2022北京市東城區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)真題試卷（學(xué)生版）

7/82022北京東城高二（上）期末數(shù)學(xué)第一部分（選擇題共30分）一、選擇題：共10小題，每小題3分，共30分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）下列直線中，傾斜角為銳角的是（A）（B）（C）（D）（2）已知為等差數(shù)列，且，，則（A）（B）（C）（D）（3）拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（A）（B）（C）（D）（4）已知平面，的法向量分別為，，且//，則（A） （B）1（C）（D）（5）已知△的三個(gè)頂點(diǎn)是，則邊上的高所在的直線方程為（A）（B）（C）（D）（6）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，，則，，，中，最大的是（A）（B）（C） （D）（7）在長方體中，，，點(diǎn)分別在棱上，//，，則（A）1 （B）（C）2（D）（8）“”是“圓與軸相切”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C)充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件（9）已知拋物線過點(diǎn)，點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系平面內(nèi)一點(diǎn)，若線段的垂直平分線過拋物線的焦點(diǎn)，則點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離的最小值為（A）（B）（C）（D）（10）均勻壓縮是物理學(xué)一種常見現(xiàn)象.在平面直角坐標(biāo)系中曲線的均勻壓縮，可用曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)來描述.設(shè)曲線上任意一點(diǎn)，若將曲線縱向均勻壓縮至原來的一半，則點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為.同理，若將曲線橫向均勻壓縮至原來的一半，則曲線上點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為.若將單位圓先橫向均勻壓縮至原來的一半，再縱向均勻壓縮至原來的，得到的曲線方程為（A） （B）（C）（D）第二部分（非選擇題共70分）二、填空題：共6小題，每小題4分，共24分。（11）若過點(diǎn)和的直線與直線平行，則．（12）寫出一個(gè)離心率且焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程________,并寫出該雙曲線的漸近線方程________．（13）已知數(shù)列滿足，，若，則．（14）已知點(diǎn)，平面過，，三點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為________．（15）1970年4月我國成功發(fā)射了第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號”，這顆衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地心（地球的中心）為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓.已知衛(wèi)星的近地點(diǎn)（離地面最近的點(diǎn)）距地面的高度約為439km，遠(yuǎn)地點(diǎn)（離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）距地面的高度約為2384km，且地心、近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)三點(diǎn)在同一直線上，地球半徑約為6371km，則衛(wèi)星運(yùn)行軌道是上任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為___________km．如圖，在棱長都為1的平行六面體中，，，兩兩夾角均為，則________；請選擇該平行六面體的三個(gè)頂點(diǎn)，使得經(jīng)過這三個(gè)頂點(diǎn)的平面與直線垂直.這三個(gè)頂點(diǎn)可以是________．三、解答題：共5小題，共46分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（17）（本小題8分）已知圓的方程為．（Ⅰ）求圓的圓心及半徑；（Ⅱ）是否存在直線滿足：經(jīng)過點(diǎn)，且_________________？如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請說明理由．從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問題中并作答：條件①：被圓所截得的弦長最長；條件②：被圓所截得的弦長最短；條件③：被圓所截得的弦長為．注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分．（18）（本小題9分）某學(xué)校一航模小組進(jìn)行飛機(jī)模型飛行高度實(shí)驗(yàn)，飛機(jī)模型在第一分鐘時(shí)間內(nèi)上升了10米高度．若通過動力控制系統(tǒng)，可使飛機(jī)模型在以后的每一分鐘上升的高度都是它在前一分鐘上升高度的75%．（Ⅰ）在此動力控制系統(tǒng)下，該飛機(jī)模型在第三分鐘內(nèi)上升的高度是多少米？（Ⅱ）這個(gè)飛機(jī)模型上升的最大高度能超過50米嗎？如果能，求出從第幾分鐘開始高度超過50米；如果不能，請說明理由．（19）（本小題10分）如圖，四棱錐中，底面為正方形，底面，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，平面棱．（Ⅰ）試確定的值，并證明你的結(jié)論；（Ⅱ）求平面與平面夾角的余弦值．（20）（本小題10分）已知橢圓過點(diǎn)，且離心率．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交橢圓于點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)．①若，求；②求的值．（21）（本小題9分）設(shè)等差數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù)，且滿足對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱這樣的數(shù)列具有性質(zhì)．（Ⅰ）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列是否具有性質(zhì)？并說明理由；（Ⅱ）若，求出具有性質(zhì)的數(shù)列公差的所有可能值；（Ⅲ）對于給定的，具有性質(zhì)的數(shù)列是有限個(gè)，還是可以無窮多個(gè)？(直接寫出結(jié)論)

2022北京東城高二（上）期末數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）（1）A（2）B（3）C（4）D（5）B（6）C（7）D（8）A（9）B（10）C二、填空題（共6小題，每小題4分，共24分）（11）3（12）（答案不唯一）（13）（14）（15）15565（16）點(diǎn)或點(diǎn)（填出其中一組即可）解答題（共5小題，共46分）（17）（共8分） 解：（Ⅰ）由圓的方程整理可得，所以圓心為，半徑為.4分（Ⅱ）選擇條件①：若直線被圓所截得的弦長最長，則直線應(yīng)過圓心.即直線過點(diǎn)和，則直線的方程為.8分選擇條件②：若直線過點(diǎn)被圓所截得的弦長最短，則直線應(yīng)與垂直.又，所以.故直線方程為．8分選擇條件③：經(jīng)過點(diǎn)的直線被圓所截得的最短弦長，由于，所以不存在滿足條件的直線．8分（18）（共9分）解：（Ⅰ）由題意，飛機(jī)模型每分鐘上升的高度構(gòu)成，公比的等比數(shù)列，則米.即飛機(jī)模型在第三分鐘內(nèi)上升的高度是米.5分（Ⅱ）不能超過米.6分依題意可得，所以這個(gè)飛機(jī)模型上升的最大高度不能超過米.9分（19）（共10分）解：（Ⅰ）.1分證明如下：在△中，因?yàn)辄c(diǎn)分別為的中點(diǎn)，所以//.又平面，平面，所以//平面.因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所?/所以//.在△中，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，即.5分（Ⅱ）因?yàn)榈酌鏋檎叫危?因?yàn)榈酌?，所以?如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，.因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以.所以，.設(shè)平面的法向量為，則即令，于是.又因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，所以所以平面與平面夾角的余弦值為.10分（20）（共10分）解：（Ⅰ）由題意得解得，．所以橢圓的方程為．4分（Ⅱ）①當(dāng)時(shí)，直線的斜率，則的垂線的方程為．由得解得故，，．7分②由，，顯然斜率存在，，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，直線過點(diǎn)且與直線垂直，則直線方程為．由得．顯然．設(shè)，，則，．則中點(diǎn)．直線的方程為，由得．所以．綜上的值為．