2023-2024學(xué)年浙江省金華市十校高二上學(xué)期1月期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省金華市十校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題選擇題部分（共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線：與直線：互相平行，則（）A.1 B.4 C. D.【答案】C【解析】因為兩直線平行，則有，解得，經(jīng)驗證此時兩直線不重合，故選：C.2.已知等差數(shù)列中，，則（）A.24 B.36 C.48 D.54【答案】D【解析】由題意.故選：D.3.如果函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，那么（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】因為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知，故選：A.4.過點且與直線垂直的直線方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意設(shè)直線方程為：，因為該直線過點，所以，解得，所以直線方程為：，故選：C5.圓C：與圓的位置關(guān)系不可能（）A.內(nèi)含 B.內(nèi)切 C.相交 D.外切【答案】D【解析】由題可得圓C：，則其圓心，半徑為；圓，則其圓心為，半徑為.則兩圓圓心距為，故兩圓可能內(nèi)含，內(nèi)切，相交，不可能外切，外離.故選：D6.已知為直線的方向向量，分別為平面的法向量（不重合），則下列說法中，正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意或.故選：B.7.法國天文學(xué)家喬凡尼·多美尼卡·卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運動規(guī)律時，發(fā)現(xiàn)了平面內(nèi)到兩個定點的距離之積為常數(shù)的點的軌跡，并稱為卡西尼卵形線（CassiniOval）小張同學(xué)受到啟發(fā)，提出類似疑問，若平面內(nèi)動點與兩定點所成向量的數(shù)量積為定值，則動點的軌跡是什么呢？設(shè)定點和，動點為，若，則動點的軌跡為（）A.直線 B.圓 C.橢圓 D.拋物線【答案】B【解析】設(shè)，以線段的中點為平面直角坐標(biāo)系原點，為軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，即，所以的軌跡是以原點為圓心，半徑為的圓.故選：B8.已知直線與雙曲線有唯一公共點，過點且與垂直的直線分別交軸、軸于兩點，則當(dāng)運動時，點到兩點距離之和的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】聯(lián)立，化簡并整理得，由題意，化簡得，解得，所以過點且與垂直的直線方程為，在該直線方程中分別令，依次解得，所以，即點在雙曲線上面運動，雙曲線的圖象如圖所示：若在右支上面，可以發(fā)現(xiàn)點為的右焦點，不妨設(shè)其左焦點為，所以，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)點與點重合，其中點為線段與雙曲線右支的焦點，若在左支上面，如圖所示：所以，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)點與點重合，其中點為線段與雙曲線左支的焦點，綜上所述，點到兩點距離之和的最小值為.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.下列導(dǎo)數(shù)運算正確的（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】對A，，故A正確；對B，，B錯誤；對C，，C正確；對D，，D正確.故選：ACD10.已知等差數(shù)列的公差為，若，，則首項的值可能是（）A.18 B.19 C.20 D.21【答案】BC【解析】由題意，得，所以.故選：BC.11.已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點為，點是拋物線上的兩點，拋物線在兩點的切線交于點，則下列結(jié)論一定正確的（）A.拋物線的方程為：B.C.當(dāng)直線過焦點時，三角形面積的最小值為1D.若，則最大值為【答案】ABD【解析】對于A，拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以，解得，所以拋物線的方程為：，故A正確；對于B，因為點在拋物線上，所以由拋物線定義可知，故B正確；對于C，由題意拋物線焦點坐標(biāo)為，顯然過焦點的直線斜率存在，如圖所示：不妨取直線的方程為，且，聯(lián)立拋物線方程，得，所以，所以，，點到直線的距離為，所以三角形面積為，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，即三角形面積的最小值為2，故C錯誤；對于D，顯然直線斜率存在，不妨取直線的方程為，且，如圖所示：聯(lián)立拋物線方程，得，所以，所以，，因為，所以，解得或，即或，而，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，解得，此時或，且此時滿足，即，所以的最大值為，故D正確.故選：ABD.12.“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖，是一個八個面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體”，某玩具廠商制作一個這種形狀棱長為，重量為的實心玩具，則下列說法正確的是（）A.將玩具放到一個正方體包裝盒內(nèi)，包裝盒棱長最小為.B.將玩具放到一個球形包裝盒內(nèi)，包裝盒的半徑最小為.C.將玩具以正三角形所在面為底面放置，該玩具的高度為.D.將玩具放至水中，其會飄浮在水面上.【答案】AD【解析】將該幾何體放置在如圖正方體中，對于A，將玩具放到一個正方體包裝盒內(nèi)，包裝盒棱長最小為圖中正方體的棱長，由題意，該幾何的棱長為，所以正方體的棱長為，正確；對于B，將玩具放到一個球形包裝盒內(nèi)，包裝盒的半徑最小為該幾何體外接球的半徑，根據(jù)正方體和多面體的對稱性知，該幾何體外接球直徑為正方體面對角線，即，解得，所以包裝盒的半徑最小為，錯誤；對于C，將玩具以正三角形所在面為底面放置，該玩具的高度為兩平行平面與平面的距離，證明求解過程如下：如圖，不妨記正方體為，，，故四邊形是平行四邊形，所以，又，分別為，的中點，所以，同理，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，，平面，所以平面平面，設(shè)對角線分別交平面和平面于點，，因為平面，平面，所以，連接，因為分別為的中點，故，又，平面，，所以平面，又平面，所以，同理，又，，平面，所以平面，又平面平面，所以平面，故即為平面與平面的距離，則，由正方體棱長為得，由題意得，為等邊三角形，故，根據(jù)，得，解得，根據(jù)對稱性知，所以，則平面與平面的距離為，即該玩具的高度為，錯誤；對于D，該幾何體的體積為.因為玩具的密度為，小于水的密度，所以將玩具放至水中，其會飄浮在水面上，正確.故選：AD非選擇題部分（共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.曲線在點處的切線斜率為________．【答案】4【解析】因為，所以，則，故答案為：4.14.任取一個正整數(shù),若是奇數(shù),就將該數(shù)乘3再加上1;若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2反復(fù)進(jìn)行上述兩種運算,經(jīng)過有限次步驟后,必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1,這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”(又稱“角谷猜想”等).如取正整數(shù),根據(jù)上述運算法則得出6→3→10→5→16→8→4→2→1,共需經(jīng)過8個步驟變成1（簡稱8步“雹程），數(shù)列滿足冰雹猜想，其遞推關(guān)系為：（m為正整數(shù)），若，則所有可能的取值為________．【答案】1和8【解析】因為，且，所以或（舍去）；或（舍去）；或，故答案為：1和815.如圖，在四面體中，分別是上的點，且是和的交點，以為基底表示，則________．【答案】【解析】因為，所以，同理，所以四邊形為平行四邊形，所以.故答案為：.16.已知橢圓的離心率為為橢圓的一個焦點，若關(guān)于直線的對稱點恰好在橢圓上，則斜率的取值構(gòu)成的集合為________．【答案】【解析】過點且與直線垂直的直線為，兩直線的交點，從而點.點在橢圓上，則，，即則,則，，或.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在一次招聘會上，兩家公司開出的工資標(biāo)準(zhǔn)分別為：公司A：第一年月工資3000元，以后每年的月工資比上一年的月工資增加300元：公司B：第一年月工資3720元，以后每年的月工資在上一年的月工資基礎(chǔ)上遞增，設(shè)某人年初想從這兩家公司中選擇一家去工作．（1）若此人選擇在一家公司連續(xù)工作年，第年的月工資是分別為多少？（2）若此人選擇在一家公司連續(xù)工作10年，則從哪家公司得到的報酬較多？（）．解：（1）選擇在公司連續(xù)工作年，第一年月工資元，以后每年的月工資比上一年的月工資增加元,則他第年的月工資是：（元）；選擇在公司連續(xù)工作年，第一年月工資元，以后每年的月工資在上一年的月工資基礎(chǔ)上遞增．則他第年的月工資（元）．（2）若此人選擇在一家公司連續(xù)工作10年，則在公司、公司得到的報酬分別為：公司A：（元）．公司B：（元），因為，故從公司得到的報酬較多.18.如圖，已知圓柱下底面圓的直徑，點是下底面圓周上異于的動點，圓柱的兩條母線．（1）求證：平面平面；（2）求四棱錐體積的最大值．解：（1）為圓柱的母線，平面，又平面．①是下底面圓的直徑，．②①②及平面,平面，平面，又平面平面平面．（2）在中，設(shè)，則，．當(dāng)且僅當(dāng)時，不等式取“=”號．故的最大值為18．19.已知以點為圓心的圓與直線相切，過點斜率為的直線與圓相交于兩點，（1）求圓的方程；（2）當(dāng)時，求直線的方程．解：（1）設(shè)圓的半徑為，圓與直線相切，，所以圓的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，即，設(shè)點是的中點，連接，則，則,又由，得，解得或所以直線的方程為或．20.如圖，已知四棱錐的底面是菱形，，對角線交于點平面，平面是過直線的一個平面，與棱交于點，且．（1）求證：；（2）若平面交于點，求的值；（3）若二面角的大小為，求的長．解：（1）四棱錐的底面是菱形，，又平面，平面，則平面，而平面平面，平面，所以.（2）由平面，平面，得平面平面，而，平面，于是平面，又平面，則，即三點共線，由平面，平面，則，如圖，在中，過點作的垂線，垂足為，于是，設(shè)，由，得，，，從而，所以，即．（3）過點作于點，連接，由平面，平面，則，而平面，則平面，而平面，于是，則有為二面角的平面角，即，在菱形中，由，得，則，由（2）得，所以.21.已知正項數(shù)列前項和為，且．（1）求數(shù)列通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和；（3）若數(shù)列滿足，求證：解：（1）當(dāng)時，．①，②，①-②得：，當(dāng)時，也符合上式，所以；（2），，，．（3），③，④③-④得：，，，．故.22.已知為拋物線的焦點，為坐標(biāo)原點，為的準(zhǔn)線上一點，直線的斜率為的面積為．已知，設(shè)過點的動直線與拋物線交于兩點，直線與的另一交點分別為．（1）求拋物線的方程；（2）當(dāng)直線與的斜率均存在時，討論直線是否恒過定點，若是，求出定點坐標(biāo)；若不是，請說明理由．解：（1）設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點為，直線的斜率為，又，．故拋物線的方程為：．（2）設(shè)，過點的直線方程為：．則聯(lián)立，整理得：，由韋達(dá)定理可得：．又設(shè)，所以直線斜率為，直線方程為，即的直線方程為：，由三點共線可得：，即，所以，所以，因為，所以化簡可得：，同理，由三點共線可得：，可得，，綜上可得的直線方程為：，變形可得：，所以直線過定點．浙江省金華市十校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題選擇題部分（共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線：與直線：互相平行，則（）A.1 B.4 C. D.【答案】C【解析】因為兩直線平行，則有，解得，經(jīng)驗證此時兩直線不重合，故選：C.2.已知等差數(shù)列中，，則（）A.24 B.36 C.48 D.54【答案】D【解析】由題意.故選：D.3.如果函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，那么（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】因為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知，故選：A.4.過點且與直線垂直的直線方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意設(shè)直線方程為：，因為該直線過點，所以，解得，所以直線方程為：，故選：C5.圓C：與圓的位置關(guān)系不可能（）A.內(nèi)含 B.內(nèi)切 C.相交 D.外切【答案】D【解析】由題可得圓C：，則其圓心，半徑為；圓，則其圓心為，半徑為.則兩圓圓心距為，故兩圓可能內(nèi)含，內(nèi)切，相交，不可能外切，外離.故選：D6.已知為直線的方向向量，分別為平面的法向量（不重合），則下列說法中，正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意或.故選：B.7.法國天文學(xué)家喬凡尼·多美尼卡·卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運動規(guī)律時，發(fā)現(xiàn)了平面內(nèi)到兩個定點的距離之積為常數(shù)的點的軌跡，并稱為卡西尼卵形線（CassiniOval）小張同學(xué)受到啟發(fā)，提出類似疑問，若平面內(nèi)動點與兩定點所成向量的數(shù)量積為定值，則動點的軌跡是什么呢？設(shè)定點和，動點為，若，則動點的軌跡為（）A.直線 B.圓 C.橢圓 D.拋物線【答案】B【解析】設(shè)，以線段的中點為平面直角坐標(biāo)系原點，為軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，即，所以的軌跡是以原點為圓心，半徑為的圓.故選：B8.已知直線與雙曲線有唯一公共點，過點且與垂直的直線分別交軸、軸于兩點，則當(dāng)運動時，點到兩點距離之和的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】聯(lián)立，化簡并整理得，由題意，化簡得，解得，所以過點且與垂直的直線方程為，在該直線方程中分別令，依次解得，所以，即點在雙曲線上面運動，雙曲線的圖象如圖所示：若在右支上面，可以發(fā)現(xiàn)點為的右焦點，不妨設(shè)其左焦點為，所以，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)點與點重合，其中點為線段與雙曲線右支的焦點，若在左支上面，如圖所示：所以，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)點與點重合，其中點為線段與雙曲線左支的焦點，綜上所述，點到兩點距離之和的最小值為.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.下列導(dǎo)數(shù)運算正確的（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】對A，，故A正確；對B，，B錯誤；對C，，C正確；對D，，D正確.故選：ACD10.已知等差數(shù)列的公差為，若，，則首項的值可能是（）A.18 B.19 C.20 D.21【答案】BC【解析】由題意，得，所以.故選：BC.11.已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點為，點是拋物線上的兩點，拋物線在兩點的切線交于點，則下列結(jié)論一定正確的（）A.拋物線的方程為：B.C.當(dāng)直線過焦點時，三角形面積的最小值為1D.若，則最大值為【答案】ABD【解析】對于A，拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以，解得，所以拋物線的方程為：，故A正確；對于B，因為點在拋物線上，所以由拋物線定義可知，故B正確；對于C，由題意拋物線焦點坐標(biāo)為，顯然過焦點的直線斜率存在，如圖所示：不妨取直線的方程為，且，聯(lián)立拋物線方程，得，所以，所以，，點到直線的距離為，所以三角形面積為，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，即三角形面積的最小值為2，故C錯誤；對于D，顯然直線斜率存在，不妨取直線的方程為，且，如圖所示：聯(lián)立拋物線方程，得，所以，所以，，因為，所以，解得或，即或，而，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，解得，此時或，且此時滿足，即，所以的最大值為，故D正確.故選：ABD.12.“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖，是一個八個面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體”，某玩具廠商制作一個這種形狀棱長為，重量為的實心玩具，則下列說法正確的是（）A.將玩具放到一個正方體包裝盒內(nèi)，包裝盒棱長最小為.B.將玩具放到一個球形包裝盒內(nèi)，包裝盒的半徑最小為.C.將玩具以正三角形所在面為底面放置，該玩具的高度為.D.將玩具放至水中，其會飄浮在水面上.【答案】AD【解析】將該幾何體放置在如圖正方體中，對于A，將玩具放到一個正方體包裝盒內(nèi)，包裝盒棱長最小為圖中正方體的棱長，由題意，該幾何的棱長為，所以正方體的棱長為，正確；對于B，將玩具放到一個球形包裝盒內(nèi)，包裝盒的半徑最小為該幾何體外接球的半徑，根據(jù)正方體和多面體的對稱性知，該幾何體外接球直徑為正方體面對角線，即，解得，所以包裝盒的半徑最小為，錯誤；對于C，將玩具以正三角形所在面為底面放置，該玩具的高度為兩平行平面與平面的距離，證明求解過程如下：如圖，不妨記正方體為，，，故四邊形是平行四邊形，所以，又，分別為，的中點，所以，同理，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，，平面，所以平面平面，設(shè)對角線分別交平面和平面于點，，因為平面，平面，所以，連接，因為分別為的中點，故，又，平面，，所以平面，又平面，所以，同理，又，，平面，所以平面，又平面平面，所以平面，故即為平面與平面的距離，則，由正方體棱長為得，由題意得，為等邊三角形，故，根據(jù)，得，解得，根據(jù)對稱性知，所以，則平面與平面的距離為，即該玩具的高度為，錯誤；對于D，該幾何體的體積為.因為玩具的密度為，小于水的密度，所以將玩具放至水中，其會飄浮在水面上，正確.故選：AD非選擇題部分（共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.曲線在點處的切線斜率為________．【答案】4【解析】因為，所以，則，故答案為：4.14.任取一個正整數(shù),若是奇數(shù),就將該數(shù)乘3再加上1;若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2反復(fù)進(jìn)行上述兩種運算,經(jīng)過有限次步驟后,必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1,這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”(又稱“角谷猜想”等).如取正整數(shù),根據(jù)上述運算法則得出6→3→10→5→16→8→4→2→1,共需經(jīng)過8個步驟變成1（簡稱8步“雹程），數(shù)列滿足冰雹猜想，其遞推關(guān)系為：（m為正整數(shù)），若，則所有可能的取值為________．【答案】1和8【解析】因為，且，所以或（舍去）；或（舍去）；或，故答案為：1和815.如圖，在四面體中，分別是上的點，且是和的交點，以為基底表示，則________．【答案】【解析】因為，所以，同理，所以四邊形為平行四邊形，所以.故答案為：.16.已知橢圓的離心率為為橢圓的一個焦點，若關(guān)于直線的對稱點恰好在橢圓上，則斜率的取值構(gòu)成的集合為________．【答案】【解析】過點且與直線垂直的直線為，兩直線的交點，從而點.點在橢圓上，則，，即則,則，，或.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在一次招聘會上，兩家公司開出的工資標(biāo)準(zhǔn)分別為：公司A：第一年月工資3000元，以后每年的月工資比上一年的月工資增加300元：公司B：第一年月工資3720元，以后每年的月工資在上一年的月工資基礎(chǔ)上遞增，設(shè)某人年初想從這兩家公司中選擇一家去工作．（1）若此人選擇在一家公司連續(xù)工作年，第年的月工資是分別為多少？（2）若此人選擇在一家公司連續(xù)工作10年，則從哪家公司得到的報酬較多？（）．解：（1）選擇在公司連續(xù)工作年，第一年月工資元，以后每年的月工資比上一年的月工資增加元,則他第年的月工資是：（元）；選擇在公司連續(xù)工作年，第一年月工資元，以后每年的月工資在上一年的月工資基礎(chǔ)上遞增．則他第年的月工資（元）．（2）若此人選擇在一家公司連續(xù)工作10年，則在公司、公司得到的報酬分別為：公司A：（元）．公司B：（元），因為，故從公司得到的報酬較多.18.如圖，已知圓柱下底面圓的直徑，點是下底面圓周上異于的動點，圓柱的兩條母線．（1）求證：平面平面；（2）求四棱錐體積的最大值．解：（1）為圓柱的母線，