第41屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽決賽理論實(shí)驗(yàn)試題（含答案）

=0.511MeV/c2。忽略電子在原子中在β-衰變后生成的原子質(zhì)量為MD=209.982883amu。假如在β-衰變過(guò)程中除去釋放出β-1-l21+2晶格的熱振動(dòng)問(wèn)題?？珊?jiǎn)化成耦合的彈簧振子問(wèn)題。考慮一個(gè)一維耦合彈簧振子系統(tǒng)模型。設(shè)有N下方的探測(cè)器探測(cè)的光強(qiáng)為零。這時(shí)入射光的能量去=reiδr,=teiδt，=eiφrErp=Eip+bEis,Ers=C?Eip+dEis上式中的2×2矩陣稱為分束器的反射干涉儀是通過(guò)光強(qiáng)的變化測(cè)量相位變化的一探測(cè)器的干涉光強(qiáng)，便可得到?φ的確定值(?π<軸以外的其它車(chē)體部分和車(chē)上站立的人簡(jiǎn)化為質(zhì)量為M、長(zhǎng)度為L(zhǎng)的勻質(zhì)剛性細(xì)量損失。取z軸正向?yàn)樨Q直向上，x軸與輪軸平行，y軸與車(chē)行進(jìn)的方向平行。已知重力加速度大小為M’。對(duì)于合適的M’值，細(xì)桿傾角θ（在θ=0附近）和C可以做頻率相同的小振假設(shè)恒星的總能量主要來(lái)自原子物質(zhì)，在以下第（1234）問(wèn)中可忽略輻射。（4）考慮恒星物質(zhì)的熱力學(xué)。假設(shè)恒星物質(zhì)的內(nèi)能密度u(r)與壓強(qiáng)p(r)滿足關(guān)系向外輻射的功率（光度）為L(zhǎng)(r)，試給出溫度T(r)滿足的（7）假設(shè)恒星內(nèi)原子物質(zhì)的分壓隨半徑r的增大而減小。試估算恒星表面處光度L(R)的上界，結(jié)果用Δx、Δp分別是粒子的位移x、動(dòng)量p的不確定度，是（2）由于量子效應(yīng)，一個(gè)振動(dòng)角頻率為w的簡(jiǎn)諧振子的基態(tài)能量為類(lèi)似的，真空中角頻率為w的電些高頻電磁波模式幾乎不受導(dǎo)體板位置的影響，也個(gè)電磁力的大小不依賴于具體函數(shù)形式的選取。因此，考慮一個(gè)更一般的函數(shù)f(x)，它只需要滿足兩個(gè)條A.f(0)=1，F(xiàn)(n)-F(n)dn=++…+Bj+…1（1）依題意，母核P到子核ZD的β?衰變可表述為記母核的靜止質(zhì)量為mP、子核的靜止質(zhì)量為mD和電子的靜止質(zhì)量為me，假設(shè)衰變前母核處于靜止?fàn)顟B(tài)，由能量守恒知，該衰變過(guò)程的衰變能（包括衰變后除ZD、電子e-外的其它粒子的能量）可由母核、子2①mPMPZme,②mDMDZ1me③于是，β–衰變的衰變能Qβ-可以表示為：β(MPMD)c2④β-MP(Z,A)MD(Z1,A)這就是說(shuō)，對(duì)于原子序數(shù)分別為Z和Z+1的兩個(gè)同（2）如果在這個(gè)衰變過(guò)程中不產(chǎn)生新的粒子，那么在PDemPc2EDEe0pDpepDpep2Ee(pc)2mc4④④2Ke24 mD(2mPmD)mmDmec2 ⑩ (MDZDme)[2(MPZPme)(MDZDme)]m[(MDZDme)me]c2 MD(2MPMD)2[MDZDMP]meZmMDZPme)c2 MDmDZDme⑩ZPZD1⑩Ke[209.982883(2209.984130209.982883)2209.98288384209.9841300.5110.5110.511⑩ (83)2]1/2209.98288383931.494MeV1.161MeV931.4940.5110.5110.511⑩【另解：忽略電子在原子中的結(jié)合能，2Bi核的質(zhì)量為mPMP83me209.984130830.000549209.938563amu⑩’它在β-衰變后生成的核2Po的質(zhì)量為mDMD84me209.982883840.000549209.936767amu⑦’ke=(√(mD+me)2+2mD(mP-mD-me)-mD-me)c2 =(√mD(2mP-mD)+m-mD-me)c2=(√m-(mP-mD)2+m-mD-me)c2⑩,~10-10,~10-11ke=(mP-mD-me)c2⑩,⑩’2⑩’ 2KeM(2Bi)M(2Po)c2209.984130209.982883amuc2 3】（3）按照假設(shè)PDe-而得到的衰變后電子的動(dòng)能，與實(shí)驗(yàn)中看到的電子動(dòng)能的最大值相當(dāng)。所以第三個(gè)粒子（中微子）的靜止質(zhì)量應(yīng)該非常接近于0(≤0.03MeV/c2，接近此值的都算對(duì)*）否則的話實(shí)驗(yàn)測(cè)得的電子的動(dòng)能分布譜中的動(dòng)能最大值就應(yīng)該明顯小于圖中的最n=0,Qp=+1,Qe-=-1QXQn(QpQe)0依題意，衰變前系統(tǒng)的角動(dòng)量即中子的自旋，有n假定衰變后的粒子只有質(zhì)子p和電子e?。質(zhì)子和電子的自旋都為????根據(jù)題給的兩個(gè)角動(dòng)量的合成法則，質(zhì)子和電子的總自旋，即衰變后產(chǎn)物的總角動(dòng)量Lf=S=Sp+Self=sp?se,sp+se?式中的第一個(gè)可能值對(duì)應(yīng)于質(zhì)子和電子的自旋反向疊加，lf?式中的第二個(gè)可能值對(duì)應(yīng)于質(zhì)子和電子的自旋同向疊加，????兩個(gè)可能值⑦?都不等于其初始值?，與角動(dòng)量守恒矛盾。為保證系統(tǒng)的總角動(dòng)量守恒，則一定存在粒子?h（尚不排除）?4綜合上述，β–衰變的產(chǎn)物除了質(zhì)子和電子之外，如果還產(chǎn)生一個(gè)粒子，這個(gè)粒子一定是電中性的、自),更嚴(yán)格地，是電子型反中微子ve】。0=M2i?1+k(2x2i?1?x2i?x2i?2),(i=1,…,N)①0=m2i+k(2x2i?x2i+1?x2i?1),（2）按題意，當(dāng)彈簧環(huán)按本征模式做微振動(dòng)時(shí)，所有珠子振動(dòng)的角微振動(dòng)都是穩(wěn)定的，它們之間的差別應(yīng)該只是振幅和相位的不同。根據(jù)對(duì)稱性，大珠子振動(dòng)的振幅應(yīng)該相同，設(shè)為A；同理，小珠子振動(dòng)的振幅也應(yīng)該相同，設(shè)為B。同樣，根據(jù)對(duì)稱性，相鄰珠子之間的振動(dòng)相位差應(yīng)該相同，設(shè)為α。于是解的形式可取為x2i?1x1=Acoswt.⑤x0=x2N⑥2Nα=2nπ,n∈Z式中Z表示整數(shù)集合。由于α的取值有2π周期性，因此獨(dú)立的取值范圍可取為對(duì)應(yīng)的，n共有2N種取法：5已注意到，互為相反數(shù)的一對(duì)n給出的頻率是⑥⑩（3.2）顯然，所考慮的彈簧環(huán)是一個(gè)保守系統(tǒng)。系統(tǒng)的總能量E不隨時(shí)間⑦將③④式代入⑦式得dtsin2⑩這里φ可以是任意相位。將⑩式代入⑩式得該系統(tǒng)的平均勢(shì)能Ep與平均動(dòng)能Ek相等因此，總能量Etot為kk?由⑥⑩@式得x1為了找到滿足邊界條件?的解，注意到滿足方程①②的解③④實(shí)際上是沿圓環(huán)運(yùn)動(dòng)的行波的分段表示x2i?1=Acos[wt+φ0+knl2i6式中kn是波數(shù)，α由⑦式定出?且α?α???（5）在不依賴于μ的本征振動(dòng)模式里，1號(hào)珠子不應(yīng)該振動(dòng)，而這等價(jià)于第（4）問(wèn)的因此，答案與第（4）問(wèn)的相同。第（5）問(wèn)2分*）1分**）1分。強(qiáng)必然最大，即探測(cè)器B會(huì)有最大光強(qiáng)。71=exp[i(δr+δm+δt2=exp[i(δt+δm+δr+klbottom)]（只寫(xiě)出位相，振幅一樣大）②δr和δt分別是經(jīng)過(guò)分束器反射和透射帶來(lái)的位相增加，δm是全反鏡反射帶來(lái)的位相增加。、表示沿上=expi(δr+δm+δr+kltop)③=expi(δt+δm+δt+klbottom)④kltop?klbottom=kΔl=π⑤(Δl=ltop?lbottom)【解法二⑨rt+rteik?l(略去E0)r2+t2eik?l=R+Tei2φeik?l(R=r2;T=t2)由】)=(rPiδPiS)=(irPiδPrSiδS)irSiδS)⑩?8（3）全反鏡改變偏振態(tài)的矩陣M????下面,表示沿著P和S方向的基矢量；′,′表示沿快-慢軸的基矢量，在,基矢P偏振（基矢量，水平偏振）經(jīng)過(guò)該1/4 iφ快(iφ快(iφ快ei(φ慢?φ快)(+)222222快(i快,快(,?iφ快iφ快(iφ快(iφ快ei(φ慢?φ快)(+)222222快(i快(i快快(,9??（5）對(duì)于透光方向水平的線偏振片，按照（4）中作用在S偏振（基矢量2，豎直偏振）后，結(jié)果為H=()?V=()? ?(0)E0|E0(1,E(0(0|0)(rPeiφP|1,(0,2(ir,2(i快4|快4|i)(1|1,(0|0)(rPeiφP|0)(0)re,(1,re,(1,上式從右到左依次分別為入射光、反射鏡、第「(00)7(0)0)(rPeiφ「(00)7(0)0)(rPeiφP0)(rPeiφPrE||||E0||||||E0||r1,1,(0,」 2i(φ快+π) 4(0|(00)(1re,(iire,(i|1,(0i)(rPeiφ|1,(00)(0)|E0,(1,0)(1iφS|i)(0)0)(1iφS|i)(0)eiφS|1,(1,|1,(1,re,(re,(iE02(1,0)[(1)3(irPiδPirSiδS)()])[(1)3(irPiδPirSiδS)()]E0??上式從右到左代表入射光依次經(jīng)過(guò)分束器透射、3個(gè)反射鏡、45°線偏振、第二個(gè)分束器2A=rei2δS()()()E0=rei(2δS)()E0?+),I=2?Re[A(t)?2A(t)]=rEcos[k(l2?l1)+π?φ快]? 得此式于?式等價(jià)，表面上有個(gè)相位差，但只是光程差有個(gè)偏移，相當(dāng)于光程原點(diǎn)選取不同而已。因此1B=[()(irPiδPirSiδSei(φ快+)]()[(1)(rPiδPrSiδS)()]E0? 1B(t)=?irPeiδPei(φ快+()()rSeiδS()E0ei[k(l1+lB)?wt]=?irSrPei(δS+δP+φ快+)()E0ei[k(l1+lB)?wt] =rSrPei(φS+φP+φ快+)()E0ei[k(l1+lB)?wt]?2B(t)=[()(rPiδPrSiδS)[(1)3(irPiδPirSiδS)()]E0ei[k(l2+lB)?wt]?=?irPrSei(φS+φP)()()()E0ei[k(l2+lB)?wt]=rPrSei(φS+φP+)()E0ei[k(l2+lB)?wt]?B探測(cè)到的強(qiáng)度的干涉項(xiàng)：IB干涉=2?Re[B(t)?2B(t)]=rrEcos[k(l2?l1)?π?φ快 =Ecos[k(l2?l1)?π?φ快]⑩IB干涉=2Re(B?2B)=rSrPtStPEcos[k(l2?l1)?π]可調(diào)節(jié)令其相位差記作Δφ,則：??（7）由于探測(cè)器A給出cos(Δφ)，B給出sin(Δφa)記錄I,-I,作題解圖3c（或用示波器X_Yb)由I,I的比值得到tanΔφ;再由I第（7）問(wèn)3分*）或（**）或（***）3分。（11.1）設(shè)C的圓形軌跡的圓心為D，以CD連線為轉(zhuǎn)動(dòng)參照系s【此參照系可以看作一個(gè)和CD連線剛①N左+N右=Mg②③④s系的各坐標(biāo)軸的單位矢量i,j,k可用S系中的分量表示如下j=[sin(Ωt),cos(Ωt),0]細(xì)桿的主軸方向?yàn)閎1=icosφ?ksinφ,b2=j，b3=isinφ+kcosφ,沿主軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I細(xì)桿,1=I細(xì)桿,2=ML2，I細(xì)桿,3=0，細(xì)桿對(duì)其質(zhì)心的角動(dòng)量為L(zhǎng)細(xì)桿=I細(xì)桿,1(Ω?b1)b1+I細(xì)桿,2(Ω?b2)b2+I細(xì)桿,3(Ω?b3)b3=ML2[(?Ωk)?b1]b1=ML2(Ωsinφ)(icosφ?ksinφ)⑥=?MΩ(R2?RLsinφ+(sinφ)2)k?MΩ(Rr+??s(R?lsinφ)ΩjMΩ2(Rr+??sinφcosφ)=N左(R++N右(R?(R?⑧仍使用解法一中的坐標(biāo)系和單位向量i,j,k。注意在旋轉(zhuǎn)參考系中，i,j,k為常向量。旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系相對(duì)于靜止系的角速度向量為(?Ωk)。與（1.1）中的計(jì)算類(lèi)似，細(xì)桿的慣性力??（2）由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理得，地面對(duì)平衡車(chē)的兩個(gè)車(chē)輪的總摩擦力f滿足I=mr2④⑥由角動(dòng)量定理得，車(chē)內(nèi)發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)兩個(gè)車(chē)輪共輸出相對(duì)于輪軸的扭矩τ(θ)滿足τ(θ)?fr=2Iβ⑩由題意，細(xì)桿傾角θ保持不變，因此f和τ(θ)也保持不變。C點(diǎn)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。在隨C點(diǎn)平動(dòng)的加速參照系內(nèi)，細(xì)桿的加速度為零，細(xì)桿繞端點(diǎn)C點(diǎn)的力矩滿足平衡條件LL其中，τ,(θ)與τ(θ)互為正反力矩(M+4m)rMLgsinθMLcosθ(M+4m)rMLgsinθ⑩⑩?(0,y(t),r)，則細(xì)桿質(zhì)心在t時(shí)刻的位置為?在隨C點(diǎn)平動(dòng)的加速參照系內(nèi)，車(chē)體細(xì)桿相對(duì)于C點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)方程為由?式得，細(xì)桿質(zhì)心加速度的y分量為地面對(duì)平衡車(chē)的兩個(gè)車(chē)輪的總摩擦力f為??yr2Iβ=τ(θ)?fr??式形式和⑩式相同，但在不同的條件得到。由【在隨C點(diǎn)平動(dòng)的加速參照系內(nèi)，車(chē)體細(xì)桿相對(duì)于C點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)方程為由⑩式得，細(xì)桿質(zhì)心加速度的y分量為地面對(duì)平衡車(chē)的兩個(gè)車(chē)輪的總摩擦力f為L(zhǎng)2f=2my+M,ay(θ)=2mL2,ML,2=(M+2m)y+2(θcosθ?θsinθ)??????,?,?,?,yr2Iβ=τ(θ)?fr化簡(jiǎn)得關(guān)于θ的微分方程?’?(M′整體??LM′整體?>0M>M′（1）如題解圖5a，取半徑r處與徑向垂直的面元dS（圖中僅畫(huà)出了面元的側(cè)面以O(shè)為頂點(diǎn)，dS為橫截面作一錐體。對(duì)于球?qū)ΨQ質(zhì)量分布的恒星，當(dāng)錐體的側(cè)其中p(r)為r處的恒星物質(zhì)密度，而m(r)為②0由p(r)的定義或直接將②式兩邊對(duì)r4τr2p③由①③式得，在平衡狀態(tài)下m(r)與p(r)滿足⑤③⑤式即為在平衡狀態(tài)下m(r)與p(r)滿足的微分方程。⑥⑥⑦m(r)p(0)r3⑦⑧⑧⑩⑩p(R)0m(R)M2p(r)p2p(r)p(R)rR⑩p(0)GM2⑩8τR4恒星中心壓強(qiáng)的最小值（下界）如⑩式右端所示。④④⑥Egrav4τr2p④④⑥REgrav4τr3dp(r)0由于r=0和p(R)0，上式第一個(gè)等號(hào)右邊第一項(xiàng)消失為0。⑩⑦EEE0，⑩⑦totintgrav其中總勢(shì)能Egrav由⑥式給出，而總內(nèi)能Eint為REintu(r)4τr2dr0(y1)u(r)p(r)⑩Eint4τr2dr⑩?如果恒星穩(wěn)定、不會(huì)解體，則要求?式應(yīng)被滿足。注意到Egrav<0，由?式知，Y應(yīng)滿足的條件是（5）光子氣體的內(nèi)能密度urad可由普朗克黑體輻射能示，其中dS是體積元的底面的面積，cdt是體積元的側(cè)面母線的長(zhǎng)度。若光子氣體的光壓為prad，它在dt時(shí)間內(nèi)作用對(duì)面元dS的沖量為dIpraddSdt?率為v的光子在dt時(shí)間內(nèi)，在面元dS上轉(zhuǎn)移的動(dòng)量在dSdpv hvhv hvhv cchv?它正比于一個(gè)頻率為v的光子的能量hv。各個(gè)頻率的光子在dt時(shí)間內(nèi)光子在面元dS上轉(zhuǎn)移的動(dòng)量在dS方dp0dv?式中是單位立體角內(nèi)的光子氣體的內(nèi)能密度。沖量I實(shí)際上是光子在dt時(shí)間內(nèi)光子在面元dS上轉(zhuǎn)移的總動(dòng)量在dS方向的投影之和00c4τ4τ003I2τdφτ/2dcosθ2cosθuraddScdtcosθ2uraddSdt2τdφτ/2cos2θdcosθ100c4τ4τ003prad?Y1?dprad(r)--?dr4τrcT3(r)dT(r)45h3c2k(r)L(r)dm(r)?dr512τ7k4r4dr（7）恒星內(nèi)部每一點(diǎn)的總壓強(qiáng)等于原子物質(zhì)分壓patom與光壓prad之和，即p(r)patom(r)prad(r)?在加入輻射之后，第（1）問(wèn)⑤式中的p應(yīng)理解為總壓強(qiáng)。于是由⑤?式和題給假設(shè)得六50分）在導(dǎo)體板A、B之間，設(shè)λ為真空電磁波的波長(zhǎng)，有（2）間隔為r的兩塊相鄰導(dǎo)體板之間的真空電磁場(chǎng)能量為???④⑤（4）按照題給的方法，間隔為r的兩塊相鄰導(dǎo)體板之間的真空電磁場(chǎng)能量為兩邊對(duì)ε求導(dǎo)得對(duì)小量ε展開(kāi)得（5）按照題給的方法，間隔為r的兩塊相鄰導(dǎo)體板之間的真空電磁場(chǎng)能量為Etot(a)=E(a)+E(L?a)于是當(dāng)x→∞(Λ→∞)時(shí)有此結(jié)果與f(x)的函數(shù)形式無(wú)關(guān)。（*）???????第41屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽決賽試題一牛頓環(huán)實(shí)驗(yàn)探究(40分)1.1(2分)牛頓環(huán)實(shí)驗(yàn)中，主要儀器是讀數(shù)顯微鏡，其結(jié)構(gòu)如題圖所示，請(qǐng)給出下列部件(1)(1分)十字叉絲位于哪個(gè)部位？()A.物鏡內(nèi)B.目鏡內(nèi)C.45°玻璃片反射面上D.牛頓環(huán)儀上實(shí)驗(yàn)考試第1頁(yè)/共10頁(yè)1.3(2分)讀數(shù)顯微鏡測(cè)量結(jié)果如題圖所示，請(qǐng)分別填寫(xiě)讀數(shù)。1.4(2分)實(shí)驗(yàn)中利用讀數(shù)顯微鏡進(jìn)行測(cè)量時(shí)，經(jīng)常會(huì)帶來(lái)空程誤差，減小對(duì)應(yīng)的測(cè)量不確定度的操作方法是：1.6(2分)利用牛頓環(huán)測(cè)量平凸透鏡曲率半徑時(shí)，假設(shè)入射光波長(zhǎng)為λ,第m個(gè)暗環(huán)（半1.7(2分)利用牛頓環(huán)測(cè)量平凸透鏡曲率半徑實(shí)驗(yàn)中，若牛頓環(huán)中心是亮斑，下列哪些描述是可能的原因？()D.45°玻璃片反射鏡調(diào)節(jié)不佳5實(shí)驗(yàn)考試第2頁(yè)/共10頁(yè)55’d10’d15’20’25’30’(2)(2分)基于最小二乘法的結(jié)果，計(jì)算 (2)(2分)充入待測(cè)液體后，牛頓環(huán)干涉(3)(2分)能夠顯著提高液體薄膜干涉條紋對(duì)比度的可能措施有哪些？()實(shí)驗(yàn)考試第3頁(yè)/共10頁(yè)λ 星V實(shí)驗(yàn)考試第4頁(yè)/共10頁(yè)λ2Δλλ2Δλ123456789試題二利用液體透鏡探究布朗運(yùn)動(dòng)(40分)液、固三相交點(diǎn)處所作的氣-液界面的切線，在液體一方與固液交界線之間的夾角。當(dāng)接觸(1)(2分)毛細(xì)管法是液體表面張力系數(shù)的測(cè)量實(shí)驗(yàn)考試第5頁(yè)/共10頁(yè)其中毛細(xì)管的內(nèi)徑為2R，接觸角為θ,液體密度為P，液體表面張力系數(shù)為Y，重力加速毛細(xì)管璧的接觸角為。結(jié)果保留三位有效數(shù)(2)(1分)此時(shí)毛細(xì)管中液體是以下哪種狀態(tài)。 A.θ-arccosB.θ-arcsinC.θ-arccos