初中數(shù)學(xué)知識(shí)要點(diǎn)及典型例題1

初中數(shù)學(xué)知識(shí)要點(diǎn)及典型例題

雞足山鎮(zhèn)中學(xué)雷鵬軍

第一章實(shí)數(shù)

中考要求及命題趨勢(shì)

1.正確理解實(shí)數(shù)的有關(guān)概念；

2.借助數(shù)軸工具，理解相反數(shù)、絕對(duì)值、算術(shù)平方根等概念和性質(zhì)；

3.掌握科學(xué)計(jì)數(shù)法表示一個(gè)數(shù)，熟悉按精確度處理近似值。

4.掌握實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算、乘方、開(kāi)方運(yùn)算以及混合運(yùn)算

5.會(huì)用多種方法進(jìn)行實(shí)數(shù)的大小比較。

6.用實(shí)際生活的題材為背景，結(jié)合當(dāng)今的社會(huì)熱點(diǎn)問(wèn)題考查近似值、

有效數(shù)字、科學(xué)計(jì)數(shù)法依然是中考命題的一個(gè)熱點(diǎn)。實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算、

乘方、開(kāi)方運(yùn)算以及混合運(yùn)算，實(shí)數(shù)的大小的比較往往結(jié)合數(shù)軸進(jìn)行,

并會(huì)出現(xiàn)探究類有規(guī)律的計(jì)算問(wèn)題。

應(yīng)試對(duì)策

牢固掌握本節(jié)所有基本概念，特別是絕對(duì)值的意義，真正掌握數(shù)形

結(jié)合的思想，理解數(shù)軸上的點(diǎn)及實(shí)數(shù)間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，還要注意

本節(jié)知識(shí)點(diǎn)及其他知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合，以及在日常生活中的運(yùn)用。

第一講實(shí)數(shù)的有關(guān)概念

【回顧及思考】

知識(shí)點(diǎn)：有理數(shù)、無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)、非負(fù)數(shù)、相反數(shù)、倒數(shù)、數(shù)的絕對(duì)

值

1.課標(biāo)要求：

2.使學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固有理數(shù)、實(shí)數(shù)的有關(guān)概念.

3.了解有理數(shù)、無(wú)理數(shù)以及實(shí)數(shù)的有關(guān)概念；理解數(shù)軸、相反數(shù)、

絕對(duì)值等概念，了解數(shù)的絕對(duì)值的幾何意義。

4.會(huì)求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)和絕對(duì)值，會(huì)比較實(shí)數(shù)的大小

1.畫(huà)數(shù)軸，了解實(shí)數(shù)及數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，能用數(shù)軸上的點(diǎn)

表示實(shí)數(shù)，會(huì)利用數(shù)軸比較大小。

2.考查重點(diǎn)：

3.有理數(shù)、無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)、非負(fù)數(shù)概念；

2.相反數(shù)、倒數(shù)、數(shù)的絕對(duì)值概念；

3.在已知中，以非負(fù)數(shù)a2、|a|.(a20)之和為零作為條件，解決

有關(guān)問(wèn)題。

實(shí)數(shù)的有關(guān)概念

(1)實(shí)數(shù)的組成

(2)數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸

(畫(huà)數(shù)軸時(shí)，要注童上述規(guī)定的三要素缺一個(gè)不可)，實(shí)數(shù)及數(shù)

軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的。數(shù)軸上任一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)總大于這個(gè)點(diǎn)左

邊的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù),

(3)相反數(shù)

實(shí)數(shù)的相反數(shù)是一對(duì)數(shù)(只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)，叫做互為相反

數(shù)，零的相反數(shù)是零).

從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

(4)絕對(duì)值

從數(shù)軸上看，一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)及原點(diǎn)的距

離

⑸倒數(shù)

實(shí)數(shù)a(aWO)的倒數(shù)是(乘積為1的兩個(gè)數(shù)，叫做互為倒數(shù))；零沒(méi)

有倒數(shù).

【例題經(jīng)典】

理解實(shí)數(shù)的有關(guān)概念

例1①a的相反數(shù)是-，則a的倒數(shù)是.

②實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所

_—---6~

?。?/p>

貝I」化簡(jiǎn)Ib-a|+=.

③去年泉州市林業(yè)用地面積約為10200000畝,用科學(xué)記數(shù)法表示為

約.

例2.(-2)3及-23().

(A)相等(B)互為相反數(shù)(C)互為倒數(shù)(D)它們的和為16

分析：考查相反數(shù)的概念，明確相反數(shù)的意義。答案：A

例3.-的絕對(duì)值是；-3的倒數(shù)是；的平

方根是

分析：考查絕對(duì)值、倒數(shù)、平方根的概念，明確各自的意義，不要混

淆。

答案：，-2口、±2/3

例4.下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（）D

A.-3及B,I-3I及一C.I-3I及D.-3及

分析：本題考查相反數(shù)和絕對(duì)值及根式的概念

掌握實(shí)數(shù)的分類

例1下列實(shí)數(shù)、sin60°、、（）0、3?14159、-、（-）

-2.中無(wú)理數(shù)有（）個(gè)

A.1B.2C.3D.4

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行分類不能只看表面形式，應(yīng)先化簡(jiǎn)，再根據(jù)結(jié)果

去判斷.

第二講實(shí)數(shù)的運(yùn)算

【回顧及思考】

知識(shí)點(diǎn)：有理數(shù)的運(yùn)算種類、各種運(yùn)算法則、運(yùn)算律、運(yùn)算順序、科

學(xué)計(jì)數(shù)法、近似數(shù)及有效數(shù)字。

1.課標(biāo)要求:

2.了解有理數(shù)的加、減、乘、除的意義，理解乘方、某的有關(guān)概

念、掌握有理數(shù)運(yùn)算法則、運(yùn)算委和運(yùn)算順序，能熟練地進(jìn)行有理

數(shù)加、減、乘、除、乘方和簡(jiǎn)單的混合運(yùn)算。

4了解有理數(shù)的運(yùn)算率和運(yùn)算法則在實(shí)數(shù)運(yùn)算中同樣適用，復(fù)習(xí)鞏

固有理數(shù)的運(yùn)算法則，靈活運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算能止確進(jìn)行實(shí)數(shù)

的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算。

5了解近似數(shù)和準(zhǔn)確數(shù)的概念，會(huì)根據(jù)指定的正確度或有效數(shù)字的

個(gè)數(shù)，用四舍五入法求有理數(shù)的近似值(在解決某些實(shí)際問(wèn)題時(shí)

也能用進(jìn)一法和去尾法取近似值)，會(huì)按所要求的精確度運(yùn)用近

似的有限小數(shù)代替無(wú)理數(shù)進(jìn)行實(shí)數(shù)的近似運(yùn)算。

6了解電子計(jì)算器使用基本過(guò)程。會(huì)用電子計(jì)算器進(jìn)行四則運(yùn)算。

1.考查重點(diǎn)：

2.考查近似數(shù)、有效數(shù)字、科學(xué)計(jì)算法；

3.考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算；

實(shí)數(shù)的運(yùn)算

⑴加法

同號(hào)兩數(shù)相加，取原來(lái)的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；

異號(hào)兩數(shù)相加。取絕對(duì)值較大的數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減

去較小的絕對(duì)值；

任何數(shù)及零相加等于原數(shù)。

(2)減法a-b=a+(-b)

(3)乘法

兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；零乘以任何數(shù)都

得零.即

⑷除法-=a-(b^O)

bb

(5)乘方a"=a、a…__J_aJ

〃個(gè)

⑹開(kāi)方如果*2=d且*20,那么=x；如果x3=a,那么

在同一個(gè)式于里，先乘方、開(kāi)方，然后乘、除，最后加、減.有括號(hào)

時(shí)，先算括號(hào)里面.

3.實(shí)數(shù)的運(yùn)算律

(1)加法交換律a+b=b+a

(2)加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)

(3)乘法交換律ab=ba.

(4)乘法結(jié)合律(ab)c=a(bc)

(5)分配律a(b+c)=ab+ac

其中a、b、c表示任意實(shí)數(shù),運(yùn)用運(yùn)算律有時(shí)可使運(yùn)算簡(jiǎn)便.

【例題經(jīng)典】

例1.若家用電冰箱冷藏室的溫度是4℃,冷凍室的溫度比冷藏室的

溫度低22℃,則冷凍室的溫度(℃)可列式計(jì)算為

A.4-22=-18B.22-4=18

C.22-(-4)=26D.一4-22=-26

點(diǎn)評(píng)：本題涉及對(duì)正負(fù)數(shù)的理解、簡(jiǎn)單的有理數(shù)運(yùn)算，試題以應(yīng)用的

方式呈現(xiàn)，同時(shí)也強(qiáng)調(diào)“列式”，即過(guò)程。選(A)

例2.我國(guó)宇航員楊利偉乘“神州五號(hào)”繞地球飛行了14周，飛行

軌道近似看作圓，其半徑約為6.71X103千米，總航程約為(兀取

3.14,保留3個(gè)有效數(shù)字)()

A.5.90X105千米B.5.90X106千米

C.5.89X105千米D.5.89X106千米

分析：本題考查科學(xué)記數(shù)法答案：A

例3.化簡(jiǎn)的結(jié)果是().

(A)V7-2(B)V7+2(C)3(V7-2)(D)3(S+2)

分析：考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算。答案：B

例4.實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列

式子中正確的有().

①b+c>0②a+b>a+c③bc>ac④ab>ac

(A)l個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè)(D)4個(gè)

分析：考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，在數(shù)軸上比較實(shí)數(shù)的大小。答案：C

例5計(jì)算：-+(—2)2X(-1)0-|-|.

【點(diǎn)評(píng)】按照運(yùn)算順序進(jìn)行乘方及開(kāi)方運(yùn)算。

例5.校學(xué)生會(huì)生活委員發(fā)現(xiàn)同學(xué)們?cè)谑程贸晕绮蜁r(shí)浪費(fèi)現(xiàn)象十分嚴(yán)

重，于是決定寫(xiě)一張標(biāo)語(yǔ)貼在食堂門(mén)口，告誡大家不要浪費(fèi)糧食.

請(qǐng)你幫他把標(biāo)語(yǔ)中的有關(guān)數(shù)據(jù)填上.（已知1克大米約52粒）

如果每人每天浪費(fèi)1粒大米，全國(guó)13億人口，每天就要大約浪費(fèi)

噸大米

如果每人每天浪費(fèi)1粒大米，全國(guó)13億人口，每天就要大約浪費(fèi)

噸大米

分析：本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算。答案：25

例7.陽(yáng)陽(yáng)和明明玩上樓梯游戲，規(guī)定一步只能上一級(jí)或二級(jí)臺(tái)階，

玩著玩著兩人發(fā)現(xiàn)：當(dāng)樓梯的臺(tái)階數(shù)為一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)……逐

步增加時(shí),樓梯的上法數(shù)依次為；1,2,3,5,8,13,21,...-

（這就是著名的斐波那契數(shù)列）.請(qǐng)你仔細(xì)觀察這列數(shù)中的規(guī)律后

回答：上10級(jí)臺(tái)階共有種上法.

分析：歸納探索規(guī)律：后一位數(shù)是它前兩，立數(shù)之和

答案：89

例&觀察下列等式（式子中的是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)）

1!=1,2!=2X1,3!二3X2X1,4!=4X3X2X1,???，

第二章計(jì)算：二

第三章分析：閱讀各算式，探究規(guī)律，發(fā)現(xiàn)100!=100*99*98!答

案：9900

第四章代數(shù)式

中考要求及命題趨勢(shì)

掌握整式的有關(guān)知識(shí)，包括代數(shù)式，同類項(xiàng)、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式等;

2、熟練地進(jìn)行整式的四則運(yùn)算，基的運(yùn)算性質(zhì)以及乘法公式要熟練

掌握，靈活運(yùn)用；

3.熟練運(yùn)用提公因式法及公式法進(jìn)行分解因式；

4.了解分式的有關(guān)概念式的基本性質(zhì)；

5.熟練進(jìn)行分式的加、減、乘、除、乘方的運(yùn)算和應(yīng)用。

應(yīng)試對(duì)策

掌握整式的有關(guān)概念及運(yùn)算法則，在運(yùn)算過(guò)程中注意運(yùn)算順序，

掌握運(yùn)算規(guī)律，掌握乘法公式并能靈活運(yùn)用，在實(shí)際問(wèn)題中，抽象

的代數(shù)式以及代數(shù)式的應(yīng)用題值得重視。要掌握并靈活運(yùn)用分式的基

本性質(zhì)，在通分和約分時(shí)都要注意分解因式知識(shí)的應(yīng)用?；馇?/p>

殖題，一要注意整體思想，二要注意解題技巧，對(duì)于分式的應(yīng)用題,

要能從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型。

第一講整式

【回顧及思考】

知識(shí)點(diǎn)

代數(shù)式、代數(shù)式的值、整式、同類項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、去括號(hào)及去括號(hào)

法則、幕的運(yùn)算法則、整式的加減乘除乘方運(yùn)算法則、乘法公式、正

整數(shù)指數(shù)累、零指數(shù)累、負(fù)整數(shù)指數(shù)鬲。

課標(biāo)要求

1、了解代數(shù)式的概念，會(huì)列簡(jiǎn)單的代數(shù)式。理解代數(shù)式的值的概

念，能正確地求出代數(shù)式的值；

2、理解整式、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式的概念，會(huì)把多項(xiàng)式按字母的降鼎

(或升累)排列，理解同類項(xiàng)的概念，會(huì)合并同類項(xiàng)；

3、掌握同底數(shù)基的乘法和除法、塞的乘方和積的乘方運(yùn)算法則，

并能熟練地進(jìn)行數(shù)字指數(shù)累的運(yùn)算；

4、能熟練地運(yùn)用乘法公式(平方差公式，完全平方公式及(x+a)

(x+b)=x2+(a+b)x+ab)進(jìn)行運(yùn)算；

掌握整式的加減乘除乘方運(yùn)算，會(huì)進(jìn)行整式的加減乘除乘方的簡(jiǎn)單

混合運(yùn)算。

考查重點(diǎn)

L代數(shù)式的有關(guān)概念.

(1)代數(shù)式：代數(shù)式是由運(yùn)算符號(hào)(加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方)

把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子.單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或者一個(gè)字母

也是代數(shù)式.

(2)代數(shù)式的值；用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計(jì)算后所得的

結(jié)果p叫做代數(shù)式的值.

求代數(shù)式的值可以直接代入、計(jì)算.如果給出的代數(shù)式可以

化簡(jiǎn)，要先化簡(jiǎn)再求值.

(3)代數(shù)式的分類

2.整式的有關(guān)概念

(1)單項(xiàng)式：只含有數(shù)及字母的積的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式.

對(duì)于給出的單項(xiàng)式，要注意分析它的系數(shù)是什么，含有哪些字母,

各個(gè)字母的指數(shù)分別是什么。

(2)多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和，叫做多項(xiàng)式

對(duì)于給出的多項(xiàng)式，要注意分析它是幾次幾項(xiàng)式，各項(xiàng)是什么，對(duì)

各項(xiàng)再像分析單項(xiàng)式那樣來(lái)分析

(3)多項(xiàng)式的降幕排列及升嘉排列

把一個(gè)多項(xiàng)式技某一個(gè)字母的指數(shù)從大列小的順序排列起來(lái)，叫

做把這個(gè)多項(xiàng)式按這個(gè)字母降塞排列

把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從小到大的順斤排列起來(lái)，叫

做把這個(gè)多項(xiàng)式技這個(gè)字母升幕排列，

給出一個(gè)多項(xiàng)式，要會(huì)根據(jù)要求對(duì)它進(jìn)行降嘉排列或升嘉排列.

(4)同類項(xiàng)

所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)，叫做同類頃.

要會(huì)判斷給出的項(xiàng)是否同類項(xiàng)，知道同類項(xiàng)可以合并.即其中

的X可以代表單項(xiàng)式中的字母部分，代表其他式子。

3.整式的運(yùn)算

(1)整式的加減：幾個(gè)整式相加減，通常用括號(hào)把每一個(gè)整式括

起來(lái)，再用加減號(hào)連接.整式加減的一般步驟是:

⑴如果遇到括號(hào).按去括號(hào)法則先去括號(hào)：括號(hào)前是“十”號(hào),

把括號(hào)和它前面的號(hào)去掉。括號(hào)里各項(xiàng)都不變符號(hào)，括號(hào)前是

“一”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“一”號(hào)去掉.括號(hào)里各項(xiàng)都改變符號(hào).

（ii）合并同類項(xiàng)：同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù).

字母和字母的指數(shù)不變.

（2）整式的乘除：?jiǎn)雾?xiàng)式相乘（除），把它們的系數(shù)、相同字母

分別相乘（除），對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式（被除式）里含有的字母，則連

同它的指數(shù)作為積（商）的一個(gè)因式相同字母相乘（除）要用到同底數(shù)

帚的運(yùn)算性質(zhì)：

多項(xiàng)式乘（除）以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘（除）以這個(gè)

單項(xiàng)式，再把所得的積（商）相加.

多項(xiàng)式及多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)

式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.

遇到特殊形式的多項(xiàng)式乘法，還可以直諼算：

（3）整式的乘方

單項(xiàng)式乘方，把系數(shù)乘方，作為結(jié)果的系數(shù)，再把乘方的次數(shù)及

字母的指數(shù)分別相乘所得的幕作為結(jié)果的因式。

單項(xiàng)式的乘方要用到幕的乘方性質(zhì)及積的乘方性質(zhì)：

多項(xiàng)式的乘方只涉及

【例題經(jīng)典】

代數(shù)式的有關(guān)概念

例1.已知一IVbVO,0<a<l,那么在代數(shù)式a-b、a+b、

a+b2.a2+b中，對(duì)任意的a、b,對(duì)應(yīng)的代數(shù)式的值最大的是()

(A)a+b(B)a—b(C)a+6(D)

a^b

評(píng)析：本題一改將數(shù)值代入求值的面貌，要求學(xué)生有良好的數(shù)感。選

(B)

同類項(xiàng)的概念

例1若單項(xiàng)式2am+2nbn-2m+2及a5b7是同類項(xiàng)，求nm的值.

【點(diǎn)評(píng)】考查同類項(xiàng)的概念，由同類項(xiàng)定義可得解出即可

例2(05寶應(yīng))一套住房的平面圖如右圖所示，其中衛(wèi)生間、

廚房的面積和是()

A.4xyB.3xyC.2xyD.xy

評(píng)析：本題是一道數(shù)形結(jié)合題，考查了平面圖形的面積的計(jì)算、合并

同類項(xiàng)等知識(shí)，同時(shí)又隱含著對(duì)代數(shù)式的理解。選(B)

累的運(yùn)算性質(zhì)

例1(1)am?an=(m,n都是正整數(shù))；

(2)am-ran=_______(aWO,m,n都是正整數(shù)，且m>n),特別地：

aO=l(aWO),a-p=(aWO,p是正整數(shù))；

(3)(am)n=(m,n都是正整數(shù))；(4)(ab)n=(n

是正整數(shù))

(5)平方差公式：(a+b)(a-b)=.(6)完全平方公式:

(a±b)2=.

【點(diǎn)評(píng)】能夠熟練掌握公式進(jìn)行運(yùn)算.

例2.下列各式計(jì)算止確的是().

(A)(a3)2=a7(B)2x2=—(c)4a3?2a2=8a6(D)as4-a2=a6

2x

分析：考查學(xué)生對(duì)基的運(yùn)算性質(zhì)及同類項(xiàng)法則的掌握情況。答案：D

例3.下列各式中，運(yùn)算正確的是()

A.a2a3=a6B.(一a+2b)2=(a-2b)2

c.(a+bWO)D.

分析：考查學(xué)生對(duì)幕的運(yùn)算性質(zhì)答案：B

例4.(泰州市)下歹IJ運(yùn)算正確的是

A.;B.(l2x)3=—2x3;

C.(a—b)(―a+b)二一a2—2ab—b2;D.

評(píng)析：本題意在考查學(xué)生幕的運(yùn)算法則、整式的乘法、二次根式

的運(yùn)算等的掌握情況。選(D)

整式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算

例5計(jì),算：9xy?(-x2y)二；

(2019年江蘇省)先化簡(jiǎn)，再求值：

[(x-y)2+(x+y)(x-y)]4~2x其中x=3,y=~l.5.

【點(diǎn)評(píng)】本例題主要考查整式的綜合運(yùn)算，學(xué)生認(rèn)真分析題目中的代

數(shù)式結(jié)構(gòu)，靈活運(yùn)用公式，才能使運(yùn)算簡(jiǎn)便準(zhǔn)確.

第二講因式分解及分式

【回顧及思考】

因式分解

知識(shí)點(diǎn)

因式分解定義，提取公因式、應(yīng)用公式法、分組分解法、二次三項(xiàng)式

的因式(十字相乘法、求根)、因式分解一般步驟。

課標(biāo)要求

理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分組分解法等因

式分解方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二項(xiàng)式的方法，

能把簡(jiǎn)單多項(xiàng)式分解因式。

考查重點(diǎn)及常見(jiàn)題型

考查因式分解能力，在中考試題中，因式分解出現(xiàn)的頻率很高。重

點(diǎn)考查的分式提取公因式、應(yīng)用公式法、分組分解法及它們的綜合運(yùn)

用。習(xí)題類型以填空題為多，也有選擇題和解答題。

因式分解知識(shí)點(diǎn)

多項(xiàng)式的因式分解，就是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積.分解

囚式要進(jìn)行到每一個(gè)囚式都不能再分解為止.分解囚式的常用方法

有：

(1)提公因式法

如多項(xiàng)式am+bm+cm=+〃+c),

其中m叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式，m既可以是?個(gè)單項(xiàng)式,

也可以是一個(gè)多項(xiàng)式.

⑵運(yùn)用公式法，即用

寫(xiě)出結(jié)果.

(3)十字相乘法

對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式尋找滿足ab=q,a+b=p的

a,b,如有，則對(duì)于一般的二次三項(xiàng)式尋找滿足

ala2=a,clc2=c,alc2+a2cl=b的al,a2,cl,c2,如有，則(4)

分組分解法：把各項(xiàng)適當(dāng)分組，先使分解因式能分組進(jìn)行，再使分

解因式在各組之間進(jìn)行.

分組時(shí)要用到添括號(hào)：括號(hào)前面是“+”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)

都不變符號(hào)；括號(hào)前面是“-”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改

變符號(hào).

(5)求根公式法：如果有兩個(gè)根XI,X2,那么

【例題經(jīng)典】

掌握因式分解的概念及方法

例1.分解因式：

①x'T=;

(2)X2-81=;

③x?+2x+l=;

@a2-a+-=_________________;

4

(§)a3-2a2+az:.

【點(diǎn)評(píng)】運(yùn)用提公因式法，公式法及兩種方法的綜合來(lái)解答即可。

例2.把式子x2-y2-x—y分解因式的結(jié)果是..

分析：考查運(yùn)用提公因式法進(jìn)行分解因式。答案：(x+y)(x-y-1)

例3.分解因式：a2—4a+4=

分析：考查運(yùn)用公式法分解因式。答案：(a-2)2

分式

知識(shí)點(diǎn)：

分式，分式的基本性質(zhì)，最簡(jiǎn)分式，分式的運(yùn)算，零指數(shù)，負(fù)

整數(shù)，整數(shù)，整數(shù)指數(shù)累的運(yùn)算

課標(biāo)要求：

了解分式的概念，會(huì)確定使分式有意義的分式中字母的取值范圍。掌

握分式的基本性質(zhì)，會(huì)約分，通分。會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的分式的加減乘除乘

方的運(yùn)算。掌握指數(shù)指數(shù)某的運(yùn)算。

考查重點(diǎn)及常見(jiàn)題型：

1.考查整數(shù)指數(shù)基的運(yùn)算，零運(yùn)算，有關(guān)習(xí)題經(jīng)常出現(xiàn)在選擇題中,

如：下列運(yùn)算正確的是()

(A)-4°=1(B)(-2)-二J(C)(-3l,r,,)2-9"rn(D)(a+b)-1=a^b-1

2.考查分式的化簡(jiǎn)求值。在中考題中，經(jīng)常出現(xiàn)分式的計(jì)算就或化簡(jiǎn)

求值，有關(guān)習(xí)題多為中檔的解答題。注意解答有關(guān)習(xí)題時(shí)，要按

照試題的要求，先化簡(jiǎn)后求值，化簡(jiǎn)要認(rèn)真仔細(xì)，如：

化簡(jiǎn)并求值:

□.□+（口-2）,其中x=cos30°,y=sin90°

知識(shí)要點(diǎn)

1.分式的有關(guān)概念

設(shè)A.B表示兩個(gè)整式.如果B中含有字母，式子就叫做分式.注意

分母B的值不能為零，否則分式?jīng)]有意義

分子及分母沒(méi)有公因式的分式叫做最簡(jiǎn)分式.如果分子分母有公因式,

要進(jìn)行約分化簡(jiǎn)

2.分式的基本性質(zhì)

2=生"4=4衛(wèi)（M為不等于零的整式）

BBxMBB+M

3.分式的運(yùn)算

（分式的運(yùn)算法則及分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則類似）.

（異分母相加，先通分）；

4.零指數(shù)

5.負(fù)整數(shù)指數(shù)

注意正整數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)二產(chǎn)：（"0）.

（am）n=amn,

（ab）n=anhn

可以推廣到整數(shù)指數(shù)累，也就是上述等式中的m、n可以是0或負(fù)整

數(shù).

熟練掌握分式的概念：性質(zhì)及運(yùn)算

例4（1）若分式的值是零，則X=.

【點(diǎn)評(píng)】分式值為0的條件是：有意義且分子為0.

（2）同時(shí)使分式有意義，又使分式無(wú)意義的x的取值范圍是

（）

A.xW—4且xW—2B.x=-4或x=2

C.x=-4D.x=2

（3）如果把分式中的x和y都擴(kuò)大10倍，那么分式的值（）

A.擴(kuò)大10倍B.縮小10倍C.不變D.擴(kuò)大2倍

例5:化簡(jiǎn)（）?的結(jié)果是,

分析：考查分式的混合運(yùn)算，根據(jù)分式的性質(zhì)和運(yùn)算法則。答案:

例6.已知a二,求的值.

分析：考查分式的四則運(yùn)算，根據(jù)分式的性質(zhì)和運(yùn)算法則，分解因

式進(jìn)行化簡(jiǎn)。

答案：a=2-<1,原式=a-l+=3.

例7.已知|a-4|+=0,計(jì)算的值

答案：由條件，得a-4=0且b-9=0???a=4b=9

原式馬42

當(dāng)a=4,6=9時(shí),原式=16/81

例8.計(jì)算（x—y+&X）（x+y-f更）的正確結(jié)果是（）

x-yj

Ay2-x2B.x2-y2c.x2-4y2D.4x2-y2

分析：考查分式的通分及四則運(yùn)算。答案：B

因式分解與分式化簡(jiǎn)綜合應(yīng)用

例1先化簡(jiǎn)代數(shù)式：，然后選取一個(gè)使原式有意義的x的值代入求

值.

【點(diǎn)評(píng)】注意代入的數(shù)值不能使原分式分母為零，否則無(wú)意義.

例2、（05河南）有一道題“先化簡(jiǎn)，再求值：，其中?！毙×嶙?/p>

題時(shí)把“”錯(cuò)抄成了“”，但她的計(jì)算結(jié)果也是正確的，請(qǐng)你解

釋這是怎么回事？

點(diǎn)評(píng)：化簡(jiǎn)可發(fā)現(xiàn)結(jié)果是，因此無(wú)論還是其計(jì)算結(jié)果都是7。

可見(jiàn)現(xiàn)在的考試特別重視應(yīng)用和理解。

第三講數(shù)的開(kāi)方及二次根式

【回顧及思考】

K知識(shí)點(diǎn)U

平方根、立方根、算術(shù)平方根、二次根式、二次根式性質(zhì)、最簡(jiǎn)二次

根式、

同類二次根式、二次根式運(yùn)算、分母有理化

K課標(biāo)要求X

1.理解平方根、立方根、算術(shù)平方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平

方根、立方根和算術(shù)平方根。會(huì)求實(shí)數(shù)的平方根、算術(shù)平方根和立方

根（包括利用計(jì)算器及查表）；

2.了解二次根式、最簡(jiǎn)二次根式、同類二次根式的概念，會(huì)辨別

最簡(jiǎn)二次根式和同類二次根式。掌握二次根式的性質(zhì)，會(huì)化

簡(jiǎn)簡(jiǎn)單的二次根式，能根據(jù)指定字母的取值范圍將二次根

式化簡(jiǎn);

3.掌握二次根式的運(yùn)算法則，能進(jìn)行二次根式的加減乘除四則

運(yùn)算，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的分母有理化。

內(nèi)容分析

1.二次根式的有關(guān)概念

(1)二次根式

式子叫做二次根式.注意被開(kāi)方數(shù)只能是正數(shù)或0.

⑵最簡(jiǎn)二次根式

被開(kāi)方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開(kāi)得盡方的因

數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式.

(3)同類二次根式

化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式，叫做同類二

次根式.

2.二次根式的性質(zhì)

3.二次根式的運(yùn)算

(1)二次根式的加減

二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把

同類三次根式分別合并.

(2)三次根式的乘法

二次根式相乘，等于各個(gè)因式的被開(kāi)方數(shù)的積的算術(shù)平方根，即

二次根式的和相乘，可參照多項(xiàng)式的乘法進(jìn)行.

兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式,

那么這兩個(gè)三次根式互為有理化因式.

(3)二次根式的除法

二次根式相除，通常先寫(xiě)成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母

的有理化因式，把分母的根號(hào)化去(或分子、分母約分).把分母的根

號(hào)化去，叫做分母有理化.

K考查重點(diǎn)及常見(jiàn)題型X

1.考查平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念。有關(guān)試題在試題中出

現(xiàn)的頻率很高，習(xí)題類型多為選擇題或填空題。

2.考查最簡(jiǎn)二次根式、同類二次根式概念。有關(guān)習(xí)題經(jīng)常出現(xiàn)在選

擇題中。

3.考查二次根式的計(jì)算或化簡(jiǎn)求值，有關(guān)問(wèn)題在中考題中出現(xiàn)的頻

率非常高，在選擇題和中檔解答題中出現(xiàn)的較多。

【例題經(jīng)典】

理解二次根式的概念和性質(zhì)

例1(1)式子有意義的x取值范圍是.

【點(diǎn)評(píng)】從整體上看分母不為零，從局部看偶次根式被開(kāi)方數(shù)為非

負(fù).

(2)已知a為實(shí)數(shù)，化簡(jiǎn).

【點(diǎn)評(píng)】要注意挖掘其隱含條件：a<0.

掌握最簡(jiǎn)二次根式的條件和同類二次根式的判斷方法

例2下列根式中能及G合并的二次根式為（）

【點(diǎn)評(píng)】抓住最簡(jiǎn)二次根式的條件，結(jié)合同類二次根式的概念去解決

問(wèn)題.

掌握二次根式化簡(jiǎn)求值的方法要領(lǐng)

例3先化簡(jiǎn)，再求值：

若a=4+,b=4-,求.

【點(diǎn)評(píng)】注意對(duì)求值式子進(jìn)行變形化簡(jiǎn)約分，再對(duì)已知條件變形整體

代入.

第三章方程（組）

中考要求及命題趨勢(shì)

一元一次方程及一元一次方程組是初中有關(guān)方程的基礎(chǔ)，在各地

中考題中，多數(shù)以填空、選擇和解答題的形式出現(xiàn)，大多考查一

元一次方程及一次方程組的概念和解法，一般占5%左右。方程和方

程組的應(yīng)用題是中考的必考題，考查學(xué)生建模能力和分析問(wèn)題和解

決問(wèn)題的能力，以貼進(jìn)生活的題目為主°片10%左右C

應(yīng)試對(duì)策

1、要弄清一元一次方程及二元一次方程組的定義，方程（組）的

解（整數(shù)解）等概念。

2、要熟練掌握一元一次方程，二元一次方程組的解法。

3、要弄清一元一次方程及一次函數(shù)、一元一次不等式之間的關(guān)系。

4、要弄清一元二次方程的定義，ax+bx+c=O(a0),a,b,c均為常

數(shù)，尤其a不為零要切記。

5、要弄清一元二次方程的解的概念。

6、要熟練掌握一元二次方程的幾種解法，如因式分解法、公式法

等，弄清化一元二次方程為一元一次方程的轉(zhuǎn)化思想。

7、要加強(qiáng)一元二次方程及二次函數(shù)之間的綜合的訓(xùn)練。

8、讓學(xué)生理解化分式方程為整式方程的思想。

9、熟練掌握解分式方程的方法。

10、讓學(xué)生學(xué)會(huì)行程、工程、儲(chǔ)蓄、打折銷售等基本類型應(yīng)用題的

分析。

讓學(xué)生掌握生活中問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模的方法，多做一些綜合性的訓(xùn)

練。

K知識(shí)點(diǎn)X

等式及基本性質(zhì)、方程、方程的解、解方程、一元一次方程、一元二

次方程、簡(jiǎn)單的高次方程

K課標(biāo)要求U

1.理解方程和一元一次方程、一元二次方程概念；

2.理解等式的基本性質(zhì)，能利用等式的基本性質(zhì)進(jìn)行方程的變形,

掌握解一元一次方程的一般步驟，能熟練地解一元一次方程；

3.會(huì)推導(dǎo)一元二次方程的求根公式，理解公式法及用直接開(kāi)平方法、

配方法解一元二次方程的關(guān)系，會(huì)選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ炀毜亟庖辉?/p>

二次方程；

了解高次方程的概念，會(huì)用因式分解法或換元法解可化為一元

一次方程和一元二次方程的簡(jiǎn)單的高次方程；

體驗(yàn)“未知”及“已知”的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系。

內(nèi)容分析

1.方程的有關(guān)概念

含有未知數(shù)的等式叫做方程.使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的

值叫做方程的解（只含有一個(gè)未知數(shù)的方程的解，也叫做根）.

2.一次方程（組）的解法和應(yīng)用

只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1,系數(shù)不為零的方程，叫

做一元一次方程.

解一元一次方程的一般步驟是去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)和

系數(shù)化成1.

3.一元二次方程的解法

（!）直接開(kāi)平方法

形如（mx+n）2=r（r2。）的方程，兩邊開(kāi)平方，即可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一

元一次方程來(lái)解，這種方法叫做直接開(kāi)平方法.

(2)把一元二次方程通過(guò)配方化成

(mx+n)2=r(r^o)

的形式，再用直接開(kāi)平方法解，這種方法叫做配方法.

(3)公式法

通過(guò)配方法可以求得一元二次方程

ax2+bx+c=0(a^0)

的求根公式：

用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.

(4)因式分解法

如果一元二次方程ax2+bx+c=O(aWO)的左邊可以分解為兩個(gè)一次

因式的積，那么根據(jù)兩個(gè)因式的積等于0,這兩個(gè)因式至少有一個(gè)為

0,原方程可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)解，這種方法叫做因式分解

法.

K考查重點(diǎn)及常見(jiàn)題型H

考查一元一次方程、一元二次方程及高次方程的解法，有關(guān)習(xí)題常出

現(xiàn)在填空題和選擇題中。

第一講一次方程(組)及應(yīng)用

【回顧及思考】

【例題經(jīng)典】

掌握一元一次方程的解法步驟

例1解方程：X-

【點(diǎn)評(píng)】按去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1,五步

進(jìn)行

掌握二元一次方程組的解法

例2已知方程組的解為，求2a-3b的值.

【點(diǎn)評(píng)】將代入原方程組后利用加減法解關(guān)于a,b的方程組.

例3.某電視臺(tái)在黃金時(shí)段的2min廣告時(shí)間內(nèi)，計(jì)劃插播長(zhǎng)度為15s

和30s的兩種廣告，15s廣告每播1次收費(fèi)0.6萬(wàn)元，30s廣告

每播1次收費(fèi)1萬(wàn)元。若要求每種廣告播放不少于2次。問(wèn)：

⑴兩種廣告的播放次數(shù)有幾中安排方式？

(2)電視臺(tái)選擇哪種方式播放收益較大？

點(diǎn)評(píng)：本題只能列出一個(gè)二元一次方程，因此需要學(xué)生對(duì)二元

一次方程的解有深刻的理解。體現(xiàn)了“從知識(shí)立意向能力立意轉(zhuǎn)變”

的新命題理念。

解：(1)設(shè)15s廣告播放x次，30s廣告播放y次。

15x+30y=120而x,y均為不小于2的正整數(shù)，

或產(chǎn)；

(2)方案14.4萬(wàn)元；方案24.2萬(wàn)元。

一次方程的應(yīng)用

例L下圖是學(xué)?；瘜W(xué)實(shí)驗(yàn)室用于放試管的木架，在每層長(zhǎng)29cm的

木條上鉆有6個(gè)圓孔，每個(gè)圓孔的直徑均為2.5cm.兩端及圓

孔邊緣及任何相鄰兩孔邊緣之間的距離都相等并設(shè)為Xcm,則x

為（）

A.2B.2.15C.2.33D,2.36

分析：考查列一元一次方程并解方程

答案：A

例2據(jù)某統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，在我國(guó)的664座城市中，按水資源情況可分

為三類：暫不缺水城市，一般缺水城市和嚴(yán)重缺水城市，其中，暫

不缺水城市數(shù)比嚴(yán)重缺水城巾數(shù)的4倍少50座，一般缺水城巾是嚴(yán)

重缺水城市數(shù)的2倍，求嚴(yán)重缺水城市有多少座？

【點(diǎn)評(píng)】一元一次方程或二元一次方程組都可解答此題.

例4.小紅家春天粉刷房間，雇用了5個(gè)工人，干了10天完成；用了

某種涂料150升，費(fèi)用為4800元；粉刷的面積是150nl2.最后

結(jié)算工錢(qián)時(shí)，有以下幾種方案：

方案一：按工算，每個(gè)工30元；（1個(gè)工人干1天是一個(gè)工）；

方案二：按涂料費(fèi)用算，涂料費(fèi)用的30%作為工錢(qián)；

方案三：按粉刷面積算，每平方米付工錢(qián)12元.

請(qǐng)你幫小紅家出主意，選擇方案付錢(qián)最合算（最省）.

分析：考查方程和方程的應(yīng)用，方案一：5*10*30+4800=6300元方

案二：4800*30爐1440元，方案三：12*150=1800元

答案：方案二

第二講一元二次方程及應(yīng)用

【回顧及思考】

【例題經(jīng)典】

掌握一元二次方程的解法

例1解方程：

(1)3x2+8x-3=0；(2)9X2+6X+1=0；(3)x-2=x(x-2)；(4)

X2-26x+2=0

例2.用換元法解方程(x-)2-3x++2=0時(shí)，如果設(shè)x-二y,那么

原方程可轉(zhuǎn)化為()D

(A)y2+3y+2=0(3)y2—3y-2=0(C)y2+3y-2=0(D)y2-3y+2=0

分析：考查用換元法解方程答案：D

例3.若關(guān)于x的方程x2+px+l=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)恰是它本身，則

P的值是,

分析：一個(gè)實(shí)數(shù)的倒數(shù)是它的本身，這個(gè)實(shí)數(shù)是±1

答案：士2

例4.關(guān)于x的一元一次方程的兩根為，，則分解因式的結(jié)

果為;

分析：考查一元二次方程和分解因式的綜合。將xl.x2的值代入方程

求出b、c

答案：(x-1)(x-2)

會(huì)判斷一元二次方程根的情況

例1不解方程判別方程2X2+3X-4=0的根的情況是()

A.有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根；B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

C.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；D.沒(méi)有實(shí)數(shù)根

【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)b2-4ac及0的大小關(guān)系來(lái)判斷

例2已知一元二次方程xMx+k=O有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

(1)求k的取值范圍；

(2)如果k是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程

x2-4x+k=0及x2+mx-l=0有一個(gè)相同的根，求此時(shí)m的值.點(diǎn)

評(píng)：本題考查了解一元二次方程的解法、根的判別式、不等式的

整數(shù)解等知識(shí)點(diǎn)。

一元二次方程的應(yīng)用

例3某印刷廠1,月份印刷了書(shū)籍60,萬(wàn)冊(cè)，?第一季度共印刷了200

萬(wàn)冊(cè)，問(wèn)2.3月份平均每月的增長(zhǎng)率是多少？

【點(diǎn)評(píng)】設(shè)2、3月份平均每月的增長(zhǎng)率為x,即60+60(1+x)+60

(1+x)2=200

第三講分式方程及應(yīng)用

【回顧及思考】

K知識(shí)點(diǎn)》

分式方程、二次根式的概念、解法思路、解法、增根

[[課標(biāo)要求》

了解分式方程、二次根式方程的概念。掌握把簡(jiǎn)單的分式方程、

二次根式方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程、一元二次方程的一般方

法，會(huì)用換元法解方程，會(huì)檢驗(yàn)。

內(nèi)容分析

1.分式方程的解法

(1)去分母法

用去分母法解分式方程的一般步驟是：

(i)在方程的兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化成整式方

程；

(ii)解這個(gè)整式方程；

(iii)把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母，看結(jié)果是不是零，使最

簡(jiǎn)公分母不為零的根是原方程的根，使最簡(jiǎn)公分母為零的根是增根,

必須舍去.

在上述步驟中，去分母是關(guān)鍵，驗(yàn)根只需代入員簡(jiǎn)公分母.

(2)換元法

用換元法解分式方程，也就是把適當(dāng)?shù)姆质綋Q成新的未知數(shù),

求出新的未知數(shù)后求出原來(lái)的未知數(shù).

2.二次根式方程的解法

(1)兩邊平方法

用兩邊平方法解無(wú)理方程的一般步驟是:

(i)方程兩邊都平方，去掉根號(hào)，化成有理方程；

(ii)解這個(gè)有理方程；

(iii)把有理方程的根代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn)，如果適合，就是原

方程的根，如果不適合，就是增根，必須舍去.

在上述步驟中，兩邊平方是關(guān)鍵，驗(yàn)根必須代入原方程進(jìn)行.

(2)換元法

用換元法解無(wú)理方程，就是把適當(dāng)?shù)母?hào)下臺(tái)有未知數(shù)的式子換成

新的未知數(shù)，求出新的未知數(shù)后再求原來(lái)的未知數(shù).

K考查重點(diǎn)及常見(jiàn)題型』

考查換元法解分式方程和二次根式方程，有一部分只考查換元的能

力，常出現(xiàn)在選擇題中另一部分習(xí)題考查完整的解題能力，

習(xí)題出現(xiàn)在中檔解答題中。

【例題經(jīng)典】

理解分式方程的有關(guān)概念

例1指出下列方程中，分式方程有()

①‘二5②二-二二5③五X(qián)?-5x4)④二工―立+3:0

2x3/23V25x

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)分式方程的概念，看方程中分母是否含有未知數(shù).

掌握分式方程的解法步驟

例2解方程：

(1),j

6x-22\-3x

(2)—=—o

x-\x+\

【點(diǎn)評(píng)】注意分式方程最后要驗(yàn)根。

例3.解方程：

分析：考查解分式方程答案：xl=3,x2=4/3都是原方程的根

例4(1)、用換元法解分式方程+=3時(shí)，設(shè)=y,原方程變形為

()

(A)y2-3y+l=0(B)y2+3y+l=0(C)y2+3y-l=0(D)y2-y

+3=0

(2)、用換元法解方程x2+8x+=23,若設(shè)y=,則原方程可化

為()

(A)y2+y+12=0(B)y2+y-23=0(C)y2+y-12=0(D)y2+y

-34=0

分式方程的應(yīng)用

例5某服裝廠裝備加工300套演出服，在加工60套后，采用了新技

術(shù)，使每天的工作效率是原來(lái)的2倍，結(jié)果共用9天完成任務(wù)，?求

該廠原來(lái)每天加工多少套演出服.

【點(diǎn)評(píng)】要用到關(guān)系式：工作效率=O

例6某公路上一路段的道路維修工程準(zhǔn)備對(duì)外招標(biāo)，現(xiàn)有甲、乙

兩個(gè)工程隊(duì)競(jìng)標(biāo)，競(jìng)標(biāo)資料上顯示：若由兩隊(duì)合做，6天可

以完成，共需工程費(fèi)用10200元；若單獨(dú)完成此項(xiàng)工程，甲

隊(duì)比乙隊(duì)少用5天.但甲隊(duì)每天的工程費(fèi)用比乙隊(duì)多300元,

工程指揮部決定從這兩個(gè)隊(duì)中選一個(gè)隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程，

若從節(jié)省資金的角度考慮，應(yīng)該選擇哪個(gè)工程隊(duì)?為什么？

解:設(shè)甲隊(duì)每天費(fèi)用為a元，乙隊(duì)每天費(fèi)用為b元，則

(a+b)X6=10200a-b=300解：設(shè)甲隊(duì)獨(dú)做需x天完成，則乙隊(duì)

獨(dú)做(x+5)天完成.

由題意，列方程.

整理得x2-7x-30=0,解之得xl=10,x2=-3.

經(jīng)檢驗(yàn)xVx2都是原方程的根，但x2=-3不合題意舍去.

???甲隊(duì)獨(dú)做需10天完成，

乙隊(duì)獨(dú)做需15天完成.解之得a=1000b=700

所以甲隊(duì)獨(dú)做的費(fèi)用為1000X10=10000(元)，

乙隊(duì)獨(dú)做的費(fèi)用為700X15=10500(元).

V10500>10000.

.若從節(jié)省資金的角度考慮，應(yīng)選擇甲工程隊(duì).

例7為滿足用水量不斷增長(zhǎng)的需求，昆明市最近新建甲、乙、丙三

個(gè)水廠，這三個(gè)水廠的日供水量共計(jì)11.8萬(wàn)立方米，其中乙水廠的

日供水量是甲水廠日供水量的3倍，丙水廠的日供水量比甲水廠日

供水量的一半還多1萬(wàn)立方米.

(1)求這三個(gè)水廠的日供水量各是多少萬(wàn)立方米？

(2)在修建甲水廠的輸水管道的工程中要運(yùn)走600噸土石,

運(yùn)輸公司派出A型、B型兩種載重汽車(chē)，A型汽車(chē)6輛、B型汽車(chē)

4輛，分別運(yùn)5次，可把土石運(yùn)完；或者A型汽車(chē)3輛、B型汽

車(chē)6輛，分別運(yùn)5次，也可把土石運(yùn)完.那么每輛A型汽車(chē)、每

輛B型汽車(chē)每次運(yùn)土石各多少噸？(每輛汽車(chē)運(yùn)土石都以標(biāo)準(zhǔn)載重

量滿載)

解：(1)設(shè)甲水廠的日供水量是x萬(wàn)立方米，則乙水廠的日供水量

是3x萬(wàn)立方米，丙水廠的日供水量是(x/2+l)萬(wàn)立方米.

由題意得：x+3x+x/4+l=ll.8解得：x=2.4

答：甲水廠日供水量是2?4萬(wàn)立方米，乙水廠日供水量是7?2萬(wàn)立

方米，丙水廠日供水量是2?2萬(wàn)立方米.

(2)每輛A型汽車(chē)每次運(yùn)土石10噸、每輛B型汽車(chē)每次運(yùn)土石15噸.

第四講列出方程(組)解應(yīng)用題

K知識(shí)點(diǎn)X

列方程（組）解應(yīng)用題的一般步驟、列方程（組）解應(yīng)用題的核心、

應(yīng)用問(wèn)題的主要類型

K課標(biāo)要求?能夠列方程（組）解應(yīng)用題

內(nèi)容分析

列出方程（組）解應(yīng)用題的一般步驟是：

（i）弄清題意和題目中的已知數(shù)、未知數(shù)，用字母表示題目中的

一個(gè)（或幾個(gè)）未知數(shù)；

（ii）找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的一個(gè)（或幾個(gè)）相等關(guān)系；

（iii）根據(jù)找出的相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，從而列出方程

（或方程組）；

（iv）解這個(gè)方程（或方程組），求出未知數(shù)的值；

（v）寫(xiě)出答案（包括單位名稱）.

K考查重點(diǎn)及常見(jiàn)題型力

考查列方程（組）解應(yīng)用題的能力，其中重點(diǎn)是列一元二次方程或列

分式方程解應(yīng)用題，習(xí)題以工程問(wèn)題、行程問(wèn)題為主，近幾年出

現(xiàn)了一些經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，應(yīng)引起注意

一、填空題

1.某商品標(biāo)價(jià)為165元，若降價(jià)以九折出售（即優(yōu)惠10%）,仍可

獲利10%（相對(duì)于進(jìn)貨價(jià)），則該商品的進(jìn)貨價(jià)是

2.甲、乙二人投資合辦一個(gè)企業(yè)，并協(xié)議按照投資額的比例分配所得

利潤(rùn)，已知甲及乙投資額的比例為3:4,首年的利潤(rùn)為38500元，則

甲、乙二人可獲得利潤(rùn)分別為元和元

3.某公司1996年出口創(chuàng)收135萬(wàn)美元，2019年、2019年每年都比上

一年增加a%,那么，2019年這個(gè)公司出口創(chuàng)匯萬(wàn)美元

4.某城市現(xiàn)有42萬(wàn)人口，計(jì)劃一年后城鎮(zhèn)人口增加0.8%,農(nóng)村人

口增加1.1%,這樣全市人口將增加1%,求這個(gè)城市現(xiàn)有的城鎮(zhèn)人

口數(shù)及農(nóng)村人口數(shù)，若設(shè)城鎮(zhèn)現(xiàn)有人口數(shù)為x萬(wàn)，農(nóng)村現(xiàn)有人口y萬(wàn),

則所列方程組為

5.在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)上，需要用含鹽16%的鹽水來(lái)選種，現(xiàn)有含鹽24%的

鹽水200千克，需要加水多少千克？

解：設(shè)需要加水x千克根據(jù)題意，列方程為，解

這個(gè)方程，得答：

6.某電視機(jī)廠1994年向國(guó)家上繳利稅400萬(wàn)元，1996年增加到484

萬(wàn)元，則該廠兩年上繳的利稅平均每年增長(zhǎng)的百分率

7.某種商品的進(jìn)貨價(jià)每件為x元，零售價(jià)為每件900元，為了適應(yīng)市

場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)，商店按零售價(jià)的九折降價(jià)并讓利40元銷售，仍可獲利10%

（相對(duì)于進(jìn)價(jià)），則乂=元

8.一個(gè)批發(fā)及零售兼營(yíng)的文具店規(guī)定，凡是一次購(gòu)買(mǎi)鉛筆301支以

上（包括301支），可以按批發(fā)價(jià)付款；購(gòu)買(mǎi)300支以下（包括300

支）只能按零售價(jià)付款，現(xiàn)有學(xué)生小王來(lái)購(gòu)買(mǎi)鉛筆，如果給學(xué)校初三

年級(jí)學(xué)生每人買(mǎi)1支，則只能按零售價(jià)付款，需用（m2—1）元（m為

正整數(shù)，且小2—1>100）；如果多買(mǎi)60支，則可以按批發(fā)價(jià)付款，同

樣需用（m2—1）元.

（1）設(shè)這個(gè)學(xué)校初三年級(jí)共有x名學(xué)生，則（a）x的取值范圍應(yīng)為

（b）鉛筆的零售價(jià)每支應(yīng)為元，批發(fā)價(jià)每支應(yīng)為

元

（用含x,1n的代數(shù)式表示）

（2）若按批發(fā)價(jià)每購(gòu)15支比按零售價(jià)每購(gòu)15少付款1元，試求這個(gè)

學(xué)校初三年級(jí)共有多少名學(xué)生，并確定m的值。

1.二.列方程解應(yīng)用題

2.某商店運(yùn)進(jìn)120臺(tái)空調(diào)準(zhǔn)備銷售，由于開(kāi)展了促銷活動(dòng)，每

天比原計(jì)劃多售出4臺(tái)，結(jié)果提前5天完成銷售任務(wù)，原計(jì)劃每

天銷售多少臺(tái)？

3.我省1995年初中畢業(yè)會(huì)考（中考）六科成績(jī)合格的人數(shù)為8

萬(wàn)人，2019年上升到9萬(wàn)人，求則兩年平均增長(zhǎng)的百分率（取

=1.41）

甲、乙兩隊(duì)完成某項(xiàng)工作，甲單獨(dú)完成比乙單獨(dú)完成快15天，如

果甲單獨(dú)先工作10天，再由乙單獨(dú)工作15天，就可完成這

項(xiàng)工作的，求甲、乙兩人單獨(dú)完成這項(xiàng)工作各需多少天？

某校校長(zhǎng)暑期將帶領(lǐng)該校市級(jí)“三好學(xué)生”去北京旅游，甲旅行

社說(shuō)：“如果校長(zhǎng)買(mǎi)全票一張，則其余學(xué)生可享受半價(jià)優(yōu)

待”，乙旅行社說(shuō)：“包括校長(zhǎng)在內(nèi)全部按全票價(jià)的6折優(yōu)

惠（即按全票價(jià)的60%收費(fèi)），若全票為240元

(1)設(shè)學(xué)生數(shù)為X,甲旅行社收費(fèi)為y甲，乙旅行社收費(fèi)為y乙,

分別計(jì)算兩家旅行社的收費(fèi)(建立表達(dá)式)

(2)當(dāng)學(xué)生數(shù)為多少時(shí)，兩家旅行社的收費(fèi)一樣？

4.(3)就學(xué)生數(shù)x討論哪家旅行社更優(yōu)惠？

5.現(xiàn)有含鹽15%的鹽水內(nèi)400克，張老帥要求將鹽水質(zhì)量分?jǐn)?shù)

變?yōu)?2%。某同學(xué)由于計(jì)算失誤，加進(jìn)了110克的水，請(qǐng)你通過(guò)

列方程計(jì)算說(shuō)明這位同學(xué)加多了，并指出多加了多少克的水？

6.甲步行上午6時(shí)從A地出發(fā)于下午5時(shí)到達(dá)B地，乙騎自行車(chē)

上午10時(shí)從A地出發(fā)，于下午3時(shí)到達(dá)B地，問(wèn)乙在什么時(shí)間追

上甲的？

7.中華中學(xué)為迎接香港回歸，從1994年到2019年內(nèi)師生共植樹(shù)

2019棵，已知該校1994年植樹(shù)342棵，1995年植樹(shù)500棵，如

果1996年和2019年植樹(shù)棵數(shù)的年增長(zhǎng)率相同，那么該校2019年

植樹(shù)多少棵？

要建一個(gè)面積為150m2的長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)，為了節(jié)約材料，雞場(chǎng)的一

邊靠著原有的一條墻，墻長(zhǎng)為am,另三邊用竹籬笆圍成，如圖，

如果籬笆的長(zhǎng)為35m,(1)求雞場(chǎng)的長(zhǎng)及寬各為多少？(2)

題中墻的長(zhǎng)度a對(duì)題目的解起著怎樣的作用？

永盛電子有限公司向工商銀行申請(qǐng)了甲乙兩種款，共計(jì)68萬(wàn)元，每

年需付出利息8.42萬(wàn)元，甲種貸款每年的利率是12%,乙種貸

款每年的利率是13%,求這兩種貸款的數(shù)額各是多少？

10.小明將勤工儉學(xué)掙得的100元錢(qián)按一年期存入少兒銀行，到期后

取出50元用來(lái)購(gòu)買(mǎi)學(xué)習(xí)用品，剩下的50元和應(yīng)得的利息又全部

按一年期存入。若存款的年利率保持不變，這樣到期后可得本金

和利息共66元，求這種存款的年利率。

11.某公司向銀行貸款40萬(wàn)元，用來(lái)生產(chǎn)某種新產(chǎn)品，已知該貸款

的年利率為15%（不計(jì)復(fù)利，即還貸前每年息不重復(fù)計(jì)息），每

個(gè)新產(chǎn)品的成本是2.3元，售價(jià)是4元，應(yīng)納稅款為銷售額的

10%。如果每年生產(chǎn)該種產(chǎn)品20萬(wàn)個(gè)，并把所得利潤(rùn)（利潤(rùn)=

銷售額一成本一應(yīng)納稅款）用來(lái)歸還貸款，問(wèn)需幾年后能一次還

清？

12.某車(chē)間在規(guī)定時(shí)間內(nèi)加工130個(gè)零件，加工了40個(gè)零件后，由于

改進(jìn)操作技術(shù)，每天比原來(lái)計(jì)劃多加工10個(gè)零件，結(jié)果總共用

5天完成任務(wù)。求原計(jì)劃每天加工多少個(gè)零件？

13.東西兩車(chē)站相距600千米，甲車(chē)從西站、乙車(chē)從東站同時(shí)同速相

向而行，相遇后，甲車(chē)以原速，乙車(chē)以每小時(shí)比原速快10千米

的速度繼續(xù)行駛，結(jié)果，當(dāng)乙車(chē)到達(dá)西站1小時(shí)后，甲車(chē)也到

達(dá)東站，求甲、乙兩車(chē)相遇后的速度？

14.一個(gè)水池有甲、乙兩個(gè)進(jìn)水管，單獨(dú)開(kāi)放甲管注滿水池比單獨(dú)開(kāi)

放乙管少用10小時(shí)。如果單獨(dú)開(kāi)放甲管10小時(shí)后，加入乙管,

需要6小時(shí)可把水池注滿。問(wèn)單獨(dú)開(kāi)放一個(gè)水管，各需多少小時(shí)

才能把水池注滿？

15.某商店1995年實(shí)現(xiàn)利稅40萬(wàn)元（利稅=銷售金額一成本），1996

年由于在銷售管理上進(jìn)行了一系列改革，銷售金額增加到154

萬(wàn)元，成本卻下降到90萬(wàn)元，（1）這個(gè)商店利稅1996年比1995

年增長(zhǎng)百分之幾？

（2）若這個(gè)商店1996年比1995年銷售金額增長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)和成本

下降的百分?jǐn)?shù)相同，求這個(gè)商店銷售金額1996年比1995年增長(zhǎng)百分

之兒？

16.甲、乙兩輛汽車(chē)同時(shí)從A地出發(fā)，經(jīng)C地去B地，已知C地離B

地180千米，出發(fā)時(shí)甲車(chē)每小時(shí)比乙車(chē)多行駛5千米。因此，乙

車(chē)經(jīng)過(guò)C地比甲車(chē)晚半小時(shí)，為趕上甲車(chē)，乙車(chē)從C地起將車(chē)速

每小時(shí)增加10千米，結(jié)果兩從同時(shí)到達(dá)B地，求（1）甲、乙兩

從出發(fā)時(shí)的速度；（2）A.B兩地間的距離.

17.某項(xiàng)工程，甲、乙兩人合作，8天可以完成，需費(fèi)用3520元；若

甲單獨(dú)做6天后，剩下的工程由乙獨(dú)做，乙還需12天才能完成,

這樣需要費(fèi)用3480元，問(wèn)：（1）甲、乙兩人單獨(dú)完成此項(xiàng)工程,

各需多少天？

（2）甲、乙兩人單獨(dú)完成此項(xiàng)工程，各需費(fèi)用多少元？

18.某河的水流速度為每小時(shí)2千米，A、B兩地相距36千米，一動(dòng)

力橡皮船從A地出發(fā)，逆流而上去B地，出航后1小時(shí)，機(jī)器發(fā)生故

障，橡皮船隨水向下漂移，30分鐘后機(jī)器修復(fù)，繼續(xù)向B地開(kāi)去，但

船速比修復(fù)前每小忖慢了1千米，到達(dá)B地比預(yù)定時(shí)間遲了54分鐘，

求橡皮船在靜水中起初的速度.

第四章不等式及不等式組

中考要求及命題趨勢(shì)

L不等式，一元一次不等式（組）及其解集的概念。

2.不等式的基本性質(zhì)，一元一次不等式（組）解法以及解集的數(shù)軸

表示。

3.解決不等式（組）的應(yīng)用題，要求學(xué)生會(huì)將應(yīng)用題里關(guān)于'已知

量''未知量'之間的關(guān)系用明確的不等式關(guān)系表示出來(lái)，并注

意應(yīng)用題中字母所表示的實(shí)際意義。

應(yīng)試對(duì)策

解不等式（組）是本節(jié)的重點(diǎn)，而不等式的性質(zhì)是解不等式的基

礎(chǔ)，在復(fù)習(xí)本節(jié)時(shí)，首先要強(qiáng)化三條性質(zhì)的應(yīng)用順練，切忌

不等式兩邊同乘（除）含字母的代數(shù)式（即正負(fù)不明的代數(shù)式）;

其次注意數(shù)形結(jié)合的方法，即充分利用數(shù)軸，關(guān)于不等式

（組）的應(yīng)用題，要通過(guò)建模訓(xùn)練，學(xué)會(huì)找出實(shí)際問(wèn)題中的不等

關(guān)系，并能在不等式的解集中找出符合題意的答案，還要注意

及其他類型的應(yīng)用題結(jié)合起來(lái)訓(xùn)練。

第一講一元一次不等式（組）及應(yīng)用

【回顧及思考】

K知識(shí)點(diǎn)（

不等式概念，不等式基本性質(zhì)，不等式的解集，解不等式，不等

式組，不等式組的解集，解不等式組，一元一次不等式，一元一次

不等式組。

課標(biāo)要求

1.理解不等式，不等式的解等概念，會(huì)在數(shù)軸上表示不等式的解；

2.理解不等式的基本性質(zhì)，會(huì)應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的

不等式變形，會(huì)解一元一次不等式；

3.理解一元一次不等式組和它的解的概念，會(huì)解一元一次不等式

組；

4.能應(yīng)用一元一次不等式(組)的知識(shí)分析和解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題

和實(shí)際問(wèn)題。

內(nèi)容分析

一元一次不等式、一元一次不等式組的解法

(1)只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1,系數(shù)不為零的不

等式，叫做一元一次不等式.

解一元一次不等式的一般步驟是去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類

項(xiàng)和系數(shù)化成1.要特別注意，不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)

負(fù)數(shù)，要改變不等號(hào)的方向.

(2)解一元一次不等式組的一般步驟是：

(i)先求出這個(gè)不等式組中各個(gè)一元一次不等式的解集；

(ii)再利用數(shù)軸確定各個(gè)解集的公共部分，即求出了這個(gè)一元一

次不等式組的解集.

考查重點(diǎn)及常見(jiàn)題型

考查解一元一次不等式（組）的能力，有關(guān)試題多為解答題，也

出現(xiàn)在選攔題，填空題中。

【例題經(jīng)典】

不等式的性質(zhì)及運(yùn)用

例1下列四個(gè)命題中，正確的有（）

①若a>b,則a+l〉b+l；②若a>b,則aT>bT；

③若a>b,則-2a〈-2b；④若a>b,則2a<2b.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】注意觀察前后兩個(gè)式子的變化，想一想及不等式的性質(zhì)是否

相符.

會(huì)解一次不等式，并理解解集用數(shù)軸表示的意義

例2解不等式x>x-2,并將其解集表示在數(shù)軸上.

【點(diǎn)評(píng)】步驟類似于解一元一次方程，但要注意不等號(hào)方向的變化.

例3.關(guān)于x的不等式的解集如圖所示，則a的取值是（）

考查內(nèi)容：不等式的解集及數(shù)軸上所表示的數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)。解為7

例4.不等式2x+l>5的解集在數(shù)軸上表示正確的是

（）

分析：考查不等式求解和用數(shù)軸表示其解集。注意取實(shí)心點(diǎn)的條件,

不等式的解為xN2答案：D

例5.如圖，數(shù)軸上表示的一個(gè)不等式組的解集，這個(gè)不等式組的整

數(shù)解是。

分析：考查不等式求解和用數(shù)軸表示其解集。注意取實(shí)心點(diǎn)的條件

答案：T,0

例6.函數(shù)y=中，自變量x的取值范圍是（）

A.x中2B.x22C.x〈2D.x>2

分析：通過(guò)不等式的形式2算術(shù)平方根中被升方數(shù)的非負(fù)性。答案：B

例7.如果最簡(jiǎn)二次根式及是同類根式，那么使有意義的x的

取值范圍是（）

A.xW10B.x210C.x<10D.x>10

分析：考查同類根式的意義及二次根式有意義的