《電工基礎(chǔ)及測量》課件第4章

第4章正弦交流電路4.1正弦量的基本概念及其相量表示法4.2正弦交流電路中的電阻、電感、電容4.3電路定律的相量形式4.4阻抗和導(dǎo)納4.5

RLC串聯(lián)、并聯(lián)電路4.6正弦交流電路中的相量分析4.7正弦交流電路中的功率習(xí)題

4.1正弦量的基本概念及其相量表示法

在一個(gè)周期內(nèi)平均值為零的周期電流(或電壓)叫做交變電流(或電壓)。交變電流(或電壓)中，被廣泛應(yīng)用的是隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化的，叫做正弦電流(或電壓)，統(tǒng)稱正弦量。一般所說的交流電都是指正弦交流電。

具有動(dòng)態(tài)元件的電路叫動(dòng)態(tài)電路。如果線性動(dòng)態(tài)電路中所有電壓源的電壓uS(t)和電流源的電流iS(t)都是同頻率的正弦量，電路中的所有響應(yīng)終將成為與激勵(lì)同頻率的正弦量，這種情況下的電路就是通常說的正弦交流電路。4.1.1正弦量的三要素

圖4-1(a)表示一段正弦交流電路。電流i在所指定的參考方向下，其一般解析式為

i(t)=Imsin(ωt+φ) (4-1)

波形圖如圖4-1(b)所示(設(shè)φ>0)。正弦量的大小、方向隨時(shí)間變化，若瞬時(shí)值為正，表示其方向與所選參考方向一致；若瞬時(shí)值為負(fù)，則表示其方向與所選參考方向相反。圖4-1正弦量的波形圖式(4-1)中，Im為正弦電流的幅值，它是正弦電流在整個(gè)變化過程中所能達(dá)到的最大值；(ωt+φ)叫做正弦量的相位角，簡稱相位。相位反映了正弦量每一瞬間的狀態(tài)。隨著時(shí)間的推移，相位逐漸增大。相位每增加2π，正弦量就經(jīng)歷了一個(gè)周期。ω是正弦電流的角頻率，它是相位隨時(shí)間變化的速率，單位是rad/s，與正弦量的周期和頻率有如下關(guān)系。

ω、T、f都是反映正弦量變化快慢的量，ω越大，即f越大或T越小，正弦量變化就越快。直流量可以看成f=0(T=∞)時(shí)的正弦量。(4-2)我國和世界上大多數(shù)國家，電力工業(yè)的標(biāo)準(zhǔn)頻率，即所謂的“工頻”都是50Hz。

當(dāng)t=0時(shí)，相位為φ，稱其為正弦量的初相。初相反映了正弦量在計(jì)時(shí)起點(diǎn)的狀態(tài)。規(guī)定|φ|≤180°。

正弦量的初相與計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選擇有關(guān)。當(dāng)t=0時(shí)，函數(shù)值的正、負(fù)與對(duì)應(yīng)φ的正、負(fù)號(hào)相同。如圖4-2所示。圖4-2計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選擇

例4-1已知選定參考方向下的波形如圖4-3所示，試寫出正弦量的解析式。

解

圖4-3例4-1圖4.1.2相位差

設(shè)有兩個(gè)同頻率的正弦量為

u1(t)=U1msin(ωt+φ1)

u2(t)=U2m

sin(ωt+φ2)

它們的相位之差稱為相位差，用φ12表示，即

φ12=(ωt+φ1)－(ωt+φ2)=φ1－φ2

可見，同頻率正弦量的相位差等于它們的初相之差。

若φ12>0，表示u1超前u2，或者說u2滯后u1，如圖4-4(a)所示。

若φ12=0，表明u1與u2同時(shí)達(dá)到零值和最大值，稱之為同相，如圖4-4(b)所示。

若φ12=±180°，稱之為反相，如圖4-4(c)所示。圖4-4相位差的幾種情況

例4-2三個(gè)正弦電壓uA(t)=310sin314tV，uB(t)=14.1sin(314t－30°)V，uC(t)=220sin(314t+45°)V，若以u(píng)B(t)為參考正弦量，寫出三個(gè)正弦電壓的解析式。

解以u(píng)B(t)為參考正弦量，則uB(t)的表達(dá)式為

uB(t)=14.1sin314tV

由于uA(t)與uB(t)的相位差為

φAB=φA－φB=0°－(－30°)=30°

故uA(t)的瞬時(shí)值表達(dá)式為

uA(t)=310sin(314t+30°)V

uC(t)與uB(t)的相位差為

φCB=φC－φB=45°－(－30°)=75°

故uC(t)的瞬時(shí)值表達(dá)式為

uC(t)=220sin(314t+75°)V4.1.3有效值

周期電壓和電流的瞬時(shí)值是隨時(shí)間變化的，無論是測量還是計(jì)算都不方便，因此在實(shí)際工程中，引入了有效值。周期量的有效值用大寫字母表示，如I，U等。

交流量的有效值是根據(jù)電流的熱效應(yīng)原理來規(guī)定的。如某一交流電流和一直流電流分別通過同一電阻R，若在一個(gè)周期T內(nèi)所產(chǎn)生的熱量相等，那這個(gè)直流電流I的數(shù)值叫做交流電流i的有效值。由此得出所以交流電流的有效值為

同理，交流電壓的有效值為

對(duì)于正弦量，設(shè)

i(t)=Imsin(ωt+φ)(4-3)由式(4-3)，它的有效值

可見，正弦量的有效值等于它的最大值除以。(4-4)同理，交流電壓的有效值與其最大值之間的關(guān)系為

交流電器設(shè)備銘牌上所標(biāo)的電壓值和電流值都是指有效值。一般交流電壓表、電流表的標(biāo)尺都是按有效值刻度的。如不加說明，交流量的大小都是指有效值。

所以，正弦量的解析式也可以表示為(4-5)4.1.4復(fù)數(shù)

設(shè)A為復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的代數(shù)形式為

A=a+jb (4-6)

式中，a、b分別為復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，可分別用Re［A］、Im［A］來表示， 為虛單位。復(fù)數(shù)A可以用復(fù)平面上的復(fù)矢量來表示，如圖4-5所示。

式中，r是復(fù)數(shù)的大小，稱為復(fù)數(shù)的模。(4-7)(4-8)圖4-5復(fù)數(shù)A的復(fù)平面表示式中，φ是復(fù)數(shù)與實(shí)軸正方向的夾角，稱為復(fù)數(shù)的輻角，由圖4-5可知

a=rcosφ,

b=rsinφ

復(fù)數(shù)的三角函數(shù)形式為

A=rcosφ+jrsinφ (4-9)

復(fù)數(shù)的指數(shù)形式為

A=rejφ

(4-10)

復(fù)數(shù)的指數(shù)形式寫成極坐標(biāo)形式為

A=r∠φ

(4-11)

復(fù)數(shù)的四種表示形式可以相互轉(zhuǎn)換，復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算可用代數(shù)形式，復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算可用指數(shù)形式或極坐標(biāo)形式。設(shè)有兩個(gè)復(fù)數(shù)

A=a1+jb1=r1∠θ1，B=a2+jb2=r2∠θ2

則

A±B=(a1±a2)+j(b1±b2)

A·B=r1∠θ1·r2∠θ2=r1r2∠(θ1+θ2)

例4-3已知A=3+j4，B=4－j3，求AB和。

解

AB=(3+j4)×(4－j3)=5∠53.1°×5∠－36.9°=25∠16.2°4.1.5正弦量的相量表示法

用復(fù)數(shù)表示正弦量，并用于正弦電路分析計(jì)算的方法稱為正弦量的相量法。設(shè)正弦電流為

我們把模等于正弦量的有效值，輻角等于正弦量的初相的復(fù)數(shù)，稱為該正弦量的相量。相量由該對(duì)應(yīng)正弦量的模量符號(hào)頂上加一圓點(diǎn)“·”來表示。

相量的模等于正弦量的有效值時(shí)，稱為有效值相量，用

表示。(4-12)相量的模等于正弦量的最大值時(shí)，稱為最大值相量，用

表示。

將一些同頻率正弦量的相量畫在同一復(fù)平面上，所成的圖形叫做相量圖。

例4-4已知

寫出i1和i2的相量并畫出相量圖。(4-13)

解

i1的相量

i2的相量為

相量圖見圖4-6所示。圖4-6例4-4圖4.2正弦交流電路中的電阻、電感、電容

4.2.1電阻元件

1.電壓電流關(guān)系

在圖4-7(a)中，設(shè)電流為

關(guān)聯(lián)參考方向下電阻元件的電壓、電流關(guān)系為

上式表明電阻兩端的電壓u和電流i是同頻率的正弦量，它們之間的關(guān)系如下：

U=IR

(4-14)

ju=ji

(4-15)

波形圖如圖4-7(b)所示(設(shè)ji=0)。圖4-7電阻元件的i、u、p波形及電壓電流相量圖相量關(guān)系為

即

式(4-16)既表明了u，i的相位關(guān)系，又表明了u，i的有效值關(guān)系，體現(xiàn)了相量形式的歐姆定律。相量圖如圖4-7(c)所示。(4-16)

2.功率

在交流電路中，任意瞬間元件的電壓瞬時(shí)值與電流瞬時(shí)值的乘積，叫做該元件的瞬時(shí)功率。用小寫字母p表示。

設(shè)ji=0，電阻元件所吸收的瞬時(shí)功率為

p的波形圖如圖4-7(d)所示，它是隨時(shí)間以兩倍于電流的頻率而變化的，但p的值總是正的，因?yàn)殡娮枋呛哪茉?4-17)瞬時(shí)功率無實(shí)用意義，因?yàn)樵趯?shí)際工程中都是計(jì)算一個(gè)周期內(nèi)瞬時(shí)功率的平均值，稱為平均功率或有功功率，簡稱功率。用大寫字母P表示。

功率的單位是瓦(W)或千瓦(kW)。

例4-5一個(gè)電阻R=100W，通過的電流i(t)=1.41sin(wt+60°)A。試求：

(1)R兩端的電壓相量及瞬時(shí)值表達(dá)式u；

(2)R消耗的功率P。(4-18)

解

(1)電流相量為

電壓相量為

電壓瞬時(shí)值表達(dá)式為

(2)平均功率為

P=UI=1×100=100W4.2.2電感元件

1.電壓、電流關(guān)系

在圖4-8(a)中，設(shè)電流為

在關(guān)聯(lián)參考方向下，電感元件的電壓、電流關(guān)系為圖4-8電感元件i、u、p波形及電壓電流相量圖上式表明：電感兩端電壓u和電流i是同頻率的正弦量，電壓超前電流。它們之間的關(guān)系為

U=wLI

(4-20)

從式(4-20)可得

即當(dāng)U一定時(shí)，wL越大，I就越小。wL反映了電感對(duì)正弦電流的阻礙作用，稱為感抗，用XL表示。

XL=wL=2pfL

(4-21)

XL的單位為歐姆(W)。在L一定時(shí)，頻率越高，感抗越大。當(dāng)w=0時(shí)(直流)，XL=wL=0，電感元件如同短路。

感抗的倒數(shù)為

BL稱為感納，單位為西門子(S)。

u，i波形圖如圖4-8(b)所示(設(shè)ji=0)。

相量關(guān)系為

即(4-22)

2.功率

設(shè)ji=0，關(guān)聯(lián)參考方向下電感元件吸收的瞬時(shí)功率為

可以看出，瞬時(shí)功率是以兩倍于電流的頻率，按正弦規(guī)律變化的，最大值為UI。瞬時(shí)功率p的波形如圖4-8(d)所示，從圖中可以看出在電流的第一個(gè)1/4周期內(nèi)，電流為正而且增加，電壓和電流方向一致，p>0，電感元件從外部接受能量，轉(zhuǎn)變?yōu)榇艌瞿芰績?chǔ)存著。第一個(gè)1/4周期末，電流達(dá)最大值，磁場能量達(dá)最大值；在第二個(gè)1/4周期內(nèi)，電流減小，電壓和電流方向相反，p<0，電感元件向外釋放儲(chǔ)能，磁場能量減少；到第二個(gè)1/4周期末，電流為零，磁場能量也為零，原先的儲(chǔ)能全部釋放給外部。電感中的能量就這樣交替進(jìn)行，在一個(gè)周期內(nèi)吸收和放出的能量相等，即電感元件接收的平均功率為零，因?yàn)樗莾?chǔ)能元件，不消耗能量，故只與外部進(jìn)行能量的交換。P也可以由下式計(jì)算出

為了衡量電感與外部進(jìn)行能量交換的規(guī)模，引入了無功功率QL，它是瞬時(shí)功率的最大值。

QL只反映電感中能量交換的速率，不是實(shí)際做功的功率，它的單位是乏(var)或千乏(kvar)。(4-23)

例4-6一個(gè)電感線圈，已知電感L=0.1H，電阻可忽略不計(jì)，流過它的電流為 。試求：

(1)該電感的感抗XL；

(2)電感兩端的電壓相量及瞬時(shí)值表達(dá)式u；

(3)無功功率QL。

解

(1)該電感的感抗

XL=ωL=200×0.1=20Ω

(2)電流相量為電壓相量為

所以電壓瞬時(shí)值表達(dá)式為

(3)無功功率

QL=UI=15×300=4500var4.2.3電容元件

1.電壓、電流關(guān)系

在圖4-9(a)中，設(shè)電壓為

關(guān)聯(lián)參考方向下，電容元件的電壓、電流關(guān)系為上式表明：電容兩端電壓u和電流i是同頻率的正弦量，電流超前電壓π/2，它們之間的關(guān)系如下：

從式(4-26)可得(4-25)(4-26)當(dāng)U一定時(shí)，1/wC越大，I就越小。1/wC反映了電容對(duì)正弦電流的阻礙作用，稱為容抗，用XC表示。即

XC的單位為歐姆(Ω)。

在C一定時(shí)，頻率越高，容抗就越小。當(dāng)w=0(直流)時(shí)，XC→∞，電容元件如同開路。

容抗的倒數(shù)

BC稱為容納，單位為西門子(S)。(4-27)

u，i波形圖如圖4-9(b)所示(設(shè)ju=0)。

相量關(guān)系為

即

式(4-28)不僅表明了電容元件電壓、電流有效值的關(guān)系，也表明了它們之間的相位關(guān)系。

u，i相量圖如圖4-9(c)所示。(4-28)圖4-9電容元件的i、u、p波形圖及電壓電流相量圖

2.功率

設(shè)ju=0，關(guān)聯(lián)參考方向下電容元件吸收的瞬時(shí)功率為

上式表明，瞬時(shí)功率是以兩倍于電源的頻率按正弦規(guī)律變化的，最大值為UI。瞬時(shí)功率p的波形圖如圖4-9(d)所示。從圖中可以看出，在電壓的第一個(gè)1/4周期內(nèi)，電壓為正而且逐漸增加，電壓和電流方向一致，p>0，電容元件從外部接收能量，轉(zhuǎn)變?yōu)殡妶瞿芰績?chǔ)存著；第一個(gè)1/4周期末，電壓達(dá)最大值，電場能量達(dá)最大值；在第二個(gè)1/4周期內(nèi)，電壓減小，電壓和電流方向相反，p<0，電容元件向外釋放儲(chǔ)能，電場能量減少；到第二個(gè)1/4周期末，電壓為零，電場能量也為零，原先的儲(chǔ)能全部釋放給外部。電容中的能量就這樣交替進(jìn)行，在一個(gè)周期內(nèi)吸收和放出的能量相等，即電容元件接收的平均功率為零，因?yàn)樗莾?chǔ)能元件，不消耗能量，只與外部進(jìn)行能量的交換。P也可以由下式計(jì)算出

同樣，為了衡量電容與外部進(jìn)行能量交換的規(guī)模，引入無功功率QC。

無功功率QC的單位也是乏(var)或千乏(kvar)。

例4-7流過0.5F電容的電流

，試求：

(1)該電容的容抗XC；

(2)電容兩端的電壓相量及瞬時(shí)值表達(dá)式u；

(3)無功功率QC。(4-30)(4-29)

解

(1)容抗

(2)電流相量為

電壓相量為

電壓瞬時(shí)值表達(dá)式為

(3)無功功率

QC=－UI=－0.02×1=－0.02var

4.3電路定律的相量形式

4.3.1基爾霍夫定律的相量形式

KCL適用于電路的任一瞬間，與元件性質(zhì)無關(guān)，在交流電路的任一瞬間，連接在電路任一節(jié)點(diǎn)的各支路電流瞬時(shí)值的代數(shù)和為零，即

∑i=0

(4-31)

在正弦交流電路中，各電流都是同頻率的正弦量，把這些正弦量用相量表示，便有連接在電路任一節(jié)點(diǎn)的各支路電流的相量的代數(shù)和為零，即

這就是基爾霍夫電流定律的相量形式。(4-32)

KVL也適用于電路的任一瞬間，與元件性質(zhì)無關(guān)，在交流電路的任一瞬間，任一回路的各段電壓瞬時(shí)值代數(shù)和為零，即

∑u=0

(4-33)

各電壓為同頻率正弦量時(shí)，把這些正弦量用相量表示，便有：任一回路的各段電壓相量的代數(shù)和為零，即

這就是基爾霍夫電壓定律的相量形式。(4-34)4.3.2電路元件R、L、C的電壓、電流關(guān)系的相量形式

電阻元件歐姆定律的相量形式

電感元件歐姆定律的相量形式

電容元件歐姆定律的相量形式

以上公式中，元件的電壓和電流均取關(guān)聯(lián)參考方向。

例4-8圖4-10(a)、(b)所示電路中，已知電流表A1、A2、A3都是10A，求電路中電流表A的讀數(shù)。圖4-10例4-8圖

解設(shè)端電壓 。

(1)選定電流的參考方向如圖(a)所示，則

(電流與電壓同相)

(電流的相位滯后于電壓90°)

由KCL得

所以電流表A的讀數(shù)為 。(注意：這與直流電路是不同的，總電流不是20A。)

(2)選定電流的參考方向如圖(b)所示，則

(電流的相位超前于電壓90°)

由KCL得

所以電流表A的讀數(shù)為10A。

例4-9圖4-11(a)、(b)所示電路中，已知電壓表V1、V2、V3的讀數(shù)都是50V，試分別求各電路中電壓表V的讀數(shù)。

解設(shè)總的電流 。

(1)選定電壓的參考方向如圖4-11(a)所示，則

(與電流同相)

(超前于電流90°)

由KVL得

所以電壓表V的讀數(shù)為 。圖4-11例4-9圖

(2)選定電壓的參考方向如圖4-11(b)所示，則

(滯后于電流90°)

由KVL得

所以電壓表V的讀數(shù)為50V。

4.4阻抗和導(dǎo)納

4.4.1阻抗

正弦交流電路中，設(shè)有一無源二端網(wǎng)絡(luò)，端電壓和電流均用相量表示，如圖4-12(a)所示。關(guān)聯(lián)參考方向下，端口電壓相量與電流相量的比值定義為阻抗Z，即

阻抗Z的單位是歐姆(W)，用阻抗表示的無源二端網(wǎng)絡(luò)的電路模型如圖4-12(b)所示。(4-35)圖4-12二端網(wǎng)絡(luò)的復(fù)阻抗由阻抗定義式可知，單一元件R、L、C的阻抗分別為

設(shè)二端網(wǎng)絡(luò)的電壓、電流相量分別為

則(4-36)(4-37)可知Z是一個(gè)復(fù)數(shù)，|Z|和j分別為阻抗的模和阻抗角。則

j=ju－ji

(4-39)

可見，阻抗的模等于端口電壓和電流有效值之比，阻抗角等于電壓與電流的相位差。

式(4-37)是阻抗的極坐標(biāo)形式，也可寫成代數(shù)形式，即

Z=R+jX

(4-40)

R為阻抗的電阻，X為阻抗的電抗。則

R、|Z|與X的關(guān)系也可用直角三角形表示，稱為阻抗三角形，如圖4-13所示。(4-38)(4-41)(4-42)圖4-13阻抗三角形4.4.2導(dǎo)納

阻抗的倒數(shù)叫做導(dǎo)納，用Y表示，即

Y也是復(fù)數(shù)，單位為西門子(S)。

Z=R+jX

則

可見，導(dǎo)納的模|Y|等于電流有效值除以電壓有效值，輻角j'稱為導(dǎo)納角，等于電流與電壓的相位差。

導(dǎo)納的代數(shù)形式為

Y=G+jB

式中，G稱為導(dǎo)納的電導(dǎo)，B稱為導(dǎo)納的電納。(4-43)4.4.3阻抗的串聯(lián)和并聯(lián)

正弦交流電路中的阻抗Z與直流電路中的電阻R是對(duì)應(yīng)的，直流電路中的電阻的串并聯(lián)公式同樣可以擴(kuò)展到正弦交流電路中，用于阻抗的串并聯(lián)計(jì)算。

多個(gè)阻抗串聯(lián)時(shí)，如圖4-14(a)所示，其總阻抗等于各個(gè)分阻抗之和，即

Z=Z1+Z2+…+Zn

(4-44)

多個(gè)阻抗并聯(lián)時(shí)，如圖4-14(b)所示，其總阻抗的倒數(shù)等于各個(gè)分阻抗倒數(shù)之和，即

上式可用導(dǎo)納表示為

Y=Y1+Y2+…+Yn

(4-45)圖4-14阻抗的串聯(lián)、并聯(lián)電路 4.5

RLC串聯(lián)、并聯(lián)電路

4.5.1

RLC串聯(lián)電路

1.電壓電流關(guān)系

RLC串聯(lián)電路如圖4-15所示，按習(xí)慣選各量參考方向示于圖中，由于各元件電流相等，故以電流為正弦參考量。圖4-15

RLC串聯(lián)電路設(shè) ，則各元件的電壓相量分別為

由KVL得端口電壓相量之間的關(guān)系為

端口電壓大小之間的關(guān)系為(4-46)(4-47)

2.電路的性質(zhì)

RLC串聯(lián)電路有以下三種不同的性質(zhì)：

(1)當(dāng)電抗X>0，即XL>XC時(shí)，UL>UC， ，比電流超前p/2，阻抗角j>0，電壓超前電流角度j，電感的作用大于電容的作用，此時(shí)電路呈感性。相量圖如圖4-16(a)所示。

(2)當(dāng)電抗X<0，即XL<XC時(shí)，UL<UC， ，比電流滯后p/2，阻抗角j<0，電壓滯后電流角度j，電容的作用大于電感的作用，此時(shí)電路呈容性。相量圖如圖4-16(b)所示。

(3)當(dāng)電抗X=0，即XL=XC時(shí)，UL=UC， ,阻抗角j=0，電壓與電流同相，這樣的電路叫串聯(lián)諧振，此時(shí)電路呈電阻性。相量圖如圖4-16(c)所示。圖4-16

RLC串聯(lián)電路的相量圖

例4-10一個(gè)R=5W，L=150mH的線圈和一個(gè)C=100mF的電容器串聯(lián)，接到220V的工頻電源上，f=50Hz，求電路中的電流及線圈的電壓。

解

XL=wL=2pfL=100p×150×10－3=47.12W

電路的阻抗

Z=R+j(XL－XC)

=5+j(47.12－31.83)

=5+j15.29

=16.09∠71.89°W設(shè) ，則電路電流為

線圈阻抗為

ZRL=R+jXL=5+j47.12=47.38∠83.94°W

線圈電壓為

例4-11用電感降壓來調(diào)整的電風(fēng)扇的等效電路如圖4-17(a)所示，已知R=190W，XL1=260W，電源電壓U=220V，f=50Hz，要使U2=180V，問串聯(lián)的電感Lx應(yīng)為多少？

解以為參考量，即設(shè) ，如圖4-17(b)所示。由已知條件得

Z=R+jXL1=190+j260W=322∠53.8°W

所以圖4-17例4-11圖由相量圖得

代入數(shù)據(jù)

解得4.5.2

RLC并聯(lián)電路

1.電壓電流關(guān)系

RLC并聯(lián)電路如圖4-18所示，按習(xí)慣選各量參考方向示于圖中，由于各元件電壓相等，故以電壓為正弦參考量。圖4-18

RLC并聯(lián)電路設(shè) ，則各元件的電流相量分別為

由KCL得端口電流相量之間的關(guān)系為

端口電流大小之間的關(guān)系為

2.電路的性質(zhì)

RLC并聯(lián)電路有以下三種不同性質(zhì)：

(1)當(dāng)電納B>0，即BC>BL時(shí)，IC>IL， ，比電壓超前p/2。端口電流超前端口電壓，此時(shí)電路呈容性。相量圖如圖4-19(a)所示。

(2)當(dāng)電納B<0，即BC<BL時(shí)，IC<IL， ，比電壓滯后p/2。端口電流滯后端口電壓，此時(shí)電路呈感性。相量圖如圖4-19(b)所示。

(3)當(dāng)電納B=0，即BC=BL時(shí)，IC=IL， ，端口電流與端口電壓同相，這也是一種特殊情況，稱為并聯(lián)諧振。相量圖如圖4-19(c)所示。圖4-19

RLC并聯(lián)電路相量圖

例4-12如圖4-20所示并聯(lián)電路中，已知端電壓u=220

sin(314t－30°)V，R1=R2=6W，XL=XC=8W，試求：

(1)總導(dǎo)納Y。

(2)各支路電流、和總電流。圖4-20例4-12圖

解選u、i、i1、i2的參考方向如圖4-20所示。由已知 ，有

(1)

(2) 4.6正弦交流電路中的相量分析

前面分析的都是簡單的正弦交流電路，對(duì)于任意復(fù)雜的正弦交流電路，如果構(gòu)成電路的電阻、電感、電容元件都是線性的，電路中各部分的響應(yīng)(電壓、電流)都是和電源同頻率的正弦量。于是，可將正弦交流電路中的所有激勵(lì)和響應(yīng)用相量表示，對(duì)每一個(gè)不含獨(dú)立源的二端網(wǎng)絡(luò)(或元件)引用阻抗(或?qū)Ъ{)，用分析計(jì)算線性電阻性電路的方法和定理可類推來分析計(jì)算正弦交流電路，這樣的方法稱為相量分析法。

用相量分析法時(shí)，在電路圖中，常對(duì)每一個(gè)激勵(lì)和響應(yīng)都注以它的相量，對(duì)每一個(gè)無源二端網(wǎng)絡(luò)(或元件)都注以它的復(fù)阻抗或復(fù)導(dǎo)納，以便仿用電阻性電路的方法，這樣的圖形叫做原電路的相量模型。如RLC串聯(lián)電路的相量模型，如圖4-21所示。圖4-21

RLC串聯(lián)電路的相量模型

例4-13如圖4-22所示，已知R1=7W，R2=3W，wL=52W， ， ，試求：

(1)等效阻抗；

(2)支路電流、。

解(1)

等效阻抗為圖4-22例4-13圖

(2)支路電流、分別為

例4-14如圖4-23所示電路中，已知

Z1=j20W，Z2=j10W，Z3=40W，試求Z3的電流

。

解采用戴維南定理進(jìn)行計(jì)算：

Z3所接二端網(wǎng)絡(luò)的開路電壓相量為圖4-23例4-14圖

Z3所接二端網(wǎng)絡(luò)除源后的總阻抗為

則

此題還可用支路電流法、節(jié)點(diǎn)電壓法解之，請(qǐng)讀者自己分析。

4.7正弦交流電路中的功率

4.7.1瞬時(shí)功率

以正弦交流電路中一個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)為對(duì)象，取關(guān)聯(lián)參考方向，設(shè)其電壓、電流為

式中，j即為網(wǎng)絡(luò)的阻抗角。網(wǎng)絡(luò)吸收的瞬時(shí)功率為

上式表明，瞬時(shí)功率由pa(t)，pr(t)兩個(gè)分量組成。其中分量

pa(t)=UIcosj(1－cos2wt)

pa(t)總是正值，類似于電阻元件的瞬時(shí)功率，它是網(wǎng)絡(luò)接受能量的瞬時(shí)功率，它的平均值為UIcosj。

分量

pr(t)=UIsinjsin2wt4.7.2有功功率、無功功率、視在功率和功率因數(shù)

1.有功功率

上述pr(t)的平均值為零，所以網(wǎng)絡(luò)接收的有功功率P就等于pa(t)的平均值。

P=UIcosj

(4-50)

如果二端網(wǎng)絡(luò)僅由R、L、C元件組成，可以證明，有功功率P等于各電阻消耗的平均功率之和，即

2.無功功率

交流電路中，除了消耗能量外，還存在著能量的交換。電路的無功功率Q為pr(t)的最大值。即

Q=UIsinj

(4-51)

3.視在功率

交流電路中，電壓與電流有效值的乘積，稱為視在功率，用S表示，

單位為伏安(VA)或千伏安(kVA)。

有功功率P、無功功率Q和視在功率S組成一個(gè)直角三角形，稱為功率三角形。如圖4-24所示。

4.功率因數(shù)

有功功率與視在功率的比值叫做網(wǎng)絡(luò)的功率因數(shù)，用l表示，即(4-52)(4-53)4.7.3復(fù)功率

如二端網(wǎng)絡(luò)端口電壓相量為 ，端口電流相量 的共軛復(fù)數(shù)為 ，定義復(fù)功率為

所以復(fù)功率是這樣的一個(gè)復(fù)數(shù)：它的模是網(wǎng)絡(luò)的視在功率，它的輻角的余弦等于功率因數(shù)，它的實(shí)部是有功功率，它的虛部是無功功率。

可以證明：由于整個(gè)電路的有功功率和無功功率平衡，則整個(gè)電路的復(fù)功率平衡，即有功功率和無功功率可以直接相加減，復(fù)功率也是可以直接相加減的。值得注意的是，視在功率是不可以直接相加減的。

例4-15把一個(gè)線圈接到工頻的正弦電源上，分別用電壓表、電流表、功率表測得它的電壓U=110V，電流I=5A,功率P=400W，試求線圈的R和L。

解電路的功率是R所消耗的功率，可得

電路阻抗

例4-16已知一個(gè)R，L串聯(lián)電路，

，R=30W，XL=40W，計(jì)算電路的有功功率、無功功率及視在功率。

解電路的阻抗

Z=R+jXL=30+j40=50∠53.1°W

電流

有功功率

P=UIcosj=220×4.4cos53.1°=580.8W無功功率

Q=UIsinj=220×4.4sin53.1°=774.4var

視在功率

S=UI=220×4.4=968VA

或

P=I2R=4.42×30=580.8W

Q=I2XL=4.42×40=774.4var4.7.4最大功率傳輸

在實(shí)際問題中，有時(shí)需要研究負(fù)載在什么條件下能獲得最大功率，這類問題可以歸結(jié)為一個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)向負(fù)載傳送功率的問題。根據(jù)戴維南定理，最終可以簡化成如圖4-25所示的電路相量模型。

圖中為等效電源的電壓相量(即二端網(wǎng)絡(luò)的開路電壓相量)，ZS=RS+jXS為戴維南等效阻抗，ZL=RL+jXL為負(fù)載的等效阻抗。

電路中電流相量為圖4-25有阻的交流電源電流的有效值為

負(fù)載吸收的功率為

一般來講，US、RS、XS是不變的，若RL、XL均能隨意改變，此時(shí)獲得最大功率的條件為由上式可得負(fù)載獲得最大功率的條件為

XL=－XS

(4-55)

RL=RS

(4-56)

即

ZL=Z*S

這一關(guān)系稱為共軛匹配，此時(shí)的最大功率為

當(dāng)負(fù)載為純電阻時(shí)，即ZL=RL，此時(shí)獲得最大功率的條件為這一關(guān)系稱為模匹配，最大功率為

4.7.5功率因數(shù)的提高

1.提高功率因數(shù)的意義

在式(4-53)中給出了功率因數(shù)的定義。

在交流電路中，負(fù)載多為感性負(fù)載，其l較低，l≠1。它的無功功率就不等于0，這就意味著電源供出的能量中總有一部分在負(fù)載和電源之間進(jìn)行交換，l越低，交換部分所占的比例就越大。為了充分利用電源設(shè)備的容量，就需要提高電路負(fù)載的功率因數(shù)。例如一臺(tái)額定容量為800kVA的單相變壓器，若在額定電壓、額定電流下運(yùn)行，當(dāng)負(fù)載的功率因數(shù)l=1時(shí)，它傳輸?shù)挠泄β蕿?00kW，它的容量就能得到充分的利用；當(dāng)負(fù)載的功率因數(shù)l降為0.8時(shí)，它傳輸?shù)挠泄β示徒禐?40kW，變壓器的容量利用就較差。

另一方面，在一定的電壓下向負(fù)載輸送一定的有功功率時(shí)，因 ，負(fù)載的l越低，通過輸電線的電流越大，導(dǎo)線電阻的能量損耗和導(dǎo)線阻抗的電壓降落也越大。

功率因數(shù)是電力系統(tǒng)中的重要指標(biāo)，應(yīng)設(shè)法提高功率因數(shù)。

2.提高功率因數(shù)的方法

提高感性負(fù)載功率因數(shù)的常用方法之一是在其兩端并聯(lián)電容器。如圖4-26(a)，感性負(fù)載并聯(lián)電容器后，利用超前的容性電流補(bǔ)償滯后的感性電流，進(jìn)行一部分能量交換，減少了電源和負(fù)載間的能量交換，從而提高了功率因數(shù)。

利用相量圖，可以說明感性負(fù)載并聯(lián)一個(gè)電容后，能把功率因數(shù)提高，如圖4-26(b)。未并聯(lián)電容前，線路中的電流等于感性負(fù)載的電流,阻抗角為j1(j1也稱為功率因數(shù)角)。并聯(lián)電容后，負(fù)載的電流，端電壓，阻抗角j1均未變，但線路中的電流變了，此時(shí) ，結(jié)合圖4-26(b)可見，其結(jié)果使得 ，j1減小到j(luò)2，因此整個(gè)電路的功率因數(shù)從cosj1提高到cosj2。若不斷地并聯(lián)電容，從而增加的大小，則j2會(huì)繼續(xù)減小，直至趨近于0，即功率因數(shù)l=cosj趨近于1，當(dāng)j=0時(shí)，功率因數(shù)j=1，整個(gè)電路相當(dāng)于“純電阻”電路。也就是說，此時(shí)發(fā)生了并聯(lián)諧振(見第6章相關(guān)內(nèi)容)。同時(shí)，電流也隨著功率因數(shù)角j的減小而減小，趨近于水平方向，當(dāng)達(dá)到并聯(lián)諧振時(shí)， ，電流達(dá)到最小。圖4-26提高功率因數(shù)的原理值得注意的是，如果并聯(lián)電容過多，就會(huì)造成出現(xiàn)過大的情況，如圖4-26(b)虛線部分的相量表示。此時(shí)，容性電流的大小超過中的感性電流的大小。結(jié)合公式(4-49)可以看出，開始逐漸增大，功率因數(shù)角j也開始逐漸增大,即功率因數(shù)l=cosj開始減小。

由此我們發(fā)現(xiàn)，不能過多地使用并聯(lián)電容的方法來提高功率因數(shù)，否則會(huì)適得其反。一般情況下，我們將功率因數(shù)提高到0.9左右即可。從經(jīng)濟(jì)角度來講，繼續(xù)提高功率因數(shù)就不劃算了。若要將功率因數(shù)從cosj1提高到cosj2，所需的電容值為

補(bǔ)償?shù)臒o功功率的大小為

QC=P(tanj1－tanj2)

(4-61)(4-60)

習(xí)題

4.1已知一正弦電壓振幅為310V，頻率為50Hz，初相為，試寫出其解析式，并繪出波形圖。

4.2已知一正弦電流 。試寫出其振幅、角頻率、頻率、周期和初相。

4.3三個(gè)正弦電流i1、i2和i3的最大值分別為1A、2A、3A，已知i2的初相為30°,i1較i2超前60°，較i3滯后150°，試分別寫出三個(gè)電流的解析式。

4.4將下列復(fù)數(shù)寫成極坐標(biāo)形式：

(1)3+j4

(2)－4+j3

(3)6－j8

(4)－10+j10 (5)j10 (6)