2023-2024學(xué)年河南省鄭州市高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省鄭州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分．考試時(shí)間120分鐘，滿分150分．考生應(yīng)首先閱讀答題卡上的文字信息，然后在答題卡上作答，在試題卷上作答無效．交卷時(shí)只交答題卡．第I卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.過點(diǎn)，且傾斜角為的直線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】過點(diǎn)，且傾斜角為的直線垂直于軸，其方程為.故選：B2.已知點(diǎn)，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)，則，因?yàn)椋?，即，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：C3.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A.20 B.28 C.32 D.48【答案】A【解析】易知.故選：A4.已知為拋物線：上一點(diǎn)，點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為4，到軸的距離為3，則（）A.1 B.2 C.3 D.6【答案】B【解析】由拋物線定義得，解得.故選：B5.若關(guān)于，的方程組無解，則的值為（）A. B. C.1 D.0【答案】C【解析】由于無解，則表示兩直線無交點(diǎn)，故兩直線是平行關(guān)系，因此，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，故選：C6.已知，，且，則和可分別作為（）A.雙曲線和拋物線的離心率 B.雙曲線和橢圓的離心率C.橢圓和拋物線的離心率 D.兩雙曲線的離心率【答案】A【解析】由題意，，且，所以，解得，所以和可分別作為雙曲線和拋物線的離心率.故選：A.7.人教A版選擇性必修第一冊教材44頁“拓廣探索”中有這樣的表述：在空間直角坐標(biāo)系中，若平面經(jīng)過點(diǎn)，且以為法向量，設(shè)是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，由，可得，此即平面的點(diǎn)法式方程．利用教材給出的材料，解決下面的問題：已知平面的方程為，直線的方向向量為，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)槠矫娴姆匠虨?，所以平面的一個法向量為,2,，直線的方向向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則,．故選：B．8.阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．已知橢圓：的面積為，點(diǎn)在橢圓上，且點(diǎn)與橢圓左、右頂點(diǎn)，連線的斜率之積為，則的值不可能為（）A. B. C.0 D.2【答案】CD【解析】設(shè)，，則①，由題意知，，，因?yàn)辄c(diǎn)與橢圓左、右頂點(diǎn)，連線的斜率之積為，所以，即②，由①②可得，，所以，由橢圓的面積為，知，即，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，且，，所以,,，即,，所以,,,，對比選項(xiàng)可知，的值不可能為0和2．故選：CD．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.如圖，棱長為2的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則（）A. B.與所成角的余弦值為C.，，，四點(diǎn)共面 D.的面積為【答案】ACD【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，對于A，，，，所以，故A正確；對于B，，，所以，所以與所成角的余弦值為，故B錯誤；對于C，取的中點(diǎn)，連接，由正方體的性質(zhì)可知，所以四邊形是平行四邊形，所以，，同理可知：，，所以，，四邊形平行四邊形，則，，，四點(diǎn)共面，故C正確；對于D，，取的中點(diǎn)為，連接，所以，故的面積為，故D正確.故選：ACD.10.已知兩圓：，：，則下列說法正確的是（）A.點(diǎn)在圓內(nèi)B.圓關(guān)于直線對稱C.圓與圓外切D.點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，則的最大值為6【答案】BD【解析】圓：，整理得，圓心為，半徑為對于A選項(xiàng)，由于點(diǎn)到圓圓心的距離為，故點(diǎn)在圓外，故A錯誤；對于B選項(xiàng)，由于滿足，故圓關(guān)于直線對稱，故B正確；對于C選項(xiàng)，由于圓：，圓心，半徑為3，兩圓圓心距為，所以圓與圓內(nèi)切，故C錯誤；對于D選項(xiàng)，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，因?yàn)閳A與圓內(nèi)切，所以的最大值為圓的直徑6，故D正確，故選：BD.11.已知數(shù)列中，，，，記的前項(xiàng)和為，則（）A.中任意三項(xiàng)都不能構(gòu)成等差數(shù)列 B.C. D.【答案】AC【解析】因?yàn)?，，可得，則，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，，即，故B錯誤；假設(shè)中任意三項(xiàng)都構(gòu)成等差數(shù)列，可設(shè)，則成等差數(shù)列，可得，即，即有，由，可得，由，可得，則不成立，故A正確；，故C正確；，所以，，因?yàn)闉檫f增數(shù)列，所以，可得，故D錯誤.故選：AC.12.拋物線：的焦點(diǎn)是，準(zhǔn)線與對稱軸相交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），，垂足為，則下列說法正確的是（）A.若以為圓心，為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，則是等邊三角形B.兩條直線，的斜率之和為定值C.已知拋物線上的兩點(diǎn)，到點(diǎn)的距離之和為8，則線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)是4D.若的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則該圓的半徑為【答案】ABD【解析】對于A，由拋物線的定義知，，因?yàn)橐詾閳A心，為半徑的圓與相交于和兩點(diǎn)，所以，所以為等邊三角形，故A正確；對于B，設(shè)直線的方程是，代入并消去得，設(shè)，，則，.，，所以，所以兩條直線，的斜率之和為定值，故B正確；對于C，設(shè)，則，即，則線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故C錯誤；對于D，因?yàn)榈耐饨訄A與拋物線的準(zhǔn)線相切，所以圓心在拋物線上，且圓心在線段OF的垂直平分線，可知外接圓圓心縱坐標(biāo)為，所以外接圓半徑為，故D正確.故選：ABD.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是________．【答案】【解析】點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是.故答案為：.14.寫出圓：與圓：的一條公切線方程________．【答案】（答案不唯一）【解析】圓的圓心，半徑為，圓的圓心為，半徑為，故，故圓與圓外切，將與相減得，即兩圓內(nèi)公切線方程為，兩圓圓心所在直線方程為，即，由于兩圓半徑相等，故兩圓的外公切線所在直線方程與平行，設(shè)為，圓心到的距離為，解得，故兩圓外公切線所在直線方程為和.故答案為：（或之一也可以）15.松脆辛香的品客薯片蘊(yùn)藏著數(shù)學(xué)、物理、哲學(xué)的奧秘，它的形狀叫雙曲拋物面（馬鞍面），其標(biāo)準(zhǔn)方程為（，），當(dāng)時(shí)截線方程為：（，），如圖從的一個焦點(diǎn)射出的光線，經(jīng)過，兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)和,且反射光線的反向延長線交于的另一個焦點(diǎn)．已知,，則的離心率為________．【答案】【解析】如圖，分別延長交雙曲線的左焦點(diǎn)為，因?yàn)椋瑑蛇吰椒降?，，所以，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，，設(shè)，則，又，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以離心率為，故答案為：.16.已知數(shù)列中，，，，設(shè)數(shù)列，則的通項(xiàng)公式為________．【答案】【解析】由題意，，，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列，所以，所以，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，所以.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．其中17題10分，18~22題各12分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知等腰的一個頂點(diǎn)在直線：上，底邊的兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為，．（1）求邊上的高所在直線方程；（2）求點(diǎn)到直線的距離．解：（1）由題意可知，為的中點(diǎn)，，，．又，．所在直線方程為，即．（2）由，解得，所以．又直線方程為，即．點(diǎn)到直線的距離．18.已知圓的圓心為，過直線上一點(diǎn)作圓的切線，且切線段長的最小值為2．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若圓與圓：相交于，兩點(diǎn)，求兩圓公共弦的長．解：（1）設(shè)圓的半徑為，過向圓所作切線的一個切點(diǎn)為，由知，當(dāng)最小時(shí)，切線段的長度有最小值，自圓心向直線引垂線段，此時(shí)有最小值．圓心到直線的距離．即．．圓的方程為．（2）由圓：和圓：，由于兩圓的圓心距為，故兩圓相交，兩圓方程相減得，公共弦所在直線方程為．圓心到直線的距離為．弦長．19.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，且對任意的都有，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由題意得解得數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由題意得，數(shù)列為等比數(shù)列，公比為，所以的通項(xiàng)公式為．．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，．綜上所述，．20.在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線的距離小1．（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）已知直線過點(diǎn)，與軌跡交于，兩點(diǎn)．求證：直線與直線的傾斜角互補(bǔ)．解：（1）曲線上的動點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線的距離小1，動點(diǎn)到直線的距離與它到點(diǎn)的距離相等．故所求軌跡為以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，開口向右的拋物線，且，．點(diǎn)的軌跡的方程為．（2）由題知直線的斜率存在且不為零，設(shè)的方程為，聯(lián)立得，，所以.設(shè)，，，．，，．即直線與直線的傾斜角互補(bǔ)．21.在三棱臺中，平面，，，，為中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）取的中點(diǎn)，連接，，得為的中位線，，且．由于∽，，故，而，，則，，四邊形為平行四邊形，．又平面，平面，平面．（2）如圖，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，．設(shè)平面的一個法向量為，由，得，令，則可取．平面平面的法向量可取為．設(shè)平面與平面的夾角為，,則，平面與平面的夾角余弦值為.22.已知橢圓：的離心率為，過右焦點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn)．當(dāng)垂直于長軸時(shí)，．（1）求橢圓的方程；（2）橢圓上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)繞點(diǎn)轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，四邊形為平行四邊形？若存在，求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解：（1）當(dāng)垂直于長軸時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓可得，故由題意得解得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（2）假設(shè)橢圓上是存在點(diǎn)，設(shè)為，使得四邊形為平行四邊形．,顯然當(dāng)直線的斜率為0時(shí)不合題意，則設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立與消去得，判別式，設(shè)，，則，則則中點(diǎn)坐標(biāo)為，中點(diǎn)坐標(biāo)為，則,解得代入橢圓方程化簡得，解得．此時(shí)，所以橢圓上是存在點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形．河南省鄭州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分．考試時(shí)間120分鐘，滿分150分．考生應(yīng)首先閱讀答題卡上的文字信息，然后在答題卡上作答，在試題卷上作答無效．交卷時(shí)只交答題卡．第I卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.過點(diǎn)，且傾斜角為的直線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】過點(diǎn)，且傾斜角為的直線垂直于軸，其方程為.故選：B2.已知點(diǎn)，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)，則，因?yàn)?，故，即，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：C3.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A.20 B.28 C.32 D.48【答案】A【解析】易知.故選：A4.已知為拋物線：上一點(diǎn)，點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為4，到軸的距離為3，則（）A.1 B.2 C.3 D.6【答案】B【解析】由拋物線定義得，解得.故選：B5.若關(guān)于，的方程組無解，則的值為（）A. B. C.1 D.0【答案】C【解析】由于無解，則表示兩直線無交點(diǎn)，故兩直線是平行關(guān)系，因此，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，故選：C6.已知，，且，則和可分別作為（）A.雙曲線和拋物線的離心率 B.雙曲線和橢圓的離心率C.橢圓和拋物線的離心率 D.兩雙曲線的離心率【答案】A【解析】由題意，，且，所以，解得，所以和可分別作為雙曲線和拋物線的離心率.故選：A.7.人教A版選擇性必修第一冊教材44頁“拓廣探索”中有這樣的表述：在空間直角坐標(biāo)系中，若平面經(jīng)過點(diǎn)，且以為法向量，設(shè)是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，由，可得，此即平面的點(diǎn)法式方程．利用教材給出的材料，解決下面的問題：已知平面的方程為，直線的方向向量為，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)槠矫娴姆匠虨椋云矫娴囊粋€法向量為,2,，直線的方向向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則,．故選：B．8.阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．已知橢圓：的面積為，點(diǎn)在橢圓上，且點(diǎn)與橢圓左、右頂點(diǎn)，連線的斜率之積為，則的值不可能為（）A. B. C.0 D.2【答案】CD【解析】設(shè)，，則①，由題意知，，，因?yàn)辄c(diǎn)與橢圓左、右頂點(diǎn)，連線的斜率之積為，所以，即②，由①②可得，，所以，由橢圓的面積為，知，即，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，且，，所以,,，即,，所以,,,，對比選項(xiàng)可知，的值不可能為0和2．故選：CD．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.如圖，棱長為2的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則（）A. B.與所成角的余弦值為C.，，，四點(diǎn)共面 D.的面積為【答案】ACD【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，對于A，，，，所以，故A正確；對于B，，，所以，所以與所成角的余弦值為，故B錯誤；對于C，取的中點(diǎn)，連接，由正方體的性質(zhì)可知，所以四邊形是平行四邊形，所以，，同理可知：，，所以，，四邊形平行四邊形，則，，，四點(diǎn)共面，故C正確；對于D，，取的中點(diǎn)為，連接，所以，故的面積為，故D正確.故選：ACD.10.已知兩圓：，：，則下列說法正確的是（）A.點(diǎn)在圓內(nèi)B.圓關(guān)于直線對稱C.圓與圓外切D.點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，則的最大值為6【答案】BD【解析】圓：，整理得，圓心為，半徑為對于A選項(xiàng)，由于點(diǎn)到圓圓心的距離為，故點(diǎn)在圓外，故A錯誤；對于B選項(xiàng)，由于滿足，故圓關(guān)于直線對稱，故B正確；對于C選項(xiàng)，由于圓：，圓心，半徑為3，兩圓圓心距為，所以圓與圓內(nèi)切，故C錯誤；對于D選項(xiàng)，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，因?yàn)閳A與圓內(nèi)切，所以的最大值為圓的直徑6，故D正確，故選：BD.11.已知數(shù)列中，，，，記的前項(xiàng)和為，則（）A.中任意三項(xiàng)都不能構(gòu)成等差數(shù)列 B.C. D.【答案】AC【解析】因?yàn)?，，可得，則，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，，即，故B錯誤；假設(shè)中任意三項(xiàng)都構(gòu)成等差數(shù)列，可設(shè)，則成等差數(shù)列，可得，即，即有，由，可得，由，可得，則不成立，故A正確；，故C正確；，所以，，因?yàn)闉檫f增數(shù)列，所以，可得，故D錯誤.故選：AC.12.拋物線：的焦點(diǎn)是，準(zhǔn)線與對稱軸相交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），，垂足為，則下列說法正確的是（）A.若以為圓心，為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，則是等邊三角形B.兩條直線，的斜率之和為定值C.已知拋物線上的兩點(diǎn)，到點(diǎn)的距離之和為8，則線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)是4D.若的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則該圓的半徑為【答案】ABD【解析】對于A，由拋物線的定義知，，因?yàn)橐詾閳A心，為半徑的圓與相交于和兩點(diǎn)，所以，所以為等邊三角形，故A正確；對于B，設(shè)直線的方程是，代入并消去得，設(shè)，，則，.，，所以，所以兩條直線，的斜率之和為定值，故B正確；對于C，設(shè)，則，即，則線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故C錯誤；對于D，因?yàn)榈耐饨訄A與拋物線的準(zhǔn)線相切，所以圓心在拋物線上，且圓心在線段OF的垂直平分線，可知外接圓圓心縱坐標(biāo)為，所以外接圓半徑為，故D正確.故選：ABD.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是________．【答案】【解析】點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是.故答案為：.14.寫出圓：與圓：的一條公切線方程________．【答案】（答案不唯一）【解析】圓的圓心，半徑為，圓的圓心為，半徑為，故，故圓與圓外切，將與相減得，即兩圓內(nèi)公切線方程為，兩圓圓心所在直線方程為，即，由于兩圓半徑相等，故兩圓的外公切線所在直線方程與平行，設(shè)為，圓心到的距離為，解得，故兩圓外公切線所在直線方程為和.故答案為：（或之一也可以）15.松脆辛香的品客薯片蘊(yùn)藏著數(shù)學(xué)、物理、哲學(xué)的奧秘，它的形狀叫雙曲拋物面（馬鞍面），其標(biāo)準(zhǔn)方程為（，），當(dāng)時(shí)截線方程為：（，），如圖從的一個焦點(diǎn)射出的光線，經(jīng)過，兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)和,且反射光線的反向延長線交于的另一個焦點(diǎn)．已知,，則的離心率為________．【答案】【解析】如圖，分別延長交雙曲線的左焦點(diǎn)為，因?yàn)?，兩邊平方得，，所以，因?yàn)椋?，設(shè)，則，，設(shè)，則，又，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以離心率為，故答案為：.16.已知數(shù)列中，，，，設(shè)數(shù)列，則的通項(xiàng)公式為________．【答案】【解析】由題意，，，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列，所以，所以，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，所以.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．其中17題10分，18~22題各12分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知等腰的一個頂點(diǎn)在直線：上，底邊的兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為，．（1）求邊上的高所在直線方程；（2）求點(diǎn)到直線的距離．解：（1）由題意可知，為的中點(diǎn)，，，．又，．所在直線方程為，即．（2）由，解得，所以．又直線方程為，即．點(diǎn)到直線的距離．18.已知圓的圓心為，過直線上一點(diǎn)作圓的切線，且切線段長的最小值為2．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若圓與圓：相交于，兩點(diǎn)，求兩圓公共弦的長．解：（1）設(shè)圓的半徑為，過向圓所作切線的一個切點(diǎn)為，由知，當(dāng)最小時(shí)，切線段的長度有最小值，自圓心向直線引垂線段，此時(shí)有最小值．圓心到直線的距離．即．．圓的方程為．（2）由圓：和圓：，由于兩圓的圓心距為，故兩圓相交，兩圓方程相減得，公共弦所在直線方程為．圓心到直線的距離為．弦長．19.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為