概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案第6章

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案第6章統(tǒng)計(jì)推斷授課序號(hào)01教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第6章第1節(jié)點(diǎn)估計(jì)課的類型新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)點(diǎn)估計(jì)、估計(jì)量與估計(jì)值的概念、估計(jì)量的無偏性、有效性和一致性的概念、、估計(jì)量的相合性、矩估計(jì)法（一階、二階距）和最大似然估計(jì)法。教學(xué)難點(diǎn)矩估計(jì)法（一階、二階距）和最大似然估計(jì)法。參考教材《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）》作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求1．理解參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)、估計(jì)量與估計(jì)值的概念；了解估計(jì)量的無偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并會(huì)驗(yàn)證估計(jì)量的無偏性；會(huì)利用大數(shù)定律證明估計(jì)量的相合性。2．掌握矩估計(jì)法（一階、二階距）和最大似然估計(jì)法。教學(xué)基本內(nèi)容一．矩估計(jì)法1.矩估計(jì)法的基本思想是替換原理，即用樣本矩去替換相應(yīng)的總體矩，這里的矩可以是原點(diǎn)矩也可以是中心距。我們知道，矩是由隨機(jī)變量的分布唯一確定的，而樣本來源于總體，由大數(shù)定律，樣本矩在一定程度上反映總體矩的特征。2．矩估計(jì)法：用樣本矩來估計(jì)總體矩的估計(jì)方法稱為矩估計(jì)法.3．矩估計(jì)法的步驟：設(shè)總體X的分布中包含m個(gè)未知參數(shù)1，2，…，m，為來自總體X的樣本，如果總體的k階原點(diǎn)矩存在，并設(shè)，相應(yīng)的k階樣本原點(diǎn)矩為，以替代，即可得到關(guān)于1，2，…，m的方程組 方程組的解，稱為參數(shù)k的矩估計(jì)量.4．若代入一組樣本觀測(cè)值，則稱為參數(shù)k的矩估計(jì)值.二．最大似然估計(jì)法 1．最大似然估計(jì)的步驟： 若總體X的分布中含有k個(gè)未知待估參數(shù)1，2，…，k，則似然函數(shù)為解似然方程組，或者對(duì)數(shù)似然方程組，即可得到參數(shù)的最大似然估計(jì)。2．定理：若為參數(shù)的最大似然估計(jì)，為參數(shù)的函數(shù)，則是的最大似然估計(jì).三．點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)1.無偏性：設(shè)是未知參數(shù)的估計(jì)量，若，則稱為的無偏估計(jì)。2.有效性：設(shè)均為參數(shù)的無偏估計(jì)量，若則稱有效。3.相合性（一致性）：設(shè)為未知參數(shù)的估計(jì)量，若對(duì)任意的，都有，即依概率收斂于參數(shù)，則稱為的相合（一致）估計(jì)。4.定理：設(shè)為的估計(jì)量，若,則為的相合（一致）估計(jì).四．例題講解例1．設(shè)X為某零配件供應(yīng)商每周的發(fā)貨批次，其分布律為其中是未知參數(shù)，假設(shè)收集了該供應(yīng)商8周的發(fā)貨批次如下：3，1，3，0，3，1，2，3，求的矩估計(jì)值.例2．設(shè)X為投資者對(duì)于某種金融產(chǎn)品的持有時(shí)間，其概率密度為其中未知參數(shù)，為來自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求的矩估計(jì)量.例3．已知某項(xiàng)銀行業(yè)務(wù)的審批時(shí)間X在(a,b)上服從均勻分布，其中a,b未知，設(shè)抽查了n位辦理該業(yè)務(wù)的顧客，他們的審批時(shí)間分別為，試用矩估計(jì)法估計(jì)a,b.例4．設(shè)袋中放有很多的白球和黑球，已知兩種球的比例為1:9，但不知道哪種顏色的球多，現(xiàn)從中有放回地抽取三次，每次一球，發(fā)現(xiàn)前兩次為黑球，第三次為白球，試判斷哪種顏色的球多。例5．求出例2中未知參數(shù)的最大似然估計(jì)量.例6．，其中是未知參數(shù)，設(shè)是樣本觀測(cè)值，求的最大似然估計(jì).例7．某種電子郵箱建議用戶設(shè)置增強(qiáng)密碼以保護(hù)賬戶的安全，假設(shè)p是該電子郵箱的全體用戶中設(shè)置增強(qiáng)密碼的比例?，F(xiàn)隨機(jī)抽取了20位用戶，發(fā)現(xiàn)其中有3位有增強(qiáng)密碼.（1）求p的最大似然估計(jì)；（2）接著再抽5位用戶，求他們都沒有增強(qiáng)密碼的概率的最大似然估計(jì).例8．設(shè)樣本來自正態(tài)總體XN(，2)，其中，2未知，求和2的最大似然估計(jì)。例9．設(shè)總體X的k階矩存在，證明:不論X服從什么分布，樣本的k階矩是的無偏估計(jì)。例10．已知，都是總體方差的估計(jì)量，問哪個(gè)估計(jì)量更好？例11．設(shè)總體的概率密度為，其中是未知參數(shù),為來自總體X的簡(jiǎn)單樣本，選擇適當(dāng)常數(shù)c，使得是的無偏估計(jì).例12．設(shè)某種產(chǎn)品的壽命X服從指數(shù)分布，其概率密度為，其中為未知參數(shù)，是來自總體的樣本，設(shè)有的估計(jì)量，，問哪一個(gè)最優(yōu)？例13．設(shè)是總體X的樣本均值，則當(dāng)作為總體期望E(X)的估計(jì)量時(shí)，是E(X)的相合估計(jì)量。例14．試證明是的相合估計(jì)量.授課序號(hào)02教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第6章第2節(jié)區(qū)間估計(jì)課的類型新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)置信區(qū)間、區(qū)間估計(jì)、單個(gè)正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間、兩個(gè)正態(tài)總體的均值差和方差比的置信區(qū)間。教學(xué)難點(diǎn)置信區(qū)間、區(qū)間估計(jì)、單個(gè)正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間、兩個(gè)正態(tài)總體的均值差和方差比的置信區(qū)間。參考教材《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）》作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求1．掌握建立未知參數(shù)的（雙側(cè)和單側(cè)）置信區(qū)間的一般方法；2．了解區(qū)間估計(jì)的概念，會(huì)求單個(gè)正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間，會(huì)求兩個(gè)正態(tài)總體的均值差和方差比的置信區(qū)間。教學(xué)基本內(nèi)容一．區(qū)間估計(jì)的概念1．置信區(qū)間：設(shè)為總體的未知參數(shù)，若對(duì)于給定的（0<<1），存在統(tǒng)計(jì)量和，使得,則稱隨機(jī)區(qū)間為參數(shù)的置信度（或置信水平）為1-的置信區(qū)間，分別稱為置信下限和置信上限。 2．樞軸量:稱滿足下述三條性質(zhì)的量Q為樞軸量.（1）是待估參數(shù)和估計(jì)量的函數(shù)；（2）不含其他未知參數(shù)；（3）其分布已知且與未知參數(shù)無關(guān)。3．求置信區(qū)間的一般步驟:（1）根據(jù)待估參數(shù)構(gòu)造樞軸量Q,一般可由未知參數(shù)的良好估計(jì)量改造得到；（2）對(duì)于給定的置信度1-，利用樞軸量Q的分位點(diǎn)確定常數(shù)a，b，使；（3）將不等式恒等變形為，即可得到參數(shù)的置信度為1-的置信區(qū)間.二．正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)單個(gè)正態(tài)總體的情形：設(shè)總體，是取自總體的樣本(1)已知，均值的置信區(qū)間：的置信度為的置信區(qū)間為.(2)未知，均值的置信區(qū)間：的置信度為的置信區(qū)間為.(3)未知，方差的置信區(qū)間：的置信度為的置信區(qū)間為.以上關(guān)于正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)的討論可以列表1和表2如下：四．例題講解例1．設(shè)X1，…，Xn為來自正態(tài)總體XN(，2)，其中2已知，未知,試求出的置信度為1-的置信區(qū)間。例2．假設(shè)投資者在總投資額中，針對(duì)某種金融產(chǎn)品的投資比例為X（%），其中X服從正態(tài)分布，現(xiàn)隨機(jī)調(diào)查了40位投資者,得知他們對(duì)該金融產(chǎn)品的投資比例的樣本均值為5.426（%），求m的置信度為0.95的置信區(qū)間.例3．為估計(jì)某種漢堡的脂肪含量，隨機(jī)抽取了10個(gè)這種漢堡，測(cè)得脂肪含量（%）如下：25.2，21.3，22.8，17.0，29.8，21.0，25.5，16.0，20.9，19.5.假設(shè)該種漢堡的脂肪含量（%）服從正態(tài)分布，求平均脂肪含量m的置信度為0.95的置信區(qū)間.例4．已知某種鋼絲的折斷力服從正態(tài)分布，從一批鋼絲中任意抽取了10根，測(cè)得折斷力數(shù)據(jù)（單位：kg）如下：578，572，570，568，572，570，570，596，584，572，求和的置信度為0.9的置信區(qū)間。授課序號(hào)03教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第6章第3節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)課的類型新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)顯著性檢驗(yàn)的基本思想、假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟、假設(shè)檢驗(yàn)可能產(chǎn)生的兩類錯(cuò)誤、正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)教學(xué)難點(diǎn)假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟參考教材《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)—概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）》作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求1．理解顯著性檢驗(yàn)的基本思想，掌握假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟，了解假設(shè)檢驗(yàn)可能產(chǎn)生的兩類錯(cuò)誤。2.了解單個(gè)正態(tài)總體均值和方差的假設(shè)檢驗(yàn)。教學(xué)基本內(nèi)容一．假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想1．假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想：假設(shè)檢驗(yàn)規(guī)則的制定有多種方式，其中一種較為通俗易懂，該方式所依據(jù)的是人們?cè)趯?shí)踐中普遍采用的一個(gè)原理——實(shí)際推斷原理，也稱小概率原理，即“小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不會(huì)發(fā)生”.按照這一原理，首先需要依據(jù)經(jīng)驗(yàn)或過往的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)對(duì)總體的分布參數(shù)作出假設(shè)，稱為原假設(shè)，其對(duì)立面稱為備擇假設(shè)，記為。然后，在為真的前提下，構(gòu)造一個(gè)小概率事件，若在一次試驗(yàn)中，小概率事件居然發(fā)生了，就完全有理由拒絕的正確性，否則就沒有充分的理由拒絕，從而接受，這就是假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想。2．拒絕域：在假設(shè)檢驗(yàn)中，將小概率事件稱為拒絕域或者否定域。二．假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟1.建立假設(shè)根據(jù)題意合理地建立原假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1，如；2.選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量選擇適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Q，要求在H0為真時(shí)，統(tǒng)計(jì)量Q的分布是已知的；3.確定拒絕域按照顯著性水平，由統(tǒng)計(jì)量Q確定一個(gè)合理的拒絕域；4.作出判斷由樣本觀測(cè)值，計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值q，若q落在拒絕域內(nèi)，則拒絕H0，否則接受H0.三．假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤1．原假設(shè)確實(shí)成立，而檢驗(yàn)的結(jié)果是拒絕，這類錯(cuò)誤稱為第一類錯(cuò)誤或“棄真”錯(cuò)誤；2．原假設(shè)確實(shí)不成立，而檢驗(yàn)的結(jié)果是接受，這類錯(cuò)誤稱為第二類錯(cuò)誤或“取偽”錯(cuò)誤．四．單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)設(shè)總體，是取自總體的一個(gè)樣本，給定顯著性水平為（0<<1），下面介紹幾種常見的檢驗(yàn)類型：1．已知，關(guān)于的檢驗(yàn)建立假設(shè)，選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，按照顯著性水平，確定拒絕域，由樣本觀測(cè)值求出統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值u，然后作判斷，由于我們選取的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為，故稱其為U檢驗(yàn)法.2.未知，關(guān)于的檢驗(yàn)首先建立假設(shè)，選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在H0為真時(shí)，統(tǒng)計(jì)量Tt(n-1)；按照顯著性水平，確定拒絕域.由樣本觀測(cè)值求出統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值t，然后作判斷，由于選取的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為故該檢驗(yàn)法稱為T檢驗(yàn)法.3.未知，關(guān)于的檢驗(yàn)檢驗(yàn)假設(shè)H0：2=02，H1：202，在H0為真時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為，按照顯著性水平，可得拒絕域上述檢驗(yàn)法選取的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是，稱為2檢驗(yàn)法.五．單側(cè)檢驗(yàn)設(shè)總體，是取自總體的一個(gè)樣本，給定顯著性水平為（0<<1），若2已知，檢驗(yàn)是否增大？首先建立假設(shè),或者選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)為真時(shí)，不應(yīng)太大，則U偏大時(shí)應(yīng)拒絕，故按照顯著性水平，構(gòu)造小概率事件為，即拒絕域.由樣本觀測(cè)值求出U的觀測(cè)值u，然后作判斷.六.例題講解例1．設(shè)某種特殊類型的集成電路所用硅晶圓片的目標(biāo)厚度為245（單位：），在正常情況下，產(chǎn)品厚度應(yīng)該服從正態(tài)分布我們抽取了50個(gè)硅晶圓片樣品，并測(cè)定了每個(gè)硅晶圓片的厚度，得到了樣品的平均厚度為246.18（），這些數(shù)據(jù)是否表明實(shí)際的硅晶圓片平均厚度與目標(biāo)值有顯著差異?例2．設(shè)總體服從正態(tài)分布，是該總體的樣本，對(duì)于檢驗(yàn)假設(shè)，已知拒絕域?yàn)椋瑔柎藱z驗(yàn)犯第一類錯(cuò)誤的概率是多少？若，則犯第二類錯(cuò)誤的概率是多少？例3．某消防設(shè)備制造商聲稱，他們生產(chǎn)安裝的辦公樓自動(dòng)噴水滅火系統(tǒng)的平均激活溫度是54℃.現(xiàn)隨機(jī)抽取了該制造商的9個(gè)系統(tǒng)，經(jīng)測(cè)試得到的平均激活溫度為54.57℃。如果激活溫度服從正態(tài)分布，且標(biāo)準(zhǔn)差為0.85℃，則顯著性水平時(shí)，該樣本數(shù)據(jù)是否與制造商的聲明相矛盾？例4．葡萄酒中除了水和酒精外，占比最多的就是甘油。甘油是酵母發(fā)酵的副產(chǎn)品，它有助于提升葡萄酒的口感和質(zhì)地，因而經(jīng)常需要對(duì)葡萄酒中的甘油含量進(jìn)行檢測(cè)。假設(shè)某品牌葡萄酒的甘油含量X（mg/mL）服從正態(tài)分布，現(xiàn)隨機(jī)抽查了5個(gè)樣品，測(cè)得它們的甘油含量分別為，若顯著性水平，問是否有理由認(rèn)為該品牌葡萄酒的平均甘油含量為4（mg/mL）?例5．某供貨商聲稱，他們提供的金