高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《冪函數(shù)與指、對數(shù)式的運(yùn)算》專項(xiàng)測試卷帶答案

第第頁高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《冪函數(shù)與指、對數(shù)式的運(yùn)算》專項(xiàng)測試卷帶答案學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________一、單項(xiàng)選擇題1．已知常數(shù)α∈Q，如圖為冪函數(shù)y＝xα的圖象，則α的值可以為()A．eq\f(2,3) B．eq\f(3,2)C．－eq\f(2,3) D．－eq\f(3,2)2．已知函數(shù)f(x)＝(m2－m－5)xm2－6是冪函數(shù)，對任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，滿足eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0，若a，b∈R，且a＋b>0，則f(a)＋f(b)的值()A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．無法判斷3．下列運(yùn)算正確的是()A．2logeq\s\do8(\f(1,5))10＋logeq\s\do8(\f(1,5))0.25＝2B．log427×log258×log95＝eq\f(8,9)C．2lg2－lgeq\f(1,25)＝1D．logeq\s\do8((2＋eq\r(3)))(2－eq\r(3))－(log2eq\r(2))2＝－eq\f(5,4)4．(2024·山東濰坊模擬)已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up15(eq\f(2,3))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(2,3))，c＝log3π，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>bC．c>a>b D．c>b>a5．已知eeq\s\up15(eq\f(1,2)x)－eeq\s\up15(－eq\f(1,2)x)＝2，則eeq\s\up15(eq\f(3,2)x)－eeq\s\up15(－eq\f(3,2)x)的值為()A．2 B．8C．10 D．146．(2024·河南新鄉(xiāng)檢測)已知lga，lgb是方程6x2－4x－3＝0的兩根，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(b,a)))2＝()A．eq\f(4,9) B．eq\f(13,9)C．eq\f(14,9) D．eq\f(22,9)7．(2024·四川成都模擬)國家速滑館又稱“冰絲帶”，是北京2022年冬奧會(huì)的標(biāo)志性場館，擁有亞洲最大的全冰面設(shè)計(jì)，但整個(gè)系統(tǒng)的碳排放接近于零，做到真正的智慧場館、綠色場館，并且為了倡導(dǎo)綠色可循環(huán)的理念，場館還配備了先進(jìn)的污水、雨水過濾系統(tǒng)．已知過濾過程中廢水的污染物數(shù)量N(mg/L)與時(shí)間t的關(guān)系為N＝N0e－kt(N0為最初污染物數(shù)量)．如果前4小時(shí)消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%還需要的時(shí)間為()A．3.6小時(shí) B．3.8小時(shí)C．4小時(shí) D．4.2小時(shí)8．(2024·河南新鄉(xiāng)模擬)已知lg3＝a，lg5＝b，則log212的值為()A．eq\f(2b－a＋2,1－b) B．eq\f(2b－a＋2,b－1)C．eq\f(a－2b＋2,1－b) D．eq\f(a－2b＋2,1＋b)9.冪函數(shù)y＝xα，當(dāng)α取不同的正數(shù)時(shí)，在區(qū)間[0,1]上它們的圖象是一組美麗的曲線(如圖)，設(shè)點(diǎn)A(1,0)，B(0,1)，連接AB，線段AB恰好被其中的兩個(gè)冪函數(shù)y＝xa，y＝xb的圖象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a－eq\f(1,b)＝()A．0 B．1C．eq\f(1,2) D．2二、多項(xiàng)選擇題10．下列關(guān)系中，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是()A．－eq\r(x)＝(－x)eq\s\up15(eq\f(1,2))(x>0)B．eq\r(6,y2)＝y(tǒng)eq\s\up15(eq\f(1,3))(y>0)C．xeq\s\up15(－eq\f(1,2))yeq\s\up15(eq\f(2,3))＝eq\f(\r(3,y2),\r(x))(x>0，y>0)D．xeq\s\up15(－eq\f(1,3))＝－eq\r(3,x)(x>0)11．若10a＝4,10b＝25，則()A．a(chǎn)＋b＝2 B．b－a＝1C．a(chǎn)b>8(lg2)2 D．b－a>lg6三、填空題與解答題12．(2024·山西模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2－m是定義在區(qū)間[－3－m，m2－m]上的奇函數(shù)，則f(m)＝________.13．(1)設(shè)5x＝4,5y＝2，則52x－y＝________.(2)若100a＝5,10b＝2，則2a＋b＝________.14．計(jì)算：(1)log535＋2logeq\s\do8(\f(1,2))eq\r(2)－log5eq\f(1,50)－log514；(2)eq\f(1－log632＋log62·log618,log64).高分推薦題15．(1)若a4＋a3＋a2＋a＋1＝0(a∈C)，則a100＝________.(2)(2024·湖北武漢質(zhì)檢)設(shè)eq\f(1,3－\r(7))的整數(shù)部分為x，小數(shù)部分為y，求x2＋eq\r(7)xy＋eq\f(3,y)的值．解析版一、單項(xiàng)選擇題1．已知常數(shù)α∈Q，如圖為冪函數(shù)y＝xα的圖象，則α的值可以為()A．eq\f(2,3) B．eq\f(3,2)C．－eq\f(2,3) D．－eq\f(3,2)解析：由冪函數(shù)y＝xα的圖象關(guān)于y軸對稱知，函數(shù)y＝xα是偶函數(shù)，排除B，D選項(xiàng)；再根據(jù)冪函數(shù)y＝xα的圖象在第一象限內(nèi)從左到右下降，可得α<0，排除A選項(xiàng)．故選C．答案：C2．已知函數(shù)f(x)＝(m2－m－5)xm2－6是冪函數(shù)，對任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，滿足eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0，若a，b∈R，且a＋b>0，則f(a)＋f(b)的值()A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．無法判斷解析：∵函數(shù)f(x)＝(m2－m－5)xm2－6是冪函數(shù)，∴m2－m－5＝1，解得m＝－2或m＝3.∵對任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，滿足eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0，∴函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴m2－6>0，∴m＝3，∴f(x)＝x3.若a，b∈R，且a＋b>0，則a>－b，∴f(a)>f(－b)＝－f(b)，∴f(a)＋f(b)>0.故選A．答案：A3．下列運(yùn)算正確的是()A．2logeq\s\do8(\f(1,5))10＋logeq\s\do8(\f(1,5))0.25＝2B．log427×log258×log95＝eq\f(8,9)C．2lg2－lgeq\f(1,25)＝1D．logeq\s\do8((2＋eq\r(3)))(2－eq\r(3))－(log2eq\r(2))2＝－eq\f(5,4)解析：對于D，logeq\s\do8((2＋eq\r(3)))(2－eq\r(3))－(log2eq\r(2))2＝logeq\s\do8((2＋eq\r(3)))eq\f(1,2＋\r(3))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝－1－eq\f(1,4)＝－eq\f(5,4)，故D正確．答案：D4．(2024·山東濰坊模擬)已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up15(eq\f(2,3))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(2,3))，c＝log3π，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>bC．c>a>b D．c>b>a解析：∵a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up15(eq\f(2,3))<1，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(2,3))<1，c＝log3π>1，∴c>a，c>b，又∵冪函數(shù)y＝xeq\s\up15(eq\f(2,3))為增函數(shù)，∴b>a，∴c>b>a，故選D．答案：D5．已知eeq\s\up15(eq\f(1,2)x)－eeq\s\up15(－eq\f(1,2)x)＝2，則eeq\s\up15(eq\f(3,2)x)－eeq\s\up15(－eq\f(3,2)x)的值為()A．2 B．8C．10 D．14解析：∵eeq\s\up15(eq\f(1,2)x)－eeq\s\up15(－eq\f(1,2)x)＝2，∴兩邊同時(shí)3次方，得(eeq\s\up15(eq\f(1,2)x)－eeq\s\up15(－eq\f(1,2)x))3＝8，化簡得eeq\s\up15(eq\f(3,2)x)－eeq\s\up15(－eq\f(3,2)x)－3(eeq\s\up15(eq\f(1,2)x)－eeq\s\up15(－eq\f(1,2)x))＝8.又∵eeq\s\up15(eq\f(1,2)x)－eeq\s\up15(－eq\f(1,2)x)＝2，∴eeq\s\up15(eq\f(3,2)x)－eeq\s\up15(－eq\f(3,2)x)＝8＋6＝14.答案：D6．(2024·河南新鄉(xiāng)檢測)已知lga，lgb是方程6x2－4x－3＝0的兩根，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(b,a)))2＝()A．eq\f(4,9) B．eq\f(13,9)C．eq\f(14,9) D．eq\f(22,9)解析：由已知得lga＋lgb＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，lga·lgb＝－eq\f(3,6)＝－eq\f(1,2)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(b,a)))2＝(lgb－lga)2＝(lgb＋lga)2－4lga·lgb＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2－4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq\f(22,9).故選D．答案：D7．(2024·四川成都模擬)國家速滑館又稱“冰絲帶”，是北京2022年冬奧會(huì)的標(biāo)志性場館，擁有亞洲最大的全冰面設(shè)計(jì)，但整個(gè)系統(tǒng)的碳排放接近于零，做到真正的智慧場館、綠色場館，并且為了倡導(dǎo)綠色可循環(huán)的理念，場館還配備了先進(jìn)的污水、雨水過濾系統(tǒng)．已知過濾過程中廢水的污染物數(shù)量N(mg/L)與時(shí)間t的關(guān)系為N＝N0e－kt(N0為最初污染物數(shù)量)．如果前4小時(shí)消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%還需要的時(shí)間為()A．3.6小時(shí) B．3.8小時(shí)C．4小時(shí) D．4.2小時(shí)解析：由題意可得，N0e－4k＝eq\f(4,5)N0，可得e－4k＝eq\f(4,5)，設(shè)N0e－kt＝0.64N0＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2N0，可得e－kt＝(e－4k)2＝e－8k，解得t＝8.因此，污染物消除至最初的64%還需要4小時(shí)．故選C．答案：C8．(2024·河南新鄉(xiāng)模擬)已知lg3＝a，lg5＝b，則log212的值為()A．eq\f(2b－a＋2,1－b) B．eq\f(2b－a＋2,b－1)C．eq\f(a－2b＋2,1－b) D．eq\f(a－2b＋2,1＋b)解析：log212＝log2(3×4)＝log23＋2＝eq\f(lg3,lg2)＋2＝eq\f(lg3,lg10－lg5)＋2＝eq\f(a,1－b)＋2＝eq\f(a＋2－2b,1－b).故選C．答案：C9.冪函數(shù)y＝xα，當(dāng)α取不同的正數(shù)時(shí)，在區(qū)間[0,1]上它們的圖象是一組美麗的曲線(如圖)，設(shè)點(diǎn)A(1,0)，B(0,1)，連接AB，線段AB恰好被其中的兩個(gè)冪函數(shù)y＝xa，y＝xb的圖象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a－eq\f(1,b)＝()A．0 B．1C．eq\f(1,2) D．2解析：∵BM＝MN＝NA，點(diǎn)A(1,0)，B(0,1)，∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(1,3)))，將兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入y＝xa，y＝xb，得a＝logeq\s\do8(\f(1,3))eq\f(2,3)，b＝logeq\s\do8(\f(2,3))eq\f(1,3)，∴a－eq\f(1,b)＝logeq\s\do8(\f(1,3))eq\f(2,3)－eq\f(1,logeq\s\do8(\f(2,3))\f(1,3))＝0.答案：A二、多項(xiàng)選擇題10．下列關(guān)系中，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是()A．－eq\r(x)＝(－x)eq\s\up15(eq\f(1,2))(x>0)B．eq\r(6,y2)＝y(tǒng)eq\s\up15(eq\f(1,3))(y>0)C．xeq\s\up15(－eq\f(1,2))yeq\s\up15(eq\f(2,3))＝eq\f(\r(3,y2),\r(x))(x>0，y>0)D．xeq\s\up15(－eq\f(1,3))＝－eq\r(3,x)(x>0)解析：對于A，－eq\r(x)＝－xeq\s\up15(eq\f(1,2))(x>0)，故A錯(cuò)誤；對于B，eq\r(6,y2)＝y(tǒng)eq\s\up15(eq\f(1,3))(y>0)，故B正確；對于C，xeq\s\up15(－eq\f(1,2))yeq\s\up15(eq\f(2,3))＝eq\f(\r(3,y2),\r(x))(x>0，y>0)，故C正確；對于D，xeq\s\up15(－eq\f(1,3))＝eq\f(1,\r(3,x))(x>0)，故D錯(cuò)誤．答案：BC11．若10a＝4,10b＝25，則()A．a(chǎn)＋b＝2 B．b－a＝1C．a(chǎn)b>8(lg2)2 D．b－a>lg6解析：由10a＝4,10b＝25，得a＝lg4，b＝lg25，則a＋b＝lg4＋lg25＝lg100＝2，故A正確；b－a＝lg25－lg4＝lgeq\f(25,4)>lg6且lgeq\f(25,4)<1，故B錯(cuò)誤，D正確；ab＝lg4·lg25＝4lg2·lg5>4lg2·lg4＝8(lg2)2，故C正確．故選ACD．答案：ACD三、填空題與解答題12．(2024·山西模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2－m是定義在區(qū)間[－3－m，m2－m]上的奇函數(shù)，則f(m)＝________.解析：由題意得m2－m＝3＋m，即m2－2m－3＝0，∴m＝3或m＝－1.當(dāng)m＝3時(shí)，f(x)＝x－1，定義域[－3－m，m2－m]為[－6，6]，f(x)在x＝0處無意義，故舍去．當(dāng)m＝－1時(shí)，f(x)＝x3，定義域[－3－m，m2－m]為[－2，2]，滿足題意，∴f(m)＝f(－1)＝(－1)3＝－1.答案：－113．(1)設(shè)5x＝4,5y＝2，則52x－y＝________.(2)若100a＝5,10b＝2，則2a＋b＝________.解析：(1)∵5x＝4，∴52x＝16，∴52x－y＝52x÷5y＝16÷2＝8.(2)∵100a＝5，∴102a＝5，又10b＝2，∴102a＋b＝10.∴2a＋b＝1.答案：(1)8(2)114．計(jì)算：(1)log535＋2logeq\s\do8(\f(1,2))eq\r(2)－log5e