廣西2024屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

廣西2024屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

請(qǐng)考生注意：

1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知是球。的球面上兩點(diǎn),殳渡圖二為為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐0-H3C體積的最大值為36,則球0

的表面積為（）

A.36兀B.6471C.144兀D.256兀

22

2.已知雙曲線、—￡=l（a>0,b>0）,過(guò)原點(diǎn)作一條傾斜角為1直線分別交雙曲線左、右兩支P,Q兩點(diǎn)，以線

段PQ為直徑的圓過(guò)右焦點(diǎn)F,則雙曲線離心率為（）

A.72+1B.V3+1C.2D.75

3.2020年是脫貧攻堅(jiān)決戰(zhàn)決勝之年，某市為早日實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，現(xiàn)將甲、乙、丙、丁4名干部派遣到A、B、。三個(gè)貧

困縣扶貧，要求每個(gè)貧困縣至少分到一人，則甲被派遣到A縣的分法有（）

A.6種B.12種C.24種D.36種

4.設(shè)過(guò)點(diǎn)戶（乂），）的直線分別與X軸的正半軸和>軸的正半軸交于A3兩點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)夕關(guān)于〉軸對(duì)稱，O為坐標(biāo)

原點(diǎn)，若BP=2PA，且OQA6=1,則點(diǎn)〃的軌跡方程是（）

33

A.—x2+3y2=l(x>0,^>0)B.—x2-3y2=1(x>0,y>0)

33

C.3x2~~y2=1(^>0,y>0)D.3x2+—y2=l(x>0,y>0)

5.若某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()

皿口

P

A.240B.264C.274D.282

4x—y2

6.不等式??二i的解集記為。，有下面四個(gè)命題：〃］：V（X,），）WO,2），-A;,5；〃2：玉x,y）wQ,2y—x..2；

x+y,3

:V（x、y）￡。2y一其，2；T（x,y）￡。,2y一工.4淇中的真命題是（）

A.P\,P2B.〃2，P3c?〃|，P3D?〃2，〃4

7.若a>b>0,OVcVL則

ccab

A.logaC<logbCB.Iogca<logcbC.a<bD.c>c

8.設(shè)函數(shù)/("=訪(1+國(guó))一^^\,則使得/(x)>/(1)成立的x的取值范圍是().

A.(1,+8)B.(-oo,-l)u(l,+oo)

C.(-1J)D.(-1,O)U(O,I)

9.已知aA/JC的垂心為“，且AB=6,8C=8,M是4。的中點(diǎn)，則HM.AC二（）

A.14B.12D.8

10.已知函數(shù)/（為二以）$工與義工）=由11（2工+8）（0,,0<1）的圖象有一個(gè)橫坐標(biāo)為g的交點(diǎn)，若函數(shù)g（x）的圖象的

縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的,倍后，得到的函數(shù)在［0,2m有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則①的取值范圍是（）

（0

2935)2935

24524

r29生、(2935

<24*24;\JA'2A

11.已知集合乂=@Iy=F,x>0},N={xIy=lg(2x—二?)},則MAN為()

A.(1,H-oo)B.(1,2)C.[2,+s)D.[1,+00)

12.已知向量4與b的夾角為。，定義oxb為。與的“向量積%且是一個(gè)向量，它的長(zhǎng)度axZ?=absin。，

若〃二(2,0),"-口=(1,一百)，則〃x(〃+u)卜()

A.4、/JB.V3

C.6D.2x/3

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.六位同學(xué)坐在一排，現(xiàn)讓六位同學(xué)重新坐，恰有兩位同學(xué)坐自己原來(lái)的位置，則不同的坐法有種（用數(shù)

字回答）.

14.在AA8C中，角A,B,。的對(duì)邊長(zhǎng)分別為。，b,滿足/-2a（sinB+GcosB）+4=0,b=2幣,則AA8C

的面積為一.

15.在編號(hào)為1,2,3,4,5且大小和形狀均相同的五張卡片中，一次隨機(jī)抽取其中的三張，則抽取的三張卡片編號(hào)

之和是偶數(shù)的概率為.

16.已知i為虛數(shù)單位，且“一2"—），=-1+，，貝Ijx+y=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）秉持“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念，為推動(dòng)新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展，有必要調(diào)查研究

新能源汽車市場(chǎng)的生產(chǎn)與銷售,下圖是我國(guó)某地區(qū)2016年至2019年新能源汽車的銷量（單位：萬(wàn)臺(tái)）按季度（一年四

個(gè)季度）統(tǒng)計(jì)制成的頻率分布直方圖.

（1）求直方圖中。的值，并估計(jì)銷量的中位數(shù)；

（2）請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)新能源汽車平均每個(gè)季度的銷售量（同一組數(shù)據(jù)用該組中間值代表），并以此預(yù)計(jì)

202（）年的銷售量.

18.（12分）已知acR,函數(shù)/（工）=叱一工一1,<?（x）=x-ln（x+l）（e=2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（I）討論函數(shù)/（工）極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（II）若4=1,且命題“以?0,+8）,/（工）之依"尸是假命題，求實(shí)數(shù)%的取值范圍.

19.（12分）已知數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)%=2i（〃￡N'），數(shù)列｛〃｝為等比數(shù)列，且打，?，〃川成等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛"｝的通項(xiàng)；

（2）設(shè)cn=bnlog2%,求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和Sn.

22

20.（12分）已知橢圓C：與+￡=（/>〃>（））的兩個(gè)焦點(diǎn)是小尸2,在橢圓。上，且周=4,

。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/與直線OM平行，且與橢圓交于A,3兩點(diǎn).連接M4、A仍與工軸交于點(diǎn)O,E.

（1）求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求證：|。。+0耳為定值.

21.（12分）某企業(yè)原有甲、乙兩條生產(chǎn)線，為了分析兩條生產(chǎn)線的效果，先從兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取

了100件產(chǎn)品作為樣本，檢測(cè)一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值.該項(xiàng)指標(biāo)值落在［20,40）內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則為不合格品.

甲生產(chǎn)線樣木的頻率分布圖

乙生產(chǎn)線樣本的頻數(shù)分布表

質(zhì)量指標(biāo)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45]合計(jì)

頻數(shù)218481416210()

（1）根據(jù)甲生產(chǎn)線樣本的頻率分布直方圖，以從樣本中任意抽取一件產(chǎn)品且為合格品的頻率近似代替從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)

的產(chǎn)品中任意抽取一件產(chǎn)品且為合格品的概率，估計(jì)從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取5件恰有2件為合格品的概率;

（2）現(xiàn)在該企業(yè)為提高合格率欲只保留其中一條生產(chǎn)線，根據(jù)上述圖表所提供的數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表，并

判斷是否有90%把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與生產(chǎn)線有關(guān)？若有90%把握，請(qǐng)從合格率的角度分析

保留哪條生產(chǎn)線較好?

甲生產(chǎn)線乙生產(chǎn)線合計(jì)

合格品

不合格品

合計(jì)

n(ad-bc)2

附：K2=,n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(。+c)3+d)

P(K2次）0.1500.1000.0500.025().0100.005

2.0722.7063.8415.0246.6357.879

22.（10分）設(shè)前〃項(xiàng)積為7；的數(shù)列｛4｝,（4為常數(shù)），且3r（是等差數(shù)列.

（I）求人的值及數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式;

（口）設(shè)S“是數(shù)列低｝的前〃項(xiàng)和，且2=（2〃+3）7；,求邑”一邑―2〃的最小值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐。-A8C的體積最大，設(shè)球。的半徑為R,此時(shí)

Vo-ARC=Vc-AOB=-x-X/?=-=36,故A=6，則球。的表面積為5=4乃犬=144乃，故選C.

326

考點(diǎn)：外接球表面積和椎體的體積.

2、B

【解析】

求得直線PQ的方程，聯(lián)立直線的方程和雙曲線的方程，求得P,Q兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，根據(jù)/Q_L嚴(yán)列方程，化簡(jiǎn)后

求得離心率.

【詳解】

設(shè)依題意直線PQ的方程為y=后，代入雙曲線方程并化簡(jiǎn)得

22222

->crb2c13abj八-crb-3ab-、幾臺(tái)上小心二

廠=不——=3x~=——―,故％+x）=0,占?x,一—r,y.）’2=3^|,^=―—―f設(shè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為

b-3a"Ir-3a"~~b~-3a~~b-3a

F（c,O）,由于以P。為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸，故/P/Q=O,即（不一。,％）?（赴一。,〉，2）=0,即4x馬+，=0,即

b4-6a2b2-3a4=0,兩邊除以/得電-6(g)-3=0,解得［g)=3+20.故

e=Jl+(2'="+26=6+1，故選B.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查直線和雙曲線的交點(diǎn)，考查圓的直徑有關(guān)的幾何性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

3、B

【解析】

分成甲單獨(dú)到A縣和甲與另一人一同到A縣兩種情況進(jìn)行分類討論，由此求得甲被派遣到A縣的分法數(shù).

【詳解】

如果甲單獨(dú)到A縣，則方法數(shù)有C；x&=6種.

如果甲與另一人一同到A縣，則方法數(shù)有C；x￡=6種.

故總的方法數(shù)有6+6=12種.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查簡(jiǎn)答排列組合的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

4、A

【解析】

設(shè)A3坐標(biāo)，根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算表示出=224,從而可利用元)'表示出〃/；由坐標(biāo)運(yùn)算表示出OQ.A8=1,代

入。，〃整理可得所求的軌跡方程.

【詳解】

設(shè)A(a,0),B(0力),其中a>0,b>0

3x八

x=2(cz-x)ci=—>0

???BP=2PA(%)'_〃)=2(a—蒼_y),即《2

y-b=-2y

b=3y>0

???P,Q關(guān)于丫軸對(duì)稱Q(-x,y)

OQ-AB=(-x,y)?(-a,Z?)=ar+by=1—x2+3y2=l(x>0,y>())

故選：4

【點(diǎn)睛】

本題考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求解，涉及到平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算；關(guān)鍵是利用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示出變量，根據(jù)平

面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可整理得軌跡方程.

5、B

【解析】

將三視圖還原成幾何體，然后分別求出各個(gè)面的面積，得到答案.

【詳解】

由三視匿可得，該幾何體的直觀圖如圖所示，

延長(zhǎng)BE交DF于A點(diǎn),

其中A8===6,AE=3fAF=4,

3x4

所以表面積S=(36x5+3x6)+—^-x2+4x6+30=264.

故選B項(xiàng).

【點(diǎn)睛】

本題考查三視圖還原幾何體，求組合體的表面積，屬于中檔題

6、A

【解析】

作出不等式組表示的可行域，然后對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一分析可得結(jié)果.

【詳解】

作出可行域如圖所示，當(dāng)x=l,y=2時(shí)，(2y-x)nm=3,即與-工的取值范圍為(一處引，所以

V(x,y)GDf2y-x,,5,月為真命題;

3(x,y)€D,2y-x..2,p2為真命題；p,,p4為假命題.

故選：A

此題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查作圖能力，熟練作圖，正確分析是關(guān)鍵，屬于中檔題.

7、B

【解析】

,occ=

試題分析：對(duì)于選項(xiàng)A,ga=7^-J0gb7^r>vO<c<l?而。所以IgQAlg。，但不

Igalgb

能確定lgC7、lg人的正負(fù)，所以它們的大小不能確定;對(duì)于選項(xiàng)B,log,“二用Jog/〉二陰，兩邊同乘以

IgeIge

一個(gè)負(fù)數(shù)「一改變不等號(hào)方向，所以選項(xiàng)B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,利用v=x,在第一象限內(nèi)是增函數(shù)即可得到/>//,

lgC

所以C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,利用y=c'在R上為減函數(shù)易得vcJ所以D錯(cuò)誤.所以本題選B.

【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

【名師點(diǎn)睛】比較幕或?qū)?shù)值的大小,若幕的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同，通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比

較；若底數(shù)不同，可考慮利用中間量進(jìn)行比較.

8、B

【解析】

由奇偶性定義可判斷出/（X）為偶函數(shù)，由單調(diào)性的性質(zhì)可知/（X）在［0,T8）上單調(diào)遞增，由此知/（X）在（-00,0］上

單調(diào)遞減，從而將所求不等式化為國(guó)>1，解絕對(duì)值不等式求得結(jié)果.

【詳解】

由題意知：/（X）定義域?yàn)镽,

/（r）=m（i+|T）_1+（：）2=m（i+k|）_^r=〃r）,「./（x）為偶函數(shù)，

當(dāng)xNO時(shí)，/(x)=ln(l+x)-----

1IX

,y=ln(l+x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，y=2在［°，+8)上單調(diào)遞減，

.-./(X)在［0,小)上單調(diào)遞增，則/(x)在(-oo,0］上單調(diào)遞減，

由/(可＞〃1)得：兇＞1,解得：］或x＞l,

\x的取值范圍為(Y),-1)U(1,+8).

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求解函數(shù)不等式的問(wèn)題；奇偶性的作用是能夠確定對(duì)稱區(qū)間的單調(diào)性，單調(diào)性的

作用是能夠?qū)⒑瘮?shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系，進(jìn)而化簡(jiǎn)不等式.

9、A

【解析】

由垂心的性質(zhì)，得到BHAC=()，可轉(zhuǎn)化HM.4C=BM.AC，又8M?AC=g(84+3C)-(3C—84)即得解.

【詳解】

因?yàn)椤盀?A3c的垂心，所以3〃_L4C,

所以AH.4d=0，而HM=HB+BM，

所以“M?AC=("3+BM)AC=BMACf

因?yàn)镸是AC的中點(diǎn)，

所以4MAe=2(BA+BC)(BC—M)

2

=-(BC2-BA)=1(64-36)=14.

22

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用向量的線性運(yùn)算和向量的數(shù)量積的運(yùn)算率，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于

中檔題.

10、A

【解析】

根據(jù)題意，cosg=sin§24+0,求出夕=2It,所以g(x)=sin2x+J71,根據(jù)三角函數(shù)圖像平移伸縮，即可求出①

3kI3)66ko76J

的取值范圍.

【詳解】

已知/(X)=cos冗與g(x)=sin(2x+0)(0,,。＜不)的圖象有一個(gè)橫坐標(biāo)為?的交點(diǎn),

71.

貝I]cosy=sin(T+4

212不5不

——+06——

313T

2萬(wàn)5萬(wàn)71

——+(o=——?二(D=—

366

g(x)=sin(2九+不),

若函數(shù)g(x)圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的■!1■倍，則＞，=0抽|2④r+f,

(06J

JT71,冗

所以當(dāng)川［0,2汨時(shí)，1COX+-￡—,4w+—,

666

/3)在［0,2幻有且僅有5個(gè)零點(diǎn),

_.71,

5冬，4,W+—<6乃,

6

2935

/------,,6)<-----.

2424

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)圖象的性質(zhì)、三角函數(shù)的平移伸縮以及零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.

11、B

【解析】

.Z>0)=(Z|Z>/),

?二=，仁|二.=：g(：zi-二川=｛Zm-二：＞0

=｛二|二;一二＜0：=｛二二＜2),

ADA(L3).

故選3.

12、D

【解析】

先根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算求出〃+u=（3,6）和cos（〃,〃+”,進(jìn)而求出+代入題中給的定義即可求解.

【詳解】

由題意u=-u)=(l,6),貝ij〃+u=(3,石)，cos(

〃，得+由定義知

U+V一2'

)=2x2>/3xl=2x/3,

ux(〃+u)=|?|-|w+vsin+u

故選:D.

【點(diǎn)睛】

此題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，引入新定義，屬于簡(jiǎn)單題目.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、135

【解析】

根據(jù)題意先確定2個(gè)人位置不變，共有C：=15種選擇，再確定4個(gè)人坐4個(gè)位置，但是不能坐原來(lái)的位置，計(jì)算得

到答案.

【詳解】

根據(jù)題意先確定2個(gè)人位置不變，共有C：=15種選擇.

再確定4個(gè)人坐4個(gè)位置，但是不能坐原來(lái)的位置，共有3x3xlxl=9種選擇,

故不同的坐法有15x9=135.

故答案為：135.

【點(diǎn)睛】

本題考查了分步乘法原理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

14、2#.

【解析】

由二次方程有解的條件，結(jié)合輔助角公式和正弦函數(shù)的值域可求5,進(jìn)而可求。，然后結(jié)合余弦定理可求J代入

Sgsc=；〃c、sinB,計(jì)算可得所求.

【詳解】

解：把4-2a(sinB+Geos4)+4=0看成關(guān)于。的二次方程,

則ANO,即4(sinB+Gcos8)2—16N0,

即為42sin(8+?j-16>0,

化為sin2(8+()?1,而sin?B+?<1,

則sin2(B+?=1,

由于0<8<%，可得一vBT—<—,

333

可得8+工=巳，即8=巳，

326

代入方程可得，/一44+4=0,

由余弦定理可得，cosC=4+：28=立,

62x2c2

解得：c=46(負(fù)的舍去),

故答案為2G.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查一元二次方程的根的存在條件及輔助角公式及余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

3

15、-

5

【解析】

先求出所有的基本事件個(gè)數(shù)，再求出“抽取的三張卡片編號(hào)之和是偶數(shù)”這一事件包含的基本事件個(gè)數(shù)，利用古典概型

的概率計(jì)算公式即可算出結(jié)果.

【詳解】

一次隨機(jī)抽取其中的三張，所有基本事件為：

b2,3；1,2,4；1,2,5；1,3,4；1,3,5；1,4,5；2,3,4；2,3,5；2,4,5；3,4,5；共有10個(gè)，

其中“抽取的三張卡片編號(hào)之和是偶數(shù)”包含6個(gè)基本事件，

因此“抽取的三張卡片編號(hào)之和是偶數(shù)”的概率為：卷=|?

故答案為：

J

【點(diǎn)睛】

本題考查了古典概型及其概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.

16、4

【解析】

解：利用復(fù)數(shù)相等，可知由x-2=l,y=l有x+)，=4.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)々=0.1125,中位數(shù)為16；(2)新能源汽車平均每個(gè)季度的銷售量為17萬(wàn)臺(tái)，以此預(yù)計(jì)2020年的銷售量約

為17萬(wàn)臺(tái).

【解析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為1可計(jì)算出。的值，利用中位數(shù)左邊的矩形面積之和為0.5可求得銷

量的中位數(shù)的值；

(2)利用每個(gè)矩形底邊的中點(diǎn)值乘以相應(yīng)矩形的面積，相加可得出銷量的平均數(shù)，由此可預(yù)計(jì)2020年的銷售量.

【詳解】

(1)由于頻率分布直方圖的所有矩形面積之和為1,

則(0.0125+1+0.075+0.025x2)x4=1,解得々=0.1125,

由于(0.0125+0.1125)x4=0.5,因此，銷量的中位數(shù)為16；

(2)由頻率分布直方圖可知，新能源汽車平均每個(gè)季度的銷售量為

10x0.05+14x0.45+18x0.3+22x0.1+26x0.1=17(萬(wàn)臺(tái))，

由此預(yù)測(cè)2020年的銷售量為17萬(wàn)臺(tái).

【點(diǎn)睛】

本題考查利用頻率分布直方圖求參數(shù)、中位數(shù)以及平均數(shù)的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

18、(1)當(dāng)公0時(shí)，/")沒(méi)有極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，/(X)有一個(gè)極小值點(diǎn).⑵(1,+?)

【解析】

試題分析：(1)r(x)=aex-l,分a<0,a>0討論，當(dāng)aWO時(shí)，對(duì)DxwR,C(x)=aex-1<0,當(dāng)a>0時(shí)

f'(x)=O,解得x=—lna,f(x)在(一8,-1皿)上是減函數(shù)，在(一1叫+動(dòng)上是增函數(shù)。所以，當(dāng)a40時(shí)，f(x)沒(méi)

有極值點(diǎn)，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)有一個(gè)極小值點(diǎn).(2)原命題為假命題，則逆否命題為真命題。即不等式f(x)<kg(x)

在區(qū)間［0,+8)內(nèi)有解。設(shè)F(x)=f(x)-kg(x)=ex+kln(x+l)-(k+l)x-l,所以F'(x)=e'+---

X+1

ik

一(k+l),設(shè)h(x)=ex+右一(k+l),則h'(x)=e'—商了，且h<x)是增函數(shù)，所以h'(x"h'(O)=l-ko

所以分k〈l和k>l討論。

試題解析：(I)因?yàn)閒(x)=ae'-x—l,所以f'(x)=aex-l,

當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)DxeR,ff(x)=aex-1<0,

所以“X)在(-8,+8)是減函數(shù)，此時(shí)函數(shù)不存在極值，

所以函數(shù)“X)沒(méi)有極值點(diǎn)；

當(dāng)a>0時(shí)，f'(x)=aex-1,令f'(x)=0,解得x=-lna,

若x￡(--lna),則f<x)v0,所以f(x)在(-8,-lna)上是減函數(shù),

若x￡(-1叫小功，則f，(x)>0,所以f(x)在(—Ina,+8)上是增函數(shù)，

當(dāng)x=-Ina時(shí)，f(x)取得極小值為f(—Ina)=Ina,

函數(shù)f(x)有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn)x=-Ina,

所以當(dāng)aWO時(shí)，f(x)沒(méi)有極值點(diǎn)，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)有一個(gè)極小值點(diǎn).

(II)命題“Vx<0,十的，f(x)Nkg(x)”是假命題，JU!|?3XG[0,-H?),f(x)vkg(x)”是Q命題,即不等式

f(x)<kg(x)在區(qū)間[0,+3)內(nèi)有解.

若a=1,則設(shè)F(x)=f(x)-kg(x)=ex+kln(x+l)-(k+l)x-l,

所以F(x)=ex+士-(k+1),設(shè)h(x)=ex+士-(k+1),

k

則h'(x)=e'_(x+i)2,且h'(x)是增函數(shù)，所以h'(x))h'(O)-1-k

當(dāng)k<l時(shí)，h\x)>0,所以h(x)在［0,+“)上是增函數(shù),

h(x)>h(O)=O,即F(x)NO,所以F(x)在[0,+8)上是增函數(shù),

所以F(x)>F(0)=0,即f(x)2所(x)在x€[0,+o>)上恒成立.

k

當(dāng)k>l時(shí)，因?yàn)閔'(x)=。一濡可在［。,+8)是增函數(shù),

因?yàn)閔'(0)=l-k<0,hz(k-l)=

所以h'(K)在(0,k-1)上存在唯一零點(diǎn)x0,

,

當(dāng)xw［O,Xo)時(shí),h\x)<h(xo)=O,h(x)在［0,x0)上單調(diào)遞減，

從而h(x)Kh(O)=O,即F(x)?O,所以F(x)在［0,x0)上單調(diào)遞減,

所以當(dāng)xw(O,x。)時(shí),F(x)<F(O)=O,即f(x)vkg(x).

所以不等式f(x)<kg(x)在區(qū)間[0,+力)內(nèi)有解

綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍為(1,+8).

19、(1)(2)=-x[(/?-1).2,,+,+2](nG).

33

【解析】

(1)根據(jù)2，％,成等差數(shù)列以及｛"｝為等比數(shù)列，通過(guò)直接對(duì)〃進(jìn)行賦值計(jì)算出｛4｝的首項(xiàng)和公比，即可求

解出｛2｝的通項(xiàng)公式；

(2)｛qj的通項(xiàng)公式符合等差乘以等比的形式，采用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和.

【詳解】

(1)數(shù)列也｝為等比數(shù)列，且“，見(jiàn)，加成等差數(shù)列.

?.也+%=2?！?2"

設(shè)數(shù)列仞}的公比為夕，

4+%=2」4(1+4)=2\b{=-

-4+8=4，麗(1+34，\q=2

.\h=-x2M-'=—(//€TV*)

"33、)

2〃4

⑵???C”=^,-10g2art+1=—xH(He/V)

J

S=-x1x2'4--x2x22+—x3x2'+??+-x(/?-l)x2n1+—x/?x2n,

"3333v73

234,,+l

/.2Stl=xlx2ix2x2ix3x2Iix(n1)x2"I〔xWx2,

"3333v73

?.-S?=-xlx2'+-Xlx22+-x|x23++-xlx2,,_|4--xlx2"--x/7x2,,+,

〃333333

62”）

』X〃X2〃+L

31-23

=lx[（i-^）.r+'-2],

J

【點(diǎn)睛】

本題考查等差、等比數(shù)列的綜合以及錯(cuò)位相減法求和的應(yīng)用，難度一般.判斷是否適合使用錯(cuò)位相減法，可根據(jù)數(shù)列的

通項(xiàng)公式是否符合等差乘以等比的形式來(lái)判斷.

20、(1)—+21=1(2)證明見(jiàn)解析

42

【解析】

(1)根據(jù)橢圓的定義可得。=2,將M代入橢圓方程，即可求得〃的值，求得橢圓方程；

(2)設(shè)直線AB的方程，代入橢圓方程，求得直線M4和MB的方程，求得。和E的橫坐標(biāo)，表示出|。。+。日，根

據(jù)韋達(dá)定理即可求證|。。+OE\為定值.

【詳解】

⑴因?yàn)閨“用+|咋|=4,由橢圓的定義得2。=4,〃=2,

點(diǎn)M(a,1)在橢圓C上，代入橢圓方程，解得6=2,

所以。的方程為工+工=1；

42

(2)證明：設(shè)A(%,y),直線48的斜率為岑，設(shè)直線/的方程為)，=當(dāng)工十小

五

y=——x+t

聯(lián)立方程組廣，之，，消去)'，整理得f+&優(yōu)+/-2=(),

J二二1

42

所以％+9=—"，玉々二產(chǎn)一2，

直線M4的直線方程為＞一1=六￡卜一0),令＞=0,則與=-1等+JL

同理/二一土二返+血，

所以:如叫臂+層喑+年,一傳與喑］

行后押2-(玉+工2)+。-。1

(y.-l)(y2-l)

代入整理得|。。+OE\=2V2,

所以|OQ+OE|為定值.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中的定值問(wèn)題，屬于中檔題.

21、(1)0.0081(2)見(jiàn)解析，保留乙生產(chǎn)線較好.

【解析】

(1)先求出任取一件產(chǎn)品為合格品的頻率，“從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取5件，恰有2件為合格品”就相當(dāng)于進(jìn)行5次

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，恰好發(fā)生2次的概率用二項(xiàng)分布概率即可解決.(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)算出K2的觀測(cè)值即可判斷.

【詳解】

(1)根據(jù)甲生產(chǎn)線樣本的頻率分布直方圖，樣本中任取一件產(chǎn)品為合格品的頻率為：

0.032x5+0.080x5+0.032x5+0.036x5=0.9.

設(shè)“從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件且為合格品”為事件A,事件A發(fā)生的概率為〃，則由樣本可估計(jì)p=0.9.

那么“從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取5件，恰有2件為合格品”就相當(dāng)于進(jìn)行5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，事件A恰好發(fā)生2次,

其概率為：*/(I一〃0.0081.

(2)2x2列聯(lián)表：

甲生產(chǎn)線乙生產(chǎn)線合計(jì)

合格品9096186

不合格品10414

合計(jì)100100200

200x(90x4-96x10)2

K?的觀測(cè)值2=a2.765,

186x14x100x100