計量經(jīng)濟學(xué)（第2版）課件：協(xié)整與誤差修正模型

ECONOMETRICS

教學(xué)目的和要求掌握平穩(wěn)性檢驗的方法掌握格蘭杰因果關(guān)系檢驗的實施掌握誤差修正模型的基本原理和過程掌握協(xié)整檢驗的基本原理和操作方法03040102課

程

內(nèi)

容平穩(wěn)性檢驗格蘭杰因果關(guān)系檢驗誤差修正模型協(xié)整模型03040102進出口貿(mào)易是國民經(jīng)濟的重要組成成分，對一國的經(jīng)濟發(fā)展起著舉足輕重的作用。既可以提高國內(nèi)生產(chǎn)效率，促進技術(shù)進步，又可以創(chuàng)造大量的就業(yè)機會，促進生產(chǎn)。貿(mào)易差額是衡量一個國家對外貿(mào)易收支狀況的一個重要標志，從一般意義上講，貿(mào)易順差反映一個國家在對外貿(mào)易收支上處于有利地位，表明它在世界市場的商品競爭中處于優(yōu)勢；而逆差則反映一國在對外貿(mào)易收支上處于不利地

位，表明它在世界市場上的商品競爭中處于劣勢。從長期趨勢看，一國的進出口貿(mào)易額應(yīng)該保持平衡。能否直接利用進口額和出口額時序數(shù)據(jù)建立回歸模型反映兩者之間的長期均

衡關(guān)系以及短期波動關(guān)系？是否存在偽回歸現(xiàn)象？如何判定它們之間存在因果關(guān)系？4

引子：

中國進口額與出口之間的關(guān)系？9.1.1

單位根過程假定某個時間序列是由某一隨機過程生成的，即該時間序列Xt

(t=1,2,…,)的每個數(shù)值都是從一個概率分布中隨機得到，如果Xt

滿足下列條件：(1)期望E(Xt)=u

，與時間t無關(guān)的常數(shù)；(2)方差Var(Xt)=G2

，與時間t無關(guān)的常數(shù)；(3)協(xié)方差Cov(XtXt+k)=yk

，是只與時期間隔k有關(guān)，與時間t無關(guān)的常數(shù)。則稱該時間序列

是平穩(wěn)的，而該隨機過程是一個平穩(wěn)隨機過程。則稱該時間序列是平穩(wěn)的，而該隨機過程是一個m

階平穩(wěn)過程。該過程屬于寬平穩(wěn)過程。如果嚴平穩(wěn)過程的二階矩為有限常數(shù)值，則其一定是寬平穩(wěn)過程。反之，一個寬平穩(wěn)過程不一

定是嚴平穩(wěn)過程。但對于正態(tài)隨機過程而言，嚴平穩(wěn)與寬平穩(wěn)是一致的。這是因為正態(tài)隨機過程的聯(lián)合分布函數(shù)完全由均值、方差和協(xié)方差所惟一確定。本教材簡稱二階平穩(wěn)過程為平穩(wěn)過程。9.1

平穩(wěn)性檢驗5與平穩(wěn)時間序列相對應(yīng)的是非平穩(wěn)時間序列，而典型的非平穩(wěn)時間序列是單位根(unitroot)非平穩(wěn)時間序列。單位根非平穩(wěn)時間序列重要形式是隨機游走和帶漂移項的隨機游走。下面介紹兩種基本的隨機過程.(1)

白噪聲

(white

noise)

過程白噪聲過程：對于隨機過程{xt

,t∈T},如果E(xt)=0,Var(xt)=σ2<∞,t∈T;

Cov(xt

,xt

+

k)=0,(t+k)∈T,k≠0,則稱{xt}為白噪聲過程。白噪聲是平穩(wěn)的隨機過程，因其均值為零，方差不變，隨機變量之間非相關(guān)。顯然上述白噪聲是二階寬平穩(wěn)隨機過程。如果{xt}同時還服從正態(tài)分布，則它就是一個強平穩(wěn)的隨機過程。9.1

平穩(wěn)性檢驗6(2)

隨機游走一個簡單的隨機時間序列被稱為隨機游走，該序列由如下隨機過程生成：yt

=

yt?

1

+

ut

，y0=

0

，ut~IN(0,

Gu

2)

(9.1.1)其中IN(?)表示相互獨立的正態(tài)分布。若ut

是一個白噪聲序列，則稱該隨機過程為隨機游走過程。顯然，E(yt)=E(yt?

1)。yt

序列的方差，根據(jù)遞歸方法，y1=y0+u1

，y2=y1+u2

=y0+u1

+u2

，…，yt

=y0

+u1

+u2

+…+ut

，則VaT(yt)=tG2

，即yt

的方差與時間t有關(guān)而非常數(shù)，故它是非平穩(wěn)序列。實際上，隨機游走是1階自回歸AR(1)模型yt

=pyt?

1+ut的一個特例。當p>1時，該隨機過程的時亦是非平穩(wěn)；只有當p<1時，該隨機過程對應(yīng)的序列才是平穩(wěn)的。間序列是分散的，表現(xiàn)為持續(xù)上升(p>1)或持續(xù)下降(p<?1)，序列非平穩(wěn)；p=1是隨機游走，9.1

平穩(wěn)性檢驗7由上述可知，隨機游走序列yt

=yt

?

1

+ut

是非平穩(wěn)的，其中ut

是白噪聲，該序列可以看成是隨機模型式(9-2)中參數(shù)=1的情形：yt

=

yt

?

1

+

ut

(9-2)變量yt

序列有一單位根。也就是說，一個有單位根的時間序列就是隨機游走序列，而隨機游走序列是非平穩(wěn)的?？梢詫⑹?9-2)改寫為(1?L)yt

=ut

，L為后移算子，該式的特征方程為(1?L)，有根1/,當=1時，特征方程的根為1，即隨機9.1

平穩(wěn)性檢驗89.1.2

平穩(wěn)性檢驗方法(1)

圖示法給出一個隨機時間序列，首先可以通過繪制該序列的趨勢圖來初步判斷其是否具有平穩(wěn)性。平穩(wěn)時間序列在圖形上往往表現(xiàn)出一種圍繞其均值不斷波動的過程，如圖9-1中的x序列；而非平穩(wěn)時間序列(見圖9-1中的z序列)則往往表現(xiàn)出在不同時間段具有不同的均值(或者說隨著時間推移表現(xiàn)為持續(xù)上升或持續(xù)下降趨勢)。9.1

平穩(wěn)性檢驗9圖示法雖然直觀，但有時產(chǎn)生判斷偏差，尚需要利用自相關(guān)函數(shù)及其分布圖作進一步判斷。隨機時間序列的自相關(guān)函數(shù)(auto

correlation

function，ACF)計算公式為：ρk

=

(9-3)yk

是時間序列滯后k期的協(xié)方差，y0

是方差，因此自相關(guān)函數(shù)是關(guān)于滯后期k的遞減函數(shù)。實際應(yīng)用中，由于現(xiàn)象總體的數(shù)據(jù)難以獲取，通常利用樣本自相關(guān)函數(shù)(sampleautocorrelation

function)予以近似。樣本自相關(guān)函數(shù)，又稱為樣本自相關(guān)系數(shù)，其計算公式為：

n

?k

(yt

?y)(yt+k

?y)其中rk

是樣本yt

的自相關(guān)函數(shù)。當k增大時，rk

的值下降速度較快，則認為該序列是平穩(wěn)的；如果其下降速度十分緩慢，則預(yù)示該序列是非平穩(wěn)的。10rk

=

t=1

=

1

(yt

?

y)2

，k

=

1,2,3,

?

(9-4)tn9.1

平穩(wěn)性檢驗由前述方法，也可以通過生成時間序列的樣本自相關(guān)函數(shù)圖來進一步判斷，圖9-2給出了圖9-1中平穩(wěn)序列(x)和非平穩(wěn)序列(z)的樣本自相關(guān)函數(shù)圖。從樣本自相關(guān)值看，序列x的樣本自相關(guān)數(shù)值下降較快，而序列z的樣本自相關(guān)數(shù)值下降較慢，由此序列x是平穩(wěn)的，序列z是非平穩(wěn)的。圖9-2平穩(wěn)序列與非平穩(wěn)序列的樣本自相關(guān)函數(shù)圖9.1

平穩(wěn)性檢驗119.1.2

平穩(wěn)性檢驗方法(2)

單位根檢驗法①DF檢驗DF檢驗法是迪基(Dickey)和福勒(Fuller)在20世紀70年代和80年代提出的，它是通過判斷時間序列是否存在單位根而說明其平穩(wěn)性。根據(jù)如前所述，要判斷時間序列是否平穩(wěn)，可通過式(9-2)判斷它是否有單位根。將式(9-2)變形成差分形式：檢驗式(9-2)是否存在單位根p=1可通過式(9-5)判斷是否δ

=0。在零假設(shè)H0:6=0下，計算統(tǒng)計量tT

=

(9-6)其中，6為6的最小二乘估計值，S6

為6的標準誤差；注意，tT

不服從t分布，而是服從極限分布，其在不同顯著性水平和樣本容量下的臨界值見教材附表6。給定顯著性水平，統(tǒng)計量的值小于臨界值，則拒絕零假設(shè)H_0:6=0，認為時間序列不存在單位根，是平穩(wěn)的；反之，時間序列存在單位根，是非平穩(wěn)的。12Δyt

=

(p

?

1)yt?

1

+

ut

=6yt?

1

+

ut

(9-5)9.1

平穩(wěn)性檢驗(2)

單位根檢驗法②ADF檢驗DF檢驗存在的問題是，在檢驗所設(shè)定的模型時，假設(shè)隨機擾動項不存在自相關(guān)，但現(xiàn)實中大多數(shù)經(jīng)濟數(shù)據(jù)序列是不能滿足此項假定的，當隨機擾動項存在自相關(guān)或者說檢驗?zāi)Ｐ痛嬖诟唠A自相關(guān)性時，直接使用DF檢驗法會出現(xiàn)偏誤。為保證DF檢驗中隨機干擾項的白噪聲特性，迪基和富勒對DF檢驗進行了擴充，形成了ADF檢驗(augment

Dickey-Fuller

test，ADF)。ADF檢驗是通過下面三個模型完成的：與DF檢驗不同，模型(9-7)、(9-8)和(9-9)中都增加了?yt的滯后項，其目的是為了消除自相關(guān)性，保證隨機項是白噪聲。在進行實際檢驗時，一般采用拉格朗日乘數(shù)檢驗(LM檢驗)確定滯后階數(shù)m，或者通過不斷的實驗調(diào)整，最終選擇使AIC或SC較小的m值。在檢驗過程中，檢驗首先從模型(9-9)開始，然后是模型(9-8)，最后是模型(9-7)

。檢驗原理與DF檢驗相同，只是對不同方程進行檢驗時，有各自相應(yīng)的臨界值表(見附表7)。在利用Eviews軟件進行計算時，軟件將自動給出1%、5%、10%下的ADF臨界值。?yt

=

6yt?

1

+

1

FiΔyt?

i

+

ct

(9-7)?yt

=

a

+

6yt?

1

+

1

FiΔyt?

i

+

ct

(9-8)?yt

=

a

+

yt

+

6yt?

1

+

1

FiΔyt?

i

+

ct

(9-9)模型(9-9)中的t是時間變量，代表了時間序列隨時間變化的某種趨勢。模型(9-7)與另外兩個模型的差別在于是否包含常數(shù)項和趨勢項。9.1

平穩(wěn)性檢驗13ADF檢驗與DF檢驗的假設(shè)及檢驗標準相同。注意：(1)選擇恰當?shù)臋z驗方程(2)選擇能保證ut為白噪音(獨立同分布的隨機變量或隨機過程)的最小p值(Eviews中AIC或SC最小值)。(3)為判別序列yt

是否為單整的，尚需對其差分序列進行單位根檢驗。(4)適用于不存在高階自相關(guān)的序列。Eviews實現(xiàn)：(1)DF檢驗在主菜單選擇Quick/Series

Statistics/Unit

Root

Test.屏幕提示需輸入待檢驗序列名，單擊OK后便進入單位根檢驗定義對話框。進行DF檢驗，p輸入0。檢驗方程的形式——常以c、t和n分別表示常數(shù)項、同時含常數(shù)項和趨勢項以及無常數(shù)項和趨勢項三種類型。(2)ADF檢驗在單位根檢驗對話框中改變p的賦值，最終選擇使AIC或SC較小的p值)。9.1

平穩(wěn)性檢驗149.2.1

協(xié)整的概念1.單整yt

=yt

?

1

+ut

是一個隨機游走序列，是非平穩(wěn)的，經(jīng)過1階差分后變?yōu)?yt

=yt

?yt

?

1

=ut

，?yt

為一個新的時間序列，滿足平穩(wěn)性的條件，是一個平穩(wěn)時間序列，此時原序列就定義為1階單整序列，記為I(1)。一般地，若一個非平穩(wěn)序列yt

經(jīng)過d階差分后為平穩(wěn)序列，那么此序列就稱為d階單整序列，記為I(d)。若一個非平穩(wěn)序列無論差分多少

次，都無法變?yōu)橐粋€平穩(wěn)序列，那么這種序列就稱為非單整序列。9.2

協(xié)整模型159.2.1

協(xié)整的概念2.協(xié)整所謂協(xié)整(cointegration)，是指多個非平穩(wěn)經(jīng)濟變量的某種線性組合是平穩(wěn)的。協(xié)整是對非平穩(wěn)經(jīng)濟變量長期均衡關(guān)系的統(tǒng)計描述。非平穩(wěn)經(jīng)濟變量間存在的長期穩(wěn)定的均衡關(guān)系稱作協(xié)整關(guān)系。下面給出協(xié)整的正式定義：(2)存在一個n

×1階列向量β(β≠0)，使得F′

Xt

~I(d?b)，數(shù)(或參數(shù))。若兩個非平穩(wěn)變量之間存在協(xié)整關(guān)系,則它們之間的線性離差,即非均衡誤差是平穩(wěn)的。比如兩個I(1)變量yt

和xt

存在如下關(guān)系：yt

=F0

+F1Xt

+ut

(9-10)應(yīng)該是在零上下波動，不會離開零值太遠，并以一個不太快的頻率穿越零值水平線。此時，這種協(xié)整關(guān)系是16其中ut

~I(0)，則E(yt)=F0

+F1Xt

是長期均衡關(guān)系，ut

=yt

?F0

?F1Xt

為非均衡誤差。非均衡誤差序列則稱變量X1t,X2t,?,Xnt存在(d,b)階協(xié)整關(guān)系,記為：Xt

~CI(d,b)，其中CI表示協(xié)整，β稱為協(xié)整向量，β的元素稱為協(xié)整系yt,Xt

~CI(1,1)，協(xié)整向量β=(1,?β1

)′

，所以ut

=yt

?F0

?F1Xt

~I(0)。對于隨機向量Xt

=(X1t,X2t,?,Xnt)′

，如果已知：(1)Xt

~I(d)(即Xt

中每一個分量都是d階單整的)，9.2

協(xié)整模型9.2.2

協(xié)整檢驗協(xié)整檢驗的思想在于：如果某兩個或多個同階時間序列向量的某種線性組合可以得到一個平穩(wěn)的誤

差序列，則這些非平穩(wěn)時間序列存在長期的均衡關(guān)系，或者說這些序列具有協(xié)整性。注意說明：(1)多數(shù)宏觀經(jīng)濟時間序列一般都是非平穩(wěn)的,即其均值與方差是隨時間的變化而變化的，一般情況下，直接用非平穩(wěn)時間序列建立模型會帶來虛假回歸問題。(2)非平穩(wěn)變量可以先通過差分變換，但用差分變量建立經(jīng)濟計量模型,會損失許多信息，難以反映原變量直接的關(guān)系。(3)恩格爾和格蘭杰所提出的協(xié)整理論，其宗旨在于對于非平穩(wěn)序列,通過引入?yún)f(xié)整的差分變量,達到使模型成立并提高模型精度的

目的。(4)將經(jīng)濟變量之間存在的長期穩(wěn)定關(guān)系稱為協(xié)整關(guān)系，換言之，經(jīng)濟變量的協(xié)整性是對非平穩(wěn)經(jīng)濟變量長期均衡關(guān)系的統(tǒng)計描述。(5)當且僅當若干個平穩(wěn)變量具有協(xié)整性時,由這些變量建立的回歸模型才有意義(即只要變量間存在協(xié)整關(guān)系，則可以直接建立經(jīng)典回歸模型)。所以協(xié)整性檢驗也是區(qū)別真實回歸和虛假回歸的有效方。9.2

協(xié)整模型法179.2.2

協(xié)整檢驗協(xié)整檢驗主要有兩種方法，一種是基于回歸系數(shù)的協(xié)整檢驗，另一種是基于回歸殘差的協(xié)整檢驗。這里我們僅介紹于回歸殘差的EG兩步法協(xié)整檢驗。恩格爾(Engle

)和格蘭杰(Granger)于1987年提出基于殘差的協(xié)整檢驗方法。該方法的基本原理是：假設(shè)只有兩個變量yt和xt序列，要求這兩個變量的單整次數(shù)應(yīng)該相同。第一步，用OLS法作協(xié)整回歸。用OLS法對回歸方程(也稱為協(xié)整回歸方程)yt

=F0

+F1xt

+ut

(9-11)進行估計，得到殘差序列et。第二步，檢驗et的平穩(wěn)性。計算殘差序列et

。然后對et做如下平穩(wěn)性檢驗：Δet

=

pet?

1

+

vt(9-

12)或Δet

=

pet?

1

+

1yiΔet

1?

+

vt9.2

協(xié)整模型(9-13)189.2.2

協(xié)整檢驗零假設(shè)與備擇假設(shè)是：H0:ρ=0，yt和xt不存在協(xié)整關(guān)系H1:ρ≠0，yt和xt存在協(xié)整關(guān)系式(9-12)與式(9-13)分別稱為EG和AEG(增廣的EG)檢驗式，而所用

統(tǒng)計量t(p)分別被稱作EG和AEG統(tǒng)計量。注意：只有當yt和xt序列存在協(xié)整關(guān)系時，式(9-11)才能稱作協(xié)整回歸

式，協(xié)整系數(shù)F1

才能通過協(xié)整回歸進行估計。協(xié)整檢驗的Eviews實現(xiàn)。在OLS對協(xié)整回歸方程得到的殘差序列，對殘差序列進行ADF平穩(wěn)性檢驗，其操作步驟與上述的ADF檢驗的Eviews實現(xiàn)一致。19

9.2

協(xié)整模型9.3.1

基本原理誤差修正模型是由動態(tài)分布滯后模型變換而來的，有效解決了計量經(jīng)濟建模過程中虛假回歸問題。下面在解釋變量和被解釋變量都具有平穩(wěn)性條件下，利用動態(tài)分布滯后模型推導(dǎo)誤差修正模型。假設(shè)下列自yt

=

a0+

a1yt?

1

+

F0Xt+F1Xt?

1

+

ut,

a1<

1,

ut~IID(0,

G2)

(9-

14)其中假定yt,Xt~I(0)。a1

<1保證了yt的平穩(wěn)性。IID(?)表示獨立同分布。ut應(yīng)不存在自相關(guān)和異方差。從式(9-14)兩側(cè)同時減去yt?

1

，再在右側(cè)同時加減?F0Xt

?

1

并整理得：?yt

=

a0+

F0?Xt

+

(a1?1)yt?

1

+

(F0

+

F1)Xt?

1

+

ut

(9-

15)在式(9-15)右側(cè)同時加減(a1

?1)Xt

?

1

并整理得：?yt

=a0

+F0?Xt

+(a1?1)(yt?

1

?Xt

?

1)+(a1+F0

+F1

?1)Xt?

1

+ut

(9-16)?yt

=

a0+

F0?Xt

+

(a1?1)(yt?

1

?

k1Xt

?

1)

+ut從式(9-15)還可直接得到：其中k1=(F0+F1)(1?a1)。自回歸分布滯后模型的一個重要特性就是可以改寫成多種形式而不影響模型對樣本數(shù)據(jù)的解釋能力，也不會改變回歸系數(shù)的OLS估計值。以上3式表示的是相同關(guān)系。因為每一個方程都可從另一個方程變換得到，同時不破壞等式關(guān)系。3個模型的解釋能力，長期系數(shù)的估計值以及檢驗用統(tǒng)計量的值完全相同。式(9-17)稱作誤差

修正模型(error

correction

model

，ECM)。9.3

誤差修正模型回歸分布滯后模型：(9-17)209.3.2

模型估計對式(9-17)進一步整理：當約束條件a1

+F0

+F1

=1成立時，式(9-15)

變?yōu)榧磳υ儆肙LS方法估計其參數(shù)。的OLS估計，又稱協(xié)整回歸，得到殘差序列et

，并用AEG法檢驗是否平穩(wěn)。如果et

是平穩(wěn)的，可以用et

?

1

代替yt

?

1

?F0

?F1Xt

?

1，?yt

=

a0

+

F0

?Xt

+

aet

?

1

+

vt

(9-22)?yt

=a0

+F0

?Xt

+(a1

?1)(yt

?

1

?k0

?Xt

?

1)+ut

(9-20)這是一個k=1的特殊誤差修正模型。最常用的ECM模型估計方法是Engle和Granger(1981)兩步法，其基本思想如下：第一步是求模型：yt

=F0

+F1Xt

+ut

(9-21)?yt

=F0

?Xt

+(a1

?1)(yt

?

1

?k0

?k1Xt

?

1)+ut

(9-18)式(9-18)也是誤差修正模型的一種表達形式。由式(9-18)知yt

與Xt

的長期關(guān)系是yt

=F0

+F1Xt

+ut

，短期關(guān)系是?yt

=?yt

=a0

+F0

?Xt

+(a1

?1)(yt

?

1

?Xt

?

1)+ut

(9-19)上式可變?yōu)镕0

?Xt

?(1?a1)(?)，其中(?)=yt

?

1

?k0

。9.3

誤差修正模型21式(9-23)的原假設(shè)是：H0

：a1

=a2

=?=aq

=0。22

yt

=

=

1

aixt

?

i

+

=

1

Fjyt

?j

+

u1txt

=

=

1

yixt?i

+

=

1

6jyt?j+

u2t其中，白噪聲u1t和u2t假定為不相關(guān)的。jsisjqiq式(9-24)的原假設(shè)是：H0

：61

=62

=?=6q

=0。9.4.1

格蘭杰因果關(guān)系格蘭杰因果檢驗要求估計以下回歸模型：(9-23)(9-24)9.4

格蘭杰因果關(guān)系檢驗9.4.1

格蘭杰因果關(guān)系格蘭杰因果關(guān)系有四種類型：(1)存在X

到y(tǒng)的單向因果性，即X

是引起y變化的原因。如果式(9-23)中滯后X

的參數(shù)估計值檢驗結(jié)果為拒絕原假設(shè)，同時式(9-24)中滯后y的參數(shù)估計值檢驗結(jié)果為接受原假設(shè)，那么就存在X到y(tǒng)的單向因果性。(2)存在y到X

的單向因果性，即y是引起X

變化的原因。如果式(9-24)中滯后y的參數(shù)估計值檢驗結(jié)果為拒絕原假設(shè)，同時式(9-23)中滯后X

的參數(shù)估計值檢驗結(jié)果為接受原假設(shè)，那么就存在X到y(tǒng)的單向因果性。(3)存在X

到y(tǒng)的單向因果性，也存在y到X

的單向因果性，即X和y互為因果關(guān)系。如果式(9-23)中滯后X

的參數(shù)估計值檢驗結(jié)果為拒絕原假設(shè)，同時式(9-24)中滯后y的參數(shù)估計值檢驗結(jié)果也拒絕原假設(shè)，那么就存在X和y互為因果關(guān)系。(4)X和y不存在因果關(guān)系。如果式(9-23)中滯后X

的參數(shù)估計值檢驗結(jié)果為接受原假設(shè)，同時式(9-24)中滯后y的參數(shù)估計值檢驗結(jié)果也接受原假設(shè)，那么就稱為X和y不存在因果關(guān)系。9.4

格蘭杰因果關(guān)系檢驗239.4.2

格蘭杰因果關(guān)系檢驗的實施根據(jù)上述式(9.4.1)和式(9.4.2)格蘭杰因果關(guān)系模型，可以檢驗X

對y是否存在格蘭杰因果關(guān)系，其實施步驟如下：第一步，作式(9.4.3)所