2023-2024學年江西省吉安市高一上學期1月期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江西省吉安市2023-2024學年高一上學期1月期末數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，解得，故，∴．故選：B.2.命題p：“，”的否定是（）A.“，” B.“，”C.“，” D.“，”【答案】D【解析】對命題p改寫量詞，否定結(jié)論，有：，.故選：D.3.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，由函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，且在上恒成立，則有，解得，所以a的取值范圍是.故選：C.4.已知事件A，B是互斥事件，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，，∴，∵事件A，B是互斥事件，∴．故選：C.5.下列區(qū)間內(nèi)存在方程的根的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，顯然函數(shù)在R上連續(xù)，因，故在區(qū)間上存在零點，即方程在區(qū)間上有實數(shù)根，如圖，作出函數(shù)和的圖象，由圖可知和有兩個交點，因，，即，所以在區(qū)間上存在零點，即方程在區(qū)間上有實數(shù)根，由選項可知只有C項符合題意.故選：C.6.某人擁有一輛價值20萬元的轎車，已知轎車以每年8%的幅度貶值，則這個人至多幾年后賣出這輛轎車，才不會以低于15萬元的價格成交（參考數(shù)據(jù)：，）（）A.3年 B.4年 C.5年 D.6年【答案】A【解析】由題意知，轎車價格與年份之間的函數(shù)關(guān)系式為，∴，故，∴，故這個人至多3年后賣出這輛轎車，才不會以低于15萬的價格成交．故選：A.7.已知函數(shù)與（）交于和兩點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知：，不妨設(shè)，則，，且，所以，所以的取值范圍是．故C正確.故選：C.8.設(shè)函數(shù)的定義域為R，且，當時，，若對于，都有恒成立，則t的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】當時，，；因，即x每增大4，對應(yīng)的縱坐標都變原來的2倍；當時，，故，則，；當時，，故，則，；當時，，故，則，，如圖，依題意令，解得或，由圖知當時，恒成立，即須使，故得：．故選：A.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.如圖，全集為U，集合A，B是U的兩個子集，則陰影部分可表示為（）A. B.C D.【答案】AC【解析】根據(jù)圖中陰影可知，符合題意，又，∴也符合題意．故選：AC.10.某人連續(xù)擲兩次骰子，表示事件“第一次擲出的點數(shù)是2”，表示事件“第二次擲出的點數(shù)是3”．表示事件“兩次擲出的點數(shù)之和為5”，表示事件“兩次擲出的點數(shù)之和為9”．則（）A.與相互獨立 B.與相互獨立C.與不相互獨立 D.與不相互獨立【答案】ACD【解析】由題意知，，，，對A：∵，∴與相互獨立，故A正確；對B：∵，∴與不相互獨立，故B錯誤；對C：∵，∴與不相互獨立，故C正確；對D：∵，∴與不相互獨立，故D正確．故選：ACD.11.設(shè)表示不超過x的最大整數(shù)，如，，已知函數(shù)，（）．下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)是偶函數(shù)B.當時，函數(shù)的值域是C.若方程只有一個實數(shù)根，則D.若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則【答案】BC【解析】畫出的圖象如下圖：函數(shù)的圖象不關(guān)于y軸對稱，A選項錯誤；當時，函數(shù)，∵，∴，故，即函數(shù)的值域是，B選項正確；由圖可知，與的圖象必有一個交點，若方程只有一個實數(shù)根，則，C選項正確；若方程有兩個不相等的實數(shù)根，即與的圖象有兩個交點，結(jié)合圖象可得，D選項錯誤．故選：BC.12.設(shè)，，下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.【答案】ACD【解析】對于A，，當且僅當時取等號，A正確；對于B，，當且僅當時取等號，B錯誤；對于C，，當且僅當時取等號，C正確；對于D，，當且僅當時取等號，D正確．故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.為了堅持“五育”并舉，全面發(fā)展素質(zhì)教育，某學校在課余時間提供了多種社團供學生們選擇，每位同學都可以選擇多種社團，其中選擇舞蹈社團或園藝社團的同學有90人，選擇舞蹈社團的同學有55人，選擇園藝社團的同學有60人，則同時選擇舞蹈社團和園藝社團的同學人數(shù)是______.【答案】【解析】由題意同時選擇舞蹈社團和園藝社團的同學人數(shù)為人.故答案為：.14.已知甲組樣本數(shù)據(jù)（，2，…，6），如下表所示：233466若乙組樣本數(shù)據(jù)，則乙組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)_________，乙組樣本數(shù)據(jù)的方差__________．【答案】5【解析】由題意，乙組樣本數(shù)據(jù)如下表所示：133599則乙組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，乙組樣本數(shù)據(jù)的方差：.故答案為：5.15.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】由題意可得，，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16.已知函數(shù)（）有三個不同的零點，，，其中，則____________．【答案】64【解析】令，則，由可化為，∵，∴，即必有兩個不同的根，，且，故，異號，設(shè)為負，為正，結(jié)合題意，可畫出大致示意圖如下：由圖可知，即有唯一解，即有兩個解，，且，故.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.按要求完成下列題目．（1）若，求；（2）計算：．解：（1）∵，∴，則．（2）．18.已知集合，，若是的真子集，求實數(shù)m的取值范圍．解：∵集合，∴，又為的真子集，當時，，解得或．當時，（等號不同時成立），解得，綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是．19.為了解同學們每天進行戶外鍛煉的時長，某興趣小組在高一年級隨機調(diào)查了500位同字，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖．（1）求a，并估計每天戶外鍛煉時長在40min～70min的人數(shù)；（2）用樣本估計總體，估計高一年級同學每天進行戶外鍛煉的平均時長（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（3）求高一年級同學每天進行戶外鍛煉的時長的75%分位數(shù)．解：（1）∵，∴，估計每天戶外鍛煉時長在40min～70min的人數(shù)為（人）．（2）由題意知，平均時長為：（min）．（3）∵，．∴高一年級同學每天進行戶外鍛煉的時長的75%分位數(shù)在之間，設(shè)高一年級同學每天進行戶外鍛煉的時長的75%分位數(shù)為x，則，解得，∴高一年級同學每天進行戶外鍛煉的時長的75%分位數(shù)是49.5min．20.狗牯腦茶是江西珍貴名茶之一，產(chǎn)于羅霄山脈南麓支脈，吉安市遂川縣湯湖鎮(zhèn)狗牯腦山，該山形似狗頭，取名“狗牯腦”所產(chǎn)之茶即從名之．某茶葉種植戶欲生產(chǎn)狗牯腦茶，經(jīng)過市場調(diào)研，生產(chǎn)狗牯腦茶需投入年固定成本3萬元，每生產(chǎn)x（）噸另需投入流動成本萬元，已知在年產(chǎn)量不足12噸時，，在年產(chǎn)量不少于12噸時，，每千克狗牯腦茶售價140元，通過市場分析，該茶葉種植戶的狗牯腦茶當年能全部售完．（1）寫出年利潤（單位：萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（）（單位：噸）的函數(shù)解析式（年利潤＝年銷售收入－年固定成本－流動成本）；（2）年產(chǎn)量為多少噸時，該茶葉種植戶在狗牯腦茶的生產(chǎn)中所獲年利潤最大？最大年利潤是多少？解：（1）由題意知，1噸狗牯腦茶售價為14萬元，當時，，當時，，故年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（噸）的函數(shù)解析式為．（2）當時，，當時，取得最大值，當時，，當且僅當，即時取等號，即當時，取得最大值，∵50＜54，∴當年產(chǎn)量為18噸時，該茶葉種植戶在狗牯腦茶的生產(chǎn)中所獲年利潤最大，最大年利潤是54萬元.21.已知定義域為的函數(shù)對于，，都滿足，且當時，．（1）求，并用定義法判斷在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）是否存在實數(shù)k，使得關(guān)于x的不等式，恒成立？若存在，求k的取值范圍；若不存在，請說明理由．解：（1）令，則，即，令，，且，則，，又當時，，∴，∴，故在區(qū)間上單調(diào)遞增．（2）不存在，理由如下：∵在區(qū)間上單調(diào)遞增，且關(guān)于x的不等式恒成立，∴，即在區(qū)間上恒成立，當時，二次函數(shù)的圖象的對稱軸，∴當時，，又，即，解得：，∴，故當時，無滿足題意的實數(shù)k，當時，∵二次函數(shù)的圖象的對稱軸，∴只需，解得，無解，故當時，無滿足題意的實數(shù)k，綜上所述，不存在實數(shù)k，使得關(guān)于x的不等式恒成立．22.已知函數(shù)（，，）是偶函數(shù)，且，．（1）求的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間（，，）上的值域是，求的取值范圍．解：（1）因為是偶函數(shù)，所以，即，所以，即，所以，則，又，，所以，解得，所以.（2）由（1）得，定義域為，令，令，則，因為，所以，則，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，令，則，因，所以，則，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因為函數(shù)在區(qū)間上的值域是，所以，又，故或，當時，則，此時，當時，則，此時，綜上所述，當時，；當時，.江西省吉安市2023-2024學年高一上學期1月期末數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，解得，故，∴．故選：B.2.命題p：“，”的否定是（）A.“，” B.“，”C.“，” D.“，”【答案】D【解析】對命題p改寫量詞，否定結(jié)論，有：，.故選：D.3.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，由函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，且在上恒成立，則有，解得，所以a的取值范圍是.故選：C.4.已知事件A，B是互斥事件，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，，∴，∵事件A，B是互斥事件，∴．故選：C.5.下列區(qū)間內(nèi)存在方程的根的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，顯然函數(shù)在R上連續(xù)，因，故在區(qū)間上存在零點，即方程在區(qū)間上有實數(shù)根，如圖，作出函數(shù)和的圖象，由圖可知和有兩個交點，因，，即，所以在區(qū)間上存在零點，即方程在區(qū)間上有實數(shù)根，由選項可知只有C項符合題意.故選：C.6.某人擁有一輛價值20萬元的轎車，已知轎車以每年8%的幅度貶值，則這個人至多幾年后賣出這輛轎車，才不會以低于15萬元的價格成交（參考數(shù)據(jù)：，）（）A.3年 B.4年 C.5年 D.6年【答案】A【解析】由題意知，轎車價格與年份之間的函數(shù)關(guān)系式為，∴，故，∴，故這個人至多3年后賣出這輛轎車，才不會以低于15萬的價格成交．故選：A.7.已知函數(shù)與（）交于和兩點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知：，不妨設(shè)，則，，且，所以，所以的取值范圍是．故C正確.故選：C.8.設(shè)函數(shù)的定義域為R，且，當時，，若對于，都有恒成立，則t的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】當時，，；因，即x每增大4，對應(yīng)的縱坐標都變原來的2倍；當時，，故，則，；當時，，故，則，；當時，，故，則，，如圖，依題意令，解得或，由圖知當時，恒成立，即須使，故得：．故選：A.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.如圖，全集為U，集合A，B是U的兩個子集，則陰影部分可表示為（）A. B.C D.【答案】AC【解析】根據(jù)圖中陰影可知，符合題意，又，∴也符合題意．故選：AC.10.某人連續(xù)擲兩次骰子，表示事件“第一次擲出的點數(shù)是2”，表示事件“第二次擲出的點數(shù)是3”．表示事件“兩次擲出的點數(shù)之和為5”，表示事件“兩次擲出的點數(shù)之和為9”．則（）A.與相互獨立 B.與相互獨立C.與不相互獨立 D.與不相互獨立【答案】ACD【解析】由題意知，，，，對A：∵，∴與相互獨立，故A正確；對B：∵，∴與不相互獨立，故B錯誤；對C：∵，∴與不相互獨立，故C正確；對D：∵，∴與不相互獨立，故D正確．故選：ACD.11.設(shè)表示不超過x的最大整數(shù)，如，，已知函數(shù)，（）．下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)是偶函數(shù)B.當時，函數(shù)的值域是C.若方程只有一個實數(shù)根，則D.若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則【答案】BC【解析】畫出的圖象如下圖：函數(shù)的圖象不關(guān)于y軸對稱，A選項錯誤；當時，函數(shù)，∵，∴，故，即函數(shù)的值域是，B選項正確；由圖可知，與的圖象必有一個交點，若方程只有一個實數(shù)根，則，C選項正確；若方程有兩個不相等的實數(shù)根，即與的圖象有兩個交點，結(jié)合圖象可得，D選項錯誤．故選：BC.12.設(shè)，，下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.【答案】ACD【解析】對于A，，當且僅當時取等號，A正確；對于B，，當且僅當時取等號，B錯誤；對于C，，當且僅當時取等號，C正確；對于D，，當且僅當時取等號，D正確．故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.為了堅持“五育”并舉，全面發(fā)展素質(zhì)教育，某學校在課余時間提供了多種社團供學生們選擇，每位同學都可以選擇多種社團，其中選擇舞蹈社團或園藝社團的同學有90人，選擇舞蹈社團的同學有55人，選擇園藝社團的同學有60人，則同時選擇舞蹈社團和園藝社團的同學人數(shù)是______.【答案】【解析】由題意同時選擇舞蹈社團和園藝社團的同學人數(shù)為人.故答案為：.14.已知甲組樣本數(shù)據(jù)（，2，…，6），如下表所示：233466若乙組樣本數(shù)據(jù)，則乙組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)_________，乙組樣本數(shù)據(jù)的方差__________．【答案】5【解析】由題意，乙組樣本數(shù)據(jù)如下表所示：133599則乙組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，乙組樣本數(shù)據(jù)的方差：.故答案為：5.15.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】由題意可得，，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16.已知函數(shù)（）有三個不同的零點，，，其中，則____________．【答案】64【解析】令，則，由可化為，∵，∴，即必有兩個不同的根，，且，故，異號，設(shè)為負，為正，結(jié)合題意，可畫出大致示意圖如下：由圖可知，即有唯一解，即有兩個解，，且，故.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.按要求完成下列題目．（1）若，求；（2）計算：．解：（1）∵，∴，則．（2）．18.已知集合，，若是的真子集，求實數(shù)m的取值范圍．解：∵集合，∴，又為的真子集，當時，，解得或．當時，（等號不同時成立），解得，綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是．19.為了解同學們每天進行戶外鍛煉的時長，某興趣小組在高一年級隨機調(diào)查了500位同字，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖．（1）求a，并估計每天戶外鍛煉時長在40min～70min的人數(shù)；（2）用樣本估計總體，估計高一年級同學每天進行戶外鍛煉的平均時長（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（3）求高一年級同學每天進行戶外鍛煉的時長的75%分位數(shù)．解：（1）∵，∴，估計每天戶外鍛煉時長在40min～70min的人數(shù)為（人）．（2）由題意知，平均時長為：（min）．（3）∵，．∴高一年級同學每天進行戶外鍛煉的時長的75%分位數(shù)在之間，設(shè)高一年級同學每天進行戶外鍛煉的時長的75%分位數(shù)為x，則，解得，∴高一年級同學每天進行戶外鍛煉的時長的75%分位數(shù)是49.5min．20.狗牯腦茶是江西珍貴名茶之一，產(chǎn)于羅霄山脈南麓支脈，吉安市遂川縣湯湖鎮(zhèn)狗牯腦山，該山形似狗頭，取名“狗牯腦”所產(chǎn)之茶即從名之．某茶葉種植戶欲生產(chǎn)狗牯腦茶，經(jīng)過市場調(diào)研，生產(chǎn)狗牯腦茶需投入年固定成本3萬元，每生產(chǎn)x（）噸另需投入流動成本萬元，已知在年產(chǎn)量不足12噸時，，在年產(chǎn)量不少于12噸時，，每千克狗牯腦茶售價140元，通過市場分析，該茶葉種植戶的狗牯腦茶當年能全部售完．（1）寫出年利潤（單位：萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（）（單位：噸）的函數(shù)解