2025屆廣東省佛山市順德區(qū)高三下第一次測試數學試題含解析

2025屆廣東省佛山市順德區(qū)高三下第一次測試數學試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設函數的導函數，且滿足，若在中，，則（）A． B． C． D．2．如圖，將兩個全等等腰直角三角形拼成一個平行四邊形，將平行四邊形沿對角線折起，使平面平面，則直線與所成角余弦值為（）A． B． C． D．3．如圖，中，點D在BC上，，將沿AD旋轉得到三棱錐，分別記，與平面ADC所成角為，，則，的大小關系是（）A． B．C．，兩種情況都存在 D．存在某一位置使得4．已知集合，則()A． B． C． D．5．在復平面內，復數（，）對應向量（O為坐標原點），設，以射線Ox為始邊，OZ為終邊旋轉的角為，則，法國數學家棣莫弗發(fā)現了棣莫弗定理：，，則，由棣莫弗定理可以導出復數乘方公式：，已知，則（）A． B．4 C． D．166．己知拋物線的焦點為，準線為，點分別在拋物線上，且，直線交于點，，垂足為，若的面積為，則到的距離為（）A． B． C．8 D．67．已知菱形的邊長為2，，則（）A．4 B．6 C． D．8．記遞增數列的前項和為.若，，且對中的任意兩項與（），其和，或其積，或其商仍是該數列中的項，則（）A． B．C． D．9．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中的最長棱長為（）A． B． C． D．10．在平面直角坐標系中，已知點，，若動點滿足，則的取值范圍是（）A． B．C． D．11．三棱柱中，底面邊長和側棱長都相等，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．12．已知等比數列的前項和為，若，且公比為2，則與的關系正確的是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若實數x，y滿足約束條件，則的最大值為________.14．已知向量，滿足，，且已知向量，的夾角為，，則的最小值是__．15．如圖，在長方體中，，E，F，G分別為的中點,點P在平面ABCD內，若直線平面EFG，則線段長度的最小值是________________.16．兩光滑的曲線相切，那么它們在公共點處的切線方向相同．如圖所示，一列圓(an>0，rn>0，n=1，2…)逐個外切，且均與曲線y=x2相切，若r1=1，則a1=___，rn=______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某保險公司給年齡在歲的民眾提供某種疾病的一年期醫(yī)療保險，現從名參保人員中隨機抽取名作為樣本進行分析，按年齡段分成了五組，其頻率分布直方圖如下圖所示；參保年齡與每人每年應交納的保費如下表所示.據統(tǒng)計，該公司每年為這一萬名參保人員支出的各種費用為一百萬元.年齡（單位：歲）保費（單位：元）（1）用樣本的頻率分布估計總體分布，為使公司不虧本，求精確到整數時的最小值；（2）經調查，年齡在之間的老人每人中有人患該項疾病(以此頻率作為概率).該病的治療費為元，如果參保，保險公司補貼治療費元.某老人年齡歲，若購買該項保險(取中的).針對此疾病所支付的費用為元；若沒有購買該項保險，針對此疾病所支付的費用為元.試比較和的期望值大小，并判斷該老人購買此項保險是否劃算？18．（12分）在中，內角的對邊分別為，且（1）求；（2）若，且面積的最大值為，求周長的取值范圍.19．（12分）如圖，正方體的棱長為2，為棱的中點.（1）面出過點且與直線垂直的平面，標出該平面與正方體各個面的交線（不必說明畫法及理由）；（2）求與該平面所成角的正弦值.20．（12分）已知動圓恒過點，且與直線相切.（1）求圓心的軌跡的方程；（2）設是軌跡上橫坐標為2的點，的平行線交軌跡于，兩點，交軌跡在處的切線于點，問：是否存在實常數使，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.21．（12分）已知拋物線：（）上橫坐標為3的點與拋物線焦點的距離為4.（1）求p的值；（2）設（）為拋物線上的動點，過P作圓的兩條切線分別與y軸交于A、B兩點.求的取值范圍.22．（10分）設函數（）的最小值為.（1）求的值；（2）若，，為正實數，且，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據的結構形式，設，求導，則，在上是增函數，再根據在中，，得到，，利用余弦函數的單調性，得到，再利用的單調性求解.【詳解】設，所以，因為當時，，即，所以，在上是增函數，在中，因為，所以，，因為，且，所以，即，所以，即故選：D【點睛】本題主要考查導數與函數的單調性，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.2、C【解析】

利用建系，假設長度，表示向量與，利用向量的夾角公式，可得結果.【詳解】由平面平面，平面平面，平面所以平面，又平面所以，又所以作軸//,建立空間直角坐標系如圖設，所以則所以所以故選：C【點睛】本題考查異面直線所成成角的余弦值，一般采用這兩種方法：（1）將兩條異面直線作輔助線放到同一個平面，然后利用解三角形知識求解；（2）建系，利用空間向量，屬基礎題.3、A【解析】

根據題意作出垂線段，表示出所要求得、角，分別表示出其正弦值進行比較大小，從而判斷出角的大小，即可得答案．【詳解】由題可得過點作交于點，過作的垂線，垂足為，則易得，．設，則有，，，可得，．，，；，；，，，．綜上可得，．故選：．【點睛】本題考查空間直線與平面所成的角的大小關系，考查三角函數的圖象和性質，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．4、C【解析】

解不等式得出集合A，根據交集的定義寫出A∩B．【詳解】集合A＝{x|x2﹣2x﹣30}＝{x|﹣1x3}，，故選C．【點睛】本題考查了解不等式與交集的運算問題，是基礎題．5、D【解析】

根據復數乘方公式：，直接求解即可.【詳解】，.故選：D【點睛】本題考查了復數的新定義題目、同時考查了復數模的求法，解題的關鍵是理解棣莫弗定理，將復數化為棣莫弗定理形式，屬于基礎題.6、D【解析】

作，垂足為，過點N作，垂足為G，設，則，結合圖形可得，，從而可求出，進而可求得，，由的面積即可求出，再結合為線段的中點，即可求出到的距離．【詳解】如圖所示，作，垂足為，設，由，得，則，.過點N作，垂足為G，則，，所以在中，，，所以，所以，在中，，所以，所以，，所以．解得，因為，所以為線段的中點，所以F到l的距離為．故選：D【點睛】本題主要考查拋物線的幾何性質及平面幾何的有關知識，屬于中檔題．7、B【解析】

根據菱形中的邊角關系，利用余弦定理和數量積公式，即可求出結果．【詳解】如圖所示，菱形形的邊長為2，，∴，∴，∴，且，∴，故選B．【點睛】本題主要考查了平面向量的數量積和余弦定理的應用問題，屬于基礎題.．8、D【解析】

由題意可得，從而得到，再由就可以得出其它各項的值，進而判斷出的范圍．【詳解】解：，或其積，或其商仍是該數列中的項，或者或者是該數列中的項，又數列是遞增數列，，，，只有是該數列中的項，同理可以得到，，，也是該數列中的項，且有，，或（舍，，根據，，，同理易得，，，，，，，故選：D．【點睛】本題考查數列的新定義的理解和運用，以及運算能力和推理能力，屬于中檔題．9、C【解析】

根據三視圖，可得該幾何體是一個三棱錐，并且平面SAC平面ABC，，過S作，連接BD，，再求得其它的棱長比較下結論.【詳解】如圖所示：由三視圖得：該幾何體是一個三棱錐，且平面SAC平面ABC，，過S作，連接BD，則，所以，，，，該幾何體中的最長棱長為.故選：C【點睛】本題主要考查三視圖還原幾何體，還考查了空間想象和運算求解的能力，屬于中檔題.10、D【解析】

設出的坐標為，依據題目條件，求出點的軌跡方程，寫出點的參數方程，則，根據余弦函數自身的范圍，可求得結果.【詳解】設，則∵，∴∴∴為點的軌跡方程∴點的參數方程為（為參數）則由向量的坐標表達式有：又∵∴故選：D【點睛】考查學生依據條件求解各種軌跡方程的能力，熟練掌握代數式轉換，能夠利用三角換元的思想處理軌跡中的向量乘積，屬于中檔題.求解軌跡方程的方法有：①直接法；②定義法；③相關點法；④參數法；⑤待定系數法11、B【解析】

設，，，根據向量線性運算法則可表示出和；分別求解出和，，根據向量夾角的求解方法求得，即可得所求角的余弦值.【詳解】設棱長為1，，，由題意得：，，，又即異面直線與所成角的余弦值為：本題正確選項：【點睛】本題考查異面直線所成角的求解，關鍵是能夠通過向量的線性運算、數量積運算將問題轉化為向量夾角的求解問題.12、C【解析】

在等比數列中，由即可表示之間的關系.【詳解】由題可知，等比數列中，且公比為2，故故選：C【點睛】本題考查等比數列求和公式的應用，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】

作出可行域,可得當直線經過點時,取得最大值,求解即可.【詳解】作出可行域（如下圖陰影部分）,聯立,可求得點,當直線經過點時,.故答案為:3.【點睛】本題考查線性規(guī)劃,考查數形結合的數學思想,屬于基礎題.14、【解析】

求的最小值可以轉化為求以AB為直徑的圓到點O的最小距離，由此即可得到本題答案.【詳解】如圖所示，設，由題，得，又，所以，則點C在以AB為直徑的圓上，取AB的中點為M，則，設以AB為直徑的圓與線段OM的交點為E，則的最小值是，因為，又，所以的最小值是.故答案為：【點睛】本題主要考查向量的綜合應用問題，涉及到圓的相關知識與余弦定理，考查學生的分析問題和解決問題的能力，體現了數形結合的數學思想.15、【解析】

如圖，連接，證明平面平面EFG.因為直線平面EFG，所以點P在直線AC上.當時.線段的長度最小，再求此時的得解.【詳解】如圖，連接，因為E，F，G分別為AB，BC，的中點，所以，平面，則平面.因為，所以同理得平面，又.所以平面平面EFG.因為直線平面EFG，所以點P在直線AC上.在中，，故當時.線段的長度最小，最小值為.故答案為：【點睛】本題主要考查空間位置關系的證明，考查立體幾何中的軌跡問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.16、【解析】

第一空：將圓與聯立，利用計算即可；第二空：找到兩外切的圓的圓心與半徑的關系，再將與聯立，得到，與結合可得為等差數列，進而可得.【詳解】當r1=1時，圓，與聯立消去得，則，解得；由圖可知當時，①，將與聯立消去得，則，整理得，代入①得，整理得，則.故答案為：；.【點睛】本題是拋物線與圓的關系背景下的數列題，關鍵是找到圓心和半徑的關系，建立遞推式，由遞推式求通項公式，綜合性較強，是一道難度較大的題目.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）30；（2），比較劃算.【解析】

（1）由頻率和為1求出，根據的值求出保費的平均值，然后解一元一次不等式即可求出結果，最后取近似值即可；（2）分別計算參保與不參保時的期望，，比較大小即可.【詳解】解:（1）由，解得.保險公司每年收取的保費為:∴要使公司不虧本，則，即解得∴.（2）①若該老人購買了此項保險，則的取值為∴(元).②若該老人沒有購買此項保險，則的取值為.∴(元).∴年齡為的該老人購買此項保險比較劃算.【點睛】本題考查學生利用相關統(tǒng)計圖表知識處理實際問題的能力，掌握頻率分布直方圖的基本性質，知道數學期望是平均數的另一種數學語言，為容易題.18、（1）（2）【解析】

（1）利用二倍角公式及三角形內角和定理，將化簡為，求出的值，結合，求出A的值；（2）寫出三角形的面積公式，由其最大值為求出.由余弦定理，結合，，求出的范圍，注意.進而求出周長的范圍.【詳解】解：（1）整理得解得或(舍去)又；（2）由題意知，又，，又周長的取值范圍是【點睛】本題考查了二倍角余弦公式，三角形面積公式，余弦定理的應用，求三角形的周長的范圍問題.屬于中檔題.19、（1）見解析（2）.【解析】

（1）與平面垂直，過點作與平面平行的平面即可（2）建立空間直角坐標系求線面角正弦值【詳解】解：（1）截面如下圖所示：其中，，，，分別為邊，，，，的中點，則垂直于平面.（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，所以，，.設平面的一個法向量為，則.不妨取，則，所以與該平面所成角的正弦值為.（若將作為該平面法向量，需證明與該平面垂直）【點睛】考查確定平面的方法以及線面角的求法，中檔題.20、（1）；（2）存在，.【解析】

（1）根據拋物線的定義，容易知其軌跡為拋物線；結合已知點的坐標，即可求得方程；（2）由拋物線方程求得點的坐標，設出直線的方程，利用導數求得點的坐標，聯立直線的方程和拋物線方程，結合韋達定理，求得，進而求得與之間的大小關系，即可求得參數.【詳解】（1）由題意得，點與點的距離始終等于點到直線的距離，由拋物線的定義知圓心的軌跡是以點為焦點，直線為準線的拋物線，則，.∴圓心的軌跡方程為.（2）因為是軌跡上橫坐標為2的點，由（1）不妨取，所以直線的斜率為1.因為，所以設直線的方程為，