信號與系統(tǒng)（第五版）課件第3章 連續(xù)時間信號和系統(tǒng)的頻域表示與分析

第3章

連續(xù)時間信號和系統(tǒng)的頻域表示與分析3.1周期信號的傅里葉級數(shù)分析3.2周期信號的對稱性3.3非周期信號的頻譜——傅里葉變換3.4傅里葉變換性質(zhì)及定理3.5LTI系統(tǒng)的頻域分析3.6無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)3.7理想低通濾波器與物理可實現(xiàn)系統(tǒng)3.8時域采樣與恢復(fù)(插值)3.9基于MATLAB的頻域分析

3.1周期信號的傅里葉級數(shù)分析

若兩個函數(shù)f1(t)、f2(t)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)滿足則說這兩個函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)正交，或它們是區(qū)間(t1，t2)上的正交函數(shù)。

若函數(shù)集{fi(t)}在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)且函數(shù)f1(t)，…，fn(t)滿足

則這個函數(shù)集就是正交函數(shù)集，當ki=1時為歸一化正交函數(shù)集。

滿足一定條件的信號可以被分解為正交函數(shù)的線性組合。即任意信號f(t)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)可由組成信號空間的n

個正交函數(shù)的線性組合近似表示為

若正交函數(shù)集是完備的，則

完備是指對于一個在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)的正交函數(shù)集中的所有函數(shù)，不可能另外再得到一個非零的函數(shù)在同一區(qū)間內(nèi)和它們正交。即不存在這樣一個函數(shù)x(t)，使之能滿足

如果x(t)在這個區(qū)間能與它們正交，則x(t)本身必屬于這個正交函數(shù)集。若不包括x(t)，那么這個正交函數(shù)集也就不完備。

包含正、余弦函數(shù)的三角函數(shù)集是最重要的完備正交函數(shù)集。它具有以下優(yōu)點：

(1)三角函數(shù)是基本函數(shù)。

(2)用三角函數(shù)表示信號，建立了時間與頻率兩個基本物理量之間的聯(lián)系。

(3)單頻三角函數(shù)是簡諧信號，簡諧信號容易產(chǎn)生、傳輸、處理。

(4)三角函數(shù)信號通過線性時不變系統(tǒng)后，仍為同頻三角函數(shù)信號，僅幅度和相位有變化，計算更方便。

由于三角函數(shù)的上述優(yōu)點，周期信號通常被表示(分解)為無窮多個正弦信號之和。

3.1.1三角形式的傅里葉級數(shù)

周期信號是周而復(fù)始、無始無終的信號。其表示式為

式中，f(t)的基波周期T是滿足式(3.1-5)的最小的非零正值，其倒數(shù)f0=1/T是信號的基波頻率。若周期函數(shù)f(t)滿足狄里赫利條件：

(1)在一周內(nèi)連續(xù)或有有限個第一類間斷點。

(2)一周內(nèi)函數(shù)的極值點是有限的。

(3)一周內(nèi)函數(shù)是絕對可積的，即

則f(t)可以展開為三角形式的傅里葉級數(shù)

式中，

式中，ω0=2π/T

是基波角頻率，有時也簡稱基波頻率。一般取t0=-T/2。

利用三角函數(shù)的邊角關(guān)系，還可以將一般三角形式化為標準的三角形式：

兩種三角形式系數(shù)的關(guān)系為

例3.1-1已知周期信號f(t)如下，畫出其頻譜圖。

解

將f(t)整理為標準形式

振幅譜與相位譜如圖3.1-1所示。

圖3.1-1例3.1-1的頻譜圖

3.1.2指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)

利用歐拉公式

可以將三角形式的傅里葉級數(shù)表示為復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)

指數(shù)形式與三角形式系數(shù)之間的關(guān)系為

例3.1-1的指數(shù)形式頻譜圖如圖3.1-2所示。圖3.1-2例3.1-1的頻譜圖

3.1.3周期矩形脈沖頻譜

例3.1-2周期矩形脈沖f(t)的波形如圖3.1-3所示，求周期矩形脈沖頻譜。圖3.1-3周期矩形脈沖f(t)

解

其三角形式的傅里葉級數(shù)，由式(3.1-13)可得

即5ω0、10ω0，…，且有

T=5τ的三角形式與指數(shù)形式的振幅、相位譜如圖3.1-4所示。

圖3.1-4周期矩形信號的頻譜

因為周期矩形信號頻譜的相位只有0、-π兩種情況，對應(yīng)的幅度只是正、負的變化，所以可將其幅度與相位譜畫在一起，即復(fù)振幅頻譜?cn(cn≥0，但?cn包含了相位有0與-π變化的情況)或Fn，如圖3.1-5所示。圖3.1-5周期矩形信號的復(fù)振幅頻譜

3.1.4周期T及脈沖寬度τ對頻譜的影響

對圖3.1-5作如下討論：

3.1.5周期信號的頻譜特點

以上雖然是對周期矩形信號的頻譜分析，但其基本特性對所有周期信號適用，由此給出周期信號頻譜的一般特性如下：

(1)離散性。譜線沿頻率軸離散分布。譜線僅在0、ω0、2ω0、…基波的倍頻(離散的)頻率點上出現(xiàn)。

(2)諧波性。各譜線等距分布，相鄰譜線的距離等于基波頻率。周期信號沒有基波頻率整數(shù)倍以外的頻率分量。

(3)收斂性。隨著n→∞，|Fn|或cn

趨于零。

傅氏級數(shù)是傅氏變換的特殊表示形式。從本質(zhì)上講，傅氏變換就是一個棱鏡，它把一個信號函數(shù)分解為眾多的頻率分量。這些頻率分量又可以重構(gòu)原來的信號函數(shù)。這種變換

是可逆的且保持能量不變。傅氏棱鏡與自然棱鏡的原理是一樣的。不過自然棱鏡是將自然光分解為多種顏色的光。兩種棱鏡的比較如圖3.1-6所示。

圖3.1-6兩種不同的棱鏡

3.2周期信號的對稱性

3.2.1信號對稱性與傅里葉級數(shù)系數(shù)關(guān)系波形的對稱性有兩類：一類是波形對原點或縱軸對稱，即我們所熟悉的偶函數(shù)、奇函數(shù)。由這類對稱條件可以判斷級數(shù)中是否含有正、余弦(an、bn)項的情況;另一類是波形在半周期有對稱條件，這類條件決定了級數(shù)中含有偶次或奇次諧波的情況。

1.偶函數(shù)

偶函數(shù)的波形特點是對稱縱軸，即滿足f(t)=f(-t)，如圖3.2-1所示。圖3.2-1-偶函數(shù)舉例

因為f(t)cos(nω0t)是偶函數(shù)，f(t)sin(nω0t)是奇函數(shù)，所以式(3.1-7)可改為

與標準三角形式及指數(shù)形式的系數(shù)關(guān)系為

因此，偶函數(shù)分解后只有余弦分量(直流a0≠0)，沒有正弦分量(bn=0)。

利用式(3.2-1)可求出如圖3.2-1所示周期三角信號的傅氏系數(shù)a0、an，其傅氏級數(shù)為

2.奇函數(shù)

奇函數(shù)的波形特點是對稱于原點，即滿足f(t)=-f(-t)，如圖3.2-2所示。圖3.2-2-奇函數(shù)舉例

因為f(t)cos(nω0t)是奇函數(shù)，f(t)sin(nω0t)是偶函數(shù)，所以式(3.1-7)可改為

與標準三角形式及指數(shù)形式的系數(shù)關(guān)系為

因此，奇函數(shù)分解后只有正弦分量(直流a0=0)，沒有余弦分量(an=0)

利用式(3.2-4)可求出如圖3.2-2所示周期鋸齒波信號的傅氏系數(shù)bn，其傅氏級數(shù)為

3.奇諧函數(shù)

奇諧函數(shù)的波形特點是任意半個周期的波形可由它前面半個周期的波形沿橫軸反折得到，即如圖3.2-3所示。圖3.2-3-奇諧函數(shù)舉例

由式(3.1-7)得

再代入式(3.2-7)計算an

的公式中

同理可得

奇諧函數(shù)只含有正、余弦波的奇次項，不含偶次項。

如圖3.2-4所示，以奇諧函數(shù)為例，圖解示意對稱性對傅氏系數(shù)的影響。如圖3.2-4所示，以奇諧函數(shù)為例，圖解示意對稱性對傅氏系數(shù)的影響。

4.偶諧函數(shù)

圖3.2-5偶諧函數(shù)舉例

5.f(t)有兩種對稱條件時的系數(shù)

當波形同時具備兩個對稱條件時，下面不加證明給出其傅氏系數(shù)計算公式。

(1)奇函數(shù)奇諧函數(shù)。因為奇函數(shù)an=0，只有正弦項，而奇諧函數(shù)的b2n=0，所以

(2)奇函數(shù)偶諧函數(shù)。因為奇函數(shù)an=0，只有正弦項，而偶諧函數(shù)的b2n+1=0，所以

(3)偶函數(shù)奇諧函數(shù)。因為偶函數(shù)bn=0，只有余弦項，而奇諧函數(shù)的a2n=0，所以

如圖3.2-6所示

圖3.2-6兩個對稱性對傅氏系數(shù)影響的圖解示意

由式(3.2-11)可以求出圖3.2-6中f(t)的a0、an，其傅氏級數(shù)為

(4)偶函數(shù)偶諧函數(shù)。因為偶函數(shù)bn=0，只有余弦項，而偶諧函數(shù)的a2n+1=0，所以

如圖3.2-5所示的全波整流波形是偶函數(shù)偶諧函數(shù)，由式(3.2-13)可以求出a0、an。

其傅氏級數(shù)為

3.2.2坐標軸的影響

有些波形雖不滿足對稱條件，但將橫軸上、下移動，可使得“隱藏”的對稱條件顯現(xiàn)。例如圖3.2-7(a)所示波形，直接觀察不具備任何對稱性。但如果將橫軸向上移至f(t)的平均值A(chǔ)/2處，如圖3.2-7(b)所示，則f(t')顯然是奇函數(shù)、奇諧函數(shù)，同時具備兩個對稱條件。由圖3.2-7不難得到f(t)=f(t')+A/2，兩者只相差平均值。所以一般將橫軸移至f(t)的平均值處，更便于觀察信號的對稱性。同樣圖3.2-1所示的三角信號，將橫軸移至f(t)的平均值處，它就是偶函數(shù)奇諧函數(shù)。除了有直流分量外，它只含有余弦的奇次項。

圖3.2-7具有“隱蔽”對稱條件的實例

表3-1列出了有對稱條件時傅氏系數(shù)的計算公式。

3.3非周期信號的頻譜——傅里葉變換

3.3.1從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換若將非周期信號看做是周期信號T→∞的極限情況，非周期信號就可以表示為

3.3.2常用函數(shù)的傅里葉變換對

1.單邊指數(shù)函數(shù)

(1)單邊因果指數(shù)函數(shù)

即

單邊因果指數(shù)函數(shù)的波形、振幅譜|F(jω)|、相位譜φ(ω)如圖3.3-1所示。

圖3.3-1單邊因果指數(shù)函數(shù)的波形、振幅譜、相位譜

(2)單邊非因果指數(shù)函數(shù)

即

單邊非因果指數(shù)函數(shù)的波形、振幅譜|F(jω)|、相位譜φ(ω)如圖3.3-2所示。

圖3.3-2單邊非因果指數(shù)函數(shù)的波形及其振幅、相位譜

2.雙邊指數(shù)函數(shù)

或

利用以上單邊指數(shù)函數(shù)的變換結(jié)果有

即

雙邊指數(shù)函數(shù)的波形、頻譜F(jω)如圖3.3-3所示。

圖3.3-3-雙邊指數(shù)函數(shù)的波形、頻譜

3.符號函數(shù)

符號函數(shù)也稱正負函數(shù)，記為sgn(t)，表示式為

顯然，這個函數(shù)不滿足絕對可積條件，不能用式(3.3-4)直接來求。我們可用以下極限形式表示sng(t)函數(shù)

上式是兩個單邊指數(shù)函數(shù)的組合，利用前面的結(jié)果，并取極限可得

符號函數(shù)的波形、振幅譜|F(jω)|、相位譜φ(ω)如圖3.3-4所示。圖3.3-4-符號函數(shù)的波形及其振幅、相位譜

4.門函數(shù)gτ(t)

gτ(t)是寬度為τ，幅度為1的偶函數(shù)，也常常稱為矩形脈沖信號，表示式為

門函數(shù)的頻譜函數(shù)、振幅譜、相位譜為

門函數(shù)的波形、振幅譜|F(jω)|、相位譜φ(ω)如圖3.3-5所示。圖3.3-5-gτ(t)的波形及振幅、相位譜

圖3.3-6-gτ(t)的頻譜函數(shù)

樣的頻譜也稱白色譜。沖激函數(shù)δ(t)、頻譜函數(shù)如圖3.3-7所示。圖3.3-7-沖激函數(shù)及其頻譜

頻域沖激δ(ω)的原函數(shù)亦可由定義直接得到

由式(3.3-19)可知頻域沖激δ(ω)的反變換是常數(shù)(直流分量)。

或

頻域沖激函數(shù)δ(ω)、原函數(shù)如圖3.3-8所示。

圖3.3-8頻域沖激函數(shù)δ(ω)及其原函數(shù)

6.階躍函數(shù)u(t)

階躍函數(shù)雖不滿足絕對可積條件，但u(t)可以表示為

對上式兩邊取傅氏變換

階躍函數(shù)的波形、振幅譜|F(jω)|、相位譜φ(ω)如圖3.3-9所示。

圖3.3-9階躍函數(shù)的波形以及振幅、相位譜

3.3.3-傅里葉系數(shù)Fn與頻譜函數(shù)F(ω)的關(guān)系

例3.3-1求如圖3.3-10(a)所示周期矩形脈沖fT(t)的傅氏級數(shù)。圖3.3-10

3.4傅里葉變換性質(zhì)及定理

傅氏變換揭示了信號時間特性與頻率特性之間的聯(lián)系。信號可以在時域中用時間函數(shù)f(t)表示，亦可以在頻域中用頻譜密度函數(shù)F(ω)表示;只要其中一個確定，另一個隨之確定，兩者是一一對應(yīng)的。在實際的信號分析中，往往還需要對信號的時、頻特性之間的對應(yīng)關(guān)系、變換規(guī)律有更深入、具體的了解。

1.線性

若f1(t)?F1(ω)，f2(t)?F2(ω)，則

式中，a、b

為任意常數(shù)。

證

2.時延(時移、移位)性

若f(t)?F(ω)，則

證

時延(移位)性說明波形在時間軸上時延，不改變信號振幅頻譜，僅使信號增加一線性相移-ωt0。

例3.4-1求如圖3.4-1所示信號f1(t)的頻譜函數(shù)F1(ω)，并作頻譜圖。圖3.4-1例3.4-1信號圖

圖3.4-2例3.4-1的振幅、相位頻譜

3.頻移性

若f(t)?F(ω)，則

證

頻移特性表明信號在時域中與復(fù)因子ejω0t

相乘，則在頻域中將使整個頻譜搬移ω0。

實際調(diào)制解調(diào)的載波(本振)信號是正、余弦信號，借助歐拉公式正、余弦信號可以分別表示為

這樣，若有f(t)?F(ω)，則

例3.4-2求f(t)=cos(ω0t)u(t)的頻譜函數(shù)。圖3.4-3例3.4-2的波形及振幅、相位頻譜

例3.4-3求如圖3.4-4所示f(t)的F(ω)并作圖。圖3.4-4例3.4-3的f(t)

解

令f1(t)=Agτ(t)，則圖3.4-5例3.4-3的F1(ω)以及F(ω)

在無線通信中，為使信號能以電磁波的形式有效輻射出去，必須把在ω=0附近的低頻信號頻譜移至所需的較高頻率ω0

附近，這稱之為調(diào)制。上例是信號調(diào)制(頻譜搬移)的典型實例。通常f1(t)被稱為調(diào)制信號，cos(ω0t)為載波信號，f(t)=f1(t)cos(ω0t)為已調(diào)信號。調(diào)制的原理如圖3.4-6所示，若已調(diào)信號等于例3.4-3信號f(t)，由圖3.4-5可見，調(diào)制信號的頻譜集中在ω=0的低頻端，而已調(diào)信號的頻譜集中在載頻ω0

附近。

圖3.4-6調(diào)制原理圖

在接收端將已調(diào)信號f(t)恢復(fù)為原信號f1(t)的過程為解調(diào)。一種同步解調(diào)的原理框圖如圖3.4-7(a)所示。圖中的cos(ω0t)為接收端的本地載波信號(通常稱本振信號)，與發(fā)送端的載波信號同頻同相。其中

利用線性與頻移特性，對應(yīng)的頻譜函數(shù)為

仍以例3.4-3的f1(t)、f(t)為例，f0(t)的頻譜F0(ω)如圖3.4-7(b)所示。圖3.4-7-一種同步解調(diào)的原理框圖及頻譜圖

4.尺度變換

若f(t)?F(ω)，則

證

綜合a>0、a<0兩種情況，尺度變換特性表示為

特別地，當a=-1時，得到f(t)的折疊函數(shù)f(-t)，其頻譜亦為原頻譜的折疊，即

尺度特性說明，信號在時域中壓縮，在頻域中就擴展;反之，信號在時域中擴展，在頻域中就一定壓縮。即信號的脈寬與頻寬成反比。一般時寬有限的信號，其頻寬無限，反之亦然。由于信號在時域壓縮(擴展)時，其能量成比例地減少(增加)，因此其頻譜幅度要相應(yīng)乘以系數(shù)1/|a|。也可以理解為信號波形壓縮(擴展)a

倍，信號隨時間變化加快(慢)a倍，所以信號所包含的頻率分量增加(減少)a倍，頻譜展寬(壓縮)a

倍。又因能量守恒原理，各頻率分量的大小減小(增加)a倍。圖3.4-8表示了矩形脈沖及頻譜的展縮情況。

圖3.4-8-矩形脈沖及頻譜的展縮

5.時域微分特性

若f(t)?

F(ω)，則

證

所以

同理，可推廣到高階導(dǎo)數(shù)的傅里葉變換

式中，jω

是微分因子。

6.時域積分特性

若f(t)?

F(ω)，則

特別地，當F(0)=0時

證

顯然，當F(0)=0時，有

例3.4-4求如圖3.4-9(a)所示f(t)的頻譜函數(shù)F(ω)。

解

對f(t)求導(dǎo)，得f1(t)=f'(t)如圖3.4-9(b)所示。

再對f1(t)求導(dǎo)，得f2(t)=f″(t)如圖3.4-9(c)所示。

因為

最后

圖3.4-9例3.4-4

7.頻域微分特性

若f(t)?

F(ω)，則

一般頻域微分特性的實用形式為

頻域微分特性對頻譜函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)亦成立

或

例3.4-5求f(t)=te-atu(t)(a>0)的頻譜函數(shù)F(ω)。

8.對稱(偶)性

若f(t)?

F(ω)，則

或

證

則

將上式中變量t與ω

互換，兩邊同時乘以2π，得到

所以

特別地，當f(t)是t的偶函數(shù)時，那么

即有

由式(3.4-17)看，在此條件下時域與頻域是完全對稱性關(guān)系。

例3.4-6已知F1(ω)及波形如圖3.4-10所示，利用對稱性求f1(t)。圖3.4-10

解

比較圖3.4-10的F1(ω)與例3.4-4圖3.4-9(a)的f(t)，可見兩者變化規(guī)律相同，只是自變量及標定值不同，所以f(t)是與F1(ω)相似的對稱三角波。由例

例3.4-7已知F1(ω)=E[u(ω+ω0)-u(ω-ω0)]，利用對稱性求f1(t)。

解

已知F1(ω)波形如圖3.4-11所示。且

則

圖3.4-11例3.4-7的F1(ω)

例3.4-8求ejω0t

的傅氏變換。

解

由時延特性，已知δ(t+t0)?

ejω0t，且δ(t+t0)不是偶函數(shù)。

利用對稱性，將上式左邊的t變換成-ω、右邊的ω變換為t，兩邊的t0

變換成ω0，并乘以系數(shù)2π，我們得到另一對變換對

利用這一結(jié)果，容易推導(dǎo)正、余弦周期函數(shù)的傅氏變換。

cosω0t、sinω0t的波形與頻譜如圖3.4-12所示。

圖3.4-12-正、余弦信號與其頻譜

由ejω0t

的傅氏變換，可以推導(dǎo)任意周期函數(shù)的頻譜函數(shù)為

證

例3.4-9求周期沖激序列的傅氏變換。

解

先將周期沖激序列展開成傅氏級數(shù)

Fn

如圖3.4-13(a)所示。即

再求這個級數(shù)的傅氏變換

δT(t)的頻譜函數(shù)如圖3.4-13(b)所示。可見，周期沖激序列的傅氏變換仍為周期沖激序列，其沖激強度為ω0。

圖3.4-13-δT(t)的頻譜函數(shù)

由上例歸納求周期函數(shù)的傅氏變換(頻譜函數(shù))的一般步驟為：

(1)將周期函數(shù)展開為傅氏級數(shù);

(2)對該傅氏級數(shù)求傅氏變換(頻譜函數(shù))。

9.奇、偶、虛、實性

f(t)為實函數(shù)時，F(xiàn)(ω)的模與幅角、實部與虛部表示形式為

同理類推

其中

由式(3.4-24)可知，R(ω)、|F(ω)|是ω

的偶函數(shù);X(ω)、φ(ω)是ω

的奇函數(shù)。

(1)特別地，若f(t)為實偶函數(shù)，則有

由式(3.4-25)可知，若f(t)是t的實偶函數(shù)，則F(ω)必為ω

的實偶函數(shù)。

(2)特別地，若f(t)為實奇函數(shù)，則有

由式(3.4-26)可知，若f(t)是t的實奇函數(shù)，則F(ω)必為ω

的虛奇函數(shù)。

10.時域卷積定理

若f1(t)?

F1(ω)，f2(t)?

F2(ω)，則

證

11.頻域卷積定理

若f1(t)?

F1(ω)，f2(t)?

F2(ω)，則

證

例3.4-10若已知f(t)的頻譜F(ω)如圖3.4-14(a)所示，試粗略畫出f2(t)，f3(t)的頻譜圖(不必精確，只指出頻譜的范圍，說明展寬情況)。

解

頻譜展寬為原來的2倍。

頻譜展寬為原來的3倍。

f2(t)，f3(t)的頻譜展寬情況如圖3.4-14(b)、(c)所示。

圖3.4-14例3.4-10的頻譜函數(shù)

12.帕斯瓦爾定理

為了從頻域角度研究信號能量，定義單位頻率的信號能量|F(ω)|2-為能量頻譜密度函數(shù)E(ω)，即

E(ω)也簡稱能量譜，單位是J·s。E(ω)是ω

的偶函數(shù)，只保留了信號的振幅信息，而無相位信息。

例3.4-11求如圖3.4-15(a)所示單個矩形脈沖f(t)的能量譜E(ω)并作圖。圖3.4-15例3.4-11的f(t)、E(ω)

類似能量譜，定義單位頻率的信號功率為功率頻譜密度函數(shù)

P(ω)，即

P(ω)也簡稱功率譜，單位是W·s。P(ω)是ω

的偶函數(shù)，只保留了信號的振幅信息，而無相位信息。

當功率信號為周期信號時，其功率譜為

例3.4-12求余弦信號f(t)=Ecosω0t的功率譜。

解

表3-2給出了傅氏變換的主要性質(zhì)及定理。

3.5LTI系統(tǒng)的頻域分析

3.5.1系統(tǒng)的頻響函數(shù)設(shè)激勵是f(t)，系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(t)，若系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，則系統(tǒng)的響應(yīng)為對式(3.5-1)兩邊取傅里葉變換，由卷積定理可得

其中，H(jω)是系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)h(t)的傅里葉變換。系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)h(t)表征的是系統(tǒng)時域特性，而

H(jω)表征的是系統(tǒng)頻域特性。所以

H(jω)稱做系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)，簡稱頻響函數(shù)或系統(tǒng)函數(shù)。

式(3.5-2)還可以表示為

式中，|H(ω)|是系統(tǒng)的幅(模)頻特性，φ(ω)是系統(tǒng)的相頻特性。

1.由微分方程求解

已知n

階LTI系統(tǒng)的微分方程的一般表示為

對式(3.5-4)兩邊取傅里葉變換，并利用微分性質(zhì)

由式(3.5-5)得到系統(tǒng)的頻響函數(shù)為

式(3.5-6)表明

H(jω)只與系統(tǒng)本身有關(guān)，與激勵無關(guān)。

例3.5-1已知某系統(tǒng)的微分方程為

求系統(tǒng)的函數(shù)

H(jω)。

解

對微分方程兩邊同時取傅氏變換，得到

2.由轉(zhuǎn)移算子求解

已知穩(wěn)定系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子，將其中的p

用jω

替代，可以得到系統(tǒng)函數(shù)。

例3.5-2已知某穩(wěn)定系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子

解

3.由h(t)求解

先求出系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)，然后對沖激響應(yīng)h(t)求傅里葉變換。

例3.5-3已知系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)=5[u(t)-u(t-2)]，求系統(tǒng)函數(shù)。

解

例3.5-4求圖3.5-1零階保持電路的系統(tǒng)函數(shù)H(jω)。圖3.5-1例3.5-4的零階保持電路

圖3.5-2例3.5-3系統(tǒng)的h(t)與H(ω)

4.由頻域電路系統(tǒng)求解

此法與2.2節(jié)的算子電路法相似，可以利用頻域電路簡化運算。無初始儲能的動態(tài)元件時域與頻域電壓電流關(guān)系分別表示為

例3.5-5如圖3.5-3(a)所示電路，輸入是激勵電壓f(t)，輸出是電容電壓y(t)，求系統(tǒng)函數(shù)

H(jω)、系統(tǒng)為微分方程。圖3.5-3例3.5-5電路

3.5.2系統(tǒng)的頻域分析

由卷積定理可以得到穩(wěn)定系統(tǒng)頻域分析法的基本框圖表示，如圖3.5-4所示。圖3.5-4頻域分析法基本框圖

1.周期正弦信號的響應(yīng)

設(shè)激勵信號

當h(t)為實函數(shù)

其響應(yīng)的頻譜函數(shù)為

響應(yīng)為

比較輸入f(t)與輸出y(t)可見，正弦周期信號的響應(yīng)仍是同頻周期正弦信號，僅幅度、相位有所改變。這種響應(yīng)是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，可以利用正弦穩(wěn)態(tài)分析法計算。所以若正弦周期激勵信號f(t)=Asin(ω0t+φ)，通過系統(tǒng)函數(shù)為|H(ω0)|ejφ(ω0)的系統(tǒng)后，其響應(yīng)可以直接表示為

例3.5-6已知某系統(tǒng)函數(shù)為

求激勵f(t)=sin(ω0t)的響應(yīng)。

解

2.周期非正弦信號的響應(yīng)

穩(wěn)定系統(tǒng)對周期信號的響應(yīng)是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，所以周期非正弦信號響應(yīng)可以利用周期正弦信號的響應(yīng)求解方法。不同之處是要先利用傅氏級數(shù)將周期非正弦信號分解為許多周期正

弦信號之和，再分別對每個正弦分量求響應(yīng)，最后疊加得到周期非正弦信號的響應(yīng)。

即

第n次諧波的響應(yīng)為

式中，

最后總響應(yīng)

歸納解決周期非正弦信號通過線性系統(tǒng)響應(yīng)求解的計算步驟為：

(1)將激勵fT(t)分解為無窮多個正弦分量之和——展開為傅氏級數(shù)。

(2)求出系統(tǒng)函數(shù)

H(jω)={H(0)，H(ω0)，H(2ω0)，…}。

(3)利用正弦穩(wěn)態(tài)分析法計算第n次諧波的響應(yīng)為

(4)各諧波分量的瞬時值相加

例3.5-7已知某系統(tǒng)頻率特性激勵信號f(t)=2+cost+cos3t，試求系統(tǒng)的響應(yīng)y(t)。

解

3.非周期信號的響應(yīng)

非周期信號通過線性系統(tǒng)的響應(yīng)可以利用卷積定理，先求輸入信號的傅氏變換及系統(tǒng)的頻響，再將兩者相乘得到輸出的傅氏變換，最后經(jīng)反變換得到時域響應(yīng)。

例3.5-8已知系統(tǒng)函數(shù)

激勵f(t)=e-3tu(t)，求響應(yīng)y(t)。

解

3.6無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)

信號失真有以下兩類。一類是線性失真，它包括兩方面。一是振幅失真：系統(tǒng)對信號中各頻率分量的幅度產(chǎn)生不同程度的衰減(放大)，使各頻率分量之間的相對振幅關(guān)系發(fā)生了變化。二是相位失真：系統(tǒng)對信號中各頻率分量產(chǎn)生的相移與頻率不成正比，使各頻率分量在時間軸上的相對位置發(fā)生了變化。這兩種失真都不會使信號產(chǎn)生新的頻率分量。另一類是非線性失真，是由信號通過非線性系統(tǒng)產(chǎn)生的，特點是信號通過系統(tǒng)后產(chǎn)生了新的頻率分量。

所謂無失真?zhèn)鬏斒切盘柾ㄟ^系統(tǒng)的輸出波形與輸入相比，只有幅度大小及時延的不同而形狀不變，如圖3.6-1所示。圖3.6-1無失真?zhèn)鬏?/p>

圖3.6-2無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的幅頻及相頻特性

式(3.6-4)是理想傳輸系統(tǒng)的頻域不失真條件。它要求系統(tǒng)具有無限寬的均勻帶寬，幅頻特性在全頻域內(nèi)為常數(shù);相移與頻率成正比，即相頻特性是通過

原

點

的

直

線。圖3.6-3-是無失真?zhèn)鬏斉c有相位失真波形的比較。

圖3.6-3無失真?zhèn)鬏斉c有相位失真的波形

由圖3.6-3可見，信號通過無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的延遲時間與相位特性的斜率有關(guān)。實際應(yīng)用中相頻特性也常用“群時延”表示。群時延定義為

由式(3.6-4)與式(3.6-5)不難推得信號傳輸不產(chǎn)生相位失真的條件是群時延為常數(shù)。

例3.6-1已知某系統(tǒng)的振幅、相位特性如圖3.6-4所示，輸入為x(t)，輸出為y(t)。求：

(1)給定

輸

入

x1-(t)=2cos10πt+sin12πt

及x2(t)=2cos10πt+sin26πt

時

的

輸

出y1(t)、y2(t);

(2)y1(t)、y2(t)有無失真?若有指出為何種失真。圖3.6-4例3.6-1傳輸系統(tǒng)的幅頻及相頻特性

解

由圖3.6-4可知該系統(tǒng)的振幅、相位函數(shù)為

利用周期非正弦信號響應(yīng)求解方法可得激勵為x1(t)、x2(t)時的響應(yīng)為

輸入信號在0≤ω≤20π范圍內(nèi)，輸出信號無失真。

輸入信號在0≤ω≤30π范圍內(nèi)，輸出有振幅失真。

3.7理想低通濾波器與物理可實現(xiàn)系統(tǒng)

有各種各樣的濾波器，最典型的有通帶振幅為1，阻帶振幅為0的理想濾波器。如理想低通、理想高通、理想帶通、理想帶阻濾波器等，其振幅特性如圖3.7-1所示。

圖3.7-1理想濾波器的幅頻特性

3.7.1理想低通濾波器及其沖激響應(yīng)理想低通濾波器的頻率特性如圖3.7-2所示，傳遞函數(shù)為式中，ωc

是通帶截止頻率，-t0

是相位特性斜率。

圖3.7-2理想低通濾波器的頻率特性

理想低通的單位沖激響應(yīng)為

理想低通的輸入與單位沖激響應(yīng)如圖3.7-3所示。

圖3.7-3理想低通濾波器的輸入與單位沖激響應(yīng)

3.7.2理想低通濾波器的階躍響應(yīng)

理想低通的階躍響應(yīng)g(t)為

圖3.7-5理想低通的階躍響應(yīng)

從圖3.7-5g(t)波形看，由于理想低通抑制了信號的高頻分量以及它在通帶內(nèi)的線性相移，輸出波形與輸入波形相比發(fā)生了畸變。

(1)響應(yīng)g(t)時間滯后。若以g(t)=1/2作為響應(yīng)的開始時間，則由以上分析已知此時為t0，即響應(yīng)延時了t0，這正是線性相移的斜率。

(2)響應(yīng)g(t)建立需要時間(脈沖上升時間)。若定義g(t)在t=t0

處斜率的倒數(shù)為響應(yīng)建立時間tr，則

若取g(t)從最小值上升到最大值為響應(yīng)建立時間tr1，由圖3.7-4可得

(3)t<0有輸出。由圖3.7-5再次看到輸出波形的起伏振蕩延伸到了t<0的時間區(qū)域。注意到激勵是t=0時刻加入的，t<0時有響應(yīng)出現(xiàn)說明系統(tǒng)是非因果的。

(4)吉布斯現(xiàn)象。響應(yīng)中的正弦積分Si(y)，最大峰值點在y=p處，最小峰值點在y=-p處，且

由式(3.7-3)可推得

從頻域角度看，理想濾波器就像一個“矩形窗”。“矩形窗”的寬度不同，截取信號頻譜的頻率分量就不同。利用矩形窗濾取信號頻譜時，在時域的不連續(xù)點處會出現(xiàn)上沖。增加ωc可以使響應(yīng)的上升時間減少，但卻無法改變近9%的上沖值，這就是吉布斯現(xiàn)象。例如圖3.7-6所示，兩種不同帶寬的理想低通，對同一矩形脈沖的響應(yīng)，其上沖值相同。這表明理想濾波器帶寬增加，可以改善均方誤差，減少輸出建立時間，但其最大誤差不會改變。只有改用其他形式的窗函數(shù)提取信號頻譜時，有可能消除上沖，改善其最大誤差。圖3.7-6不同帶寬的理想低通對矩形脈沖的響應(yīng)

例3.7-1電路系統(tǒng)及激勵f(t)=u(t)如圖3.7-7所示，用頻域法求解系統(tǒng)頻響函數(shù)及系統(tǒng)響應(yīng)y(t)，并繪出系統(tǒng)的頻響特性。圖3.7-7例3.7-2電路系統(tǒng)及激勵

解

先求解系統(tǒng)函數(shù)

如圖3.7-8所示。圖3.7-8例3.7-1電路系統(tǒng)頻率特性

再求系統(tǒng)輸出響應(yīng)y(t)

系統(tǒng)響應(yīng)如圖3.7-9所示。由圖3.7-9可見，響應(yīng)y(t)與激勵f(t)不同的是，在t=0時，f(t)沒有跳變?yōu)?，而是經(jīng)過一段上升過程，隨著時間趨于無窮才達到1。圖3.7-9例3.7-1電路系統(tǒng)輸出響應(yīng)

通常響應(yīng)y(t)上升到幅度的0.9時，誤差已滿足工程需要。因此可以定義響應(yīng)y(t)從0上升到0.9-的時間tr為系統(tǒng)響應(yīng)的上升時間。將此代入到輸出y(t)公式中

由式(3.7-5)解出

可見，tr

正比RC，RC

是該系統(tǒng)的時常數(shù)。若將tr與3分貝截止頻率相乘，有

例3.7-2如圖3.7-10所示系統(tǒng)，信號f(t)經(jīng)零階保持電路輸出為y(t)，求使系統(tǒng)最終輸出為f(t)的

H0(jω)。圖3.7-10例3.7-2的反濾波系統(tǒng)

解

由例3.5-4已求出系統(tǒng)的零階保持電路部分的系統(tǒng)函數(shù)為

整個系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為

所以

3.7.3頻帶寬度

實際系統(tǒng)(濾波器)或信號的頻帶寬度(簡稱帶寬)是描述系統(tǒng)(濾波器)或信號的重要指標之一。

另一類是從能量的角度定義頻帶寬度。若以低通零頻的歸一化幅度|H(0)|=1為基準，定義能量的對數(shù)衰減為

特別地，將ω=ωc處信號振幅是零頻的1/2代入式(3.7-8)，得到信號能量減半的對數(shù)衰減為

由式(3.7-8)得到的信號能量減半的頻率是濾波器的3dB帶寬截止角頻率，因此稱其為該濾波器的3dB帶寬。例3.7-1的ωc

是該濾波器的3dB帶寬，又因為ωc=1/(RC)=2πfc，所以fc

為該系統(tǒng)的3dB截止頻率。這種以能量下降3dB的頻率間隔作帶寬，適用于有一主峰的濾波器，如圖3.7-11所示(設(shè)主峰在0頻處)。圖3.7-11-3dB帶寬的系統(tǒng)

3.7.4物理可實現(xiàn)系統(tǒng)

通過對理想低通濾波器的時域特性分析，可知理想低通濾波器是物理不可實現(xiàn)的系統(tǒng)。LTI系統(tǒng)是否為物理可實現(xiàn)，時域與頻域都有判斷準則。LTI系統(tǒng)是物理可實現(xiàn)的，時域準則是系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)滿足因果性，即

若系統(tǒng)的幅度函數(shù)|H(ω)|滿足平方可積，即

由佩利-維納給出的頻域準則為：物理可實現(xiàn)系統(tǒng)的必要條件是

幅度函數(shù)不滿足這個準則的，其系統(tǒng)必為非因果的。這個準則既限制因果系統(tǒng)的幅度函數(shù)不能在某一頻帶內(nèi)為零，也限制幅度特性衰減不能太快。因為當|H(ω)|在ω1<ω<ω2-為零時，使式(3.7-11)積分不收斂，即

例3.7-3討論具有鐘形幅度特性的系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性。

解

系統(tǒng)的鐘形幅度特性為|H(ω)|=e-ω2-，對模平方函數(shù)積分有

滿足平方可積，代入式(3.7-11)佩利-維納準則有

3.8時域采樣與恢復(fù)(插值)

時域采樣是用數(shù)字技術(shù)處理連續(xù)信號的重要環(huán)節(jié)。采樣就是利用“采樣器”，從連續(xù)信號中“抽取”信號的離散樣值，如圖3.8-1所示。圖3.8-1-信號的采樣

這種離散的樣值函數(shù)通常稱為“采樣”信號。采樣信號是離散信號，一般用fs(t)表示。采樣信號在時間上離散化了，但它還不是數(shù)字信號，還需經(jīng)量化編碼轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字信號。所以數(shù)字信號是時間離散化、樣值量化的信號。本書中若不特別指明，離散信號與數(shù)字信號通用。

離散信號是在不連續(xù)的點上有確定值的信號。這些不連續(xù)的間隔可以是均勻的，也可以是不均勻的，本書所討論的間隔是均勻的。離散信號可以是實際存在的信號，如醫(yī)院人口出生統(tǒng)計等，也可以是對連續(xù)時間信號的采樣。

3.8.1時域采樣

最簡單的采樣器如圖3.8-2(a)所示，是一個電子開關(guān)。開關(guān)接通，信號通過，開關(guān)斷開，信號被短路。而這個電子開關(guān)的作用，可以用一個如圖3.8-2(b)所示的乘法器等效，圖中的p(t)是周期性開關(guān)函數(shù)。當p(t)為零時，乘法器輸出為零，等效為開關(guān)斷開，信號通不過去，反之亦然。這樣采樣信號fs(t)可表示為

式中，p(t)是周期為T的開關(guān)函數(shù)，相應(yīng)的采樣頻率fs=1/T，ωs=2πfs=2π/T。圖3.8-2采樣器與等效模型

式(3.8-6)表示，理想采樣的頻譜Fs(ω)是原信號頻譜F(ω)的加權(quán)周期重復(fù)，其中周期為ωs，加權(quán)系數(shù)是常數(shù)1/T。理想采樣信號與頻譜如圖3.8-3所示。如果從調(diào)制的角度分析式(3.8-6)，可以認為式中

的

F(ω)是

基

帶

頻

譜，而

F(ω±ωs)是

一

次

諧

波

調(diào)

制

頻

譜，F(xiàn)(ω±2ωs)是二次諧波調(diào)制頻譜，以此類推。這樣，理想采樣的頻譜Fs(ω)就是由基帶頻譜與各次諧波調(diào)制頻譜組成的。

周期沖激采樣可以認為是周期矩形采樣τ→0的極限情況，采樣后信號頻譜是原頻譜的周期重復(fù)且幅度一樣，所以也稱理想采樣。實際的采樣信號都有一定的脈沖寬度，不過當τ相對采樣周期T足夠小時，可以近似認為是理想采樣。圖3.8-3理想采樣信號與頻譜

3.8.2采樣定理

由對理想采樣信號頻譜Fs(ω)的討論可以知道，F(xiàn)s(ω)是原信號頻譜F(ω)的周期重復(fù)，重復(fù)的間隔為ωs。假設(shè)F(ω)是帶限信號，由圖3.8-4可見不同的ωs

對Fs(ω)的影響不同。當ωs≥2ωm

時，基帶頻譜與各次諧波頻譜彼此是不重疊的，F(xiàn)s(ω)是F(ω)無混疊的周期延拓，基帶頻譜保留了原信號的全部信息;可用一個理想低通(虛線框)提取出基帶頻譜，從而恢復(fù)f(t);而當ωs<2ωm

時，F(xiàn)s(ω)的基帶頻譜與諧波頻譜有混疊，無法提取基帶頻譜，也就不可能不失真恢復(fù)原信號f(t)。圖3.8-4采樣頻率不同時的頻譜

采樣定理表明了在什么條件下，采樣信號能夠保留原信號的全部信息。這就是

或

例3.8-1確定信號f(t)=Sa(50πt)的奈奎斯特頻率。

解

f(t)=Sa(50πt)，利用對稱性可得

這是最高角頻率為ωm=50πrad/s的矩形頻譜，信號的最高頻率fm=25Hz，所以f(t)的奈奎斯特頻率fs=50Hz。

3.8.3原信號的恢復(fù)

由圖3.8-4無混疊的Fs(ω)中提取原信號f(t)的頻譜F(ω)，可以用一矩形頻譜函數(shù)(理想低通)與Fs(ω)相乘，如圖3.8-5所示。

式中

H(ω)是理想低通濾波器，可以從滿足采樣定理的fs(t)中恢復(fù)原信號，其中低通的截止頻率應(yīng)滿足：圖3.8-5由理想低通恢復(fù)原信號的過程

在理想采樣情況下

恢復(fù)信號可由卷積定理推得

H(ω)的反變換為

把式(3.8-13)代入式(3.8-12)，得到

式中，Sa[ωc(t-nT)]是抽樣函數(shù)，也稱內(nèi)插函數(shù)。

若將T=1/(2fm)，ωs=2ωm，