2025屆云南昆明市黃岡實驗學校高三二診模擬考試數(shù)學試卷含解析

2025屆云南昆明市黃岡實驗學校高三二診模擬考試數(shù)學試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)的對稱軸不可能為（）A． B． C． D．2．集合的子集的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．83．已知等比數(shù)列滿足，，等差數(shù)列中，為數(shù)列的前項和，則（）A．36 B．72 C． D．4．函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象如圖所示，則可能是（）A．B．C．D．5．一袋中裝有個紅球和個黑球（除顏色外無區(qū)別），任取球，記其中黑球數(shù)為，則為（）A． B． C． D．6．函數(shù)的圖象的大致形狀是（）A． B． C． D．7．復數(shù)的共軛復數(shù)為（）A． B． C． D．8．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最長棱的長為（）A． B． C． D．9．設(shè)復數(shù)滿足，則（）A．1 B．-1 C． D．10．已知數(shù)列，，，…，是首項為8，公比為得等比數(shù)列，則等于（）A．64 B．32 C．2 D．411．已知拋物線C：，過焦點F的直線l與拋物線C交于A，B兩點（A在x軸上方），且滿足，則直線l的斜率為（）A．1 B．C．2 D．312．已知向量，，則向量在向量上的投影是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知曲線，點，在曲線上，且以為直徑的圓的方程是．則_______．14．在直角三角形中，為直角，，點在線段上，且，若，則的正切值為_____.15．某部門全部員工參加一項社會公益活動，按年齡分為三組，其人數(shù)之比為，現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個容量為20的樣本，若組中甲、乙二人均被抽到的概率是，則該部門員工總?cè)藬?shù)為__________.16．已知三棱錐，，是邊長為4的正三角形，，分別是、的中點，為棱上一動點（點除外），，若異面直線與所成的角為，且，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，．（1）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，當時，函數(shù)，求函數(shù)的最小值．18．（12分）已知橢圓經(jīng)過點，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線交橢圓于、兩點，若，在線段上取點，使，求證：點在定直線上.19．（12分）設(shè)為坐標原點，動點在橢圓：上，該橢圓的左頂點到直線的距離為.（1）求橢圓的標準方程；（2）若橢圓外一點滿足，平行于軸，，動點在直線上，滿足.設(shè)過點且垂直的直線，試問直線是否過定點？若過定點，請寫出該定點，若不過定點請說明理由.20．（12分）已知動圓恒過點，且與直線相切.（1）求圓心的軌跡的方程；（2）設(shè)是軌跡上橫坐標為2的點，的平行線交軌跡于，兩點，交軌跡在處的切線于點，問：是否存在實常數(shù)使，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.21．（12分）在中，角的對邊分別為，且.（1）求角的大??；（2）已知外接圓半徑,求的周長.22．（10分）在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，曲線的極坐標方程為．（1）求曲線的直角坐標方程和曲線的參數(shù)方程；（2）設(shè)曲線與曲線在第二象限的交點為，曲線與軸的交點為，點，求的周長的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

由條件利用余弦函數(shù)的圖象的對稱性，得出結(jié)論．【詳解】對于函數(shù)，令，解得，當時，函數(shù)的對稱軸為，，.故選：D.【點睛】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．2、D【解析】

先確定集合中元素的個數(shù)，再得子集個數(shù)．【詳解】由題意，有三個元素，其子集有8個．故選：D．【點睛】本題考查子集的個數(shù)問題，含有個元素的集合其子集有個，其中真子集有個．3、A【解析】

根據(jù)是與的等比中項，可求得，再利用等差數(shù)列求和公式即可得到.【詳解】等比數(shù)列滿足，，所以，又，所以，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得.故選：A【點睛】本題主要考查的是等比數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的求和公式，考查學生的計算能力，是中檔題.4、B【解析】

根據(jù)特殊值及函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；【詳解】解：當時，，無意義，故排除A；又，則，故排除D；對于C，當時，，所以不單調(diào)，故排除C；故選：B【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇函數(shù)解析式，這類問題利用特殊值與排除法是最佳選擇，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

由題意可知，隨機變量的可能取值有、、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，進而可求得隨機變量的數(shù)學期望值.【詳解】由題意可知，隨機變量的可能取值有、、、，則，，，.因此，隨機變量的數(shù)學期望為.故選：A.【點睛】本題考查隨機變量數(shù)學期望的計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性，可排除D；求得及，由導函數(shù)符號可判斷在上單調(diào)遞增，即可排除AC選項.【詳解】函數(shù)易知為奇函數(shù)，故排除D.又，易知當時，；又當時，，故在上單調(diào)遞增，所以，綜上，時，，即單調(diào)遞增.又為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，故排除A，C.故選：B【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象，導函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)圖象關(guān)系，屬于中檔題.7、D【解析】

直接相乘，得，由共軛復數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果【詳解】∵∴其共軛復數(shù)為.故選：D【點睛】熟悉復數(shù)的四則運算以及共軛復數(shù)的性質(zhì).8、D【解析】

先根據(jù)三視圖還原幾何體是一個四棱錐，根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)，計算各棱的長度.【詳解】根據(jù)三視圖可知，幾何體是一個四棱錐，如圖所示：由三視圖知：，所以，所以，所以該幾何體的最長棱的長為故選：D【點睛】本題主要考查三視圖的應(yīng)用，還考查了空間想象和運算求解的能力，屬于中檔題.9、B【解析】

利用復數(shù)的四則運算即可求解.【詳解】由.故選：B【點睛】本題考查了復數(shù)的四則運算，需掌握復數(shù)的運算法則，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

根據(jù)題意依次計算得到答案.【詳解】根據(jù)題意知：，，故，，.故選：.【點睛】本題考查了數(shù)列值的計算，意在考查學生的計算能力.11、B【解析】

設(shè)直線的方程為代入拋物線方程，利用韋達定理可得,,由可知所以可得代入化簡求得參數(shù),即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，（，）.易知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)為，則直線l的方程為.與拋物線方程聯(lián)立得，所以，.因為，所以，得，所以，即，，所以.故選:B.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查韋達定理及向量的坐標之間的關(guān)系,考查計算能力，屬于中檔題.12、A【解析】

先利用向量坐標運算求解，再利用向量在向量上的投影公式即得解【詳解】由于向量，故向量在向量上的投影是.故選：A【點睛】本題考查了向量加法、減法的坐標運算和向量投影的概念，考查了學生概念理解，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設(shè)所在直線方程為設(shè)?點坐標分別為，，都在上，代入曲線方程，兩式作差可得，從而可得直線的斜率，聯(lián)立直線與的方程，由，利用弦長公式即可求解.【詳解】因為是圓的直徑，必過圓心點，設(shè)所在直線方程為設(shè)?點坐標分別為，，都在上，故兩式相減，可得(因為是的中點)，即聯(lián)立直線與的方程：又，即，即又因為，則有即∴.故答案為：【點睛】本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、弦長公式，考查了學生的計算能力，綜合性比較強，屬于中檔題.14、3【解析】

在直角三角形中設(shè)，，，利用兩角差的正切公式求解.【詳解】設(shè)，，則，故.故答案為：3【點睛】此題考查在直角三角形中求角的正切值，關(guān)鍵在于合理構(gòu)造角的和差關(guān)系，其本質(zhì)是利用兩角差的正切公式求解.15、60【解析】

根據(jù)樣本容量及各組人數(shù)比，可求得C組中的人數(shù)；由組中甲、乙二人均被抽到的概率是可求得C組的總?cè)藬?shù)，即可由各組人數(shù)比求得總?cè)藬?shù).【詳解】三組人數(shù)之比為，現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個容量為20的樣本，則三組抽取人數(shù)分別.設(shè)組有人，則組中甲、乙二人均被抽到的概率，∴解得.∴該部門員工總共有人.故答案為：60.【點睛】本題考查了分層抽樣的定義與簡單應(yīng)用，古典概型概率的簡單應(yīng)用，由各層人數(shù)求總?cè)藬?shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

取的中點，連接，，取的中點，連接，，，直線與所成的角為，計算，，根據(jù)余弦定理計算得到答案?！驹斀狻咳〉闹悬c，連接，，依題意可得，，所以平面，所以，因為，分別、的中點，所以，因為，所以，所以平面，故，故，故兩兩垂直。取的中點，連接，，，因為，所以直線與所成的角為，設(shè)，則，，所以，化簡得，解得，即.故答案為：.【點睛】本題考查了根據(jù)異面直線夾角求長度，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）的最小值為【解析】

（1）由題可得函數(shù)的定義域為，，當時，，令，可得；令，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，令，可得；令，可得或，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．綜上，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增．（2）方法一：當時，，，設(shè)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，當且僅當時取等號．當時，設(shè)，則，所以，設(shè)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，所以存在，使得，所以當時，；當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為，，所以，所以，當且僅當時取等號．所以當時，函數(shù)取得最小值，且，故函數(shù)的最小值為．方法二：當時，，，則，令，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以存在，使得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為，所以當時，恒成立，所以當時，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最小值為．18、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）根據(jù)題意得出關(guān)于、、的方程組，解出、的值，進而可得出橢圓的標準方程；（2）設(shè)點、、，設(shè)直線的方程為，將該直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，并列出韋達定理，由向量的坐標運算可求得點的坐標表達式，并代入韋達定理，消去，可得出點的橫坐標，進而可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題意得，解得，.所以橢圓的方程是；（2）設(shè)直線的方程為，、、，由，得.，則有，，由，得，由，可得，，，綜上，點在定直線上.【點睛】本題考查橢圓方程的求解，同時也考查了點在定直線上的證明，考查計算能力與推理能力，屬于中等題.19、（1）；（2）見解析【解析】

（1）根據(jù)點到直線的距離公式可求出a的值，即可得橢圓方程；（2）由題意M（x0，y0），N（x0，y1），P（2，t），根據(jù)，可得y1＝2y0，由，可得2x0+2y0t＝6，再根據(jù)向量的運算可得，即可證明．【詳解】（1）左頂點A的坐標為（﹣a，0），∵＝，∴|a﹣5|＝3，解得a＝2或a＝8（舍去），∴橢圓C的標準方程為+y2＝1，（2）由題意M（x0，y0），N（x0，y1），P（2，t），則依題意可知y1≠y0，得（x0﹣2x0，y1﹣2y0）（0，y1﹣y0）=0，整理可得y1＝2y0，或y1＝y(tǒng)0（舍），，得（x0，2y0）（2﹣x0，t﹣2y0）＝2，整理可得2x0+2y0t＝x02+4y02+2＝6，由（1）可得F（，0），∴＝（﹣x0，﹣2y0），∴?＝（﹣x0，﹣2y0）（2，t）＝6﹣2x0﹣2y0t＝0，∴NF⊥OP，故過點N且垂直于OP的直線過橢圓C的右焦點F．【點睛】本題考查了橢圓方程的求法，直線和橢圓的關(guān)系，向量的運算，考查了運算求解能力和轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于中檔題.20、（1）；（2）存在，.【解析】

（1）根據(jù)拋物線的定義，容易知其軌跡為拋物線；結(jié)合已知點的坐標，即可求得方程；（2）由拋物線方程求得點的坐標，設(shè)出直線的方程，利用導數(shù)求得點的坐標，聯(lián)立直線的方程和拋物線方程，結(jié)合韋達定理，求得，進而求得與之間的大小關(guān)系，即可求得參數(shù).【詳解】（1）由題意得，點與點的距離始終等于點到直線的距離，由拋物線的定義知圓心的軌跡是以點為焦點，直線為準線的拋物線，則，.∴圓心的軌跡方程為.（2）因為是軌跡上橫坐標為2的點，由（1）不妨取，所以直線的斜率為1.因為，所以設(shè)直線的方程為，.由，得，則在點處的切線斜率為2，所以在點處的切線方程為.由得所以，所以.由消去得，由，得且.設(shè)，，則，.因為點，，在直線上，所以，，所以，所以.∴故存在，使得.【點睛】本題考查拋物線軌跡方程的求解，以及拋物線中定值問題的求解，涉及導數(shù)的幾何意義，屬綜合性中檔題.21、（1）（2）3+3【解析】

（1）利用余弦的二倍角公式和同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡整理并結(jié)合范圍0＜A＜π，可求A的值．（2）由正弦定理可求a，利用余弦定理可得