教學(xué)課件1-《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》

等比數(shù)列的前n項(xiàng)和上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)，現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們首先回顧一下等比數(shù)列的有關(guān)內(nèi)容：在等比數(shù)列中，公比q是不能為0的。那它能為1嗎？若能，則是一個(gè)什么數(shù)列?定義式等

比

數(shù)

列通項(xiàng)公式

q

(n≥2，q≠0)an=

a1qn-1

(a1≠0且q≠0）即：…=

q(n≥2，q≠0)

傳說(shuō)古代印度有一國(guó)王喜愛(ài)國(guó)際象棋，中國(guó)智者云游到此，國(guó)王得知智者棋藝高超，于是派人請(qǐng)來(lái)智者與其對(duì)弈，并傲慢地說(shuō)：“如果你贏了我將答應(yīng)你的任何要求?！敝钦咝南?，我應(yīng)該治一治國(guó)王的傲慢，當(dāng)國(guó)王輸棋后，智者說(shuō)：“陛下只須派人用麥粒填滿象棋盤(pán)上的所有空格，第1格1粒，第2格2粒，第3格4粒，……依此下去，以后每格是前一格粒數(shù)的2倍?！眹?guó)王聽(tīng)后：哈哈大笑，這個(gè)問(wèn)題也太簡(jiǎn)單了罷！于是國(guó)王吩咐手下馬上去辦，可是過(guò)了好多天，手下驚慌地報(bào)到國(guó)王，大事不好了，即使我們印度近幾十年來(lái)生產(chǎn)的所有麥子加起來(lái)也還不夠啊！國(guó)王呆了！即求：

+++++=?1212223263…

分析：由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可知，任一項(xiàng)皆可用首項(xiàng)及公比來(lái)表示，因此上式可變?yōu)椋喝绻麑⒌仁舰賰蛇呁藂，則得到一個(gè)新的等式

我們注意觀察相鄰兩項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，有何特點(diǎn)？提出問(wèn)題：已知等比數(shù)列{an}，公比為q，

求

Sn=a1+a2+…+an

Sn

=a1+a1q+a1q2+…+a1qn—1 ①qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn

②從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)為前一項(xiàng)的q倍Sn=a1+a2+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1……①qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn……②①

-

②得Sn-qSn=a1-a1qn(1-q)Sn=a1-a1qn

⑴當(dāng)q≠1時(shí)

⑵當(dāng)q=1時(shí)Sn=Sn=na1即：當(dāng)q≠1時(shí)

Snan=

a1qn-1以上推導(dǎo)公式的方法我們稱之為“錯(cuò)位相減法”

等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可不只有上面這種方法?。∷耐茖?dǎo)方法還有好多種,有興趣的同學(xué)可別忘了下去研究??！等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為：以下問(wèn)題你能回答嗎？①公式中的qn的n是項(xiàng)數(shù)n嗎？是②在公式（1）中，當(dāng)q≠1時(shí)，分母是1－q時(shí)，分子是，分母是q－1時(shí)，分子是

。當(dāng)公比q不確定時(shí)，應(yīng)當(dāng)分q=1和q≠1兩種情況討論。練習(xí)：①等比數(shù)列1，21，22，23，…，263的所有項(xiàng)的和是（

）

A.264B.263－1C.264＋1D.264－1

②數(shù)列a，a2，a3，…，an的前n項(xiàng)和為（）

A.B.0C.nD.以上都不對(duì)③等比數(shù)列，，，…

前8項(xiàng)和為_(kāi)____________DD264-1，這個(gè)數(shù)很大,超過(guò)了1.84×1019,假定千粒麥子的質(zhì)量為40g，則填滿棋盤(pán)所需麥粒的總質(zhì)量約為7000億噸。++++=?“

，，”………一尺之棰日取其半萬(wàn)世不竭n天之后取得的木棒的總長(zhǎng)呢？1n天之后，我們總共取的木棒長(zhǎng)度為：Sn=例1：遠(yuǎn)望巍巍塔七層，分析：這首古詩(shī)前三句給大家展現(xiàn)了一幅美麗的夜景，最后一句把它變成了一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題？你能用今天的知識(shí)求出這首古詩(shī)的答案嗎？

紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，其燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？這首古詩(shī)的答案是什么？？解：設(shè)尖頭有燈a1盞，則由題意得：

S7=

解得

a1

=3，故尖頭有燈3盞

數(shù)學(xué)建模：已知等比數(shù)列，公比q=2n=7，S7=381求a1

通過(guò)上面例題與習(xí)題的求解，可以看出，在公式中涉及到了五個(gè)量，我們只要知道其中的三個(gè)量，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就可以求出另外兩個(gè)量。即“知三求二”。

例2：求和：

Sn=分析：上面各括號(hào)內(nèi)的式子均由兩項(xiàng)組成，其中各括號(hào)內(nèi)的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)分別組成等比數(shù)列。分別求這兩個(gè)等比數(shù)列的和，就能得到所求式子的和。

Sn==（x+x2+…+xn）+()

==解:∵引申：（1）當(dāng)把x≠1這個(gè)條件去掉時(shí)，上式該如何求和呢？（2）當(dāng)把x≠1，y≠1這兩個(gè)條件去掉時(shí)，上式又該如何求和呢？Sn=分析：應(yīng)該分x=1和x≠1兩種情況討論分析：應(yīng)該分①x=1，y=1②x=1，y≠