幅及相位沿頻率軸的分布用圖形畫出來。其中，幅度|Fn|或An隨角頻率nω0的變化圖形稱為幅度頻譜；相位θn或jn隨角頻率nω0的變化圖形稱為相位頻譜。二者合在一起簡(jiǎn)稱為f(t)的頻譜圖。

本節(jié)闡述周期信號(hào)單邊頻譜和雙邊頻譜的概念，介紹周期矩形脈沖的頻譜，以此說明周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)。7.2.1單邊頻譜

周期信號(hào)的三角型傅里葉級(jí)數(shù)中，分量的形式為Ancos(nω0t+jn)，振幅An及初相位jn均是頻率ω=nω0的函數(shù)。各頻率分量的頻率為正值或零(n≥0)，頻譜圖只在頻率軸的零頻率和正頻率一邊，所以稱為單邊頻譜。其中，幅度An隨角頻率nω0的變化圖形稱為單邊幅度頻譜；相位jn隨角頻率nω0的變化圖形稱為單邊相位頻譜。二者合在一起簡(jiǎn)稱為f(t)的單邊頻譜圖。

例7-2一個(gè)周期信號(hào)f(t)用三角型傅里葉級(jí)數(shù)表示為f(t)=2+3cos2t+4sin2t+2sin(3t+30°)-cos(4t+150°)。試畫出該信號(hào)的單邊頻譜圖。

解將所有含有相同頻率的正弦項(xiàng)和余弦項(xiàng)合并為一個(gè)余弦項(xiàng)，且使所有的項(xiàng)表示為帶正振幅的余弦項(xiàng)，有

3cos2t+4sin2t=5cos(2t－53.1°)

sin(3t+30°)=cos(3t+30°－90°)=cos(3t－60°)

－cos(4t+150°)=cos(4t+150°－180°)=cos(4t－30°)因此

f(t)=2+5cos(2t－53.1°)+2cos(3t－60°)+cos(4t－30°)

根據(jù)上式，可繪出其相應(yīng)的單邊振幅頻譜和單邊相位頻譜圖分別如圖7-2(a)和(b)所示。圖7-2例7-2信號(hào)的單邊頻譜(a)單邊振幅頻譜；(b)單邊相位頻譜7.2.2雙邊頻譜

周期信號(hào)的指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)中，分量的形式為，且與成對(duì)出現(xiàn)，n為－∞~∞范圍內(nèi)的整數(shù)。所以頻譜圖在頻率軸的正、負(fù)兩邊均有譜線，因此稱為雙邊頻譜。其中，幅度|Fn|隨角頻率nω0的變化圖形稱為雙邊幅度頻譜；相位θn隨角頻率nω0的變化圖形稱為雙邊相位頻譜。二者合在一起簡(jiǎn)稱為f(t)的雙邊頻譜圖。

例7-3試畫出例7-2中函數(shù)f(t)的雙邊頻譜圖。

解

即

由此可畫出雙邊幅度頻譜和雙邊相位頻譜分別如圖7-3(a)和

7-3(b)所示。圖7-3例7-3中函數(shù)f(t)的雙邊頻譜圖(a)雙邊幅度頻譜；(b)雙邊相位頻譜

例7-4已知單位沖激序列δT(t)如圖7-4(a)所示。試求其指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)并畫出其頻譜圖，然后再畫出其單邊頻譜并寫出其三角型傅里葉級(jí)數(shù)。

解指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)式中

在選取積分區(qū)間內(nèi)，δT(t)=δ(t)，因此

因此

上式表明，指數(shù)型傅里葉系數(shù)是常數(shù)，且為正值。因此幅度頻譜在所有的nω0處(n為任意整數(shù))是完全一樣的，相位處處為零，這時(shí)可以簡(jiǎn)單地將幅度頻譜和相位頻譜合成一張圖，如圖7-4(b)所示。圖7-4單位沖激序列及其頻譜為了畫出三角型傅里葉級(jí)數(shù)的頻譜，由表7-2中的系數(shù)關(guān)系可知由此可畫出δT(t)的三角型傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)應(yīng)的頻譜圖，如圖7-4(c)所示。從該頻譜圖可將δT(t)表示為7.2.3典型周期矩形脈沖的頻譜

周期矩形脈沖信號(hào)在電信技術(shù)中應(yīng)用廣泛，下面專門研究它的頻譜。設(shè)周期矩形脈沖信號(hào)f(t)的脈寬為τ，脈沖幅度為A，重復(fù)周期為T，波形如圖7-5所示。

此信號(hào)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為圖7-5周期矩形脈沖信號(hào)其傅里葉復(fù)系數(shù)為(7-16)根據(jù)上式，可以作出相應(yīng)的雙邊頻譜圖。f(t)可表示為

(7-17)

式中，函數(shù)稱為抽樣函數(shù)，其波形如圖7-6中所示。圖7-6抽樣函數(shù)Sa(x)的波形從圖7-6中可看出：

(1)Sa(x)是關(guān)于x的偶函數(shù)；

(2)除x=0外，Sa(x)與sinx具有相同的取零值(常稱為過零點(diǎn))，即在x=±π，±2π，±3π，…等處，Sa(x)=0;

(3)利用洛比塔法則，在x=0時(shí)，；

(4)Sa(x)是一個(gè)振蕩信號(hào)(周期為2π)，隨著x的增大其幅度按1/x的規(guī)律單調(diào)衰減并趨于零。

例7-5已知周期矩形脈沖信號(hào)的脈沖寬度τ=0.1s，脈沖幅度A=1，重復(fù)周期T=0.5s。試畫出其雙邊頻譜和單邊頻譜。

解，將A、τ、T代入式(7-16)得

傅里葉復(fù)系數(shù)

由于=±π，±2π，±3π，…時(shí)，F(xiàn)n取零值，因

此頻譜過零點(diǎn)的諧波角頻率為所以第一條譜線高度為1/5，以后每隔ω0=4πrad/s有一條譜線，譜線高度按抽樣函數(shù)規(guī)律變化，每隔5條譜線出一個(gè)零點(diǎn)(第五條譜線高度為零而消失)。由于Fn為負(fù)數(shù)時(shí)，其相位為±π(ej±π=－1)，因此可得雙邊頻譜圖如圖7-7(a)、(b)所示。由于Fn為實(shí)偶函數(shù)，故這時(shí)可以簡(jiǎn)單地將幅度頻譜和相位頻譜合成一張圖，如圖7-7(c)所示，相應(yīng)的單邊頻譜如圖7-8(a)、(b)所示，同樣可簡(jiǎn)化成一張圖，如圖7-8(c)所示。圖7-7周期脈沖信號(hào)的雙邊頻譜(a)雙邊振幅頻譜；(b)雙邊相位頻譜；(c)雙邊頻譜簡(jiǎn)單畫法圖7-8周期脈沖信號(hào)的單邊頻譜(a)單邊振幅頻譜；(b)單邊相位頻譜；(c)單邊頻譜簡(jiǎn)單畫法從上述周期矩形脈沖的頻譜中，可以得出一般周期信號(hào)頻譜的普遍特性：

(1)離散性：由于n只能是整數(shù)，|Fn|與θn都是頻率為nω0的不連續(xù)函數(shù)，因此頻譜是由一根根在離散頻率上的譜線組成的離散頻譜；

(2)諧波性：各譜線呈等距分布，相鄰譜線間的距離等于基波頻率ω0，各譜線在頻率軸上的位置是基波頻率ω0的整數(shù)倍。

(3)收斂性：當(dāng)諧波次數(shù)n→∞時(shí)，譜線高度|Fn|或An趨于零。圖7-7所示周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜好像一個(gè)個(gè)延綿起伏的山峰和山谷，其中最高峰為主峰。主峰高度為，主峰寬度即主峰兩側(cè)第一個(gè)過零點(diǎn)之間的頻率范圍為，主峰內(nèi)的頻率分量具有較大的振幅，是周期矩形脈沖信號(hào)的主要諧波分量。因此，這段頻率范圍稱為周期矩形脈沖信號(hào)的有效頻率寬度。下面討論周期矩形脈沖信號(hào)脈沖寬度τ及周期T變化對(duì)頻譜的影響。

圖7-9畫出了A和T不變，τ減小時(shí)的情況。由圖可見，譜線間隔不變；由于τ減小，主峰高度減??；第一個(gè)零交點(diǎn)角頻率增加，也就是信號(hào)的頻帶寬度增加。可見，信號(hào)的頻帶寬度與脈沖寬度成反比。圖7-9脈沖寬度與頻譜的關(guān)系圖7-10畫出了A和τ不變，T增大時(shí)的情況。由圖可見，第

一個(gè)零交點(diǎn)角頻率不變，即信號(hào)的頻帶寬度不變；

由于T增大，主峰高度減小，譜線間隔變小，譜

線變密?？梢韵胂?，當(dāng)周期T→∞時(shí)，周期信號(hào)轉(zhuǎn)化為非周期信號(hào)，各譜線的間隔將趨于零，譜線將無限密集，周期信號(hào)的離散譜將轉(zhuǎn)化為非周期信號(hào)的連續(xù)譜，各譜線的高度也將趨于零，但頻譜包絡(luò)線的形狀沒有改變。圖7-10周期與頻譜的關(guān)系

7.3非周期信號(hào)的傅里葉變換

如前所述，一個(gè)周期信號(hào)在一定條件下，可展開成一系列諧波頻率分量之和，信號(hào)各次諧波的組成可以用頻譜圖形象地表示出來。那么對(duì)一個(gè)非周期的信號(hào)又如何處理呢？本節(jié)討論這個(gè)問題。7.3.1從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換

設(shè)非周期信號(hào)f(t)的波形如圖7-11(a)所示，它可看成圖

7-11(b)中以T為周期的周期信號(hào)fT(t)當(dāng)T→∞時(shí)的極限情況，即

(7-18)

因此，非周期信號(hào)f(t)的頻譜可由周期信號(hào)fT(t)的頻譜取T→∞的極限導(dǎo)出。圖7-11周期信號(hào)和非周期信號(hào)周期信號(hào)fT(t)的傅里葉級(jí)數(shù)為

(7-19)

式中

(7-20)由上節(jié)討論可知，當(dāng)周期T變大時(shí)，基本角頻率ω0=2π/T變小，譜線間隔變密，復(fù)振幅Fn變小，但頻譜包絡(luò)線的形狀沒有改變。當(dāng)周期T變得很大時(shí)，ω0變得更小，可以用Δω來表

示，這時(shí)。由式(7-20)得

(7-21)顯然TFn是jnΔω的函數(shù)，記為

(7-22)

由式(7-19)和式(7-22)得

(7-23)則非周期信號(hào)f(t)可表示為當(dāng)T→∞時(shí)，Δω→0，用dω來表示，且離散變量nΔω變成連續(xù)變量ω，從而離散求和變成連續(xù)區(qū)間(－∞，∞)的積分，即

(7-24)

式(7-24)把非周期信號(hào)f(t)表示為無窮多個(gè)指數(shù)信號(hào)的積分，稱為傅里葉積分，簡(jiǎn)稱傅氏積分。它表明一個(gè)非周期信號(hào)f(t)可以看成無窮多個(gè)頻率從－∞到∞連續(xù)變化的、復(fù)振幅為

的復(fù)指數(shù)信號(hào)ejωt的積分。由式(7-22)可得

即

(7-25)

F(jω)一般是ω的復(fù)函數(shù)，但為了書寫方便，可以把F(jω)寫成F(ω)。通常把式(7-24)和式(7-25)稱為傅里葉變換對(duì)，其中式(7-25)稱為傅里葉正變換，簡(jiǎn)稱傅氏變換；式(7-24)稱為傅里葉反變換，簡(jiǎn)稱傅氏反變換。采用下列記號(hào)方法：

F(ω)=F［f(t)］(7-26)

f(t)=F－1［F(ω)］(7-27)

F(ω)與f(t)組成的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系還可以簡(jiǎn)單地記為

f(t)F(ω)(7-28)

這個(gè)符號(hào)表示F(ω)是f(t)的傅氏正變換，f(t)是F(ω)的傅氏反變換。7.3.2頻譜密度

周期信號(hào)的指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)表明，一個(gè)周期信號(hào)可將其分解為無窮多個(gè)頻率為nω0、復(fù)振幅為Fn的虛指數(shù)分量

的離散和；而非周期信號(hào)的傅里葉積分則表明，一個(gè)非周期信號(hào)可以分解為無窮多個(gè)頻率為ω、復(fù)振幅為的指數(shù)分量ejωt的連續(xù)和(積分)。周期信號(hào)的頻譜是離散的，各頻率分量的復(fù)振幅Fn為有限值；而非周期信號(hào)的頻譜是連續(xù)的，各頻率分量的復(fù)振幅為，如果F(ω)是有限值，則

為無窮小量，所以其頻譜不能直接用復(fù)振幅表示。由于各頻率分量的復(fù)振幅均與F(ω)成正比，因此為了比較各頻率分量的相對(duì)大小，用F(ω)來描述非周期信號(hào)的頻譜特性。

由式(7-22)可得

(7-29)

式(7-29)表明，F(xiàn)(ω)是非周期信號(hào)f(t)在單位頻帶上的復(fù)振幅，具有密度的概念，因此稱F(ω)為頻譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱為頻譜函數(shù)或頻譜密度，在與周期信號(hào)頻譜不發(fā)生混淆的情況下也簡(jiǎn)稱頻譜。由于F(ω)是ω的復(fù)函數(shù)，因此可以寫成

(7-30)

式中，|F(ω)|是F(ω)的模(振幅)，代表信號(hào)中各頻率分量幅度的相對(duì)大??；θ(ω)是F(ω)的幅角(相位)，表示信號(hào)中各頻率分量之間的相位關(guān)系。習(xí)慣上把|F(ω)|－ω和θ(ω)－ω的曲線分別稱為幅度頻譜和相位頻譜。由式(7-25)，得

(7-31)

因此，若f(t)是t的實(shí)函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(ω)和F(－ω)是ω的一對(duì)共扼復(fù)數(shù)，即

F(ω)=F(－ω)(7-32)

所以，若記F(－ω)=|F(－ω)|ejθ(-ω)，則

|F(－ω)|=|F(ω)|(7-33)

θ(－ω)=－θ(ω)(7-34)式(7-33)和式(7-34)表明|F(ω)|是ω的偶函數(shù)，而θ(ω)是ω的奇函數(shù)。

非周期信號(hào)的頻譜密度F(ω)與相應(yīng)的周期信號(hào)的傅里葉復(fù)系數(shù)Fn之間的關(guān)系為

(7-35)

實(shí)際上就是

(7-36)應(yīng)用式(7-36)可以較方便地從周期信號(hào)的Fn求取相應(yīng)非周期信號(hào)的F(ω)；反之，則

(7-37)

應(yīng)用式(7-37)可由非周期信號(hào)的F(ω)得到周期信號(hào)的Fn。式(7-36)和式(7-37)表明，F(xiàn)(ω)在形狀上與相應(yīng)周期信號(hào)的頻譜包絡(luò)線相同。7.3.3傅里葉變換的存在條件

周期信號(hào)展開成傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)需要滿足狄里赫利條件，非周期信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換時(shí)仍需滿足類似的條件，不同之處僅僅在于時(shí)間范圍從一個(gè)周期擴(kuò)展到無限區(qū)間，即要求信號(hào)f(t)在無限區(qū)間內(nèi)絕對(duì)可積，有

(7-38)

此時(shí)，利用傅里葉變換的定義式(7-25)及|e－jωt|=1，有上式表明，若f(t)滿足條件式(7-38)，則F(ω)必然有界。但這個(gè)條件僅僅是充分條件，而不是必要條件，也就是說，滿足此條件的信號(hào)f(t)一定存在傅里葉變換F(ω)，但一些不滿足此條件的信號(hào)，其傅里葉變換也可能存在，只不過此時(shí)不便直接用定義式來求取，而需要借助于奇異函數(shù)或傅里葉變換的性質(zhì)等方法確定。一般來說，工程實(shí)際中遇到的信號(hào)大多數(shù)滿足狄里赫利條件且具有傅里葉變換，因此在今后的信號(hào)分析中，不再強(qiáng)調(diào)傅里葉變換存在條件的問題。

7.4一些常用信號(hào)的頻譜分析

常用信號(hào)是組成復(fù)雜信號(hào)的基礎(chǔ)，掌握了這些信號(hào)的頻譜，再利用下一節(jié)討論的傅里葉變換的性質(zhì)，幾乎可以分析工程中遇到的所有信號(hào)的頻譜。

1.矩形脈沖信號(hào)

矩形脈沖信號(hào)也稱門函數(shù)。若其高度為A，寬度為τ，波形如圖7-12(a)所示，則可表示為

(7-39)圖7-12矩形脈沖信號(hào)及其振幅頻譜和相位頻譜(a)矩形脈沖信號(hào)；(b)振幅頻譜；(c)相位頻譜根據(jù)傅里葉變換的定義，有因此

(7-40)

顯然，式(7-40)與前面周期矩形脈沖的傅里葉復(fù)系數(shù)式(7-16)是完全類似的。實(shí)際上只要利用式(7-36)，將式(7-16)中的Fn乘T，并將nω0換成ω即得式(7-40)。圖7-12(a)所示信號(hào)的振幅頻譜為

(7-41)

其相位頻譜為

(7-42)它們的頻譜圖如圖7-12(b)、(c)所示。可見單個(gè)矩形脈沖信號(hào)的頻譜包絡(luò)線形狀與周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜包絡(luò)線形狀相同，只是后者的頻譜為線狀的離散譜，前者的頻譜是連續(xù)譜。

2.單邊指數(shù)脈沖信號(hào)

單邊指數(shù)脈沖信號(hào)如圖7-13(a)所示，可表示為

f(t)=Ae－αtε(t)

(α>0)

(7-43)

根據(jù)傅里葉變換定義，有

(7-44)其振幅頻譜為

(7-45)

其相位頻譜為

(7-46)

振幅頻譜|F(ω)|－ω和相位頻譜θ(ω)－ω分別如圖7-13(b)、(c)所示。圖7-13單邊指數(shù)信號(hào)及其振幅頻譜和相位頻譜(a)單邊指數(shù)信號(hào)；(b)振幅頻譜；(c)相位頻譜

3.單位沖激信號(hào)δ(t)

根據(jù)傅里葉變換的定義，并利用沖激函數(shù)的抽樣性質(zhì)，可以得到

(7-47)

單位沖激函數(shù)的頻譜是常數(shù)1，如圖7-14所示。在時(shí)域中變化異常劇烈的沖激信號(hào)包含振幅相同的所有頻率分量，即其頻譜密度在整個(gè)頻率范圍內(nèi)是均勻分布的。這樣的頻譜常稱為“均勻頻譜”或“白色頻譜”。圖7-14單位沖激信號(hào)及其振幅頻譜(a)單位沖激信號(hào)；(b)振幅頻譜

4.單位符號(hào)函數(shù)sgn(t)

單位符號(hào)函數(shù)也稱正負(fù)號(hào)函數(shù)，記為sgn(t)，如圖7-15(a)所示，其表達(dá)式為

(7-48)

sgn(t)不滿足絕對(duì)可積條件，不能用式(7-25)直接求得其傅里葉變換。可以把sgn(t)看成是兩個(gè)單邊指數(shù)函數(shù)的和且令α趨于零的極限，即則

(7-49)

其頻譜圖形如圖7-15(b)、(c)所示。圖7-15單位符號(hào)函數(shù)及其頻譜(a)單位符號(hào)函數(shù)；(b)振幅頻譜；(c)相位頻譜

5.單位直流信號(hào)

單位直流信號(hào)也不滿足絕對(duì)可積條件，這時(shí)可用反變換的定義式來求得其傅里葉變換。

由δ(ω)的反變換定義，再利用沖激函數(shù)的抽樣性質(zhì)，可得

這說明恒定的信號(hào)的頻譜是δ(ω)，因而

(7-50)

單位直流信號(hào)及其振幅頻譜如圖7-16所示。圖7-16單位直流信號(hào)及其振幅頻譜(a)單位直流信號(hào)；(b)振幅頻譜

6.單位階躍信號(hào)ε(t)

單位階躍信號(hào)也不滿足絕對(duì)可積條件，現(xiàn)將ε(t)寫為

因而

(7-51)即

(7-52)注意，單位階躍信號(hào)ε(t)并不是一個(gè)“真正”的直流信號(hào)，它與直流信號(hào)f(t)=1有區(qū)別。一個(gè)直流信號(hào)的傅里葉變換是在ω=0處的一個(gè)沖激。單位階躍信號(hào)ε(t)由于在t=0處有一個(gè)不連續(xù)的躍變，因此，其傅里葉變換在ω=0處出現(xiàn)沖激的基礎(chǔ)上加上項(xiàng)。

單位階躍信號(hào)及其頻譜如圖7-17所示。圖7-17單位階躍信號(hào)及其頻譜(a)單位階躍信號(hào)；(b)振幅頻譜；(c)相位頻譜

7.虛指數(shù)信號(hào)

虛指數(shù)信號(hào)的傅里葉變換為

對(duì)照單位直流信號(hào)的傅里葉變換有

(7-53a)

這一結(jié)果表明，虛指數(shù)信號(hào)的頻譜是在ω=ω0處出現(xiàn)的強(qiáng)度為2π的沖激，如圖7-18所示。同理可得

(7-53b)圖7-18虛指數(shù)信號(hào)的頻譜

8.正弦信號(hào)sinω0t和余弦信號(hào)cosω0t

根據(jù)虛指數(shù)信號(hào)的傅里葉變換式(7-53)和歐拉公式，可方便地得到它們的頻譜為

(7-54)

(7-55)

它們的頻譜如圖7-19所示，由ω0及－ω0處兩個(gè)沖激所組成。圖7-19余弦與正弦信號(hào)及其振幅頻譜(a)余弦信號(hào)；(b)余弦信號(hào)振幅頻譜；(c)正弦信號(hào)；(d)正弦信號(hào)振幅頻譜

9.周期信號(hào)的頻譜密度

利用式(7-53)可以得到周期信號(hào)fT(t)的頻譜密度的表達(dá)式。

因?yàn)橹芷谛盘?hào)fT(t)的傅里葉級(jí)數(shù)為

則其頻譜密度函數(shù)為

(7-56)式(7-56)表明，周期信號(hào)的頻譜密度是一系列相距為ω0的沖激函數(shù)，每個(gè)沖激函數(shù)的強(qiáng)度等于相應(yīng)傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)系數(shù)乘以2π。例如，單位沖激系列，在例7-4中已經(jīng)得到其傅里葉復(fù)系數(shù)Fn=1/T，則由式(7-56)得其傅里葉變換為該結(jié)果表明，在時(shí)域中以T為周期的單位沖激系列，其傅里葉變換(頻譜密度)也是一個(gè)沖激系列，其頻譜間隔，沖激強(qiáng)度為ω0。圖7-20給出了單位沖激系列及其傅里葉變換的圖形。

除了上述典型信號(hào)外，還有一些常用信號(hào)，它們的傅里葉變換都列于表7-3中，以供查閱。圖7-20單位沖激系列及其傅里葉變換的圖形表7-3典型信號(hào)的傅里葉變換

續(xù)表一

續(xù)表二7.5傅里葉變換的性質(zhì)

信號(hào)可以有時(shí)域和頻域兩種描述方法，當(dāng)信號(hào)在一個(gè)域里有所變化時(shí)，在另一個(gè)域里必然要發(fā)生相應(yīng)的變化，這種相應(yīng)變化的規(guī)律稱為變換性質(zhì)。傅里葉變換建立了信號(hào)的時(shí)域和頻域之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，傅里葉變換的性質(zhì)揭示了信號(hào)的時(shí)域特性與頻域特性之間的內(nèi)在聯(lián)系。當(dāng)在某一個(gè)域中分析發(fā)生困難時(shí)，利用傅里葉變換性質(zhì)可以將它轉(zhuǎn)換到另一個(gè)域中進(jìn)行。利用傅里葉變換性質(zhì)可方便地求取傅里葉正、反變換，避免直接用傅里葉變換定義公式求解時(shí)所要遇到的繁雜的積分運(yùn)算。

1.線性

若f1(t)F1(ω)，f2(t)F2(ω)，則對(duì)于任意常數(shù)a1和a2，有

a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(ω)+a2F2(ω)(7-57)

因?yàn)楦道锶~變換是一種線性的變換，所以從其定義便可直接得出。

2.對(duì)稱性

若f(t)F(ω)，

則F(t)2πf(－ω)(7-58)

當(dāng)f(t)為偶函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(t)2πf(ω)。

證明由傅里葉反變換式將變量t更換為－t，得

將t換為ω，x換為t，得到

根據(jù)傅里葉正變換的定義式，即得式(7-58)。

傅里葉變換的對(duì)稱性已經(jīng)在前面求得的變換對(duì)式(7-47)和式(7-50)中得到了驗(yàn)證，即δ(t)1；12πδ(ω)。

例7-6試求取樣函數(shù)的傅里葉變換。

解直接利用傅里葉變換的定義式求Sa(t)的頻譜函數(shù)是十分繁瑣的，但利用對(duì)稱性質(zhì)可以方便地求得。由于門函數(shù)的頻譜為

令上式中，得由對(duì)稱性，利用式(7-58)，考慮到門函數(shù)是偶函數(shù)，有

圖7-21畫出了這一對(duì)稱性變換的圖形。

可見，若時(shí)間信號(hào)是矩形脈沖，則頻譜為取樣函數(shù)；若頻譜是矩形脈沖，則時(shí)間信號(hào)為取樣函數(shù)。除了幅度相差2π倍外，它們具有明顯的對(duì)稱性。圖7-21傅里葉變換的對(duì)稱性

3.尺度變換

尺度變換特性也稱比例性。若f(t)F(ω)，則對(duì)于非零的實(shí)常數(shù)a，有

(7-59)

證明若a>0，則令x=at，則dx=adt，代入上式可得

類似地，若a<0，則

把這兩種情況合起來，便得式(7-59)。

對(duì)于a=－1這種特殊情況，式(7-59)變?yōu)?/p>

f(－t)F(－ω)(7-60)信號(hào)f(at)表示f(t)在時(shí)間上壓縮了a倍，而信號(hào)

則表示F(ω)在頻域中擴(kuò)展了a倍。例如，信號(hào)f(t)=sint在0≤t≤2π之間有一個(gè)周期的正弦波，如圖7-22(a)所示；當(dāng)

a=3時(shí)，則f(3t)=sin3t是把f(t)沿t軸壓縮了3倍，在0≤t≤2π之

間有三個(gè)周期的正弦波，如圖7-22(b)所示；當(dāng)時(shí)，

則是把f(t)沿t軸擴(kuò)展了2倍，使得在0≤t≤4π之間才有一個(gè)周期的正弦波，如圖7-22(c)所示。圖7-22函數(shù)沿t軸的壓縮與擴(kuò)展圖7-23表示了兩個(gè)矩形脈沖及其頻譜。從圖中可見，f(t)沿時(shí)間軸擴(kuò)展了2倍而成為，表現(xiàn)為脈沖寬度由τ增大為2τ；對(duì)應(yīng)的頻譜F(ω)則沿頻率軸壓縮2倍而成為2F(2ω)，表現(xiàn)為第一個(gè)零交點(diǎn)由減小到。圖7-23矩形脈沖時(shí)域擴(kuò)展對(duì)應(yīng)于頻域壓縮因此，比例性說明了信號(hào)在時(shí)域中的壓縮將導(dǎo)致頻域中頻譜的擴(kuò)展，反之在時(shí)域中的擴(kuò)展將相應(yīng)地導(dǎo)致頻域中頻譜的壓縮。這意味著f(t)在時(shí)域中越寬，則其頻譜愈窄，反之亦然。在通信技術(shù)中，為了提高通信速度(每秒鐘內(nèi)所傳輸?shù)拿}沖數(shù))，需要壓縮信號(hào)的持續(xù)時(shí)間，從而不得不以展寬信號(hào)及通信設(shè)備的帶寬為代價(jià)。因而通信速度與占有頻帶是一對(duì)矛盾，必須統(tǒng)籌考慮。

例7-7試求取雙邊指數(shù)脈沖信號(hào)f(t)=Ae－α|t|(α>0)的頻譜函數(shù)，并畫出頻譜圖。

解雙邊指數(shù)脈沖信號(hào)的波形如圖7-24(a)所示，可看成為左右兩個(gè)指數(shù)信號(hào)的合成，即其中已知因此，利用線性特性及尺度變換的特殊情況公式(7-60)就可得到f(t)的傅里葉變換。

頻譜如圖7-24(b)所示。圖7-24雙邊指數(shù)脈沖信號(hào)及其頻譜(a)雙邊指數(shù)脈沖信號(hào)；(b)頻譜

4.時(shí)移性

時(shí)移性也稱延時(shí)特性，可表述為：若f(t)F(ω)，且t0為常數(shù)，則

(7-61)

證明根據(jù)傅里葉變換定義，有

令x=t－t0，則dx=dt，因此該性質(zhì)表明，信號(hào)f(t)在時(shí)域延時(shí)t0秒，對(duì)應(yīng)于頻域乘以因子，即信號(hào)時(shí)域平移后，并不會(huì)改變其頻譜的幅度，但是使其相位變化了－ωt0。

如果信號(hào)既有時(shí)移又有尺度變換，則有：若f(t)F(ω)，且a≠0和t0為常數(shù)，則

(7-62)

例7-8試求圖7-25(a)所示三個(gè)矩形脈沖信號(hào)f(t)的頻譜函數(shù)F(ω)。

解令f0(t)表示單個(gè)矩形脈沖信號(hào)，則

f(t)=f0(t+T)+f0(t)+f0(t－T)

由式(7-40)可知，矩形脈沖f0(t)的頻譜F0(ω)為根據(jù)時(shí)移性可得f(t)的頻譜F(ω)為

頻譜如圖7-25(b)所示。圖7-25三個(gè)矩形脈沖信號(hào)及其頻譜(a)三個(gè)矩形脈沖信號(hào)；(b)頻譜

5.頻移性

頻移性也稱調(diào)制定理，可表述為：若f(t)F(ω)，則

(7-63)

證明根據(jù)傅里葉變換的定義，有

即上述性質(zhì)表明，信號(hào)f(t)在時(shí)域中乘以，對(duì)應(yīng)于F(ω)在頻域中移動(dòng)ω0。

在通信技術(shù)中，經(jīng)常需要搬移頻譜來達(dá)到頻分多路復(fù)用的目的，通常將信號(hào)f(t)乘以正弦或余弦信號(hào)來實(shí)現(xiàn)。這里信號(hào)f(t)稱為調(diào)制信號(hào)，正弦或余弦信號(hào)稱為載波，f(t)與載波信號(hào)的乘積稱為已調(diào)制信號(hào)。已調(diào)制信號(hào)的幅度隨調(diào)制信號(hào)作線性變化，這一過程稱為幅度調(diào)制或振幅調(diào)制。例如，信號(hào)f(t)與余弦信號(hào)cosω0t相乘，得到已調(diào)信號(hào)f(t)cosω0t，應(yīng)用頻移性可以得到其頻譜。因?yàn)?/p>

由式(7-63)可得

(7-64)類似地可得

(7-65)

由式(7-64)和式(7-65)可以看出，時(shí)域信號(hào)f(t)乘以cosω0t或sinω0t，對(duì)應(yīng)于把頻譜一分為二(其幅度均勻縮小一半)后，沿頻率軸向左、向右各平移ω0。

例7-9已知矩形調(diào)幅信號(hào)f(t)=Agτ(t)cosω0t。試求其頻譜函數(shù)F(ω)，并畫出頻譜圖。

解調(diào)制信號(hào)Agτ(t)即為如圖7-26(a)所示的矩形脈沖，載波cosω0t是高頻等幅波，如圖7-26(b)所示，兩者相乘得到矩形調(diào)幅信號(hào)f(t)如圖7-26(c)所示。由方波的頻譜公式(7-40)，即再利用頻移公式(7-64)，得到f(t)的頻譜F(ω)為

調(diào)制信號(hào)Agτ(t)和已調(diào)信號(hào)f(t)的頻譜分別如圖7-26(d)和(f)所示。圖7-26調(diào)制信號(hào)及其頻譜

6.卷積定理

卷積定理可分為時(shí)域卷積定理和頻域卷積定理。若f1(t)F1(ω)，f2(t)F2(ω)，則時(shí)域卷積為

f1(t)*f2(t)F1(ω)·F2(ω)(7-66)

而頻域卷積為

(7-67)

卷積定理表明，時(shí)域中兩函數(shù)的卷積對(duì)應(yīng)于頻域中兩頻譜的乘積，而時(shí)域中兩函數(shù)的乘積對(duì)應(yīng)于頻域中兩頻譜的卷積。

證明根據(jù)定義

由時(shí)移性可得將它代入上式，可得

在電路分析中，時(shí)域卷積定理常用于簡(jiǎn)化求解零狀態(tài)響應(yīng)，即

yzs(t)=x(t)*h(t)Yzs(ω)=X(ω)·H(ω)(7-68)

頻域卷積可用相似的方法得到證明，此處從略。利用頻域卷積定理可以方便地獲得頻移特性，即

例7-10已知f1(t)=ε(t+0.5)-ε(t－0.5)。試求f(t)=f1(t)*f1(t)的頻譜函數(shù)F(ω)。

解由兩個(gè)完全相同的門函數(shù)的卷積得到三角脈沖。這里的門函數(shù)的寬度和幅度均為1，則g1(t)*g1(t)=Δ2(t)，如圖7-27(a)所示。

由矩形脈沖的頻譜公式(7-40)可知，當(dāng)A=1，τ=1時(shí)，得到圖7-27時(shí)域卷積定理利用時(shí)域卷積定理，可以得到三角形脈沖的頻譜函數(shù)，為

其頻譜如圖7-27(b)所示。

7.時(shí)域微分和積分

若f(t)F(ω)，則f(t)時(shí)域微分后的傅里葉變換為

(7-69)

f(t)時(shí)域積分后的傅里葉變換為

(7-70)

證明由傅里葉反變換定義，有

兩邊對(duì)t求導(dǎo)數(shù)，得即得時(shí)域微分性質(zhì)

重復(fù)這一性質(zhì)可得

(7-71)時(shí)域積分性質(zhì)可如下證明：

因?yàn)?/p>

由此得到再利用時(shí)域卷積性質(zhì)

式中如果f(t)的積分為零(直流分量為0)，則F(0)=0，此時(shí)

(7-72)

從上述時(shí)域微分和積分性質(zhì)可以看出，當(dāng)已知f(t)的頻譜為F(ω)時(shí)，若要求得或的頻譜，只需將F(ω)乘上相應(yīng)的jω或除以jω即可。

例7-11利用時(shí)域微分性質(zhì)，求圖7-28(a)所示三角脈沖信號(hào)Δτ(t)的傅里葉變換。

解為了求得三角脈沖信號(hào)的傅里葉變換，可以先將其求兩次導(dǎo)數(shù)，如圖7-28(b)和(c)所示。圖7-28三角脈沖信號(hào)及其頻譜(a)三角脈沖信號(hào)；(b)一次求導(dǎo)；(c)兩次求導(dǎo)；(d)頻譜在第一次求導(dǎo)數(shù)時(shí)，為兩個(gè)門函數(shù)，左邊的正躍變量為，右邊的躍變量為；在求第二次導(dǎo)數(shù)時(shí)，在

處得到兩個(gè)沖激函數(shù)，其強(qiáng)度均為，而在t=0處，得到的沖激函數(shù)的強(qiáng)度為，即由于

又由時(shí)域微分性質(zhì)可知因此

F(ω)的頻譜圖如圖7-28(d)所示。

8.頻域微分和積分

若f(t)F(ω)，則頻域微分性質(zhì)為

(7-73)

而頻域積分性質(zhì)為

(7-74)

證明因?yàn)?/p>

兩邊對(duì)ω求導(dǎo)數(shù)，得即得頻域微分性質(zhì)

寫成實(shí)用形式為

(7-75)同理可得

(7-76)

寫成實(shí)用形式為

(7-77)

頻域積分性可用頻域卷積定理證明，其方法與時(shí)域積分性類似，這里從略。

例7-12試求指數(shù)脈沖信號(hào)f(t)=Ate－αtε(t)的頻譜函數(shù)。

解因?yàn)?/p>

利用頻域微分性，可得

例7-13已知f(t)F(ω)。試求(t－t0)f(t－t0)的頻譜函數(shù)。

解方法一：先應(yīng)用頻域微分性，得到

再由時(shí)移性可得

方法二：先應(yīng)用時(shí)移性質(zhì)，得到再應(yīng)用線性性質(zhì)和頻域微分性質(zhì)，可得

表7-4中列出了傅里葉變換的一些重要性質(zhì)，以供參閱。表7-4傅里葉變換的一些重要性質(zhì)

續(xù)表7.6線性電路的頻域分析

以信號(hào)的頻譜分析為基礎(chǔ)，在頻域中求取任意信號(hào)作用于線性電路的零狀態(tài)響應(yīng)的方法，稱為線性電路的頻域分析法或傅里葉變換分析法。這一方法實(shí)際上是正弦穩(wěn)態(tài)相量分析法的推廣。

7.6.1傅里葉變換分析法

在4.9節(jié)中已經(jīng)知道，線性電路的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)等于電路的沖激響應(yīng)h(t)與輸入信號(hào)x(t)的卷積，即

y(t)=h(t)*x(t)對(duì)上式兩邊取傅里葉變換，令x(t)X(ω)，h(t)H(ω)，y(t)Y(ω)，并利用時(shí)域卷積性質(zhì)，可得

Y(ω)=H(ω)·X(ω)(7-78)

所以

(7-79)

H(ω)定義為電路零狀態(tài)響應(yīng)與激勵(lì)的頻譜之比，稱為該電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)(系統(tǒng)函數(shù))或頻響函數(shù)。沖激響應(yīng)h(t)和網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(ω)分別從時(shí)域和頻域兩個(gè)側(cè)面描述了同一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的特性。

卷積分析(時(shí)域分析)與傅里葉分析(頻域分析)的關(guān)系如圖7-29所示。圖7-29時(shí)域和頻域分析示意圖由式(7-78)可以將頻域分析法歸納為下列幾個(gè)步驟：

(1)將輸入激勵(lì)x(t)進(jìn)行傅里葉變換，得到頻域函數(shù)X(ω)；

(2)確定網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(ω)；

(3)求出響應(yīng)的傅里葉變換Y(ω)=H(ω)·X(ω)；

(4)再將Y(ω)從頻域反變換到時(shí)域，從而求得零狀態(tài)響應(yīng)的時(shí)間函數(shù)y(t)。在頻域分析法中，網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(ω)起重要作用，它與電路本身的特性有關(guān)，而與激勵(lì)無關(guān)。在已知沖激響應(yīng)h(t)時(shí)，通過傅里葉變換即可得到H(ω)；在給定電路時(shí)，先將激勵(lì)或響應(yīng)電壓、電流分別用頻域函數(shù)U(ω)、I(ω)表示，電阻、電感、電容用阻抗R、jωL、表示，作出電路的頻域模型，然后求出H(ω)。

例7-14

RLC串聯(lián)電路如圖7-30(a)所示，已知R=6Ω，L=0.2H，C=25mF，激勵(lì)為uS(t)，響應(yīng)為i(t)。

(1)試求網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。

(2)當(dāng)uS(t)=2ε(t)時(shí)，試求響應(yīng)i(t)。圖7-30例7-14圖(a)電路的時(shí)域模型；(b)電路的頻域模型

解

(1)作出圖7-30(a)所示電路的頻域模型如圖7-30(b)所示。其中電感的阻抗為jωL=0.2jω，電容的阻抗為。則

所以，系統(tǒng)函數(shù)為

(2)

輸出信號(hào)的傅里葉變換為由沖激函數(shù)的加權(quán)性f(t)δ(t)=f(0)δ(t)，得

因此反變換得到零狀態(tài)響應(yīng)為

y(t)=［e－10t－e－20t］ε(t)

從本例可以看出，用頻域等效電路進(jìn)行計(jì)算與第5章中的相量分析計(jì)算類似，所不同的僅僅是ω是一個(gè)變量，電源應(yīng)取其傅里葉變換而已。當(dāng)然，所求得的響應(yīng)也是電壓或電流的傅里葉變換。7.6.2網(wǎng)絡(luò)的頻率特性

網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(ω)反映了網(wǎng)絡(luò)本身的特性，它僅由網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定，而與外激勵(lì)無關(guān)。

H(ω)一般是ω的復(fù)函數(shù)，可以寫成

(7-80)

其中，|H(ω)|隨ω的變化特性稱為網(wǎng)絡(luò)的幅頻特性；θ(ω)隨ω的變化特性稱為相頻特性。幅頻特性和相頻特性合稱為網(wǎng)絡(luò)的頻率特性。

例7-15試畫出圖7-31(a)所示RC電路的頻率特性。已知激勵(lì)為uS(t)，響應(yīng)為uC(t)。

解作出圖7-31(a)所示電路的頻域模型如圖7-31(b)所示，則

(7-81)幅頻特性為

相頻特性為

特性曲線分別如圖7-31(c)和(d)所示。圖7-31

RC電路及其頻率特性(a)時(shí)域模型；(b)頻域模型；(c)幅頻特性；(d)相頻特性從圖中可以看出，此RC電路的幅頻特性隨ω增大而單調(diào)地減小到零。該電路對(duì)直流和低頻信號(hào)容易通過，所以該RC電路被稱為低通網(wǎng)絡(luò)，又稱低通濾波器。當(dāng)ω=ωC=1/τ時(shí)，|H(ω)|等于其最大值的，通常把ωC稱為截止角頻率，0~ωC的頻率范圍稱為低通濾波器的通頻帶。

根據(jù)網(wǎng)絡(luò)的濾波特性的不同，除了低通濾波器外，還有高通、帶通、帶阻和全通濾波器。

7.7電路無失真?zhèn)鬏斝盘?hào)的條件

對(duì)于一個(gè)具有網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為H(ω)的電路，如果X(ω)和Y(ω)分別表示輸入信號(hào)和輸出信號(hào)的頻譜，則

Y(ω)=H(ω)·X(ω)(7-82)

式(7-82)清楚地說明，從信號(hào)分析的角度看，電路是一個(gè)信號(hào)的處理器或加工裝置。在時(shí)域上，它將輸入信號(hào)x(t)加工成輸出信號(hào)y(t)；在頻域上，它將輸入信號(hào)的頻譜X(ω)處理成輸出頻譜Y(ω)。這種處理功能直接取決于電路本身的特點(diǎn)，即取決于網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(ω)。因此，一般說來，輸入信號(hào)經(jīng)過一個(gè)電路(信道或某種濾波器)后，輸出信號(hào)與輸入信號(hào)的波形并不相同，使輸出信號(hào)產(chǎn)生失真。在某些情況下，并不希望信號(hào)通過電路后產(chǎn)生失真，例如放大器對(duì)信號(hào)的放大或衰減。那么，電路對(duì)信號(hào)無失真?zhèn)鬏敃r(shí)，應(yīng)該具有怎樣的時(shí)域和頻域特性呢？

從時(shí)域來看，無失真?zhèn)鬏斒侵篙敵鲂盘?hào)和輸入信號(hào)相比，只有幅度大小和出現(xiàn)時(shí)間先后的不同，而波形形狀保持不變。于是要達(dá)到無失真?zhèn)鬏?，輸入信?hào)x(t)和輸出信號(hào)y(t)必須滿足下列條件：

y(t)=kx(t－td)(7-83)

式中，k是一個(gè)常數(shù)；td是信號(hào)通過電路后的延遲時(shí)間。電路無失真?zhèn)鬏數(shù)臅r(shí)域特性如圖7-32所示。圖7-32電路無失真?zhèn)鬏數(shù)臅r(shí)域特性對(duì)式(7-83)兩邊進(jìn)行傅里葉變換，根據(jù)時(shí)移性，有

(7-84)

故有

(7-85)

由此得到

(7-86)

(7-87)

這說明，對(duì)于信號(hào)的無失真?zhèn)鬏?，電路?yīng)滿足兩個(gè)條件：①網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的幅頻特性|H(ω)|在整個(gè)頻率范圍內(nèi)應(yīng)為常數(shù)k，即網(wǎng)絡(luò)的通頻帶應(yīng)為無窮大；②網(wǎng)絡(luò)的相頻特性θ(ω)在整個(gè)頻率范圍內(nèi)應(yīng)與角頻率ω成正比。電路無失真?zhèn)鬏數(shù)念l域特性如圖7-33所示。圖7-33電路無失真?zhèn)鬏數(shù)念l域特性由于電路的沖激響應(yīng)h(t)與網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(ω)是一對(duì)傅里葉變換對(duì)，故對(duì)式(7-85)取傅里葉反變換，得

h(t)=kδ(t－td)

(7-88)

式(7-88)表明，無失真?zhèn)鬏旊娐返臎_激響應(yīng)是延時(shí)了td時(shí)刻的沖激函數(shù)，其強(qiáng)度為k。

實(shí)際電路的幅頻特性不可能為常數(shù)，相頻特性也不可能是ω的線性函數(shù)。式(7-86)和式(7-87)只是不失真?zhèn)鬏?/p>