2024-2025學(xué)年江蘇省無錫市高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省無錫市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由或，所以，所以.故選：C.2.已知函數(shù)，且，則（）A. B.1 C.2 D.【答案】B【解析】令，解得，所以，因?yàn)椋?故選：B.3.命題“任意，則”的否定是（）A.任意，則 B.存在，則C.存在，則 D.任意，則【答案】C【解析】全稱量詞命題“任意，則”的否定是存在量詞命題“存在，則”.故選：C.4.若，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得.對于A，因，則，故得，即A正確；對于B，因，由可得，故B正確；對于C，因，則故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，因，故，則C正確；對于D，不妨取，顯然滿足，但，即D錯誤.故選：D.5.設(shè)函數(shù)，且，則等于（）A. B. C.3 D.5【答案】B【解析】設(shè)，則為奇函數(shù)，所以.又，所以.所以.故選：B.6.已知奇函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞增，則是解集是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因是奇函數(shù)，所以f-x=-f所以，可轉(zhuǎn)化為，又因f1=0，且在上單調(diào)遞增，所以在上為，在上為，根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以在上為，在上為，所以，可知與異號，所以解集為.故選：A.7.已知函數(shù)滿足，且，則的值為（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】由題意取令，可得，令，可得，所以，令，可得，所以f1=0，令，可得，所以.故選：A.8.已知，且，則的最小值為（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋钦龜?shù)且，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故的最小值為.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.對于給定的實(shí)數(shù)，關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式的解集不可能為（）A. B. C.或 D.【答案】BD【解析】因?yàn)椋佼?dāng)時(shí)，不等式的解集為，②當(dāng)時(shí)，不等式變?yōu)椋匠痰母鶠榛颍?dāng)時(shí)，不等式的解集為或，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)且時(shí)，不等式的解集為或，綜上所述，當(dāng)或時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或，當(dāng)且時(shí)，不等式的解集為或.故選：BD.10.高斯是德國的天才數(shù)學(xué)家，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù).以“高斯”命名的概念、定理、公式很多，如高斯函數(shù)y=x，其中不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)稱為的整數(shù)部分，記作x.如，，，記函數(shù)，則（）A. B.的值域?yàn)?,1C.在0,3上有3個(gè)零點(diǎn) D.，方程有兩個(gè)實(shí)根【答案】AD【解析】對A：，故A正確；對B：當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；…依次類推，可得函數(shù)的圖象如下：所以函數(shù)的值域?yàn)椋?，故B錯；對C：根據(jù)圖象，在0,3上，只有，即在0,3上有2個(gè)零點(diǎn)，故C錯；對D：，函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，如下圖：所以，方程有兩個(gè)實(shí)根，故D正確.故選：AD.11.對于定義在上的函數(shù)，下列說法正確的是（）A.若是奇函數(shù)，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱B.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則為偶函數(shù)C.函數(shù)的最小值為D.函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則【答案】BCD【解析】對于A，因是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，而的圖象可由的圖象向左平移1個(gè)單位得到，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故A錯誤；對于B，由fx-1的圖象關(guān)于直線對稱，因fx-1的圖象可由的圖象向右平移一個(gè)單位得到，故的圖象關(guān)于直線即軸對稱，故為偶函數(shù)，即B正確；對于C，對于，設(shè)，則，因在上單調(diào)遞增，且，故，即時(shí)，函數(shù)的最小值為，故C正確；對于D，不妨設(shè)，則，因，易得，故是奇函數(shù)，又的最大值為，最小值為，故，又,則有，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.12.已知冪函數(shù)y=f（x）的圖象過點(diǎn)，則f（3）=______.【答案】3【解析】設(shè)冪函數(shù)為f（x）=xa，因?yàn)檫^（，），所以f（）=，∴=（）a，2=（）a，a=，∴f（3）=3=．13.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為__________.【答案】(端點(diǎn)開閉都正確)【解析】由，可得，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，設(shè)，，外函數(shù)為上的增函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)的減區(qū)間即為內(nèi)函數(shù)的減區(qū)間，函數(shù)的對稱軸為，其開口向下，故其減區(qū)間為(端點(diǎn)開閉都正確).14.關(guān)于的一元二次方程恰有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】恰有兩個(gè)整數(shù)解，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，解得，，且方程兩根可寫為，時(shí)，，，此時(shí)不等式至少有4個(gè)整數(shù)解，不合題意；時(shí)，，，此時(shí)不等式有兩個(gè)整數(shù)解1和2，符合題意；時(shí)，，.當(dāng)時(shí)，，即，解得，；當(dāng)時(shí)，不等式最多一個(gè)整數(shù)解，不合題意.綜上，.四、解答題：本題共5小題，共77分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知不等式的解集為，集合.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由，所以.當(dāng)時(shí)，.所以.（2）由，，所以.故實(shí)數(shù)的取值范圍為.16.已知函數(shù)的定義域?yàn)?（1）求實(shí)數(shù)的取值集合；（2）設(shè)集合，若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意得不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，恒成立，滿足題意；當(dāng)時(shí)，則由解集為可得，解得：，綜上可得：.（2）由是的必要不充分條件可得：是的真子集，當(dāng)時(shí)，滿足題意，此時(shí)有，解得：；當(dāng)時(shí)，則，解得，綜上可得的取值范圍是.17.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為全面實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，大力發(fā)展特色農(nóng)產(chǎn)業(yè)，提升特色農(nóng)產(chǎn)品的知名度，邀請了一家廣告牌制作公司設(shè)計(jì)一個(gè)寬為米、長為米的長方形展牌，其中，其面積為平方米.（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并求出的取值范圍；（2）如何設(shè)計(jì)展牌的長和寬，才能使展牌的周長最小?并求出周長的最小值.解：（1）由寬為米、長為米的長方形展牌,得，整理得，由，得，即，解得，所以關(guān)于的函數(shù)解析式是，.（2）展牌的周長，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，此時(shí)，所以設(shè)計(jì)展牌的長為9米和寬為3米，才能使展牌的周長最小，最小值為24米.18.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）求，的值；（2）判斷并證明函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性；（3）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）是定義在上的奇函數(shù)，且，，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)，，滿足題意，.（2）在上單調(diào)遞增，證明如下：在上任取，，令，則，，，，，，，在上單調(diào)遞增.（3），，，解得.實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不需證明）；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上既有最大值又有最小值，是否存在正整數(shù)，使恒成立？若存在，請求出的最小值；若不存在，請說明理由.解：（1）當(dāng)時(shí)，可得，去絕對值后可得，易知函數(shù)關(guān)于對稱，所以其在上單調(diào)遞增，函數(shù)關(guān)于對稱，所以其在上單調(diào)遞增，又易知兩函數(shù)在處的函數(shù)值相等，圖象如下圖所示：可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.（2）時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；又；因此可知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.（3）當(dāng)時(shí)，，若，則，由二次函數(shù)性質(zhì)可得，在上單調(diào)遞增，若，則，由二次函數(shù)性質(zhì)可得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；又函數(shù)在上既有最大值又有最小值，所以最大值為，最小值為，當(dāng)，令，解得；當(dāng)，令，解得；因此區(qū)間中需包含區(qū)間，且兩邊范圍不超出和，畫出示意圖如下：即滿足，因此可得；所以，又，可得恒成立即可；顯然，所以的最小值為3.江蘇省無錫市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由或，所以，所以.故選：C.2.已知函數(shù)，且，則（）A. B.1 C.2 D.【答案】B【解析】令，解得，所以，因?yàn)?，所?故選：B.3.命題“任意，則”的否定是（）A.任意，則 B.存在，則C.存在，則 D.任意，則【答案】C【解析】全稱量詞命題“任意，則”的否定是存在量詞命題“存在，則”.故選：C.4.若，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得.對于A，因，則，故得，即A正確；對于B，因，由可得，故B正確；對于C，因，則故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，因，故，則C正確；對于D，不妨取，顯然滿足，但，即D錯誤.故選：D.5.設(shè)函數(shù)，且，則等于（）A. B. C.3 D.5【答案】B【解析】設(shè)，則為奇函數(shù)，所以.又，所以.所以.故選：B.6.已知奇函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞增，則是解集是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因是奇函數(shù)，所以f-x=-f所以，可轉(zhuǎn)化為，又因f1=0，且在上單調(diào)遞增，所以在上為，在上為，根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以在上為，在上為，所以，可知與異號，所以解集為.故選：A.7.已知函數(shù)滿足，且，則的值為（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】由題意取令，可得，令，可得，所以，令，可得，所以f1=0，令，可得，所以.故選：A.8.已知，且，則的最小值為（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，是正?shù)且，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故的最小值為.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.對于給定的實(shí)數(shù)，關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式的解集不可能為（）A. B. C.或 D.【答案】BD【解析】因?yàn)?，①?dāng)時(shí)，不等式的解集為，②當(dāng)時(shí)，不等式變?yōu)?，方程的根為或，?dāng)時(shí)，不等式的解集為或，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)且時(shí)，不等式的解集為或，綜上所述，當(dāng)或時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或，當(dāng)且時(shí)，不等式的解集為或.故選：BD.10.高斯是德國的天才數(shù)學(xué)家，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù).以“高斯”命名的概念、定理、公式很多，如高斯函數(shù)y=x，其中不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)稱為的整數(shù)部分，記作x.如，，，記函數(shù)，則（）A. B.的值域?yàn)?,1C.在0,3上有3個(gè)零點(diǎn) D.，方程有兩個(gè)實(shí)根【答案】AD【解析】對A：，故A正確；對B：當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；…依次類推，可得函數(shù)的圖象如下：所以函數(shù)的值域?yàn)椋?，故B錯；對C：根據(jù)圖象，在0,3上，只有，即在0,3上有2個(gè)零點(diǎn)，故C錯；對D：，函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，如下圖：所以，方程有兩個(gè)實(shí)根，故D正確.故選：AD.11.對于定義在上的函數(shù)，下列說法正確的是（）A.若是奇函數(shù)，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱B.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則為偶函數(shù)C.函數(shù)的最小值為D.函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則【答案】BCD【解析】對于A，因是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，而的圖象可由的圖象向左平移1個(gè)單位得到，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故A錯誤；對于B，由fx-1的圖象關(guān)于直線對稱，因fx-1的圖象可由的圖象向右平移一個(gè)單位得到，故的圖象關(guān)于直線即軸對稱，故為偶函數(shù)，即B正確；對于C，對于，設(shè)，則，因在上單調(diào)遞增，且，故，即時(shí)，函數(shù)的最小值為，故C正確；對于D，不妨設(shè)，則，因，易得，故是奇函數(shù)，又的最大值為，最小值為，故，又,則有，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.12.已知冪函數(shù)y=f（x）的圖象過點(diǎn)，則f（3）=______.【答案】3【解析】設(shè)冪函數(shù)為f（x）=xa，因?yàn)檫^（，），所以f（）=，∴=（）a，2=（）a，a=，∴f（3）=3=．13.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為__________.【答案】(端點(diǎn)開閉都正確)【解析】由，可得，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，設(shè)，，外函數(shù)為上的增函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)的減區(qū)間即為內(nèi)函數(shù)的減區(qū)間，函數(shù)的對稱軸為，其開口向下，故其減區(qū)間為(端點(diǎn)開閉都正確).14.關(guān)于的一元二次方程恰有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】恰有兩個(gè)整數(shù)解，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，解得，，且方程兩根可寫為，時(shí)，，，此時(shí)不等式至少有4個(gè)整數(shù)解，不合題意；時(shí)，，，此時(shí)不等式有兩個(gè)整數(shù)解1和2，符合題意；時(shí)，，.當(dāng)時(shí)，，即，解得，；當(dāng)時(shí)，不等式最多一個(gè)整數(shù)解，不合題意.綜上，.四、解答題：本題共5小題，共77分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知不等式的解集為，集合.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由，所以.當(dāng)時(shí)，.所以.（2）由，，所以.故實(shí)數(shù)的取值范圍為.16.已知函數(shù)的定義域?yàn)?（1）求實(shí)數(shù)的取值集合；（2）設(shè)集合，若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意得不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，恒成立，滿足題意；當(dāng)時(shí)，則由解集為可得，解得：，綜上可得：.（2）由是的必要不充分條件可得：是的真子集，當(dāng)時(shí)，滿足題意，此時(shí)有，解得：；當(dāng)時(shí)，則，解得，綜上可得的取值范圍是.17.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為全面實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，大力發(fā)展特色農(nóng)產(chǎn)業(yè)，提升特色農(nóng)產(chǎn)品的知名度，邀請了一家廣告牌制作公司設(shè)計(jì)一個(gè)寬為米、長為米的長方形展牌，其中，其面積為平方米.（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并求出的取值范圍；（2）如何設(shè)計(jì)展牌的長和寬，才能使展牌的周長最小?并求出周長的最小值.解：（1）由寬為米、長為米的長方形展牌,得，整理得，由，得，即，解得，所以關(guān)于的函數(shù)解析式是，.（2）展牌的周長，當(dāng)且僅當(dāng)