2023-2024學年廣東省揭陽市揭東區(qū)高二上學期1月期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省揭陽市揭東區(qū)2023-2024學年高二上學期1月期末數(shù)學試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，得，所以，故選：C.2.已知復數(shù)z滿足，則（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】由，即，所以．故選：B．3.等差數(shù)列的前項和為，且，則（）A.63 B.45 C.49 D.56【答案】A【解析】設(shè)公差為，由可得，解得，故．故選：A.4.圓：和圓：的位置關(guān)系是（）A.外離 B.相交 C.外切 D.內(nèi)含【答案】C【解析】變形為，故圓心為，半徑為，變形為，故圓心為，半徑為，故，由于，故兩圓外切.故選：C5.“春雨驚春清谷天，夏滿芒夏暑相連，秋處露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月兩節(jié)不變史，最多相差一兩天．”中國農(nóng)歷的“二十四節(jié)氣”，凝結(jié)著中華民族的智慧，是中國傳統(tǒng)文化的結(jié)晶，如五月有立夏、小滿，六月有芒種、夏至，七月有小暑、大暑，現(xiàn)從五月、六月、七月這六個節(jié)氣中任選兩個節(jié)氣，則這兩個節(jié)氣恰在同一個月的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意，基本事件由（立夏，小滿），（立夏，芒種），（立夏，夏至），（立夏，小暑），（立夏，大暑），（小滿，芒種），（小滿，夏至），（小滿，小暑），（小滿，大暑），（芒種，夏至），（芒種，小暑），（芒種，大暑），（夏至，小暑），（夏至，大暑），（小暑，大暑）共15個，其中任取兩個在同一個月的有3個，所以,故選：C6.如圖，三棱錐中，為的中點，點滿足，記，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】故選：D7.正多面體被古希臘圣哲認為是構(gòu)成宇宙的基本元素.如圖，該幾何體是一個棱長為的正八面體，則此正八面體的體積與表面積的數(shù)值之比為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖所示，連接，，則四邊形為正方形，且平面，由正八面體可知，，則，，所以，表面積，所以，故選：B.8.已知函數(shù)，則使得不等式成立的實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)，令，因為，所以是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，且在上遞減，在上遞增，所以的圖象關(guān)于對稱，且在上遞減，在上遞增，若使得不等式成立，則，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是故選：B二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.下列說法中，正確的有（）A直線必過定點（2，3）B.直線在y軸上的截距為C.直線的傾斜角為60°D.點（1，3）到直線的距離為1【答案】BCD【解析】對A，直線過的定點坐標滿足：，，故定點為，故A錯誤；對B，在軸上的截距為，故B正確；對C，直線的斜率為，故傾斜角滿足，即，故C正確；對D，因為直線垂直于軸，故過作直線的垂線，垂足為，所以點到直線的距離為，故D正確.故選：BCD10.人均國內(nèi)生產(chǎn)總值是人們了解和把握一個國家或地區(qū)的宏觀經(jīng)濟運行狀況的有效工具，即“人均GDP”，常作為發(fā)展經(jīng)濟學中衡量經(jīng)濟發(fā)展狀況的指標，是最重要的宏觀經(jīng)濟指標之一.在國家統(tǒng)計局的官網(wǎng)上可以查詢到我國2013年至2022年人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（單位：元）的數(shù)據(jù)，如圖所示，則（）A.2013年至2022年人均國內(nèi)生產(chǎn)總值逐年遞增B.2013年至2022年人均國內(nèi)生產(chǎn)總值的極差為42201C.這10年的人均國內(nèi)生產(chǎn)總值的80%分位數(shù)是71828D.這10年的人均國內(nèi)生產(chǎn)總值的增長量最小的是2020年【答案】ABD【解析】由圖可知，2013年至2022年人均國內(nèi)生產(chǎn)總值逐年遞增，A正確；2013年至2022年人均國內(nèi)生產(chǎn)總值的極差為85698-43497=42201，B正確；因為10×80%=8，所以這10年的人均國內(nèi)生產(chǎn)總值的80%分位數(shù)是.C不正確；由圖中數(shù)據(jù)分析可知，2020年人均同內(nèi)生產(chǎn)總值的增長為71828-70078=1750（元），是這10年中增長量最小的，D正確.故選：ABD.11.已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，點雙曲線C右支上，若，的面積為，則下列選項正確的是（）A.若，則S＝B.若，則C.若為銳角三角形，則D.若的重心為G，隨著點P的運動，點G的軌跡方程為【答案】ACD【解析】由，得，則焦點三角形的面積公式，將代入可知，故A正確．當S＝4時，，由，可得，故B錯誤．當時，S＝4，當時，，因為為銳角三角形，所以，故C正確．設(shè)，則，由題設(shè)知，則，所以，故D正確．故選：ACD12.如圖，在正方體中，點P在線段上運動，則（）A直線平面B.三棱錐的體積為定值C.異面直線AP與所成角的取值范圍是D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】AB【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為，，設(shè)，設(shè)，即.A：，因為，所以，而平面，所以直線平面，因此本選項結(jié)論正確；B：側(cè)面的對角線交點為，所以，，而平面，平面，所以，而平面，所以平面，為定值，因此本選項結(jié)論正確；C：，設(shè)異面直線AP與所成角為，則有，當時，；當時，，因為，所以，因此，，即，所以，綜上所述：，所以本選項結(jié)論不正確；D：設(shè)平面的法向量為，，所以有，直線與平面所成角的正弦值為：因，所以當時，有最小值，最小值為，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為，因此本選項結(jié)論不正確，故選：AB三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.數(shù)列滿足，則其通項公式________【答案】【解析】由題知,數(shù)列是以1為首項,3為公比的等比數(shù)列,故答案為14.已知，，且，則x的值是________．【答案】2【解析】因為，，且，所以，解得，故答案為：215.求過兩條直線和的交點，且與平行的直線方程___________.【答案】【解析】聯(lián)立，解得，故交點坐標為，設(shè)直線方程為，將代入得，解得，故所求直線方程為.故答案為：16.已知函數(shù)（）在區(qū)間有且僅有2個零點，則的取值范圍為______.【答案】【解析】,令，則在上有兩個解，所以，解得故答案為：四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，，若，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和為.解：（1）數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，設(shè)公差為，因為，若，，成等比數(shù)列，可得，即，且，解得，所以，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）知，則，所以，即數(shù)列的前項和為.18.在中，角，，所對的邊分別為，，，且．（1）求的值；（2）若，，求的面積．解：（1）因為，由正弦定理得，，又，所以，又，所以，故，所以.（2）由余弦定理得，所以，故．19.已知是橢圓的兩個焦點，，為上一點.（1）求橢圓的標準方程；（2）若為上一點，且，求的面積.解：（1）設(shè)橢圓的焦距為，因為，可得，所以，則，，由橢圓的定義可得，所以，故橢圓的標準方程為；（2）因為，所以，所以，所以.20.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱底面，且，點分別為的中點．（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）因為底面，底面，所以，因為為正方形，所以，因為，平面，所以平面，又因為平面，所以，又因為，點為的中點，所以．因為，平面，所以平面，因為平面，所以．同理可得，因為，平面，所以平面．（2）如圖，以點為坐標原點，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標系，設(shè)，則各點坐標分別為．由（1）可知是平面的一個法向量，記為，又平面的一個法向量為．所以平面與平面夾角的余弦值等于．21.已知直線：，圓：.（1）若，求直線被圓截得的弦長；（2）當直線被圓截得的弦長最短時，求的值及的方程.解：（1）時，直線的方程為，圓心到直線的距離，圓C的半徑為，所以直線被圓截得的弦長為.（2）直線：可轉(zhuǎn)化為由得，所以直線過定點，當圓心到直線的距離最大時，弦長最短.此時，因，，所以即，可得故的方程為.22.已知拋物線經(jīng)過點.（1）求拋物線的方程及其準線方程；（2）設(shè)為原點，過拋物線的焦點作斜率不為0的直線交拋物線于兩點，直線分別交直線于點和點，求證：以為直徑的圓經(jīng)過定點.解：（1）由拋物線經(jīng)過點，得.所以拋物線的方程為，其準線方程為.（2）拋物線的焦點為，設(shè)直線的方程為.由，得.設(shè)，則.直線的方程為，令，得，同理.由拋物線的對稱性可得若以為直徑的圓過定點，則定點必在軸上.設(shè)，則，所以.令，即，得或.綜上，以為直徑的圓經(jīng)過軸上的定點和.廣東省揭陽市揭東區(qū)2023-2024學年高二上學期1月期末數(shù)學試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，得，所以，故選：C.2.已知復數(shù)z滿足，則（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】由，即，所以．故選：B．3.等差數(shù)列的前項和為，且，則（）A.63 B.45 C.49 D.56【答案】A【解析】設(shè)公差為，由可得，解得，故．故選：A.4.圓：和圓：的位置關(guān)系是（）A.外離 B.相交 C.外切 D.內(nèi)含【答案】C【解析】變形為，故圓心為，半徑為，變形為，故圓心為，半徑為，故，由于，故兩圓外切.故選：C5.“春雨驚春清谷天，夏滿芒夏暑相連，秋處露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月兩節(jié)不變史，最多相差一兩天．”中國農(nóng)歷的“二十四節(jié)氣”，凝結(jié)著中華民族的智慧，是中國傳統(tǒng)文化的結(jié)晶，如五月有立夏、小滿，六月有芒種、夏至，七月有小暑、大暑，現(xiàn)從五月、六月、七月這六個節(jié)氣中任選兩個節(jié)氣，則這兩個節(jié)氣恰在同一個月的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意，基本事件由（立夏，小滿），（立夏，芒種），（立夏，夏至），（立夏，小暑），（立夏，大暑），（小滿，芒種），（小滿，夏至），（小滿，小暑），（小滿，大暑），（芒種，夏至），（芒種，小暑），（芒種，大暑），（夏至，小暑），（夏至，大暑），（小暑，大暑）共15個，其中任取兩個在同一個月的有3個，所以,故選：C6.如圖，三棱錐中，為的中點，點滿足，記，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】故選：D7.正多面體被古希臘圣哲認為是構(gòu)成宇宙的基本元素.如圖，該幾何體是一個棱長為的正八面體，則此正八面體的體積與表面積的數(shù)值之比為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖所示，連接，，則四邊形為正方形，且平面，由正八面體可知，，則，，所以，表面積，所以，故選：B.8.已知函數(shù)，則使得不等式成立的實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)，令，因為，所以是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，且在上遞減，在上遞增，所以的圖象關(guān)于對稱，且在上遞減，在上遞增，若使得不等式成立，則，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是故選：B二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.下列說法中，正確的有（）A直線必過定點（2，3）B.直線在y軸上的截距為C.直線的傾斜角為60°D.點（1，3）到直線的距離為1【答案】BCD【解析】對A，直線過的定點坐標滿足：，，故定點為，故A錯誤；對B，在軸上的截距為，故B正確；對C，直線的斜率為，故傾斜角滿足，即，故C正確；對D，因為直線垂直于軸，故過作直線的垂線，垂足為，所以點到直線的距離為，故D正確.故選：BCD10.人均國內(nèi)生產(chǎn)總值是人們了解和把握一個國家或地區(qū)的宏觀經(jīng)濟運行狀況的有效工具，即“人均GDP”，常作為發(fā)展經(jīng)濟學中衡量經(jīng)濟發(fā)展狀況的指標，是最重要的宏觀經(jīng)濟指標之一.在國家統(tǒng)計局的官網(wǎng)上可以查詢到我國2013年至2022年人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（單位：元）的數(shù)據(jù)，如圖所示，則（）A.2013年至2022年人均國內(nèi)生產(chǎn)總值逐年遞增B.2013年至2022年人均國內(nèi)生產(chǎn)總值的極差為42201C.這10年的人均國內(nèi)生產(chǎn)總值的80%分位數(shù)是71828D.這10年的人均國內(nèi)生產(chǎn)總值的增長量最小的是2020年【答案】ABD【解析】由圖可知，2013年至2022年人均國內(nèi)生產(chǎn)總值逐年遞增，A正確；2013年至2022年人均國內(nèi)生產(chǎn)總值的極差為85698-43497=42201，B正確；因為10×80%=8，所以這10年的人均國內(nèi)生產(chǎn)總值的80%分位數(shù)是.C不正確；由圖中數(shù)據(jù)分析可知，2020年人均同內(nèi)生產(chǎn)總值的增長為71828-70078=1750（元），是這10年中增長量最小的，D正確.故選：ABD.11.已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，點雙曲線C右支上，若，的面積為，則下列選項正確的是（）A.若，則S＝B.若，則C.若為銳角三角形，則D.若的重心為G，隨著點P的運動，點G的軌跡方程為【答案】ACD【解析】由，得，則焦點三角形的面積公式，將代入可知，故A正確．當S＝4時，，由，可得，故B錯誤．當時，S＝4，當時，，因為為銳角三角形，所以，故C正確．設(shè)，則，由題設(shè)知，則，所以，故D正確．故選：ACD12.如圖，在正方體中，點P在線段上運動，則（）A直線平面B.三棱錐的體積為定值C.異面直線AP與所成角的取值范圍是D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】AB【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為，，設(shè)，設(shè)，即.A：，因為，所以，而平面，所以直線平面，因此本選項結(jié)論正確；B：側(cè)面的對角線交點為，所以，，而平面，平面，所以，而平面，所以平面，為定值，因此本選項結(jié)論正確；C：，設(shè)異面直線AP與所成角為，則有，當時，；當時，，因為，所以，因此，，即，所以，綜上所述：，所以本選項結(jié)論不正確；D：設(shè)平面的法向量為，，所以有，直線與平面所成角的正弦值為：因，所以當時，有最小值，最小值為，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為，因此本選項結(jié)論不正確，故選：AB三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.數(shù)列滿足，則其通項公式________【答案】【解析】由題知,數(shù)列是以1為首項,3為公比的等比數(shù)列,故答案為14.已知，，且，則x的值是________．【答案】2【解析】因為，，且，所以，解得，故答案為：215.求過兩條直線和的交點，且與平行的直線方程___________.【答案】【解析】聯(lián)立，解得，故交點坐標為，設(shè)直線方程為，將代入得，解得，故所求直線方程為.故答案為：16.已知函數(shù)（）在區(qū)間有且僅有2個零點，則的取值范圍為______.【答案】【解析】,令，則在上有兩個解，所以，解得故答案為：四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，，若，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和為.解：（1）數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，設(shè)公差為，因為，若，，成等比數(shù)列，可得，即，且，解得，所以，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）知，則，所以，即數(shù)列的前項和為.18.在中，角，，所對的邊分別為，，，且．（1）求的值；（2）若，，求的面積．解：（1）因為，由正弦定理得，，又，所以，又，所以，故，所以.（2）由余弦定理得，所以，故．19.已知是橢圓的兩個焦點，，為上一點.（1）求橢圓的標準方程；（2）若為上一點，且，求的面積.解：（1）設(shè)