第五章目標(biāo)規(guī)劃說(shuō)課材料

第五章目標(biāo)規(guī)劃

目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的模型目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的解法

GoalProgramming

1、理解目標(biāo)規(guī)劃概念；2、掌握目標(biāo)規(guī)劃建模技巧；3、能夠運(yùn)用單純形法求解模型。

本章教學(xué)基本要求

一個(gè)公司可能同時(shí)有許多目標(biāo)；比如：保持比較穩(wěn)定的價(jià)格和利潤(rùn)；提高自己產(chǎn)品的市場(chǎng)占有率；增加產(chǎn)品的品種；維持比較穩(wěn)定的職工隊(duì)伍等。各個(gè)目標(biāo)并非都相互協(xié)調(diào)，目標(biāo)之間甚至還可能是相互矛盾的；由于目標(biāo)之間的不協(xié)調(diào)性和矛盾性，要想同時(shí)實(shí)現(xiàn)每一個(gè)目標(biāo)，顯然是不可能的，因此要尋求一種折衷的方案，目標(biāo)規(guī)劃就是尋找最優(yōu)折衷方案的一種有效的方法。

為什么會(huì)產(chǎn)生目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題？

東風(fēng)電機(jī)廠生產(chǎn)Ⅰ型和Ⅱ型兩種TV受到A、B兩種關(guān)鍵資源的限制必須從另外的廠購(gòu)買。生產(chǎn)每臺(tái)電視機(jī)對(duì)資源的耗定額及每天可利用的資源數(shù)量已知。東風(fēng)廠的管理部門提出生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)要達(dá)到3個(gè)目標(biāo)：a)原材料A的每日用量控制在90公斤以內(nèi)；b)Ⅰ型TV的日產(chǎn)量在15臺(tái)以上；c)

日利潤(rùn)超過(guò)140(百元)多目標(biāo)決策問(wèn)題舉例

具有連續(xù)變量的線性目標(biāo)規(guī)劃，簡(jiǎn)稱目標(biāo)規(guī)劃(GoalProgramming,,簡(jiǎn)記為GP)。

目標(biāo)規(guī)劃中目標(biāo)函數(shù)和約束條件可以是線性的，也可以是非線的，變量可以是連續(xù)的，也可以是離散的。本書中我們只研究具有連續(xù)變量的線性目標(biāo)規(guī)劃。

本章目標(biāo)規(guī)劃的研究范圍

相同等級(jí)的目標(biāo)有優(yōu)先等級(jí)的目標(biāo)

有賦權(quán)的優(yōu)先等級(jí)的目標(biāo)

一、目標(biāo)規(guī)劃的模型例5-1：東風(fēng)電機(jī)廠生產(chǎn)Ⅰ型和Ⅱ型兩種TV受到A、B兩種關(guān)鍵資源的限制必須從另外的廠購(gòu)買，生產(chǎn)每臺(tái)電視機(jī)對(duì)資源的耗定額及每天可利用的資源數(shù)量如表5.1。需要解決的問(wèn)題：每天應(yīng)如何安排兩種TV的產(chǎn)量，才能使利潤(rùn)最大？

III現(xiàn)有資源A23100B4280利潤(rùn)45

表5.11、相同等級(jí)的目標(biāo)規(guī)劃的模型例5-1見(jiàn)書P150頁(yè)，問(wèn)題1：設(shè)生產(chǎn)TVⅠ型和Ⅱ型產(chǎn)量各為x1，x2則得LP模型為：maxz=4x1+5x2s1t2x1+3x2≤1004x1+2x2≤80x1.x2≥0可求最優(yōu)解為x1﹡=5x2﹡=30Z﹡=170但市場(chǎng)形勢(shì)發(fā)生變化：供應(yīng)A原料的廠家提出，減少10公斤的供應(yīng)；Ⅰ型產(chǎn)品供不應(yīng)求，必須擴(kuò)展Ⅰ型產(chǎn)品的產(chǎn)量x1

。東風(fēng)廠的管理部門提出對(duì)下一階段生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)要達(dá)到3個(gè)目標(biāo)：a)原材料A的每日用量控制在90公斤以內(nèi)；b)Ⅰ型TV的日產(chǎn)量在15臺(tái)以上；c)

日利潤(rùn)超過(guò)140(百元)。如何用目標(biāo)規(guī)劃的方法來(lái)描述和解決上述問(wèn)題（1）原材料A的每日用量控制在90公斤以內(nèi)2x1+3x2≤90引進(jìn)兩個(gè)偏差變量d-i和di+d-i表示原材料A的實(shí)際日用量未達(dá)到目標(biāo)值的部分；di+表示A的實(shí)際日用量超過(guò)目標(biāo)值部分d+1≥0d-1≥0d+1d-1=090是數(shù)量目標(biāo)，原材料A的實(shí)際取值(每日實(shí)際用量)與目標(biāo)值之間可能有一個(gè)偏差2x1+3x2–d1++d1-=90目標(biāo)約束

mind+1

（2）Ⅰ型電視機(jī)的日產(chǎn)量在15臺(tái)以上x(chóng)1≥15用d2-和d2+分別表示Ⅰ型電視機(jī)的日產(chǎn)量未達(dá)到和超過(guò)目標(biāo)值的部分。

x1-d+2+d-2=15目標(biāo)約束

mind-2

（3）日利潤(rùn)超過(guò)140(百元)4x1+5x2≥140用d-3和d+3分別表示日利潤(rùn)未達(dá)到和超過(guò)目標(biāo)值的部分4x1+5x2–d3++d3-=140目標(biāo)約束

mind-3

目標(biāo)規(guī)劃模型(GP問(wèn)題1)上述目標(biāo)對(duì)于該廠來(lái)說(shuō)，是同等重要的，因此：minz=d1++d2-+d3-s.t.2x1+3x2-d1++d1-=904x1+2x2+s2=80x1-d2++d2-=154x1+5x2-d3++d3-=140x1,x2,s2,d1+,d1-,d2+,d2-,

d3+,d3-≥0東風(fēng)廠的管理部門提出對(duì)下一階段生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)要達(dá)到3個(gè)目標(biāo)，決策者認(rèn)為上例中3個(gè)目標(biāo)并非同等重要，其中：（b）目標(biāo)為最重要；（c）目標(biāo)次重要；（a）目標(biāo)排在第三位：b)Ⅰ型TV的日產(chǎn)量在15臺(tái)以上；c)

日利潤(rùn)超過(guò)140(百元)a)原材料A的每日用量控制在90公斤以內(nèi)如何用目標(biāo)規(guī)劃的方法來(lái)描述和解決上述問(wèn)題2、有優(yōu)先等級(jí)的目標(biāo)規(guī)劃的模型優(yōu)先因子：描述問(wèn)題中目標(biāo)重要性程度的差別，一般用pi表示，通常i值越小，代表的優(yōu)先程度越高。在目標(biāo)規(guī)劃中：對(duì)于最重要目標(biāo)，賦予優(yōu)先因子P1

第二位重要目標(biāo)，賦予優(yōu)先因子P2以此類推，各個(gè)優(yōu)先因子是一些特殊的正常數(shù)，它們之間有如下關(guān)系：P1＞＞P2＞＞P3＞＞……“＞＞”遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于目標(biāo)優(yōu)先級(jí)偏差變量b:I型TV日產(chǎn)量≥15臺(tái)P1d2+d2-c:日產(chǎn)量≥140百元P2d3+d3-a:A的用量≤90公斤P3d1+d1-minz=P3d1++P1d2-+P2d3-s.t.2x1+3x2-d1++d1-=904x1+2x2+s2=80x1-d2++d2-=154x1+5x2-d3++d3-=140x1,x2,s2,d1+,d1-,d2+,d2-,

d3+,d3-≥0根據(jù)東風(fēng)廠對(duì)3個(gè)目標(biāo)的分級(jí)，可寫出GP問(wèn)題：目標(biāo)優(yōu)先級(jí)權(quán)重1:B≤40P122:A≤70P113:日利潤(rùn)≥110P2

4：II型TVx2≥18P3

5：I型TVx1≥5P4

3、有賦權(quán)的優(yōu)先等級(jí)的目標(biāo)規(guī)劃的模型有關(guān)的偏差變量定義如下:d1+和d1-分別表示日利潤(rùn)超過(guò)和未達(dá)到目標(biāo)值的部分;d2+和d2-分別表示原材料A的日用量超過(guò)和未達(dá)到目標(biāo)值的部分;d3+和d3-分別表示原材料B的日用量超過(guò)和未達(dá)到目標(biāo)值;d4+和d4-分別表示I型電視機(jī)的日產(chǎn)量超過(guò)和未達(dá)到目標(biāo)值的部分;d5+和d5-分別表示II型電視機(jī)的日產(chǎn)量超過(guò)和未達(dá)到目標(biāo)值的部分。minz=2P1d3++P1d2++P2d1-+P3d5-+P4d4-s.t.4x1+5x2-d1++d1-=1102x1+3x2-d2++d2-=704x1+2x2-d3++d3-=40x1-d4++d4-=5x2-d5++d5-=18x1,x2,d1+,……d5+,d1-……d5-≥0各目標(biāo)有優(yōu)先等級(jí)和賦權(quán)情況下，可寫出GP問(wèn)題：

概念偏差變量：實(shí)際值與目標(biāo)值之間差距的變量表示，通常以

di+di-表示，分別為正、負(fù)偏差變量，且有di+》0、

di-》0，di+di-=0優(yōu)先因子：描述問(wèn)題中目標(biāo)重要性程度的差別，一般用pi表示，通常i值越小，代表的優(yōu)先程度越高。目標(biāo)約束：用來(lái)描述允許對(duì)給定目標(biāo)值有一定偏離程度的限制條件。目標(biāo)規(guī)劃的概念

目標(biāo)規(guī)劃模型的特點(diǎn)：1、引進(jìn)正負(fù)偏差變量2、模型中必須有目標(biāo)約束3、目標(biāo)函數(shù)為偏差變量的表達(dá)式4、以優(yōu)先級(jí)因子描述目標(biāo)的重要性程度目標(biāo)規(guī)劃的模型解GP問(wèn)題,我們首先要找一個(gè)初始基并作其單純形表,

由于GP模型的約束條件中,含有許多負(fù)偏差變量,其系數(shù)均為1,故?？扇∷鼈?yōu)槌跏蓟兞浚坏蚰繕?biāo)函數(shù)中也常含有負(fù)偏差變量,因此將目標(biāo)函數(shù)行搬上單純形表時(shí),應(yīng)注意將其中基變量的系數(shù)變?yōu)?。GP問(wèn)題初始基的確定1、相同等級(jí)的目標(biāo)規(guī)劃的解法為了簡(jiǎn)化制表手續(xù),節(jié)省不必要的重復(fù)書寫,我們將GP

問(wèn)題的初始單純形表設(shè)計(jì)為有兩個(gè)z行的形式；第一個(gè)z行就是將GP模型中z行的系數(shù)反號(hào)而得,并將這一行用括號(hào)括起來(lái)；第二個(gè)z行則是正規(guī)單純形表中的z行,其中基變量的檢驗(yàn)數(shù)都已化為0.GP問(wèn)題單純形表的結(jié)構(gòu)例5-1求解此GP問(wèn)題minz=d1++d2-+d3-s.t.2x1+3x2-d1++d1-=904x1+2x2+s2=80x1-d2++d2-=154x1+5x2-d3++d3-=140x1,x2,s2,d1+,d1-,d2+,d2-,

d3+,d3-≥0例5-1建立初始的單純形表

x1x2d1+d1-s2s2d2+d2-d3+d3-右端(z00-1-1000-10-1)z55-100-10-10155d1-23-110000090s242001000080d2-①0000-110015d3-4500000-11140X1為進(jìn)基變量，d2-為離基變量

x1x2d1+d1-s2s2d2+d2-d3+d3-右端-1z05-1004-5-1080d1-03-1102-20060s2020014-40020x110000-110015d3-050004-4-1180X2為進(jìn)基變量，s2為離基變量

x1x2d1+d1-s2s2d2+d2-d3+d3-右端-1z00-10-5/2-65-1030d1-00-11-3/2-440030x201001/22-20010x110000-110015d3-0000-5/2-66-1130d2-為進(jìn)基變量，d3-為離基變量

x1x2d1+d1-s2s2d2+d2-d3+d3-右端-1z00-10-5/12-10-1/6-5/65d1-010x2020x1010d2-0000-5/12-11-1/61/65得到最優(yōu)解1.d1-=10,d1+=0,則A的日用量不超過(guò)90公斤,實(shí)際為2x1+3x2=80，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)

2.d2-=5,則有d2+=0,x1=10即I型TV的日產(chǎn)量?jī)H有10臺(tái),不在15臺(tái)以上，沒(méi)達(dá)到目標(biāo)3.則通過(guò)有x2=20,x1=10可知4x1+5x2=4*10+5*20=140,則有d3+=d3-=0即日利潤(rùn)正好為140百元。

恰好實(shí)現(xiàn)目標(biāo)。負(fù)偏差變量作為初始基變量；但因目標(biāo)函數(shù)中也常含有負(fù)偏差變量,因此將目標(biāo)函數(shù)行搬上單純形表時(shí),應(yīng)注意將其中基變量的系數(shù)變?yōu)?.

GP問(wèn)題初始基的確定2、有優(yōu)先等級(jí)的目標(biāo)規(guī)劃的解法由于此類問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)中含有各個(gè)優(yōu)先因子,所以在單純形表的z-行中,各檢驗(yàn)數(shù)將是這些優(yōu)先因子的線性組合；我們將z-行寫成若干行,每一級(jí)優(yōu)先因子都各占一行；前一段中節(jié)省制表的方法,我們現(xiàn)在同樣采用,不過(guò)在這里,z-行已被分成若干行了,即有幾個(gè)優(yōu)先因子就分成幾行,在初始表中用括號(hào)括起來(lái)的也不是一行,而是好幾行.GP問(wèn)題單純形表的結(jié)構(gòu)例5-2求解此GP問(wèn)題minz=P3d1++P1d2-+P2d3-s.t.2x1+3x2-d1++d1-=904x1+2x2+s2=80x1-d2++d2-=154x1+5x2-d3++d3-=140x1,x2,s2,d1+,d1-,d2+,d2-,

d3+,d3-≥0例5-2運(yùn)算得單純形表最優(yōu)表因?yàn)镻1≥P2≥P3，所以檢驗(yàn)數(shù)的符號(hào)首先取決于P1

行中各數(shù)的符號(hào),其次決定于P2行中各數(shù)的符號(hào),依次類推。P1行中各數(shù)全部≤0,故P1級(jí)目標(biāo)已實(shí)現(xiàn)最優(yōu)。劃去

P1行和非基變量所在列，得到新單純形表繼續(xù)運(yùn)算當(dāng)所有非基變量在檢驗(yàn)數(shù)行的系數(shù)都≤0時(shí)，獲得最優(yōu)解。例5-2建立初始單純形表

x1x2d1+d1-s2d2+d2-d3+d3-右端P1000000-100

P20000000000-1

P300-1000000

P110000-10000

P24500000-10

P300-1000000

d1-23-110000090s242001000080d2-①0000-110015d3-4500000-11140X1為進(jìn)基變量，d2-為離基變量例5-2單純形表2

x1x2d1+d1-s2d2+d2-d3+d3-右端P1000000-100

P2050004-4-10

P300-1000000

d1-03-1102-20060s2020014-40020x110000-110015d3-050004-4-1180X2為進(jìn)基變量，S2為離基變量例5-2建立單純形表3

x1x2d1+d1-s2d2+d3+d3-右端P20000-5/2-600×P300-100000×d1-0001000030X201001/220010X11000000015d3-0000000130求得最優(yōu)解例5-2可知最優(yōu)折衷結(jié)果為：x1=15,d2-=d2+=0,則P1級(jí)目標(biāo)恰好達(dá)到.2.x1=15,x2=10,d3-=30,4x1+5x2=4*15+5*10=110≤140,

即有日利潤(rùn)目標(biāo)比要求值還差30百元,

則P2級(jí)目標(biāo)沒(méi)實(shí)現(xiàn).3.P3級(jí)目標(biāo)d1-=30,則d1+=0,2x1+3x2=2*15+3*10=60事實(shí)上A還剩30公斤.

日產(chǎn)量不超過(guò)90公斤,也已達(dá)到

則P3級(jí)目標(biāo)實(shí)現(xiàn).負(fù)偏差變量作為初始基變量；但因目標(biāo)函數(shù)中也常含有負(fù)偏差變量,因此將目標(biāo)函數(shù)行搬上單純形表時(shí),應(yīng)注意將其中基變量的系數(shù)變?yōu)?.

GP問(wèn)題初始基的確定3、有賦權(quán)優(yōu)先等級(jí)的目標(biāo)規(guī)劃的解法將z行寫成若干行,每一級(jí)優(yōu)先因子各占一行；賦權(quán)作為Pi級(jí)對(duì)應(yīng)的系數(shù)寫在目標(biāo)函數(shù)檢驗(yàn)數(shù)行；以后求解方法實(shí)際上與前例相同,只是計(jì)算更加繁瑣GP問(wèn)題單純形表的結(jié)構(gòu)例5-3求解此GP問(wèn)題minz=2P1d3++P1d2++P2d1-+P3d5-+P4d4-s.t.4x1+5x2-d1++d1-=1102x1+3x2-d2++d2-=704x1+2x2-d3++d3-=40x1-d4++d4-=5x2-d5++d5-=18x1,x2,d1+,……d5+,d1-……d5-≥0例5-3可知最優(yōu)折衷結(jié)果為(P195)：兩個(gè)P1級(jí)目標(biāo)(兩種原材料日用量的限制)均已實(shí)現(xiàn)(d2+=d3+=0)P2級(jí)目標(biāo)(日利潤(rùn)110百元)不能完全實(shí)現(xiàn),還差10百元(d1-=10)P3級(jí)目標(biāo)(II型電視機(jī)日產(chǎn)量不少于18臺(tái))也已實(shí)現(xiàn)，事實(shí)上還超額2臺(tái)(d5+=2)P4級(jí)目標(biāo)(I型電視機(jī)日產(chǎn)量5臺(tái))沒(méi)有實(shí)現(xiàn)(x1=0,d4-=5)

概念偏差變量：實(shí)際值與目標(biāo)值之間差距的變量表示，通常以

di+di-表示，分別為正、負(fù)偏差變量，且有di+》0、

di-》0，di+di-=0優(yōu)先因子：描述問(wèn)題中目標(biāo)重要性程度的差別，一般用pi表示，通常i值越小，代表的優(yōu)先程度越高。目標(biāo)約束：用來(lái)描述允許對(duì)給定目標(biāo)值有一定偏離程度的限制條件。目標(biāo)規(guī)劃小結(jié)目標(biāo)規(guī)劃模型的特點(diǎn)1、引進(jìn)正負(fù)偏差變量2、模型中必須有目標(biāo)約束3、目標(biāo)函數(shù)為偏差變量的表達(dá)式4、以優(yōu)先級(jí)因子描述目標(biāo)的重要性程度目標(biāo)規(guī)劃的決策案例例題1某公司管理層的目標(biāo):保持穩(wěn)定的利潤(rùn);增加市場(chǎng)份額;多樣化的產(chǎn)品線;保持穩(wěn)定的價(jià)格;提高員工的士氣;保持對(duì)業(yè)務(wù)的控制力;增加公司的聲譽(yù).

因素產(chǎn)品的單位貢獻(xiàn)目標(biāo)權(quán)重123長(zhǎng)期利潤(rùn)（百萬(wàn)元）129151255雇傭水平534402(+),4(-)資本投資（百萬(wàn)元）0.50.70.85.53Minz=5y1-+2y2++4y2-+3y3+S.t12x1+9x2+15x3-

y1++y1-=1255x1+3x2+4x3-

y2++y2-=405x1+7x2+8x3-

y3++y3-=55

xi≥0,yj+,yj-≥0

X1=25/3,x2=0,x3=5/3,y1+=0,y1-=0,y2+=25/3,y2-=0,y3+=0,

y3-=0,z=50/3例題2，一位投資商有一筆資金準(zhǔn)備購(gòu)買股票。資金總額為90000元，目前可選的股票有A和B兩種（可以同時(shí)投資于兩種股票）。其價(jià)格以及年收益率和風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)如下表：從上表可知，A股票的收益率為（3／20）×100％＝15％，股票B的收益率為4／50×100％＝8％，A的收益率比B大，但同時(shí)A的風(fēng)險(xiǎn)也比B大。這也符合高風(fēng)險(xiǎn)高收益的規(guī)