2024-2025學(xué)年江蘇省南通市高一上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南通市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】故，故.故選：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由，即，解得，所以由推不出，故充分性不成立；由推得出，故必要性成立；所以“”是“”的必要不充分條件.故選：C.3.下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】對于A：若，，滿足，但是，故A錯誤；對于B：若，，滿足，但是，故B錯誤；對于C：當(dāng)時，，故C錯誤；對于D：因為，則，所以，所以，即，故D正確.故選：D.4.已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)的定義域為，故，若函數(shù)有意義，則，解得.則函數(shù)的定義域為.故選：B.5.若，則（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】，，，，.故選：B.6.已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，所以當(dāng)時，的取值范圍是，又因為函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，所以當(dāng)時，，則，即當(dāng)時，的取值范圍是.故選：B.7.若命題“，不等式恒成立”是真命題，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】命題“，不等式恒成立”是真命題，則，令，則，則，可得，因為函數(shù)、在區(qū)間1,2上均為減函數(shù)，所以，函數(shù)在區(qū)間1,2上為減函數(shù)，故當(dāng)時，，所以，.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：A.8.存在三個實數(shù)，滿足下列兩個等式：①；②，其中表示這三個實數(shù)中的最大值，則（）A.的最大值是2 B.的最小值是2C.的最大值是 D.的最小值是【答案】B【解析】由題意可知，中有2個負(fù)數(shù)，1個正數(shù)，其中是負(fù)數(shù)，，則，所以，則，且，所以，即，所以的最小值為2.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列結(jié)論正確的有（）A. B.C. D.若，則【答案】AC【解析】對于A：，，所以，故A正確；對于B：，，所以，故B錯誤；對于C：，故C正確；對于D：因為，所以，，所以，故D錯誤.故選：AC.10.已知函數(shù)滿足，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.為奇函數(shù) D.為偶函數(shù)【答案】ABC【解析】依題意，令，得，故A正確；令，則，則，所以，令，所以，所以為奇函數(shù)，即為奇函數(shù)，故C正確，D錯誤；令，由可得，所以，故B正確.故選：ABC.11.已知，則下列結(jié)論正確的有（）A.的最小值為4 B.的最小值為9C.的最小值為10 D.的最小值為128【答案】BD【解析】因為，所以，解得（負(fù)值已舍去），所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，的最小值取到，故A錯誤；因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取到最小值為9，故B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為，故C錯誤；因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.計算______________.【答案】【解析】原式.13.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故成立，當(dāng)時，要使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，解得：.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.14.如圖，邊長為4的菱形ABCD的兩條對角線交于點，且.動點從點出發(fā)，沿著菱形四條邊逆時針運動回到點，記運動的路程為，點到點距離的平方為，則函數(shù)在上單調(diào)遞______________（填“增”或“減”）；若關(guān)于的方程恰有4個不等實根，則實數(shù)的取值范圍是______________.【答案】減或【解析】由點作，垂足為點，由題意可知，是等邊三角形，邊長為4，所以，點由點到點的過程中，OP變短，所以在上單調(diào)遞減；點到各邊的距離都是，如圖，垂足分別為，，，所以，畫出函數(shù)的圖象，當(dāng)時，取得最小值3，時的函數(shù)值為4，時的函數(shù)值為12，與y=fx有4個交點時，或.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，集合.（1）若，求；（2）若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為，當(dāng)時，，則或，所以，或.（2）因為是的充分不必要條件，則，則，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.16.已知函數(shù).（1）若，求的值;（2）若，求函數(shù)的最小值.解：（1）因為，所以，兩邊平方可得，所以.（2）因為，所以，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，即，所以，對稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，即時，，所以函數(shù)的最小值為.17.已知定義在上的奇函數(shù)滿足：對，且，都有成立，且.（1）若函數(shù).①求證：函數(shù)是偶函數(shù);②求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;（2）求不等式解集.解：（1）①∵是定義在上的奇函數(shù)，∴.∴，∴函數(shù)是偶函數(shù).②設(shè)且，則，由，得，∴，即，所以函數(shù)在0,+∞上減函數(shù)；又∵函數(shù)偶函數(shù)，∴在上是增函數(shù)；所以的單調(diào)減區(qū)間是0,+∞；單調(diào)增區(qū)間是.（2）∵，是偶函數(shù)∴，由，故可轉(zhuǎn)化為或，當(dāng)時，由得，即，因為在0,+∞上是減函數(shù)，∴；當(dāng)時，由得，即，因為在上是增函數(shù)，∴.即不等式的解集為.18.已知函數(shù)（1）若是上的增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，方程有三個實數(shù)解.①寫出實數(shù)和的取值范圍;②求證:.解：（1）因為，又是上的增函數(shù)，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.（2）當(dāng)時，當(dāng)時，所以在0,2上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，令，即，解得；當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增，且，；則的圖象如下所示：①因為方程有三個實數(shù)解，即y=fx與有三個交點，由圖可知，且，，所以；②由①可知，所以，所以，令，因為，所以，則，所以，則，又對勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以，所以，所以.19.已知二次函數(shù)滿足：有兩個實數(shù)根.（1）若，求實數(shù)的取值范圍;（2）若，記在時的最小值為，求的表達(dá)式;（3）若與都是整數(shù)且，求的值.解：（1）由已知有兩個不等實根，所以，解得或.（2）由，可知，又，故，顯然，所以，當(dāng)時，的圖象是開口向上的拋物線，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，的圖象是開口向下的拋物線，時，，，時，，，所以.（3）由題意，，由得，又方程的解都是整數(shù)，則或2，，即時，，，，即時，，．綜上，時，，，時，，．江蘇省南通市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】故，故.故選：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由，即，解得，所以由推不出，故充分性不成立；由推得出，故必要性成立；所以“”是“”的必要不充分條件.故選：C.3.下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】對于A：若，，滿足，但是，故A錯誤；對于B：若，，滿足，但是，故B錯誤；對于C：當(dāng)時，，故C錯誤；對于D：因為，則，所以，所以，即，故D正確.故選：D.4.已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)的定義域為，故，若函數(shù)有意義，則，解得.則函數(shù)的定義域為.故選：B.5.若，則（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】，，，，.故選：B.6.已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，所以當(dāng)時，的取值范圍是，又因為函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，所以當(dāng)時，，則，即當(dāng)時，的取值范圍是.故選：B.7.若命題“，不等式恒成立”是真命題，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】命題“，不等式恒成立”是真命題，則，令，則，則，可得，因為函數(shù)、在區(qū)間1,2上均為減函數(shù)，所以，函數(shù)在區(qū)間1,2上為減函數(shù)，故當(dāng)時，，所以，.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：A.8.存在三個實數(shù)，滿足下列兩個等式：①；②，其中表示這三個實數(shù)中的最大值，則（）A.的最大值是2 B.的最小值是2C.的最大值是 D.的最小值是【答案】B【解析】由題意可知，中有2個負(fù)數(shù)，1個正數(shù)，其中是負(fù)數(shù)，，則，所以，則，且，所以，即，所以的最小值為2.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列結(jié)論正確的有（）A. B.C. D.若，則【答案】AC【解析】對于A：，，所以，故A正確；對于B：，，所以，故B錯誤；對于C：，故C正確；對于D：因為，所以，，所以，故D錯誤.故選：AC.10.已知函數(shù)滿足，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.為奇函數(shù) D.為偶函數(shù)【答案】ABC【解析】依題意，令，得，故A正確；令，則，則，所以，令，所以，所以為奇函數(shù)，即為奇函數(shù)，故C正確，D錯誤；令，由可得，所以，故B正確.故選：ABC.11.已知，則下列結(jié)論正確的有（）A.的最小值為4 B.的最小值為9C.的最小值為10 D.的最小值為128【答案】BD【解析】因為，所以，解得（負(fù)值已舍去），所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，的最小值取到，故A錯誤；因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取到最小值為9，故B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為，故C錯誤；因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.計算______________.【答案】【解析】原式.13.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故成立，當(dāng)時，要使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，解得：.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.14.如圖，邊長為4的菱形ABCD的兩條對角線交于點，且.動點從點出發(fā)，沿著菱形四條邊逆時針運動回到點，記運動的路程為，點到點距離的平方為，則函數(shù)在上單調(diào)遞______________（填“增”或“減”）；若關(guān)于的方程恰有4個不等實根，則實數(shù)的取值范圍是______________.【答案】減或【解析】由點作，垂足為點，由題意可知，是等邊三角形，邊長為4，所以，點由點到點的過程中，OP變短，所以在上單調(diào)遞減；點到各邊的距離都是，如圖，垂足分別為，，，所以，畫出函數(shù)的圖象，當(dāng)時，取得最小值3，時的函數(shù)值為4，時的函數(shù)值為12，與y=fx有4個交點時，或.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，集合.（1）若，求；（2）若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為，當(dāng)時，，則或，所以，或.（2）因為是的充分不必要條件，則，則，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.16.已知函數(shù).（1）若，求的值;（2）若，求函數(shù)的最小值.解：（1）因為，所以，兩邊平方可得，所以.（2）因為，所以，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，即，所以，對稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，即時，，所以函數(shù)的最小值為.17.已知定義在上的奇函數(shù)滿足：對，且，都有成立，且.（1）若函數(shù).①求證：函數(shù)是偶函數(shù);②求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;（2）求不等式解集.解：（1）①∵是定義在上的奇函數(shù)，∴.∴，∴函數(shù)是偶函數(shù).②設(shè)且，則，由，得，∴，即，所以函數(shù)在0,+∞上減函數(shù)；又∵函數(shù)偶函數(shù)，∴在上是增函數(shù)；所以的單調(diào)減區(qū)間是0,+∞；單調(diào)增區(qū)間是.（2）∵，是偶函數(shù)∴，由，故可轉(zhuǎn)化為或，當(dāng)時，由得，即，因為在0,+∞上是減函數(shù)，∴；當(dāng)時，由得，即，因為在上是增函數(shù)，∴.即不等式的解集為.18.已知函數(shù)（1）若是上的增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，方程有三個實數(shù)解.①寫出實數(shù)和的取值范圍;②求證:.解：（1）因為，又是上的增函數(shù)，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.（2）當(dāng)時，當(dāng)時，所以在0,2上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，令，即，解得；當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增，且，；則的圖象如下所示：①因為方程有三個實數(shù)解，即y=fx與有三個