蘇科版九年級上冊數(shù)學期中考試試卷及答案

蘇科版九年級上冊數(shù)學期中考試試題一、單選題1．下列方程中，關(guān)于的一元二次方程的是（）A．B．C．D．2．順次連接圓內(nèi)兩條相交直徑的4個端點,圍成的四邊形一定是（）A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形3．已知圓錐的側(cè)面展開圖的面積是30πcm2，母線長是10cm，則圓錐的底面圓的半徑為A．3cmB．6cmC．2cmD．4cm4．某種花卉每盆的盈利與每盆的株數(shù)有一定的關(guān)系，每盆植3株時，平均每株盈利4元．若每盆增加1株，平均每株盈利減少0.5元，要使每盆的盈利達到15元，每盆應多植多少株？設每盆多植x株，則可以列出的方程是（）A．（3+x）（4﹣0.5x）＝15B．（x+3）（4+0.5x）＝15C．（x+4）（3﹣0.5x）＝15D．（x+1）（4﹣0.5x）＝155．如圖，正五邊形內(nèi)接于，點P為（點P與點D，點E不重合），連接，DG⊥PC，垂足為G，則等于（

）A．B．C．D．6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D是以點A為圓心，2為半徑的圓上一點，連接BD，M為BD的中點，則線段CM長度的最大值為（

）A．2.5B．3.5C．4.5D．5.57．某種藥品經(jīng)過了兩次降價，從每盒54元降到每盒42元若平均每次降低的百分率都為x，則根據(jù)題意，可得方程A．B．C．D．8．如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，已知∠BOD＝110°，則∠BCD的度數(shù)為A．55°B．70°C．110°D．125°二、填空題9．方程的解為_____．10．若方程的一個根為1，則＝____．11．已知⊙O的半徑為5cm,圓心O到直線l的距離為5cm,則直線l與⊙O的位置關(guān)系是___12．勞動教育已納入人才培養(yǎng)全過程，某學校加大投入，建設校園農(nóng)場，該農(nóng)場一種農(nóng)作物的產(chǎn)量兩年內(nèi)從300千克增加到363千克，則平均每年增產(chǎn)的百分率為____．13．如圖，AD為△ABC的外接圓⊙O的直徑，若∠BAD＝58°，則∠ACB＝____．14．如圖，點A、B在半徑為3的⊙O上，劣弧長為，則∠AOB＝____．15．如圖所示，O為△ABC的外心，若∠BAC＝70°，則∠OBC＝____．16．如圖，△ABC內(nèi)接于圓，∠ACB＝90°，過點C的切線交AB的延長線于點P，∠P＝26°，則∠CAB＝____．17．上體育課時，老師在運動場上教同學們學習擲鉛球，訓練時，小遠同學擲出的鉛球在場地上砸出了一個坑口直徑約為10cm、深約為2cm的小坑，則該鉛球直徑約為____cm．18．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，將沿BC翻折，交AC與點D，連接BD，若∠BAC＝68°，則∠ABD＝____．19．如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝90°，AB＝2，CD＝1，則BC＝____．20．如圖，已知正方形ABCD，以AB為腰向正方形內(nèi)部作等腰△BAE，其中BE＝BA，過點E作EF⊥AB于點F，點P是△BEF的內(nèi)心，連接CP，若正方形ABCD的邊長為2，則CP的最小值為____．三、解答題21．解下列方程：(1)(2)(3)(4)22．已知關(guān)于x的一元二次方程求證：無論m取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；若a和b是這個一元二次方程的兩個根，求的最小值．23．如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓O上的兩點，且OD∥BC，OD與AC交于點E．（1）若∠B=70°，求∠CAD的度數(shù)；（2）若AB=4，AC=3，求DE的長．24．如圖，利用一面墻（墻長26米），用總長度49米的柵欄（圖中實線部分）圍成一個矩形圍欄ABCD，且中間共留兩個1米的小門，設柵欄BC長為米．(1)AB＝米（用含的代數(shù)式表示）；(2)若矩形圍欄ABCD面積為210平方米，求柵欄BC的長；(3)能圍成比210平方米更大的矩形圍欄ABCD嗎？如果能，請求出最大面積；如果不能，請說明理由．25．如圖四邊形是證明勾股定理時用到的一個圖形，是和邊長，易知，這時我們把關(guān)于的形如的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．請解決下列問題：（1）寫出一個“勾系一元二次方程”；（2）求證：關(guān)于的“勾系一元二次方程”必有實數(shù)根；（3）若是“勾系一元二次方程”的一個根，且四邊形的周長是，求面積．26．已知：Rt△ABC，∠C＝90°．（1）點E在BC邊上，且△ACE的周長為AC＋BC，以線段AE上一點O為圓心的⊙O恰與AB、BC邊都相切．請用無刻度的直尺和圓規(guī)確定點E、O的位置；（2）若BC＝8，AC＝4，求⊙O的半徑．27．平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB＝3，AD＝5，點P在對角線AC上運動，以P為圓心，PA為半徑作⊙P．(1)當⊙P與邊CD相切時，AP＝；(2)當⊙P與邊BC相切時，求AP的長；(3)請根據(jù)AP的取值范圍探索⊙P與平行四邊形ABCD四邊公共點的個數(shù)．28．在平面直角坐標系xOy中，已知點A（6，0），點B（0，6），動點C在以原點O為圓心，半徑為3的⊙O上，連接OC，過點O作OD⊥OC，OD與⊙O相交于點D（其中點C，O，D按逆時針方向排列），連接AB．(1)當OC∥AB時，∠BOC的度數(shù)為；(2)連接AC，BC，點C在⊙O上運動的過程中，當△ABC的面積最大時，請直接寫出△ABC面積的最大值是．(3)連接AD，當OC∥AD，點C位于第二象限時，①直接寫出點C的坐標；②直線BC是否為⊙O的切線？并說明理由．參考答案1．C2．C3．A4．A5．B6．B7．A8．D9．【分析】利用直接開平方法解答即可．【詳解】解：方程的解為．故答案為：．10．4【分析】把代入方程，即可求解．【詳解】解：∵方程的一個根為1，∴，解得：．故答案為：411．相切【分析】根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系即可得出答案.【詳解】∵圓心到直線的距離等于半徑∴直線l與⊙O相切故答案為相切【點睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，掌握直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法是解題的關(guān)鍵.12．10%【分析】可設平均每年增產(chǎn)的百分率為x，先表示出第一年的產(chǎn)量，那么第二年的產(chǎn)量×(1+增長率)=363，然后列出方程求解即可．【詳解】解：設平均每年增產(chǎn)的百分率為x，則第一年的產(chǎn)量為300×(1+x)，第二年的產(chǎn)量為300×(1+x)×(1+x)，根據(jù)題意可得300(1+x)2=363，解得x1=0.1=10％，x2=?2.1(不符合題意，舍去)，即平均每年增產(chǎn)的百分率為10％，故答案為：10％．13．32°【解析】【分析】連接OB，根據(jù)圓周角定理，利用，求出，再利用，求出，再利用圓周角定理可求出．【詳解】解：連接OB，∵，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是理解圓周角定理，求出．14．30°##30度【解析】【分析】根據(jù)弧長公式直接代入計算即可得出結(jié)果．【詳解】解：，解得：n=30°，∴∠AOB=30°，故答案為：30°．【點睛】題目主要考查弧長公式的計算，熟練掌握弧長公式是解題關(guān)鍵．15．20°##20度【解析】【分析】根據(jù)圓周角定理，等弧所對的圓心角是圓周角的2倍得出，∠BOC=2∠BAC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠OBC.【詳解】連接OC∵∠BAC=70°∴∠BOC=140°∵OB=OC∴∠OBC=(180°-∠BOC)÷2∴∠OBC=20°16．32°【分析】連接OC，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠PCO=90°，則利用互余計算出∠POC=64°，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)計算即可求解．【詳解】解：連接OC，如圖因為PC為切線，∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°∴∠POC=90°-∠P=90°-26°=64°OA=OC，∴∠A=∠OCA，而∠POC=∠A+∠OCA，∠A=°=32°故答案為：32°【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑，若出現(xiàn)圓的切線，一般要連接過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．17．【解析】【分析】設該鉛球的直徑約為xcm，由題意得AB=10cm，CD=2cm，在Rt△AOD中，根據(jù)勾股定理得到AD2+OD2=OA2，即52+（x-2）2=（x）2，解方程即可．【詳解】解：如圖，由題意得AB=10cm，CD=2cm，設該鉛球的直徑約為xcm，在Rt△AOD中，AD=AB=5cm，OD=(x-2)cm，AD2+OD2=OA2，∴52+（x-2）2=（x）2，解得x=，故答案為：．18．44°【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠A+∠BDC=180°，根據(jù)鄰補角的定義和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵將沿BC翻折，交AC與點D，∴∠A+∠BDC=180°，∵∠A=68°，∴∠BDC=112°，∴∠ADB=180°-∠BDC=68°，∴∠ABD=180°-68°-68°=44°，故答案為：44°．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形，折疊的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．19．【解析】延長AD、BC交于點F，根據(jù)題意得出△ABE和△CDE都是直角三角形，然后根據(jù)三角函數(shù)分別求出BE和CE的長度，然后根據(jù)得出答案．【詳解】解：延長AD、BC交于點F．∵圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝90°，∴∠CDA＋∠B＝180°，∵∠CDA＋∠CDE＝180°，∴∠CDE＝∠B＝90°，∵△ABE中，∠A＝60°，∠B＝90°，∴∠E=180°－∠B－∠A＝30°，∴△ABE與△CDE都是直角三角形，在Rt△ABE中，AB＝2，∠A＝60°，∴BE＝AB·tan∠A＝2×tan60°＝，在Rt△CDE中，CD＝1，∠E＝30°，∴，∴．故答案為：．20．【分析】利用已知條件以及三角形內(nèi)心的性質(zhì)，將轉(zhuǎn)化為定角，進而通過作的外接圓，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)找到當點P與點重合時，CP的值最小，最后通過求解即可．【詳解】解：，點P是的內(nèi)心，分別是和的平分線，易證（SAS）點P在以AB為弦，所對的圓周角為的圓上運動，作的外接圓，如圖所示：圓心記作點O，連接OA，OB，在優(yōu)弧AB上取一點Q，連接AQ，BQ，則，連接OC，交⊙O于點，當點P與點重合時，CP的值最小，分別過點O作于點M，交CB的延長線于點N，如圖所示：則四邊形OMBN是正方形，在中，即CP的最小值為故答案為：【點睛】本題主要考查了最短路徑問題，涉及到正方形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)心、三角形外接圓以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知條件作出適當?shù)妮o助線以及借助圓的相關(guān)性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．21．(1)(2)(3)(4)【解析】【分析】（1）采用直接開平方法求解即可；（2）采用配方法求解即可；（3），采用公式法求解可得到答案；（4）采用因式分解法求解即可得到答案．(1)∵，∴，或，∴；(2)∵，∴，∴，∴，或，∴；(3)∵，∴，∴，∴，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，；(4)∵，∴，∴，∴．22．（1）證明見解析；（2）3.【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出△=m2+4＞0，從而證出無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得出a+b=﹣[﹣（m+2）]，ab=m，結(jié)合a2+b2=（a+b）2﹣2ab解答．【詳解】（1）在關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m=0中a=1，b=﹣（m+2），c=m，所以△=m2+4m+4﹣4m=m2+4，無論m取何值，m2+4＞0，所以，無論m取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）因為a和b是這個一元二次方程的兩個根，所以a+b=﹣[﹣（m+2）]=m+2，ab=m，所以a2+b2=（a+b）2﹣2ab=（m+2）2﹣2m=m2+2m+4=（m+1）2+3．無論m為何值，（m+1）2≥0，所以a2+b2的最小值為3．23．（1）35°；（2）2﹣．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得∠ACB=90°，則∠CAB的度數(shù)即可求得，在等腰△AOD中，根據(jù)等邊對等角求得∠DAO的度數(shù)，則∠CAD即可求得.（2）易證OE是△ABC的中位線，利用中位線定理求得OE的長，則DE即可求得．【詳解】解：（1）∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB=90°，又∵OD∥BC，∴∠AEO=90°，即OE⊥AC.∵∠B=70°，∴∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°．∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO=55°，∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°；（2）在Rt△ABC中，BC=．∵OE⊥AC，∴AE=EC，又∵OA=OB，∴OE=BC=．又∵OD=AB=2，∴DE=OD﹣OE=2﹣．24．(1)（51﹣3x）(2)10米(3)能，最大面積為【分析】（1）設柵欄BC長為x米，根據(jù)柵欄的全長結(jié)合中間共留2個1米的小門，即可用含x的代數(shù)式表示出AB的長；（2）根據(jù)矩形圍欄ABCD面積為210平方米，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較大值即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)矩形圍欄ABCD面積為S=(51-3x)x＝-3(x-)2+,利用二次函數(shù)最值即可求解．(1)解：設柵欄BC長為x米，∵柵欄的全長為49米，且中間共留兩個1米的小門，∴AB＝49+2﹣3x＝51﹣3x（米），故答案為：（51﹣3x）；(2)解：依題意，得：（51﹣3x）x＝210，整理，得：x2﹣17x+70＝0，解得：x1＝7，x2＝10．當x＝7時，AB＝51﹣3x＝30＞26，不合題意，舍去，當x＝10時，AB＝51﹣3x＝21，符合題意，答：柵欄BC的長為10米；(3)解：能S=(51-3x)x＝-3(x-)2+,∵-3<0，∴當x=時，S有最大值，最大值為，即最大面積為，∵>210，∴能圍成比210平方米更大的矩形圍欄ABCD．25．（1）；（2）見解析；（3）4【分析】（1）直接找一組勾股數(shù)代入方程即可；（2）通過判斷根的判別式△的正負來證明結(jié)論；（3）利用根的意義和勾股定理作為相等關(guān)系先求得的值，根據(jù)完全平方公式求得的值，從而可求得面積．【詳解】解：（1）當，，時勾系一元二次方程為；（2）證明：根據(jù)題意，得△即△，勾系一元二次方程必有實數(shù)根；（3）當時，有，即，，即，，，，，，，．26．（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)作圖即可；（2）先根據(jù)勾股定理得出AB的長，再根據(jù)S△ABE＝S△AOB＋S△BOE即可得出⊙O的半徑．【詳解】（1）如圖，點E、O即為所求作點，（2）解：設AE＝BE＝x，則CE＝8－x在Rt△ACE中，42＋（8－x）2＝x2x＝5在Rt△ABC中，AB＝＝∵S△ABE＝S△AOB＋S△BOE∴×5×4＝×r＋×5r∴r＝．27．(1)2(2)1.5(3)當0＜AP＜1.5和3.125＜AP≤4時，2個公共點；當AP＝1.5和AP＝3.125時，3個公共點；當1.5＜AP＜3.125時，4個公共點【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到ABAC，根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)切線的性質(zhì)求出AP；(2)根據(jù)切線的性質(zhì)得到PEBC，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程求出AP；(3)根據(jù)勾股定理求出OP過點D時AP的長，結(jié)合圖形得到OP與平行四邊形ABCD四邊公共點的個數(shù)．(1)解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，BC＝AD＝5，∵AB⊥AC，∴∠ACD＝∠BAC＝90°，∴AC＝＝＝4，當⊙P與邊CD相切時，AC為⊙P的直徑，∴AP＝2．故答案為：2．(2)如圖2，當⊙P與邊BC相切時，設切點為E，連接PE，則PE⊥BC，∵AB⊥AC，點P在邊AC上，∴⊙P與AB相切，∵⊙P與BC相切于點E，∴BE＝AB＝3，EC＝2，設AP＝x，則PE＝x，PC＝4﹣x，在Rt△PCE中，由勾股定理得x2+4＝（4﹣x）2，解得，x＝1.5，即AP＝1.5．故答案為：1.5．(3)如圖3，當⊙過點時，連接，設AP＝x，則PD＝x，PC＝4﹣x，在Rt△PCD中，由勾股定理得（4﹣x）2+9＝x2，解得x＝3.125，即AP＝3.125，則⊙P與平行四邊形ABCD四邊公共點的個數(shù)情況如下：當0＜AP＜1.5和3.125＜AP≤4時，2個公共點；當AP＝1.5和AP＝3.125時，3個公共點；

當1.5＜AP＜3.125時，4個公共點．28．(1)45°或135°(2)9+18(3)①；②是，見解析【解析】(1)易證△OAB為等腰直角三角形，則∠OBA=45°，由OC//AB，當C點在y軸左側(cè)時，有∠BOC=∠OBA=45°；當C點在y軸右側(cè)時，有∠BOC=180°-∠OBA=135°；(2)先由等腰直角三角形的性質(zhì)得AB=6，再由三角形面積公式得到當點C到AB的距離最時，△ABC的面積最大，過O點作OE⊥AB于E，OE的反向延長線交圓O于C，此時C點到AB的距離的最大值為CE的長，然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出OE，計算△