2025年1月普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試適應(yīng)性測(cè)試（八省聯(lián)考）數(shù)學(xué)試題（含答案）1

參照機(jī)密級(jí)管理★啟用前河南省2025年高考綜合改革適應(yīng)性演練數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，則（）A．B．C．D．2．函數(shù)的最小正周期是（）A．B．C．D．3．（）A．2B．4C．D．64．已知向量，則（）A．2B．1C．0D．5．雙曲線的漸近線方程為（）A．B．C．D．6．底面直徑和母線長(zhǎng)均為2的圓錐的體積為（）A．B．C．D．7．在中，，則的面積為（）A．6B．8C．24D．488．已知函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，，則a的取值范圍是（）A．B．C．D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知是拋物線的焦點(diǎn)，M是C上的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．則（）A．B．C．以M為圓心且過(guò)F的圓與C的準(zhǔn)線相切D．當(dāng)時(shí)，的面積為10．在人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，單個(gè)神經(jīng)元輸入與輸出的函數(shù)關(guān)系可以稱(chēng)為激勵(lì)函數(shù)．雙曲正切函數(shù)是一種激勵(lì)函數(shù)．定義雙曲正弦函數(shù)，雙曲余弦函數(shù)，雙曲正切函數(shù)．則（）A．雙曲正弦函數(shù)是增函數(shù)B．雙曲余弦函數(shù)是增函數(shù)C．雙曲正切函數(shù)是增函數(shù)D．11．下面四個(gè)繩結(jié)中，不能無(wú)損傷地變?yōu)橛覉D中的繩結(jié)的有（）A．B．C．D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知函，若，則____________．13．有8張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，現(xiàn)從這8張卡片中隨機(jī)抽出3張，則抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等的概率為_(kāi)___________．14．已知曲線，兩條直線、均過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，和C交于M、N兩點(diǎn)，和C交于P、Q兩點(diǎn)，若三角形的面積為，則三角形的面積為_(kāi)___________．四、解答題（本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）15．（13分）為考察某種藥物A對(duì)預(yù)防疾病B的效果，進(jìn)行了動(dòng)物（單位：只）試驗(yàn)，得到如下列聯(lián)表：藥物疾病合計(jì)未患病患病未服用10080服用15070220合計(jì)250400（1）求，t；（2）記未服用藥物A的動(dòng)物患疾病B的概率為p，給出P的估計(jì)值；（3）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為藥物A對(duì)預(yù)防疾病B有效?附：，0．0500．0100．0013．8416．63510．82816．（15分）已知數(shù)列中，（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求的通項(xiàng)公式；（3）令，證明:．17．（15分）已知函數(shù)．（1）設(shè)，求曲線的斜率為2的切線方程；（2）若是的極小值點(diǎn)，求b的取值范圍．18．（17分）已知橢圓C的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，（1）求C的方程；（2）已知點(diǎn)，證明：線段的垂直平分線與C恰有一個(gè)公共點(diǎn)；（3）設(shè)M是坐標(biāo)平面上的動(dòng)點(diǎn)，且線段的垂直平分線與C恰有一個(gè)公共點(diǎn)，證明M的軌跡為圓，并求該圓的方程．19．（17分）在平面四邊形ABCD中，，，將沿AC翻折至，其中P為動(dòng)點(diǎn)．（1）設(shè)，三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上．（i）證明：平面平面；（ii）求球O的半徑（2）求二面角的余弦值的最小值．參照機(jī)密級(jí)管理★啟用前2025年高考綜合改革適應(yīng)性演練數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由交集的運(yùn)算求解即可；【詳解】由題意可得.故選：C2.函數(shù)的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)最小正周期的求法求得正確答案.【詳解】依題意，的最小正周期.故選：D3.（）A.2 B.4 C. D.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的概念直接求解.【詳解】由題意：.故選：C4.已知向量，則（）A.2 B.1 C.0 D.【答案】B【解析】【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】，，，.故選：B.5.雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合漸近線方程，可得答案.詳解】由方程，則，所以漸近線.故選：C.6.底面直徑和母線長(zhǎng)均為2的圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由勾股定理先求出圓錐的高，進(jìn)而利用圓錐體積公式求解即可.【詳解】由題可知圓錐的底面半徑，母線長(zhǎng)，高，∴圓錐的體積為.故選：A.7.在中，，則的面積為（）A.6 B.8 C.24 D.48【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)余弦定理求出邊的長(zhǎng)度，再利用三角形面積公式求出三角形面積即可.【詳解】設(shè)，根據(jù)余弦定理，已知，，，代入可得：，即，解得，由于，則為直角三角形，則.故選：C.8.已知函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分類(lèi)討論，去掉絕對(duì)值，結(jié)合一元二次不等式的求解即可得解.【詳解】當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以，不滿(mǎn)足當(dāng)時(shí)，，故不符合題意；當(dāng)，時(shí)，，解得，由于時(shí)，，故，解得；當(dāng)，時(shí)，恒成立，符合題意；當(dāng)，時(shí)，，解得，由于時(shí)，，故，解得.綜上.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是對(duì)分類(lèi)討論，結(jié)合因式分解方法有針對(duì)性求解時(shí)的的解集，從而可求解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知是拋物線的焦點(diǎn)，M是C上的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．則（）A.B.C.以M為圓心且過(guò)F的圓與C的準(zhǔn)線相切D.當(dāng)時(shí)，的面積為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求出判斷A，根據(jù)拋物線定義判斷B，C，應(yīng)用已知聯(lián)立方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算判斷三角形的面積判斷D.【詳解】因?yàn)槭菕佄锞€的焦點(diǎn)，所以，即得，A選項(xiàng)正確；設(shè)在上，所以，所以，B選項(xiàng)正確；因?yàn)橐訫為圓心且過(guò)F的圓半徑為等于M與C的準(zhǔn)線的距離，所以以M為圓心且過(guò)F的圓與C的準(zhǔn)線相切，C選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí),，且，，所以,或舍所以的面積為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.10.在人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，單個(gè)神經(jīng)元輸入與輸出的函數(shù)關(guān)系可以稱(chēng)為激勵(lì)函數(shù)．雙曲正切函數(shù)是一種激勵(lì)函數(shù)．定義雙曲正弦函數(shù)，雙曲余弦函數(shù)，雙曲正切函數(shù)．則（）A.雙曲正弦函數(shù)是增函數(shù) B.雙曲余弦函數(shù)是增函數(shù)C.雙曲正切函數(shù)是增函數(shù) D.【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)A、B：借助導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)后即可得；對(duì)C：借助雙曲正弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù)將雙曲正切函數(shù)化簡(jiǎn)后，結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可得；對(duì)D：借助雙曲正弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù)，分別將等式左右兩邊化簡(jiǎn)即可得.【詳解】對(duì)A：令，則恒成立，故雙曲正弦函數(shù)是增函數(shù)，故A正確；對(duì)B：令，則，由A知，為增函數(shù)，又，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：，由在上單調(diào)遞增，且，故是增函數(shù)，故C正確；對(duì)D：由C知，則，，故，故D正確.故選：ACD.11.下面四個(gè)繩結(jié)中，不能無(wú)損傷地變?yōu)閳D中的繩結(jié)的有（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)A，原圖中的圓環(huán)無(wú)法解開(kāi)，對(duì)BC轉(zhuǎn)化為三葉結(jié)問(wèn)題即可；對(duì)D通過(guò)繩數(shù)即可判斷.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：原圖中的圓環(huán)不可解開(kāi)，則無(wú)法無(wú)損變?yōu)橐粋€(gè)圓，無(wú)法得到A選項(xiàng)；對(duì)于D選項(xiàng)：為三個(gè)圓，不是一根繩，無(wú)法得到D選項(xiàng)；對(duì)于B,C選項(xiàng)：根據(jù)左手三葉結(jié)和右手三葉結(jié)不能無(wú)損轉(zhuǎn)換，而B(niǎo)C情形為三葉結(jié)變體，則BC至少有一個(gè)無(wú)法無(wú)損傷得到，兩者為手性，即鏡像（即只能在鏡子中相互重疊），再通過(guò)考場(chǎng)身邊道具（如鞋帶，頭發(fā)）進(jìn)行實(shí)驗(yàn)可知：可以得到C選項(xiàng)，無(wú)法得到B選項(xiàng).故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函，若，則____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件，利用指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算求得答案.【詳解】由，可得，即，也即，且，，兩邊取對(duì)數(shù)得：，解得.故答案為：.13.有8張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，現(xiàn)從這8張卡片中隨機(jī)抽出3張，則抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等的概率為_(kāi)___________．【答案】【解析】【分析】先寫(xiě)出基本事件總數(shù)，再求出所有卡片上的數(shù)字之和，得到抽出的3張卡片上的數(shù)字之和應(yīng)為，列舉出和為的3張卡片即可求解.【詳解】從8張卡片中隨機(jī)抽出3張，則樣本空間中總的樣本點(diǎn)數(shù)為，因?yàn)椋砸钩槌龅?張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等，則抽出的3張卡片上的數(shù)字之和應(yīng)為，則抽出的3張卡片上的數(shù)字的組合有或或共3種，所以符合抽出的3張卡片上的數(shù)字之和為的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)共3個(gè)，所以抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等的概率為.故答案為：.14.已知曲線，兩條直線、均過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，和交于M、N兩點(diǎn)，和交于P、Q兩點(diǎn)，若三角形的面積為，則三角形的面積為_(kāi)___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，結(jié)合圖象來(lái)求得正確答案.【詳解】由于和都符合，所以曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，由此畫(huà)出曲線的大致圖象如下圖所示，兩條直線、均過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以M、N兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，P、Q兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)位置如圖，可知，，所以，所以，而和等底等高，面積相同，所以，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用曲線對(duì)稱(chēng)性：充分利用曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，確定點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)關(guān)系，這是解決本題的基礎(chǔ).通過(guò)對(duì)稱(chēng)關(guān)系，能夠推導(dǎo)出相關(guān)線段和三角形之間的等量關(guān)系，為后續(xù)的面積計(jì)算提供依據(jù).四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）15.為考察某種藥物對(duì)預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行了動(dòng)物（單位：只）試驗(yàn)，得到如下列聯(lián)表：藥物疾病合計(jì)未患病患病未服用10080服用15070220合計(jì)250400（1）求，；（2）記未服用藥物的動(dòng)物患疾病的概率為，給出的估計(jì)值；（3）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為藥物對(duì)預(yù)防疾病有效?附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1），（2）（3）能認(rèn)為藥物對(duì)預(yù)防疾病有效【解析】【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表求和即可；（2）用頻率估計(jì)概率，計(jì)算即可；（3）根據(jù)公式計(jì)算，然后根據(jù)臨界值表分析判斷即可.【小問(wèn)1詳解】由列聯(lián)表知，；【小問(wèn)2詳解】由列聯(lián)表知，未服用藥物的動(dòng)物有（只），未服用藥物且患疾病的動(dòng)物有（只），所以未服用藥物的動(dòng)物患疾病的頻率為，所以未服用藥物的動(dòng)物患疾病的概率的估計(jì)值為；【小問(wèn)3詳解】零假設(shè)：藥物對(duì)預(yù)防疾病無(wú)效，由列聯(lián)表得到，根據(jù)小概率值獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為藥物對(duì)預(yù)防疾病有效，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)，所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能認(rèn)為藥物對(duì)預(yù)防疾病有效.16.已知數(shù)列中，（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求的通項(xiàng)公式；（3）令，證明:．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件化簡(jiǎn)，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明；（2）由（1）求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再求即得；（3）將（2）中得到的的通項(xiàng)代入求得，化簡(jiǎn)后利用數(shù)列的單調(diào)性即可得證.【小問(wèn)1詳解】由得，則，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】由（1）得,解得：.【小問(wèn)3詳解】令，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則所以數(shù)列在上單調(diào)遞減，從而數(shù)列在上單調(diào)遞增，且，故得.17.已知函數(shù).（1）設(shè)，求曲線的斜率為2的切線方程；（2）若是的極小值點(diǎn)，求b的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由切線斜率為2，結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)可得切線過(guò)點(diǎn)，然后可得切線方程；（2）由是的極小值點(diǎn)，可得，然后據(jù)此討論的單調(diào)性，分析得在時(shí)的極值情況，從而得解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，其中，則，令，化簡(jiǎn)得，解得（負(fù)值舍去），又此時(shí)，則切線方程過(guò)點(diǎn)，結(jié)合切線方程斜率為2，則切線方程為，即.【小問(wèn)2詳解】由題可得定義域?yàn)椋?，因是的極小值點(diǎn)，則，則，若，令，令，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，得是的極大值點(diǎn)，不滿(mǎn)足題意；若，令，令，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，得是的極大值點(diǎn)，不滿(mǎn)足題意；若，則，在上單調(diào)遞減，無(wú)極值，不滿(mǎn)足題意；若，令，令，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，得是的極小值點(diǎn)，滿(mǎn)足題意；綜上，是的極小值點(diǎn)時(shí)，.18.已知橢圓C的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為F1?1,0，（1）求C的方程；（2）已知點(diǎn)，證明：線段的垂直平分線與C恰有一個(gè)公共點(diǎn)；（3）設(shè)M是坐標(biāo)平面上的動(dòng)點(diǎn)，且線段的垂直平分線與C恰有一個(gè)公共點(diǎn)，證明M的軌跡為圓，并求該圓的方程．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）點(diǎn)的軌跡是圓，該圓的方程為【解析】【分析】(1)根據(jù)橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)得，離心率為，得，從而求出，得出橢圓方程；(2)寫(xiě)出中垂線方程，聯(lián)立橢圓方程，判別式等于零，即可證明恰一個(gè)公共點(diǎn)；(3)解法一：利用設(shè)直線方程聯(lián)立橢圓方程的方法，根據(jù)判別式等于0，即可求解.解法二：利用橢圓定義和線段垂直平分線的性質(zhì)結(jié)合光學(xué)性質(zhì)，得到，從而得到點(diǎn)的軌跡和軌跡方程.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闄E圓左、右焦點(diǎn)分別為F1?1,0，F(xiàn)21,0，所以，又因?yàn)闄E圓C得，所以橢圓方程.【小問(wèn)2詳解】由，F(xiàn)1?1,0得直線斜率為，中點(diǎn)坐標(biāo)為0,2，所以線段的垂直平分線方程為，聯(lián)立垂直平分線方程和橢圓方程得，x=1，，所以直線與橢圓相切，線段的垂直平分線與C恰有一個(gè)公共點(diǎn)；【小問(wèn)3詳解】解法一：設(shè)，當(dāng)時(shí)，的垂直平分線方程為，此時(shí)或；當(dāng)時(shí)，的垂直平分線方程為，聯(lián)立，得，即因?yàn)榫€段的垂直平分線與C恰有一個(gè)公共點(diǎn)，故，即，則，即，，即，，而，也滿(mǎn)足該式，故點(diǎn)的軌跡是圓，該圓的方程為，即.解法二：設(shè)線段的垂直平分線與C恰有一個(gè)公共點(diǎn)為P，則當(dāng)點(diǎn)P不在長(zhǎng)軸時(shí)，線段的垂直平分線即為點(diǎn)P處的切線，也為的角平分線，作的角平分線，根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)得，，則，故，所以三點(diǎn)共線，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，4為半徑的圓，當(dāng)P在橢圓長(zhǎng)軸上時(shí)，M點(diǎn)為或也滿(mǎn)足，故點(diǎn)的軌跡是圓，該圓的方程為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷直線與橢圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題的方法是：(1)首先根據(jù)題意得到直線和橢圓方程；(2)聯(lián)立直線和橢圓方程，消元得到一元二次方程；(3)計(jì)算，根據(jù)，判斷直線與橢圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).19.在平面四邊形中