2023-2024學(xué)年湖南省婁底市新化縣高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省婁底市新化縣2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1.已知集合，則（）A. B. C.， D.【答案】B【解析】，.故選：B.2.設(shè)，則是成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】且，故是成立的必要不充分條件.故選：B.3.已知?jiǎng)t（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】因?yàn)?，所?故選：C.4.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于均為增函數(shù)，所以為定義域上的增函數(shù)，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi).故選：C.5.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，，，又，所以．故選：A.6.已知函數(shù)的最小正周期為，把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)解析式為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋?，故，則，則向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到.故選：A.7.已知函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上是減函數(shù)，且，所以，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：B.8.如圖，給定菱形ABCD，點(diǎn)P從A出發(fā)，沿在菱形的邊上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到C停止，點(diǎn)P關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)為Q，PQ與AC相交于點(diǎn)M，R為菱形ABCD邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與P，Q重合），當(dāng)時(shí)，面積的最大值為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】連接交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)面積最大，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)處面積最大，此時(shí)，且為定值，為定值，設(shè)，，所以關(guān)于的函數(shù)為.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分．9.下列命題是真命題的有（）A. B.所有的正方形都是矩形C. D.至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使【答案】ABD【解析】對(duì)于A，，，正確；對(duì)于B，所有的正方形都是矩形，正確；對(duì)于C，，，錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，即有兩個(gè)實(shí)數(shù)x，使，正確.故選：ABD.10.若，，則下列各式中，恒等的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】對(duì)于A：，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則得，故B正確；對(duì)于C：，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于D：，故選項(xiàng)D正確.故選：BD.11.下列弧度與角度的轉(zhuǎn)化正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】對(duì)于A，，A對(duì)；對(duì)于B，，B錯(cuò)；對(duì)于C，，C對(duì)；對(duì)于D，，D錯(cuò).故選：AC.12.已知關(guān)于x的不等式（，）的解集為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.的最大值為C.的最小值為4 D.的最小值為【答案】ABD【解析】由題意，不等式的解集為，可得，且方程的兩根為和，所以，所以，，所以，所以A正確；因?yàn)?，，所以，可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為，所以B正確；由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，所以C錯(cuò)誤；由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以最小值為，所以D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.______________【答案】【解析】.故答案為：.14.已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則的值為________．【答案】【解析】設(shè)函數(shù)，則，得，，因此，.故答案為：.15.的部分圖象如圖，則其解析式為__________________.【答案】【解析】由圖知：，，，又因?yàn)?，解得，，即，，又因?yàn)?，所?即.故答案為：.16.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，若滿足：①在D內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)；②存在，使得在上的值域?yàn)?，那么就稱是定義域?yàn)镈的“成功函數(shù)”.若函數(shù)（且）是定義域?yàn)镽的“成功函數(shù)”，則t的取值范圍是____________.【答案】【解析】由題知函數(shù)（且）在定義域R上為單調(diào)遞增函數(shù)，則，而時(shí)，不滿足條件，所以，設(shè)存在，使得在上的值域?yàn)?，所以，即，所以，n是方程的兩個(gè)不等的實(shí)根，設(shè)，則，所以方程等價(jià)為的有兩個(gè)不等的正實(shí)根，即，所以，解得.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.17題10分，其余各題每題12分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.設(shè)集合，．（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）集合，集合，則或，故或.（2）因?yàn)?，所以，解?18已知.（1）求值；（2）求的值．解：（1），，，因此，.（2）.19.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值以及取得該最小值時(shí)的值.解：（1），所以，函數(shù)的最小正周期為；令，得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.（2）當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，此時(shí).20.已知二次函數(shù)滿足，且的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求解析式；（2）若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：（1）設(shè)，則，因?yàn)椋?，得，，因?yàn)榈膱D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，即，故．（2）設(shè)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不等式恒成立，所以，即，解得，故的取值范圍是．21.美國(guó)對(duì)中國(guó)芯片的技術(shù)封鎖，這卻激發(fā)了中國(guó)“芯”的研究熱潮，中國(guó)華為公司研發(fā)的、兩種芯片都已獲得成功．該公司研發(fā)芯片已經(jīng)耗費(fèi)資金千萬(wàn)元，現(xiàn)在準(zhǔn)備投入資金進(jìn)行生產(chǎn)，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，生產(chǎn)芯片的毛收入與投入的資金成正比，已知每投入千萬(wàn)元，公司獲得毛收入千萬(wàn)元；生產(chǎn)芯片的毛收入（千萬(wàn)元）與投入的資金（千萬(wàn)元）的函數(shù)關(guān)系為（與都為常數(shù)），其圖象如圖所示．（1）試分別求出生產(chǎn)、兩種芯片的毛收入（千萬(wàn)元）與投入資金（千萬(wàn)元）函數(shù)關(guān)系式；（2）現(xiàn)在公司準(zhǔn)備投入億元資金同時(shí)生產(chǎn)、兩種芯片，設(shè)投入千萬(wàn)元生產(chǎn)芯片，用表示公司所獲利潤(rùn)，當(dāng)為多少時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)？并求最大利潤(rùn)．（利潤(rùn)芯片毛收入芯片毛收入研發(fā)耗費(fèi)資金）解：（1）由題意可知，生產(chǎn)種芯片的毛收入（千萬(wàn)元）與投入資金（千萬(wàn)元）函數(shù)關(guān)系式為，將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，得，解得，因此，生產(chǎn)種芯片的毛收入（千萬(wàn)元）與投入資金（千萬(wàn)元）函數(shù)關(guān)系式為；（2）由題意可得，，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，即，因此，當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)最大，且最大利潤(rùn)為千萬(wàn)元.22.已知函數(shù)，其中k為常數(shù)．若函數(shù)在區(qū)間I上，則稱函數(shù)為I上的“局部奇函數(shù)”；若函數(shù)在區(qū)間I上滿足，則稱函數(shù)為I上的“局部偶函數(shù)”．（1）若為上的“局部奇函數(shù)”，當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）已知函數(shù)在區(qū)間上是“局部奇函數(shù)”，在區(qū)間上是“局部偶函數(shù)”，，對(duì)于上任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：（1）若為上的“局部奇函數(shù)”，所以，即整理可得：，所以，解得，所以，由，可得，所以，解得，又因?yàn)?，所以，所以不等式的解集?（2）若為上的“局部奇函數(shù)”，由（1）知，，若為區(qū)間上是“局部偶函數(shù)”，可得，即，整理可得：，所以，解得，所以，令，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，此時(shí)為局部偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，此時(shí)，所以，，，對(duì)于上任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，可得，即，解得：，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.湖南省婁底市新化縣2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1.已知集合，則（）A. B. C.， D.【答案】B【解析】，.故選：B.2.設(shè)，則是成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】且，故是成立的必要不充分條件.故選：B.3.已知?jiǎng)t（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】因?yàn)?，所?故選：C.4.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于均為增函數(shù)，所以為定義域上的增函數(shù)，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi).故選：C.5.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，，，又，所以．故選：A.6.已知函數(shù)的最小正周期為，把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)解析式為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋?，故，則，則向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到.故選：A.7.已知函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上是減函數(shù)，且，所以，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：B.8.如圖，給定菱形ABCD，點(diǎn)P從A出發(fā)，沿在菱形的邊上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到C停止，點(diǎn)P關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)為Q，PQ與AC相交于點(diǎn)M，R為菱形ABCD邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與P，Q重合），當(dāng)時(shí)，面積的最大值為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】連接交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)面積最大，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)處面積最大，此時(shí)，且為定值，為定值，設(shè)，，所以關(guān)于的函數(shù)為.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分．9.下列命題是真命題的有（）A. B.所有的正方形都是矩形C. D.至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使【答案】ABD【解析】對(duì)于A，，，正確；對(duì)于B，所有的正方形都是矩形，正確；對(duì)于C，，，錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，即有兩個(gè)實(shí)數(shù)x，使，正確.故選：ABD.10.若，，則下列各式中，恒等的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】對(duì)于A：，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則得，故B正確；對(duì)于C：，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于D：，故選項(xiàng)D正確.故選：BD.11.下列弧度與角度的轉(zhuǎn)化正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】對(duì)于A，，A對(duì)；對(duì)于B，，B錯(cuò)；對(duì)于C，，C對(duì)；對(duì)于D，，D錯(cuò).故選：AC.12.已知關(guān)于x的不等式（，）的解集為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.的最大值為C.的最小值為4 D.的最小值為【答案】ABD【解析】由題意，不等式的解集為，可得，且方程的兩根為和，所以，所以，，所以，所以A正確；因?yàn)?，，所以，可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為，所以B正確；由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，所以C錯(cuò)誤；由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以最小值為，所以D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.______________【答案】【解析】.故答案為：.14.已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則的值為________．【答案】【解析】設(shè)函數(shù)，則，得，，因此，.故答案為：.15.的部分圖象如圖，則其解析式為__________________.【答案】【解析】由圖知：，，，又因?yàn)?，解得，，即，，又因?yàn)?，所?即.故答案為：.16.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，若滿足：①在D內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)；②存在，使得在上的值域?yàn)?，那么就稱是定義域?yàn)镈的“成功函數(shù)”.若函數(shù)（且）是定義域?yàn)镽的“成功函數(shù)”，則t的取值范圍是____________.【答案】【解析】由題知函數(shù)（且）在定義域R上為單調(diào)遞增函數(shù)，則，而時(shí)，不滿足條件，所以，設(shè)存在，使得在上的值域?yàn)椋?，即，所以，n是方程的兩個(gè)不等的實(shí)根，設(shè)，則，所以方程等價(jià)為的有兩個(gè)不等的正實(shí)根，即，所以，解得.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.17題10分，其余各題每題12分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.設(shè)集合，．（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）集合，集合，則或，故或.（2）因?yàn)?，所以，解?18已知.（1）求值；（2）求的值．解：（1），，，因此，.（2）.19.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值以及取得該最小值時(shí)的值.解：（1），所以，函數(shù)的最小正周期為；令，得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.（2）當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，此時(shí).20.已知二次函數(shù)滿足，且的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求解析式；（2）若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：（1）設(shè)，則，因?yàn)?，所以，得，，因?yàn)榈膱D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，即，故．（2）設(shè)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不等式恒成立，所以，即，解得，故的取值范圍是．21.美國(guó)對(duì)中國(guó)芯片的技術(shù)封鎖，這卻激發(fā)了中國(guó)“芯”的研究熱潮，中國(guó)華為公司研發(fā)的、兩種芯片都已獲得成功．該公司研發(fā)芯片已經(jīng)耗費(fèi)資金千萬(wàn)元，現(xiàn)在準(zhǔn)備投入資金進(jìn)行生產(chǎn)，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，生產(chǎn)芯片的毛收入與投入的資金成正比，已知每投入千萬(wàn)元，公司獲得毛收入千萬(wàn)元；生產(chǎn)芯片的毛收入（千萬(wàn)元）與投入的資金（千萬(wàn)元）的函數(shù)關(guān)系為（與都為常數(shù)），其圖象如圖所示．（1）試分別求出生產(chǎn)、兩種芯片的毛收入（千萬(wàn)元）與投入資金（千萬(wàn)元）