2023-2024學(xué)年廣東省茂名市化州市高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省茂名市化州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題注意事項:1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號填寫在答題卡指定的位置上.2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.第一部分選擇題（共60分）一、單項選擇題：本大題共8個小題，每個小題5分，共40分．每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的．1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，可得，所以，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得，則.故選：C.2.，為虛數(shù)，則復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得.故選B.3.在數(shù)列中，，．是該數(shù)列的前項和，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意由可得，由等差數(shù)列定義可得數(shù)列是首項為2，公差為2等差數(shù)列，所以可得，，即可得.故選：B4.設(shè)，是兩個不同的平面，a，b是兩條不同的直線，且，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，，則，又，所以，故“”是“”的充分條件.當(dāng)滿足，，時，直線可能平行，可能相交，也可能異面.故“”不是“”的必要條件.故選：A5.函數(shù)的圖象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，當(dāng)或時，，，排除AD，當(dāng)時，，，排除C，故選：B．6.已知直線與圓相交于點A，B，點P為圓上一動點，則面積的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由圓心為，半徑為，則圓心到直線距離，所以，要使面積最大，只需圓上一動點P到直線距離最遠(yuǎn)，為，所以面積的最大值是.故選：A7.已知甲袋中有4個白球?個紅球，乙袋中有2個白球?4個紅球，各個球的大小與質(zhì)地相同.現(xiàn)從甲?乙兩袋中依次不放回地各取2個球，若從甲袋中取出的2個球的顏色不相同與從乙袋中取出的2個球的顏色不相同的概率相等，則（）A.2 B.4 C.6或2 D.8或4【答案】C【解析】設(shè)事件為“從甲袋中取出的2個球的顏色不相同”，事件為“從乙袋中取出的2個球的顏色不相同”，則，所以，解得或.故選：C.8.已知雙曲線（，）的離心率為，圓與C的一條漸近線相交，且弦長不小于4，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為，則，解得，且雙曲線的焦點在x軸上，所以雙曲線的漸近線為，因為圓的圓心為，半徑，可知圓關(guān)于x軸對稱，不妨取漸近線為，即，則圓心到漸近線的距離，可得，又因為圓與雙曲線C的一條漸近線相交弦長為，由題意可得，解得，所以a的取值范圍是.故選：D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.已知M是橢圓上一點，，是其左右焦點，則下列選項中正確的是（）A.橢圓的焦距為2 B.橢圓的離心率C.橢圓的短軸長為4 D.的面積的最大值是4【答案】BCD【解析】因橢圓方程為，所以，所以橢圓的焦距為，離心率，短軸長為，故A錯誤，B,C正確；對于D，當(dāng)M為橢圓短軸的一個頂點時，以為底時的高最大，為2,此時的面積取最大為,故正確.故選：BCD.10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C.函數(shù)的圖象可由的圖象上所有點橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變得到D.函數(shù)的圖象可由的圖象上所有點向左平移個單位得到【答案】ACD【解析】因為，對于A選項，函數(shù)的最小正周期為，A對；對于B選項，，所以，函數(shù)的圖象不關(guān)于點對稱，B錯；對于C選項，函數(shù)的圖象可由的圖象上所有點橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變得到，C對；對于D選項，因為，所以，函數(shù)的圖象可由的圖象上所有點向左平移個單位得到，D對.故選：ACD.11.下列說法正確的是（

）A.若，，則的最大值為4B.，，則的最小值是4C.當(dāng)時，有最大值D.的最小值為【答案】BD【解析】對于A，由題意及基本不等式可知：，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，故A錯誤；對于B，由題意及基本不等式可知：，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，故B正確；對于C，由題意及基本不等式可知：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號，故C錯誤；對于D，易知，令，則，根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性知時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，當(dāng)即時取得等號，故D正確.故選：BD12.如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長為2的正方形，與交于點，平面，且，則（）A.平面 B.四棱錐的外接球表面積為C.四棱錐的內(nèi)切球半徑為1 D.直線與平面所成角的為【答案】ABD【解析】對于A，由平面，平面，得，由正方形，得，而平面，因此平面，A正確；對于B，因為平面，，四邊形是邊長為2的正方形，則四棱錐可補(bǔ)形成正方體，如圖，顯然四棱錐的外接球即為正方體的外接球，其直徑為，該球的表面積，B正確；對于C，四棱錐的表面積，設(shè)四棱錐的內(nèi)切球半徑為，則，即，解得，C錯誤；對于D，在選項B的正方體中，，平面即為平面，連接，連接，由平面，平面，得，又，平面，因此平面，是直線與平面所成的角，，則，因此直線與平面所成角的為，D正確.故選：ABD第二部分非選擇題（共90分）三、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分．將答案填在答題卷的橫線上．13.已知數(shù)列是等比數(shù)列，首項，公比，則__________.【答案】【解析】因為數(shù)列是等比數(shù)列，且首項，公比，所以，故答案為：14.已知單位向量，滿足，則與的夾角為__________.【答案】【解析】因為，是單位向量，所以，因為，所以，所以，所以，所以，所以，因為，所以.故答案為：.15.直線l：與有兩個不同交點，則m的取值范圍________.【答案】【解析】即為，表示圓心在原點半徑為的圓位于軸右側(cè)的部分，直線即為，過定點，在平面直角坐標(biāo)系中作出直線和半圓的圖象如下圖所示：圓與坐標(biāo)軸交于，且直線的斜率為，當(dāng)直線經(jīng)過時，此時，解得，當(dāng)直線與圓相切時，，解得或（舍），根據(jù)圖象可知，若直線與半圓有兩個不同交點，則，故答案為：.16.對大于或等于2自然數(shù)的次冪進(jìn)行如下方式的“分裂”：按此方法，的“分裂”中最大數(shù)是______，若的“分裂”中的最小數(shù)是21，則的值為_______．【答案】9;5【解析】由題意知：當(dāng)?shù)讛?shù)為2時，分解為兩個連續(xù)奇數(shù)之和，當(dāng)?shù)讛?shù)為3時，分解為三個連續(xù)奇數(shù)之和，以此類推，當(dāng)?shù)讛?shù)為5時，分解為5個連續(xù)奇數(shù)之和，設(shè)，解得，則分解為，所以“分裂”中最大數(shù)是9，由題意知：，解得，所以的值為5，故答案為：9；5四、解答題：本大題共6個小題，滿分共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，且.（1）求；（2）若的面積為，求的周長.解：（1）由已知得由正弦定理得，則．即（2），得，由余弦定理，即，則，所以，的周長為．18.已知等差數(shù)列滿足，．（1）求的通項公式；（2）已知求數(shù)列，求的前項和．解：（1）為等差數(shù)列，設(shè)出公差為，因為，所以，因，所以，所以，所以，所以，所以；（2）由（1）知，所以，所以，，所以，所以，所以.19.如圖，在直四棱柱中，，，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）連接．∵在直四棱柱中平面，，平面，∴，．∵，，∴，∵，∴，∴．∵，平面，，∴平面．（2）在直四棱柱中，⊥平面,，可得,兩兩之間互相垂直.以為原點，以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，∴，，．設(shè)為平面的一個法向量，則令，得．設(shè)為平面的一個法向量，則令，得．設(shè)平面與平面的夾角為，且由圖可得為銳角,則，故平面與平面夾角的余弦值為．20.已知拋物線經(jīng)過點，直線與拋物線相交于不同的A、兩點．（1）求拋物線的方程；（2）如果，證明直線過定點，并求定點坐標(biāo).解：（1）由題意可知，將點代入拋物線方程，可得，解得，則拋物線方程為．（2）因為直線與拋物線相交于不同的A、兩點，所以直線不與x軸平行，可設(shè)，與聯(lián)立，得，設(shè)，，∴，．，由，解得，∴過定點．21.某市為了了解人們對“中國夢”的偉大構(gòu)想的認(rèn)知程度，針對本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識競賽，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有m人，按年齡分成5組，其中第一組：[20，25），第二組：[25，30），第三組：[30，35），第四組：[35，40），第五組：[40，45]，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求m的值并估計這m人年齡的第80百分位數(shù)；（2）現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20人，擔(dān)任本市的“中國夢”宣傳使者.（i）若有甲（年齡38），乙（年齡40）兩人已確定入選宣傳使者，現(xiàn)計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長，求甲?乙兩人至少有一人被選上的概率；（ii）若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為37和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為43和1，據(jù)此估計這m人中35~45歲所有人的年齡的方差.解：（1）由題意，，所以.設(shè)第80百分位數(shù)為，因為，，故第80百分位數(shù)位于第四組：[35，40）內(nèi)，由，解得：，所以第80百分位數(shù)為；（2）（i）由題意得，第四組應(yīng)抽取4人，記為，甲，第五組抽取2人，記為，乙，對應(yīng)的樣本空間為：，甲，乙，甲，乙），（B，D），（C，甲），（甲，乙），（甲，D），（乙，D）共15個樣本點.設(shè)事件“甲?乙兩人至少一人被選上”，則，甲，乙，甲，乙），，甲，乙），（甲，乙），（甲，乙，，共有9個樣本點.所以.（ii）設(shè)第四組?第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為，方差分別為，則，設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為.則，，因此，第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為10，據(jù)此，可估計這人中年?在歲的所有人的年齡方差約為10.22.已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個，使得成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì)M.（1）若，判斷是否具有性質(zhì)M，說明理由；（2）若函數(shù)具有性質(zhì)M，試求實數(shù)m的取值范圍.解：（1）令即，而，故，故具有性質(zhì)M.（2）由題設(shè)在上有唯一解，故在上有唯一解，設(shè)，若，因在上有唯一解，故，故或.若或，則或，而當(dāng)時，的另一個根為，故符合.當(dāng)時，僅有一個根，故不符合.當(dāng)時，因在上有唯一解，故，整理得到，解得，綜上，或或.廣東省茂名市化州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題注意事項:1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號填寫在答題卡指定的位置上.2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.第一部分選擇題（共60分）一、單項選擇題：本大題共8個小題，每個小題5分，共40分．每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的．1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，可得，所以，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得，則.故選：C.2.，為虛數(shù)，則復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得.故選B.3.在數(shù)列中，，．是該數(shù)列的前項和，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意由可得，由等差數(shù)列定義可得數(shù)列是首項為2，公差為2等差數(shù)列，所以可得，，即可得.故選：B4.設(shè)，是兩個不同的平面，a，b是兩條不同的直線，且，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，，則，又，所以，故“”是“”的充分條件.當(dāng)滿足，，時，直線可能平行，可能相交，也可能異面.故“”不是“”的必要條件.故選：A5.函數(shù)的圖象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，當(dāng)或時，，，排除AD，當(dāng)時，，，排除C，故選：B．6.已知直線與圓相交于點A，B，點P為圓上一動點，則面積的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由圓心為，半徑為，則圓心到直線距離，所以，要使面積最大，只需圓上一動點P到直線距離最遠(yuǎn)，為，所以面積的最大值是.故選：A7.已知甲袋中有4個白球?個紅球，乙袋中有2個白球?4個紅球，各個球的大小與質(zhì)地相同.現(xiàn)從甲?乙兩袋中依次不放回地各取2個球，若從甲袋中取出的2個球的顏色不相同與從乙袋中取出的2個球的顏色不相同的概率相等，則（）A.2 B.4 C.6或2 D.8或4【答案】C【解析】設(shè)事件為“從甲袋中取出的2個球的顏色不相同”，事件為“從乙袋中取出的2個球的顏色不相同”，則，所以，解得或.故選：C.8.已知雙曲線（，）的離心率為，圓與C的一條漸近線相交，且弦長不小于4，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為，則，解得，且雙曲線的焦點在x軸上，所以雙曲線的漸近線為，因為圓的圓心為，半徑，可知圓關(guān)于x軸對稱，不妨取漸近線為，即，則圓心到漸近線的距離，可得，又因為圓與雙曲線C的一條漸近線相交弦長為，由題意可得，解得，所以a的取值范圍是.故選：D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.已知M是橢圓上一點，，是其左右焦點，則下列選項中正確的是（）A.橢圓的焦距為2 B.橢圓的離心率C.橢圓的短軸長為4 D.的面積的最大值是4【答案】BCD【解析】因橢圓方程為，所以，所以橢圓的焦距為，離心率，短軸長為，故A錯誤，B,C正確；對于D，當(dāng)M為橢圓短軸的一個頂點時，以為底時的高最大，為2,此時的面積取最大為,故正確.故選：BCD.10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C.函數(shù)的圖象可由的圖象上所有點橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變得到D.函數(shù)的圖象可由的圖象上所有點向左平移個單位得到【答案】ACD【解析】因為，對于A選項，函數(shù)的最小正周期為，A對；對于B選項，，所以，函數(shù)的圖象不關(guān)于點對稱，B錯；對于C選項，函數(shù)的圖象可由的圖象上所有點橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變得到，C對；對于D選項，因為，所以，函數(shù)的圖象可由的圖象上所有點向左平移個單位得到，D對.故選：ACD.11.下列說法正確的是（

）A.若，，則的最大值為4B.，，則的最小值是4C.當(dāng)時，有最大值D.的最小值為【答案】BD【解析】對于A，由題意及基本不等式可知：，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，故A錯誤；對于B，由題意及基本不等式可知：，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，故B正確；對于C，由題意及基本不等式可知：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號，故C錯誤；對于D，易知，令，則，根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性知時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，當(dāng)即時取得等號，故D正確.故選：BD12.如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長為2的正方形，與交于點，平面，且，則（）A.平面 B.四棱錐的外接球表面積為C.四棱錐的內(nèi)切球半徑為1 D.直線與平面所成角的為【答案】ABD【解析】對于A，由平面，平面，得，由正方形，得，而平面，因此平面，A正確；對于B，因為平面，，四邊形是邊長為2的正方形，則四棱錐可補(bǔ)形成正方體，如圖，顯然四棱錐的外接球即為正方體的外接球，其直徑為，該球的表面積，B正確；對于C，四棱錐的表面積，設(shè)四棱錐的內(nèi)切球半徑為，則，即，解得，C錯誤；對于D，在選項B的正方體中，，平面即為平面，連接，連接，由平面，平面，得，又，平面，因此平面，是直線與平面所成的角，，則，因此直線與平面所成角的為，D正確.故選：ABD第二部分非選擇題（共90分）三、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分．將答案填在答題卷的橫線上．13.已知數(shù)列是等比數(shù)列，首項，公比，則__________.【答案】【解析】因為數(shù)列是等比數(shù)列，且首項，公比，所以，故答案為：14.已知單位向量，滿足，則與的夾角為__________.【答案】【解析】因為，是單位向量，所以，因為，所以，所以，所以，所以，所以，因為，所以.故答案為：.15.直線l：與有兩個不同交點，則m的取值范圍________.【答案】【解析】即為，表示圓心在原點半徑為的圓位于軸右側(cè)的部分，直線即為，過定點，在平面直角坐標(biāo)系中作出直線和半圓的圖象如下圖所示：圓與坐標(biāo)軸交于，且直線的斜率為，當(dāng)直線經(jīng)過時，此時，解得，當(dāng)直線與圓相切時，，解得或（舍），根據(jù)圖象可知，若直線與半圓有兩個不同交點，則，故答案為：.16.對大于或等于2自然數(shù)的次冪進(jìn)行如下方式的“分裂”：按此方法，的“分裂”中最大數(shù)是______，若的“分裂”中的最小數(shù)是21，則的值為_______．【答案】9;5【解析】由題意知：當(dāng)?shù)讛?shù)為2時，分解為兩個連續(xù)奇數(shù)之和，當(dāng)?shù)讛?shù)為3時，分解為三個連續(xù)奇數(shù)之和，以此類推，當(dāng)?shù)讛?shù)為5時，分解為5個連續(xù)奇數(shù)之和，設(shè)，解得，則分解為，所以“分裂”中最大數(shù)是9，由題意知：，解得，所以的值為5，故答案為：9；5四、解答題：本大題共6個小題，滿分共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，且.（1）求；（2）若的面積為，求的周長.解：（1）由已知得由正弦定理得，則．即（2），得，由余弦定理，即，則，所以，的周長為．18.已知等差數(shù)列滿足，．（1）求的通項公式；（2）已知求數(shù)列，求的前項和．解：（1）為等差數(shù)列，設(shè)出公差為，因為，所以，因，所以，所以，所以，所以，所以；（2）由（1）知，所以，所以，，所以，所以，所以.19.如圖，在直四棱柱中，，，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）連接．∵在直四棱柱中平面，，平面，∴，．∵，，∴，∵，∴，∴．∵，平面，，∴平面．（2）在直四棱柱中，⊥平面,，可得,兩兩之間互相垂直.以為原點，以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，∴，，．設(shè)為平面的一個法向量，則令，得．設(shè)為平面的一個法向量，則令，得．設(shè)平面與平面的夾角為，且由圖可得為銳角,則，故平面與平面夾角的余弦值為．20.已知拋物線經(jīng)過點，直線與拋物線相交于不同的A、兩點．（1）求拋物線的方程；（2）如果，證明直線過定點，并求定點坐標(biāo).解：（1）由題意可知，將點代入拋物線方程，可得，解得，則拋物線方程為．（2）因為直線與拋物線相交于不同的A、兩點，所以直線不與x軸平行，可設(shè)，與聯(lián)立，得，設(shè)，，∴，．，由，解得，∴過定點．21.某市為了了解人們對“中國夢”的偉大構(gòu)想的認(rèn)知程度，針對本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次