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文檔簡介
北京市石景山2025屆高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,且公比為2,則與的關(guān)系正確的是()A. B.C. D.2.函數(shù)的大致圖象是A. B. C. D.3.設(shè)M是邊BC上任意一點(diǎn),N為AM的中點(diǎn),若,則的值為()A.1 B. C. D.4.若命題p:從有2件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為三分之一;命題q:在邊長為4的正方形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)M,則∠AMB>90°的概率為π8A.p∧qB.(?p)∧qC.p∧(?q)D.?q5.已知數(shù)列滿足:,則()A.16 B.25 C.28 D.336.在平面直角坐標(biāo)系中,已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與軸的非負(fù)半軸重合,終邊落在直線上,則()A. B. C. D.7.阿基米德(公元前287年—公元前212年)是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家,他和高斯、牛頓并列被稱為世界三大數(shù)學(xué)家.據(jù)說,他自己覺得最為滿意的一個數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是“圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二,并且球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”.他特別喜歡這個結(jié)論,要求后人在他的墓碑上刻著一個圓柱容器里放了一個球,如圖,該球頂天立地,四周碰邊,表面積為的圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑,則該球的體積為()A. B. C. D.8.函數(shù)()的圖象的大致形狀是()A. B. C. D.9.已知函數(shù).若存在實(shí)數(shù),且,使得,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A. B. C. D.10.已知雙曲線的一個焦點(diǎn)為,點(diǎn)是的一條漸近線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn),以為直徑的圓過且交的左支于兩點(diǎn),若,的面積為8,則的漸近線方程為()A. B.C. D.11.若與互為共軛復(fù)數(shù),則()A.0 B.3 C.-1 D.412.閱讀如圖的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,則輸出的的值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)為橢圓在第一象限上的點(diǎn),則的最小值為________.14.從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名代表,甲被選中的概率為__________.15.已知,,,則的最小值是__.16.已知向量,,若滿足,且方向相同,則__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線極坐標(biāo)方程為.若直線交曲線于,兩點(diǎn),求線段的長.18.(12分)某校為了解校園安全教育系列活動的成效,對全校學(xué)生進(jìn)行一次安全意識測試,根據(jù)測試成績評定“合格”、“不合格”兩個等級,同時對相應(yīng)等級進(jìn)行量化:“合格”記分,“不合格”記分.現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的成績,統(tǒng)計結(jié)果及對應(yīng)的頻率分布直方圖如下所示:等級不合格合格得分頻數(shù)624(Ⅰ)若測試的同學(xué)中,分?jǐn)?shù)段內(nèi)女生的人數(shù)分別為,完成列聯(lián)表,并判斷:是否有以上的把握認(rèn)為性別與安全意識有關(guān)?是否合格性別不合格合格總計男生女生總計(Ⅱ)用分層抽樣的方法,從評定等級為“合格”和“不合格”的學(xué)生中,共選取人進(jìn)行座談,現(xiàn)再從這人中任選人,記所選人的量化總分為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望;(Ⅲ)某評估機(jī)構(gòu)以指標(biāo)(,其中表示的方差)來評估該校安全教育活動的成效,若,則認(rèn)定教育活動是有效的;否則認(rèn)定教育活動無效,應(yīng)調(diào)整安全教育方案.在(Ⅱ)的條件下,判斷該校是否應(yīng)調(diào)整安全教育方案?附表及公式:,其中.19.(12分)已知函數(shù),且.(1)求的解析式;(2)已知,若對任意的,總存在,使得成立,求的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù).(1)若,解關(guān)于的不等式;(2)若當(dāng)時,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)己知函數(shù).(1)當(dāng)時,求證:;(2)若函數(shù),求證:函數(shù)存在極小值.22.(10分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程:在平面直角坐標(biāo)系中,曲線:(為參數(shù)),在以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)、軸的正半軸為極軸,且與平面直角坐標(biāo)系取相同單位長度的極坐標(biāo)系中,曲線:.(1)求曲線的普通方程以及曲線的平面直角坐標(biāo)方程;(2)若曲線上恰好存在三個不同的點(diǎn)到曲線的距離相等,求這三個點(diǎn)的極坐標(biāo).
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
在等比數(shù)列中,由即可表示之間的關(guān)系.【詳解】由題可知,等比數(shù)列中,且公比為2,故故選:C【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】
利用函數(shù)的對稱性及函數(shù)值的符號即可作出判斷.【詳解】由題意可知函數(shù)為奇函數(shù),可排除B選項(xiàng);當(dāng)時,,可排除D選項(xiàng);當(dāng)時,,當(dāng)時,,即,可排除C選項(xiàng),故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象的判斷,函數(shù)對稱性的應(yīng)用,屬于中檔題.3、B【解析】
設(shè),通過,再利用向量的加減運(yùn)算可得,結(jié)合條件即可得解.【詳解】設(shè),則有.又,所以,有.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了向量共線及向量運(yùn)算知識,利用向量共線及向量運(yùn)算知識,用基底向量向量來表示所求向量,利用平面向量表示法唯一來解決問題.4、B【解析】因?yàn)閺挠?件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為P1=1C42=16,即命題p是錯誤,則?p是正確的;在邊長為4的正方形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)M點(diǎn)睛:本題將古典型概率公式、幾何型概率公式與命題的真假(含或、且、非等連接詞)的命題構(gòu)成的復(fù)合命題的真假的判定有機(jī)地整合在一起,旨在考查命題真假的判定及古典概型的特征與計算公式的運(yùn)用、幾何概型的特征與計算公式的運(yùn)用等知識與方法的綜合運(yùn)用,以及分析問題解決問題的能力。5、C【解析】
依次遞推求出得解.【詳解】n=1時,,n=2時,,n=3時,,n=4時,,n=5時,.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查遞推公式的應(yīng)用,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.6、C【解析】
利用誘導(dǎo)公式以及二倍角公式,將化簡為關(guān)于的形式,結(jié)合終邊所在的直線可知的值,從而可求的值.【詳解】因?yàn)椋?,所?故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式以及三角恒等變換中的二倍角公式,屬于給角求值類型的問題,難度一般.求解值的兩種方法:(1)分別求解出的值,再求出結(jié)果;(2)將變形為,利用的值求出結(jié)果.7、C【解析】
設(shè)球的半徑為R,根據(jù)組合體的關(guān)系,圓柱的表面積為,解得球的半徑,再代入球的體積公式求解.【詳解】設(shè)球的半徑為R,根據(jù)題意圓柱的表面積為,解得,所以該球的體積為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查組合體的表面積和體積,還考查了對數(shù)學(xué)史了解,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
對x分類討論,去掉絕對值,即可作出圖象.【詳解】故選C.【點(diǎn)睛】識圖常用的方法(1)定性分析法:通過對問題進(jìn)行定性的分析,從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢,利用這一特征分析解決問題;(2)定量計算法:通過定量的計算來分析解決問題;(3)函數(shù)模型法:由所提供的圖象特征,聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型,利用這一函數(shù)模型來分析解決問題.9、D【解析】
首先對函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的符號分析函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值,根據(jù)題意,列出參數(shù)所滿足的不等關(guān)系,求得結(jié)果.【詳解】,令,得,.其單調(diào)性及極值情況如下:x0+0_0+極大值極小值若存在,使得,則(如圖1)或(如圖2).(圖1)(圖2)于是可得,故選:D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)根據(jù)函數(shù)值的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍的問題,涉及到的知識點(diǎn)有利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,畫出圖象數(shù)形結(jié)合,屬于較難題目.10、B【解析】
由雙曲線的對稱性可得即,又,從而可得的漸近線方程.【詳解】設(shè)雙曲線的另一個焦點(diǎn)為,由雙曲線的對稱性,四邊形是矩形,所以,即,由,得:,所以,所以,所以,,所以,的漸近線方程為.故選B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì),考查直線與圓的位置關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合思想與計算能力,屬于中檔題.11、C【解析】
計算,由共軛復(fù)數(shù)的概念解得即可.【詳解】,又由共軛復(fù)數(shù)概念得:,.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算,共軛復(fù)數(shù)的概念.12、C【解析】
根據(jù)給定的程序框圖,計算前幾次的運(yùn)算規(guī)律,得出運(yùn)算的周期性,確定跳出循環(huán)時的n的值,進(jìn)而求解的值,得到答案.【詳解】由題意,,第1次循環(huán),,滿足判斷條件;第2次循環(huán),,滿足判斷條件;第3次循環(huán),,滿足判斷條件;可得的值滿足以3項(xiàng)為周期的計算規(guī)律,所以當(dāng)時,跳出循環(huán),此時和時的值對應(yīng)的相同,即.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計算與輸出問題,其中解答中認(rèn)真審題,得出程序運(yùn)行時的計算規(guī)律是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與計算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
利用橢圓的參數(shù)方程,將所求代數(shù)式的最值問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值問題,利用兩角和的正弦公式和三角函數(shù)的性質(zhì),以及求導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性和極值,即可得到所求最小值.【詳解】解:設(shè)點(diǎn),,其中,,由,,,可設(shè),導(dǎo)數(shù)為,由,可得,可得或,由,,可得,即,可得,由可得函數(shù)遞減;由,可得函數(shù)遞增,可得時,函數(shù)取得最小值,且為,則的最小值為1.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用,利用三角函數(shù)的恒等變換和導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值的方法,考查化簡變形能力和運(yùn)算能力,屬于難題.14、【解析】
甲被選中,只需從乙、丙、丁、戊中,再選一人即有種方法,從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名共有種方法,根據(jù)公式即可求得概率.【詳解】甲被選中,只需從乙、丙、丁、戊中,再選一人即有種方法,從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名共有種方法,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率的計算,考查學(xué)生分析問題的能力,難度容易.15、.【解析】
因?yàn)?,展開后利用基本不等式,即可得到本題答案.【詳解】由,得,所以,當(dāng)且僅當(dāng),取等號.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查利用基本不等式求最值,考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算求解能力.16、【解析】
由向量平行坐標(biāo)表示計算.注意驗(yàn)證兩向量方向是否相同.【詳解】∵,∴,解得或,時,滿足題意,時,,方向相反,不合題意,舍去.∴.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算,解題時要注意驗(yàn)證方向相同這個條件,否則會出錯.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】
由,化簡得,由,所以直線的直角坐標(biāo)方程為,因?yàn)榍€的參數(shù)方程為,整理得,直線的方程與曲線的方程聯(lián)立,,整理得,設(shè),則,根據(jù)弦長公式求解即可.【詳解】由,化簡得,又因?yàn)?,所以直線的直角坐標(biāo)方程為,因?yàn)榍€的參數(shù)方程為,消去,整理得,將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立,,消去,整理得,設(shè),則,所以,將,代入上式,整理得.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程的應(yīng)用,結(jié)合弦長公式的運(yùn)用,屬于中檔題.18、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)詳見解析;(Ⅲ)不需要調(diào)整安全教育方案.【解析】
(I)根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫好列聯(lián)表,計算出的值,由此判斷出在犯錯誤概率不超過的前提下,不能認(rèn)為性別與安全測試是否合格有關(guān).(II)利用超幾何分布的計算公式,計算出的分布列并求得數(shù)學(xué)期望.(III)由(II)中數(shù)據(jù),計算出,進(jìn)而求得的值,從而得出該校的安全教育活動是有效的,不需要調(diào)整安全教育方案.【詳解】解:(Ⅰ)由頻率分布直方圖可知,得分在的頻率為,故抽取的學(xué)生答卷總數(shù)為,.性別與合格情況的列聯(lián)表為:是否合格性別不合格合格小計男生女生小計即在犯錯誤概率不超過的前提下,不能認(rèn)為性別與安全測試是否合格有關(guān).(Ⅱ)“不合格”和“合格”的人數(shù)比例為,因此抽取的人中“不合格”有人,“合格”有人,所以可能的取值為,.的分布列為:20151050所以.(Ⅲ)由(Ⅱ)知:.故我們認(rèn)為該校的安全教育活動是有效的,不需要調(diào)整安全教育方案.【點(diǎn)睛】本小題主要考查列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn),考查超幾何分布的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差的計算,所以中檔題.19、(1);(2)【解析】
(1)由,可求出的值,進(jìn)而可求得的解析式;(2)分別求得和的值域,再結(jié)合兩個函數(shù)的值域間的關(guān)系可求出的取值范圍.【詳解】(1)因?yàn)?所以,解得,故.(2)因?yàn)?所以,所以,則,圖象的對稱軸是.因?yàn)?所以,則,解得,故的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的恒等變換,考查了二次函數(shù)及三角函數(shù)值域的求法,考查了學(xué)生的計算求解能力,屬于中檔題.20、(1)(2)【解析】
(1)利用零點(diǎn)分段法將表示為分段函數(shù)的形式,由此求得不等式的解集.(2)對分成三種情況,求得的最小值,由此求得的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時,,由此可知,的解集為(2)當(dāng)時,的最小值為和中的最小值,其中,.所以恒成立.當(dāng)時,,且,不恒成立,不符合題意.當(dāng)時,,若,則,故不恒成立,不符合題意;若,則,故不恒成立,不符合題意.綜上,.【點(diǎn)睛】本小題主要考查絕對值不等式的解法,考查根據(jù)絕對值不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.21、(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】
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