（寒假）新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講+鞏固訓(xùn)練+隨堂檢測(cè)09 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（教師版）

第頁(yè)第09講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性知識(shí)講解導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系條件恒有結(jié)論函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上可導(dǎo)＞0f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增＜0f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減＝0f(x)在(a，b)上是常數(shù)函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟第1步，確定函數(shù)的定義域；第2步，求出導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點(diǎn)；第3步，用f′(x)的零點(diǎn)將f(x)的定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.[常用結(jié)論]1.若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增，則x∈(a，b)時(shí)，恒成立；若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減，則x∈(a，b)時(shí)，恒成立.2.若函數(shù)f(x)在(a，b)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則x∈(a，b)時(shí)，＞0有解；若函數(shù)f(x)在(a，b)上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則x∈(a，b)時(shí)，＜0有解.考點(diǎn)一、函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系【例1】設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可得當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.只有C選項(xiàng)的圖象符合.故選：C.【變式1】已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下面四個(gè)圖象中，的圖象大致是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用函數(shù)的圖象求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到正確選項(xiàng).【詳解】由題給函數(shù)的圖象，可得當(dāng)時(shí)，，則，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則，則單調(diào)遞增；則單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為故僅選項(xiàng)C符合要求.故選：C【變式2】設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（

）

A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)的圖象可得的單調(diào)性，從而得到在相應(yīng)范圍上的符號(hào)，據(jù)此可判斷的圖象.【詳解】由的圖象可知，在上為單調(diào)遞減函數(shù)，故時(shí)，，故排除A，C；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象是先遞增，再遞減，最后再遞增，所以的值是先正，再負(fù)，最后是正，因此排除B，故選：D.考點(diǎn)二、利用導(dǎo)數(shù)求不含參函數(shù)的單調(diào)性【例2】設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)求的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)；(2)答案見解析；(3)3個(gè)【分析】（1）先對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，，從而得到關(guān)于的方程組，解之即可；（2）由（1）得的解析式，從而求得，利用數(shù)軸穿根法求得與的解，由此求得的單調(diào)區(qū)間；（3）結(jié)合（2）中結(jié)論，利用零點(diǎn)存在定理，依次分類討論區(qū)間，，與上的零點(diǎn)的情況，從而利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值點(diǎn)的關(guān)系求得的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谔幍那芯€方程為，所以，，則，解得，所以.（2）由（1）得，則，令，解得，不妨設(shè)，，則，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為和.（3）由（1）得，，由（2）知在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，即所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；所以在上有一個(gè)極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則，故，所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；所以在上有一個(gè)極大值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，故，所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；所以在上有一個(gè)極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，所以，則單調(diào)遞增，所以在上無(wú)極值點(diǎn)；綜上：在和上各有一個(gè)極小值點(diǎn)，在上有一個(gè)極大值點(diǎn)，共有個(gè)極值點(diǎn).【變式3】已知且，函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】（1）上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）.【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）方法一：利用指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，可以將曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)研究的單調(diào)性，并結(jié)合的正負(fù)，零點(diǎn)和極限值分析的圖象，進(jìn)而得到，發(fā)現(xiàn)這正好是，然后根據(jù)的圖象和單調(diào)性得到的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，,令得,當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）[方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù),設(shè)函數(shù),則,令，得,在內(nèi),單調(diào)遞增；在上,單調(diào)遞減；,又，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于0，所以曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，即曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)的充分必要條件是,這即是,所以的取值范圍是.[方法二]：構(gòu)造差函數(shù)由與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)知，即在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)解，取對(duì)數(shù)得方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)解．構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)得．當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，在內(nèi)最多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，令得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．由于，當(dāng)時(shí)，有，即，由函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)知，所以，即．構(gòu)造函數(shù)，則，所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的解為且．所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．[方法三]分離法：一曲一直曲線與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)為在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不相同的解．因?yàn)?，所以兩邊取?duì)數(shù)得，即，問題等價(jià)為與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，與只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意．②當(dāng)時(shí)，取上一點(diǎn)在點(diǎn)的切線方程為，即．當(dāng)與為同一直線時(shí)有得直線的斜率滿足：時(shí)，與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)．記，令，有．在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；時(shí)，最大值為，所當(dāng)且時(shí)有．綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．[方法四]：直接法．因?yàn)?，由得．?dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．因?yàn)?，且，所以，即，即，兩邊取?duì)數(shù)，得，即．令，則，令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，所以，則的解為，所以，即．故實(shí)數(shù)a的范圍為．]【變式4】已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析.(2)【分析】（1）求導(dǎo),然后令,討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)即可;（2）構(gòu)造,計(jì)算的最大值,然后與0比較大小,得出的分界點(diǎn),再對(duì)討論即可.【詳解】（1）令,則則當(dāng)當(dāng),即.當(dāng),即.所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減（2）設(shè)設(shè)所以.若,，即在上單調(diào)遞減,所以.所以當(dāng),符合題意.若當(dāng),所以..所以,使得,即,使得.當(dāng),即當(dāng)單調(diào)遞增.所以當(dāng),不合題意.綜上,的取值范圍為.考點(diǎn)三、利用導(dǎo)數(shù)求含參函數(shù)的單調(diào)性【例3】已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析【分析】（1）先求導(dǎo)，再分類討論與兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；（2）方法一：結(jié)合（1）中結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得即可.方法二：構(gòu)造函數(shù)，證得，從而得到，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，由此得證.【詳解】（1）因?yàn)?，定義域?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）方法一：由（1）得，，要證，即證，即證恒成立，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.方法二：令，則，由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以要證，即證，即證，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.【變式5】已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）求曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線的公共點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)答案見解析；(2)和.【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可確定原函數(shù)的單調(diào)性；(2)首先求得導(dǎo)數(shù)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程，然后將原問題轉(zhuǎn)化為方程求解的問題，據(jù)此即可求得公共點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，導(dǎo)函數(shù)的判別式，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，的解為：，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；綜上可得：當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)由題意可得：，，則切線方程為：，切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則：,整理可得：，即：，解得：，則，切線方程為：,與聯(lián)立得，化簡(jiǎn)得,由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)1必然是該方程的一個(gè)根，是的一個(gè)因式，∴該方程可以分解因式為解得,，綜上，曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為和.【變式6】已知函數(shù)，.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，，，求證：.【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析【分析】（1）求得，對(duì)進(jìn)行分類討論，由此求得的單調(diào)區(qū)間.（2）先判斷出，將轉(zhuǎn)化為，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)證得不等式成立.【詳解】（1）由，可知定義域，，令，則，①當(dāng)時(shí)，，則成立，即成立，所以在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令，得，記，，當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表+0-0+↗極大值↘極小值↗所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)零點(diǎn)，，，不妨設(shè)，所以，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.由，知，故，因?yàn)?，所以，即，因此，令，所以，令，則在上單調(diào)遞減，且，，成立，所以在上單調(diào)遞減，且，因此，則，所以.考點(diǎn)四、根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)值或范圍【例4】若函數(shù)在是增函數(shù)，則a的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：由條件知在上恒成立，即在上恒成立．∵函數(shù)在上為減函數(shù)，∴,∴．故選D．【變式7】設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.【答案】【分析】原問題等價(jià)于恒成立，據(jù)此將所得的不等式進(jìn)行恒等變形，可得，由右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性可得實(shí)數(shù)的二次不等式，求解二次不等式后可確定實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，則，即在區(qū)間上恒成立，故，而，故，故即，故，結(jié)合題意可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【變式8】已知函數(shù)在R上是增函數(shù)，則的最大值為．【答案】【分析】對(duì)求導(dǎo)，由為上的增函數(shù)可知恒成立，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，△，從而可得，兩邊同乘可得，利用換元法及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得的最大值．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，所以恒成立，所以，△，又，所以，則由△，可得，兩邊同時(shí)乘以，可得，令，，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為．故答案為：．【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】1.已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若在上恒成立，求證：.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；(2)證明見解析【分析】（1）在定義域范圍內(nèi)求導(dǎo)函數(shù)大于零或小于零的解集即可；（2）將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，含參討論得時(shí)，有最大值即證明.【詳解】（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以，令得或；令?所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）因?yàn)椋涸谏虾愠闪?，即在上恒成立，設(shè).則.①若，則單調(diào)遞增，的值域?yàn)?，故不能恒成立，故舍去；②若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有最大值，所以.2.已知函數(shù)，．(1)當(dāng)，求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若在恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為；(2)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系，先設(shè)求得，得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）把在上恒成立,轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令,即得恒成立求參即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，令，所以，當(dāng)時(shí)，，故為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，故為減函數(shù)，所以，即，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間.（2）因?yàn)椋?，所以在上恒成立，即在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，，則且當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上為增函數(shù)，所以，即時(shí)不滿足題意；當(dāng)時(shí)，由，得，若，則，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以存在，使得，即時(shí)不滿足題意；若，則，故在上為減函數(shù)，所以，所以恒成立，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.3.已知函數(shù)．(1)若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，證明：，．【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】（1）求得，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，求得，得出函數(shù)的單調(diào)性和最大值，即可求解.（2）當(dāng)時(shí)，得到且，當(dāng)時(shí)，只需使得，利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)遞增，得到；當(dāng)時(shí)，顯然滿足；當(dāng)時(shí)，由和，得到，即可得證.【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，可得在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，即為最大值，所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.（2）解：當(dāng)時(shí)，，可得當(dāng)時(shí)，可得，要使得，只需使得，令，可得，所以單調(diào)遞增，又由，所以，所以單調(diào)遞增，所以；當(dāng)時(shí)，可得且，所以，滿足；當(dāng)時(shí)，可得，因?yàn)榍?，所以，所以，綜上可得，對(duì)于，都有.4.已知，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(2)【分析】（1）將導(dǎo)數(shù)化為求其零點(diǎn)并討論零點(diǎn)的大小，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求解.（2）結(jié)合第（1）問的結(jié)果，利用函數(shù)的單調(diào)性、極值的符號(hào)構(gòu)造不等式求解.【詳解】（1）∵，∵，∴，當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增．綜上所述，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）情況一：若，即時(shí)，由的單調(diào)性，其在上恒為正，無(wú)零點(diǎn)，在增區(qū)間至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符題意．情況二：若，即時(shí)，由于，由零點(diǎn)存在定理，在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，取，則，，，，當(dāng)時(shí)，，由于在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在恒為正，無(wú)零點(diǎn)，由零點(diǎn)存在定理，在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，符合題意，情況三：若，即時(shí)，同情況二可得在增區(qū)間恒為正，無(wú)零點(diǎn)，僅有一個(gè)零點(diǎn)，不符題意.綜上，a的取值范圍是．課后訓(xùn)練1.已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），下面四個(gè)圖象中可能是圖象的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)的圖像，得到不同范圍下，的正負(fù)，得到的單調(diào)性，得到答案.【詳解】由的圖象知，當(dāng)時(shí)，，故，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)，，故，等號(hào)僅有可能在x＝0處取得，所以時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故，單調(diào)遞增，結(jié)合選項(xiàng)只有C符合.故選：C.2.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合在區(qū)間上的單調(diào)性列不等式組求得的取值范圍.【詳解】由，則，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，解得，故選：A.3.已知(1)當(dāng)時(shí)，求單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；(2)【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)恒成立可得結(jié)論；（2）方法一：由可知，使得在上單調(diào)遞增，根據(jù)可知；將代回驗(yàn)證，知，利用導(dǎo)數(shù)可證得，知滿足題意；方法二：易說(shuō)明，求得后，令，則，令，分別在和的情況下，得到的單調(diào)性，進(jìn)而確定使得恒成立的的范圍；（3）令，由（2）得；令，采用累加法可求得，進(jìn)而放縮得到，整理即可得到結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），恒成立，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間.（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，即，恒成立；方法一：，，使得在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，解得：；當(dāng)時(shí)，，，，設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，，，即滿足題意；綜上所述：的取值范圍為.方法二：，，，，則由，恒成立得：；，，令，則，令，則，①當(dāng)，即時(shí)，方程的解為，設(shè)，的對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，，，其中，則當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，，與，恒成立相矛盾，故舍去；②當(dāng)，即時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，，即，恒成立；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.4.已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，若，求證：；(3)求證：對(duì)于任意都有．【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）令，由，可證得恒成立，即，結(jié)合可證得；（3）利用，對(duì)進(jìn)行放縮，即可證明不等式成立.【詳解】（1）函數(shù)的定義域是．由已知得，．①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；④當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．綜上，①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增；

③當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增；

④當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增．（2）當(dāng)時(shí)，.由（1）知，函數(shù)在單調(diào)遞增且；令，令，令，解得；令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以.令，則，所以恒成立，

不妨設(shè)，則，所以，所以，所以，所以.（3）由（2）知，時(shí)，，即，故在時(shí)恒成立，

所以，，，，相加得.5.已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見解析；(2)【分析】（1）求導(dǎo)后分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可得函數(shù)的單調(diào)性；（2）將原不等式變形為，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)的單調(diào)性將不等式化為，再參變分離，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值可得結(jié)果.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).（2），設(shè)，則原不等式恒成立等價(jià)于在上恒成立，，在上為增函數(shù)，則在上恒成立，等價(jià)于在上恒成立，等價(jià)于在上恒成立，令，，令，得，令，得，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，故.隨堂檢測(cè)1.如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，若，則的圖象大致為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象在區(qū)間內(nèi)的函數(shù)的范圍，判斷出函數(shù)區(qū)間上各點(diǎn)處切線的斜率的范圍，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象得導(dǎo)函數(shù)函數(shù)值的符號(hào)，得函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)可得答案.【詳解】由的圖象可知，當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上，函數(shù)上各點(diǎn)處切線的斜率在區(qū)間內(nèi)，對(duì)于A，在區(qū)間上，函數(shù)上各點(diǎn)處切線的斜率均小于0，故A不正確；對(duì)于B，在區(qū)間上，函數(shù)上存在點(diǎn)，在該點(diǎn)處切線的斜率大于1，故B不正確；對(duì)于C，在區(qū)間上，函數(shù)上存在點(diǎn)，在該點(diǎn)處切線的斜率大于1，故C不正確；對(duì)于D，由的圖象可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)上各點(diǎn)處切線的斜率在區(qū)間內(nèi)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而函數(shù)的圖象均符合這些性質(zhì)，故D正確.故選：D2.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為.【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化為，在區(qū)間恒成立，參變分離后，即可求解.【詳解】，在區(qū)間恒成立，所以，在區(qū)間恒成立，即在區(qū)間恒成立，所以.故答案為：3.已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)；(2)【分析】（1）代入求導(dǎo)得，再次設(shè)導(dǎo)函數(shù)為新函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得到其單調(diào)性和其零點(diǎn)，從而得到的單調(diào)增區(qū)間；（2）法一：令，利用導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)存在定理得存在唯一正實(shí)數(shù)使得，從而得到，再利用隱零點(diǎn)法得，再次設(shè)新函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)從而得到的范圍；法二：同法一求得，則，利用基本不等式有，從而得到的范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，設(shè)又，∴在上單調(diào)遞增，又，∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，，令，則，∴在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，故存在唯一正實(shí)數(shù)使得，