中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)壓軸題培優(yōu)專練專題07 幾何圖形的旋轉(zhuǎn)變換問題（解析版）

專題07幾何圖形的旋轉(zhuǎn)變換問題幾何圖形的旋轉(zhuǎn)變換在中考壓軸題中的考查非常頻繁。旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)：圖形通過旋轉(zhuǎn)，圖形中每一點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心沿相同的方向旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度，任意一對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線都是旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，旋轉(zhuǎn)過程中，圖形的形狀、大小都沒有發(fā)生變化。在解決旋轉(zhuǎn)變換的題目時(shí)，不僅要把握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和幾何圖形的性質(zhì)外，還要求考生能夠在圖形變換中找到不變的量，通過轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，將未知條件轉(zhuǎn)化為已知條件，陌生模型轉(zhuǎn)化為熟悉模型。 （2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0于點(diǎn)D，在DA上取點(diǎn)E，使SKIPIF1<0，連接BE、CE．(1)直接寫出CE與AB的位置關(guān)系；(2)如圖2，將SKIPIF1<0繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，得到SKIPIF1<0（點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別與點(diǎn)B，E對應(yīng)），連接SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)的過程中SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的位置關(guān)系與（1）中的CE與AB的位置關(guān)系是否一致?請說明理由；(3)如圖3，當(dāng)SKIPIF1<0繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°時(shí)，射線SKIPIF1<0與AD、SKIPIF1<0分別交于點(diǎn)G、F，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠DAB=45°，∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，可得結(jié)論；（2）通過證明SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由余角的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）由等腰直角的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，即可求解．【答案】(1)CE⊥AB，理由見解析；(2)一致，理由見解析；(3)SKIPIF1<0【詳解】（1）如圖，延長CE交AB于H，∵∠ABC=45°，AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°，∠ABC=∠DAB=45°，∵DE=CD，∴∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，∴∠BHC=∠BAD+∠AEH=90°，∴CE⊥AB；（2）在SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)的過程中SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的位置關(guān)系與（1）中的CE與AB的位置關(guān)系是一致的，理由如下：如圖2，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于H，由旋轉(zhuǎn)可得：CD=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=AD，∵∠ADC=∠ADB=90°，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0+∠DGC=90°，∠DGC=∠AGH，∴∠DASKIPIF1<0+∠AGH=90°，∴∠AHC=90°，SKIPIF1<0；（3）如圖3，過點(diǎn)D作DHSKIPIF1<0于點(diǎn)H，∵△BED繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴AD=2DH，AH=SKIPIF1<0DH=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（2）可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵AD⊥BC，CD=SKIPIF1<0，∴DG=1，CG=2DG=2，∴CG=FG=2，SKIPIF1<0，∴AG=2GF=4，∴AD=AG+DG=4+1=5，∴SKIPIF1<0．本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．（2022·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D，E，F(xiàn)分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，連接SKIPIF1<0．(1)如圖1，求證：SKIPIF1<0；(2)如圖2，將SKIPIF1<0繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到SKIPIF1<0，當(dāng)射線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)G，射線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)N時(shí)，連接SKIPIF1<0并延長交射線SKIPIF1<0于點(diǎn)M，判斷SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求SKIPIF1<0的長．（1）連接SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得SKIPIF1<0，根據(jù)中位線定理可得SKIPIF1<0，即可得證；（2）證明SKIPIF1<0，根據(jù)（1）的結(jié)論即可得SKIPIF1<0；（3）連接SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，勾股定理求得SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，進(jìn)而求得SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0，根據(jù)（2）的結(jié)論SKIPIF1<0，即可求解．【答案】(1)見解析；(2)SKIPIF1<0，理由見解析；(3)SKIPIF1<0【詳解】（1）證明：如圖，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，D，E，F(xiàn)分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，（2）SKIPIF1<0，理由如下，連接SKIPIF1<0，如圖，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，D，E，F(xiàn)分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0將SKIPIF1<0繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，（3）如圖，連接SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，中位線的性質(zhì)定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，求角的正確，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．（2022·山西·中考真題）綜合與實(shí)踐問題情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，將三角板的直角頂點(diǎn)D放在Rt△ABC斜邊BC的中點(diǎn)處，并將三角板繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊DE，DF分別與邊AB，AC交于點(diǎn)M，N，猜想證明：（1）如圖①，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)時(shí)，試判斷四邊形AMDN的形狀，并說明理由；問題解決：（2）如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求線段CN的長；（3）如圖③，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AM=AN時(shí)，直接寫出線段AN的長．（1）由三角形中位線定理得到SKIPIF1<0，證明∠A=∠AMD=∠MDN=90°，即可證明結(jié)論；（2）證明△NDC是等腰三角形，過點(diǎn)N作NG⊥BC于點(diǎn)G，證明△CGN∽△CAB，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；（3）延長ND，使DH=DN，證明△BDH≌△CDN，推出BH=CN，∠DBH=∠C，證明∠MBH=90°，設(shè)AM=AN=x，在Rt△BMH中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解．【答案】（1）四邊形AMDN為矩形；理由見解析；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0．【詳解】解：（1）四邊形AMDN為矩形．理由如下：∵點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，∴∠AMD+∠A=180°，∵∠A=90°，∴∠AMD=90°，∵∠EDF=90°，∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°，四邊形AMDN為矩形；（2）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，∴∠B+∠C=90°，SKIPIF1<0．∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴CD=SKIPIF1<0BC=5．∵∠EDF=90°，∴∠MDB+∠1=90°．∵∠B=∠MDB，∴∠1=∠C．∴ND=NC．過點(diǎn)N作NG⊥BC于點(diǎn)G，則∠CGN=90°．∴CG=SKIPIF1<0CD=SKIPIF1<0．∵∠C=∠C，∠CGN=∠CAB=90°，∴△CGN∽△CAB．∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）延長ND至H，使DH=DN，連接MH，NM，BH，∵M(jìn)D⊥HN，∴MN=MH，∵D是BC中點(diǎn)，∴BD=DC，又∵∠BDH=∠CDN，∴△BDH≌△CDN，∴BH=CN，∠DBH=∠C，∵∠BAC=90°，∵∠C+∠ABC=90°，∴∠DBH+∠ABC=90°，∴∠MBH=90°，設(shè)AM=AN=x，則BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=SKIPIF1<0x，在Rt△BMH中，BM2+BH2=MH2，∴(6-x)2+(8-x)2=(SKIPIF1<0x)2，解得x=SKIPIF1<0，∴線段AN的長為SKIPIF1<0．本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，勾股定理，解第（3）問的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．1．（2022·山東德州·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0.連接SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0．將SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)得到SKIPIF1<0．(1)連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0；(2)當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0恰好落在直線SKIPIF1<0上時(shí)，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)見解析；(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）先證得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而證明了結(jié)論；（2）先求得SKIPIF1<0的長，進(jìn)而求得SKIPIF1<0，然后利用勾股定理解直角三角形SKIPIF1<0，即可求得結(jié)果．【詳解】（1）證明：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由旋轉(zhuǎn)可知：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）如圖1，∵四邊形SKIPIF1<0是矩形，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由（1）知：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由勾股定理得，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，綜上所述，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．2．（2022·內(nèi)蒙古包頭·包鋼第三中學(xué)?？既＃┮阎猄KIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別在邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．設(shè)旋轉(zhuǎn)角為SKIPIF1<0(1)試說明SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，若點(diǎn)SKIPIF1<0恰好落在SKIPIF1<0邊中點(diǎn)處，求SKIPIF1<0的值；(3)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0恰好落在SKIPIF1<0邊上時(shí)，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)見解析；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，即可得證SKIPIF1<0；（2）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，設(shè)SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得SKIPIF1<0，進(jìn)而即可求解．（3）根據(jù)勾股定理求得SKIPIF1<0，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得SKIPIF1<0的長，證明SKIPIF1<0，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得SKIPIF1<0，即可求SKIPIF1<0的值．【詳解】（1）證明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．設(shè)旋轉(zhuǎn)角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，（2）SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0恰好落在SKIPIF1<0邊中點(diǎn)處，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0垂直平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，（3）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．3．（2022·浙江紹興·校聯(lián)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC=6，P為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PC＝x．(1)如圖①，當(dāng)x＝2時(shí)，求AQ的長；(2)如圖②，當(dāng)x＝3時(shí)，把△CPQ繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β度，（0＜β＜90°），求此時(shí)AQ的長；(3)如圖③，將△PCQ沿PQ翻折，得到△PQM，點(diǎn)M是否可以落在△ABC的某邊的中垂線上？如果可以，求出相應(yīng)的x的值；如果不可以，說明理由?！敬鸢浮?1)AQ=SKIPIF1<0；(2)AQ=SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理得出SKIPIF1<0，求出CQ的長度，即可求解答案；（2）先證明SKIPIF1<0，利用相似三角形的性質(zhì)求出SKIPIF1<0，過點(diǎn)C作CD⊥PQ于點(diǎn)D，再利用等面積法求出SKIPIF1<0，然后根據(jù)勾股定理分別求出DQ、AD長度，求解即可；（3）分別討論當(dāng)點(diǎn)M落在三角形ABC的邊AC的中垂線上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)M落在三角形ABC的BC的中垂線上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)M落在三角形ABC的BA的中垂線上時(shí)三種情況，根據(jù)矩形的判定和性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0BC=6，AC＝8，PC＝2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）圖形旋轉(zhuǎn)前，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，過點(diǎn)C作CD⊥PQ于點(diǎn)D，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（3）當(dāng)點(diǎn)M落在三角形ABC的邊AC的中垂線上時(shí)，設(shè)AC的中垂線交AC于點(diǎn)N，過點(diǎn)P作PD⊥AC的中垂線于點(diǎn)D，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形PCND是矩形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由翻折可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；當(dāng)點(diǎn)M落在三角形ABC的BC的中垂線上時(shí)，設(shè)BC的中垂線交BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)Q作QE⊥FM于點(diǎn)E，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形FCQE是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；當(dāng)點(diǎn)M落在三角形ABC的BA的中垂線上時(shí)，如圖可知，點(diǎn)M不可能落在三角形ABC的BA的中垂線上；綜上，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．4．（2022·浙江金華·校聯(lián)考二模）如圖，菱形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)E是射線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段BE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到EF，連接DE、DF．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)如圖2，連接BD，CF，當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相似時(shí)，求CE的長；(3)當(dāng)點(diǎn)D關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)落在菱形的邊上時(shí)，求AE的長．【答案】(1)見解析(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0的長為1或3或4或5或7【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，利用“SAS”得出SKIPIF1<0，即可得出BE=DE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出BE=EF，即可證明DE=EF；（2）先根據(jù)菱形的性質(zhì)求出BD=6，再分SKIPIF1<0或SKIPIF1<0兩種情況，分別求出CE的長即可；（3）根據(jù)點(diǎn)D關(guān)于EF的對稱點(diǎn)在AB上，BC上，與點(diǎn)B重合，與自身重合，其中與自身重合時(shí)又要根據(jù)點(diǎn)E在AO或OC上兩種情況進(jìn)行討論，分別畫出圖形，求出AE的長即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=AD，SKIPIF1<0，∵在△AEB和△AED中SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴BE=DE，∵根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知BE=EF，∴DE=EF．（2）∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，SKIPIF1<0，BO=DO，∴SKIPIF1<0，∴BD=2BO=6，∵△EBD一定是一個(gè)等腰三角形，∴△BED與△EFC相似存在兩種情況，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，根據(jù)解析（1）可知，DE=EF，∴SKIPIF1<0，∴CE=BD=6；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，∵BE=DE=EF，∴SKIPIF1<0，∵在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理可得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）；綜上分析可知，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．（3）SKIPIF1<0當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，點(diǎn)E在AO上時(shí)，點(diǎn)D關(guān)于EF的對稱點(diǎn)為其本身，符合題目要求，如圖所示：根據(jù)解析（1）可知，BE=DE，∵EO⊥BD，∴SKIPIF1<0，∵BO=DO，∴SKIPIF1<0，∵AO=4，∴SKIPIF1<0；②當(dāng)點(diǎn)D關(guān)于EF的對稱點(diǎn)SKIPIF1<0在BC上時(shí)，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，AC與SKIPIF1<0交于點(diǎn)G，如圖所示：根據(jù)解析（1）可知，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0垂直平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵∠BEF=90°，∴BE⊥FE，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；③當(dāng)點(diǎn)E在對角線的交點(diǎn)上時(shí)，點(diǎn)F在AC上，點(diǎn)D關(guān)于EF的對稱點(diǎn)正好在點(diǎn)B上，如圖所示：∴此時(shí)SKIPIF1<0；④當(dāng)點(diǎn)D關(guān)于EF的對稱點(diǎn)SKIPIF1<0在AB上時(shí)，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，AC與SKIPIF1<0交于點(diǎn)G，如圖所示：根據(jù)解析（1）可知，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0垂直平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵∠BEF=90°，∴BE⊥FE，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；⑤當(dāng)點(diǎn)E在OC上，點(diǎn)D關(guān)于EF的對稱點(diǎn)為其本身時(shí)，符合題目要求，如圖所示：根據(jù)解析（1）可知，BE=DE，∵EO⊥BD，∴SKIPIF1<0，∵BO=DO，∴SKIPIF1<0，∵AO=4，∴SKIPIF1<0；綜上分析可知，AE的長為：1或3或4或5或7．5．（2022·遼寧沈陽·統(tǒng)考二模）在正方形ABCD中，SKIPIF1<0，E是邊CD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C，D重合），分別連接AE，BE，將線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到EF，將線段BE繞點(diǎn)E逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到EG，連接DF，CG．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)時(shí)，求證：SKIPIF1<0；(2)如圖2，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)．直接寫出SKIPIF1<0的值；(3)如圖3，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，取AB的中點(diǎn)H，連接EH．①EH的長為；②DE的長為．【答案】(1)見解析；(2)SKIPIF1<0；(3)6.5；0.5【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，即可證得AE=BE，在利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可證得結(jié)論；（2）過點(diǎn)F作FM⊥CD，交CD的延長線于點(diǎn)M，過點(diǎn)G作GN⊥CD，交CD的延長線于點(diǎn)N，可證得△ADE≌△EMF，△BCE≌△ENG，可得DM=4，MF=2，CN=2，NG=4，再利用勾股定理，即可求得FD與CG的值，即可求解；（3）過點(diǎn)F作FP⊥CD，交CD的延長線于點(diǎn)P，過點(diǎn)G作GQ⊥CD，交CD的延長線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)F作FS⊥QG，交QG于點(diǎn)S，過點(diǎn)H作HR⊥CD，交CD于點(diǎn)R，可證得△ADE≌△EPF，△BCE≌△EQG，設(shè)DE=x，則CE=6-x，可得DP=6-x，PF=x，CQ=x，QG=6-x，利用勾股定理，即可求得EH，DE的長．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=BC，∠ADE=∠BCE，∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴DE=CE，在△ADE和△BCE中，SKIPIF1<0，∴△ADE≌△BCE（SAS），∴AE=BE，∵將線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到EF，將線段BE繞點(diǎn)E逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到EG，∴AE=EF，BE=EG，∴EF=EG．（2）解：過點(diǎn)F作FM⊥CD，交CD的延長線于點(diǎn)M，過點(diǎn)G作GN⊥CD，交CD的延長線于點(diǎn)N，如圖，∵FM⊥CD，GN⊥CD，∴∠M=90°，∠N=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADE=90°，∠BCE=90°，∴∠ADE=∠M，∠BCE=∠N，∴∠DAE+∠AED=90°，∠CBE+∠BEC=90°，∵將線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到EF，將線段BE繞點(diǎn)E逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到EG，∴AE=EF，BE=EG，∠AEF=90°，∠BEG=90°，∴∠FEM+∠AED=90°，∠GEN+∠BEC=90°，∴∠DAE=∠FEM，∠CBE=∠GEN，∴△ADE≌△EMF，△BCE≌△ENG，∴MF=DE，ME=AD=6，NG=CE，EN=BC=6，∵EC=2DE，∴DE=2，CE=4，∴MF=2，NG=4，∴DM=ME-DE=6-2=4，CN=EN-CE=6-4=2，由勾股定理得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（3）解：過點(diǎn)F作FP⊥CD，交CD的延長線于點(diǎn)P，過點(diǎn)G作GQ⊥CD，交CD的延長線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)F作FS⊥QG，交QG于點(diǎn)S，過點(diǎn)H作HR⊥CD，交CD于點(diǎn)R，如圖，設(shè)DE=x，則CE=6-x，由（2）可同理得，△ADE≌△EPF，△BCE≌△EQG，∴PF=DE=x，PE=AD=6，QG=CE=6-x，EQ=BC=6，∴DP=PE