北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三 專題27 相交線與平行線章末重難點(diǎn)突破（舉一反三）（原卷版+解析）

專題2.7相交線與平行線章末重難點(diǎn)突破

【北師大版】

儲次洋一笈三

【考點(diǎn)1相交線中運(yùn)用方程思想求角】

【例1】（2023春?武昌區(qū)期中）如圖，直線M。、CN相交于點(diǎn)O,是NMOC內(nèi)的一條射線，OB是N

NO。內(nèi)的一條射線，/MON=70：

（備用圖）

（1）若NBOD=^NCOD,求N8ON的度數(shù)：

（2）若NAOD=2NBOD,ZBOC=3ZAOC,求N8ON的度數(shù).

【變式1-1］（2023春?饒平縣校級期末）如圖，A3、C。交于點(diǎn)。，ZAOE=4ZDOE,/AOE的余角比N

DOE小10°（題中所說的角均是小于平角的角）.

（1）求NAOE的度數(shù)；

（2）請寫出NAOC在圖中的所有補(bǔ)角；

（3）從點(diǎn)O向直線A8的右側(cè)引出一條射線。P,當(dāng)NCOP=NAOE+NQOP時，求N80P的度數(shù).

【變式1-2］（2023春?石城縣期中）平面內(nèi)兩條直線C。相交于點(diǎn)O,QA_LO8,OC恰好平分NAOF.

（1）如圖I,若NAOE=40°,求NBOD的度數(shù)；

（2）在圖1中，若N4OE=x°,請求出N8O。的度數(shù)（用含有X的式子表示），并寫出N40E和NBO。

的數(shù)量關(guān)系；

（3）如圖2,當(dāng)CM,OB在直線E廠的同側(cè)時，NAOE和NBO。的數(shù)顯關(guān)系是否會發(fā)生改變？若不變，

請直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系；若發(fā)生變化，請說明理由.

【變式1-3］（2023秋?南崗區(qū)期中）如圖，直線人從8相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作Of_LCn

(1)如圖1,求證：ZBOE-ZAOC=9O0；

（2）如圖2,將射線08沿著直線C。翻折得到射線OP,即求證：OE平分NAOR

（3）如圖3,在（2）的條件下，過點(diǎn)。作OG_LA3,當(dāng)NFOG：ZAOE=2：3時，求NCOG的度數(shù).

【考點(diǎn)2相交線中運(yùn)用分類討論思想求角】

【例2】（2023秋?永嘉縣校級期末）直線A8與直線CD相交于點(diǎn)O,OE平分NB0D

（1）如圖①，若N8OC=130°,求NAOE的度數(shù);

（2）如圖②，射線OF在NAOQ內(nèi)部.

①若O凡LOE,判斷是否為的平分線，并說明理由;

②若"平分NAOE,ZAOF=\ADOF,求N8。。的度數(shù).

【變式2-1］（2023秋?南崗區(qū)校級月考）如圖，點(diǎn)O在直線Ef上，點(diǎn)4、B與點(diǎn)C、。分別在直線E尸兩

惻，且NAOA=12U°，.

（1）如圖1,若。C平分N80Q,求NA。。的度數(shù)；

（2）如圖2,在（1）的條件下，OE平分乙4。。，過點(diǎn)。作射線OGJLOB,求NEOG的度數(shù)；

（3）如圖3,若在/BOC內(nèi)部作一條射線0〃，若NCOH：/BOH=2：3,NDOE=5NFOH,試判斷

ZAOE與NDOE的數(shù)量關(guān)系.

【變式2-2］（2023秋?門頭溝區(qū)期末）已知，點(diǎn)O在直線A8上,在直線A8外取一點(diǎn)C,畫射線OC,OD

平分NAOC射線OK在直線AA上方，且。?_LO￡）于O.

（1）如圖1，如果點(diǎn)C在直線A8上方，且N80c=30"，

①依題意補(bǔ)全圖1；

②求NAOE的度數(shù)（0°VNAOEV18（T）；

（2）如果點(diǎn)C在直線A8外，且NBOC=a,請直接寫出NAOE的度數(shù).（用含a的代數(shù)式表示，且0°

<NAOEV1800)

OB

圖1備用圖

【變式2-3］（2023秋?金湖縣期末）【問題情境】蘇科版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)七上第178頁第13題有這樣

的一個問題：”如圖1,0c是乙408內(nèi)一條射線，O。、OE分別平分NAO8、ZAOC.若/AOC=30°,

NBOC=90°,求NOOE的度數(shù)”，小明在做題中發(fā)現(xiàn)：解決這個問題時NAOC的度數(shù)不知道也可以求

求證：Q）BF〃EC；

(2)ZA=ZD.

【變式3-2］（2023秋?九龍縣期末）如圖，已知點(diǎn)A在石尸上，點(diǎn)尸，Q在8c上，ZE=ZEMA,NBQM

=NBMQ.

(1)求證：EF//BC；

(2)若FP_LAC,Z2+ZC=90°,求證：Z1=ZB；

(3)若N3+N4=18(T,ZB.4F=3ZF-20°,求N8的度數(shù).

【變式3-3］（2023秋?安居區(qū)期末）如圖，N4DE+/BC/=180,，A/平分NBA。，ZBAD=2/F.

（1）AO與8。平行嗎？請說明理由.

（2）4B與E/的位置關(guān)系如何？為什么？

（3）若BE平分NA8C.試說明：①NABC=2NE；②NE+N產(chǎn)=90°.

【考點(diǎn)4平移中幾何綜合問題】

【例4】（2023春?和平區(qū)校級月考）已知：AB//CD,。在。的右側(cè)，平分NA3C,?！昶椒諲4OC,BE,

DE所在直線交于點(diǎn)E,ZADC=70°.

（1）則NEOC=（度）；

（2）若NABC=〃°,求/BED的度數(shù)（用含〃的式子表示）.

（3）將線段BC沿DC方向平移，使得點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)，其他條件不變，若N48C=〃°,

則（度）（用含〃的式子表示）.

【變式4-1］（2023春?曲周縣期末）【探究】如圖1,已知直線MN〃PQ,點(diǎn)A在MN上，點(diǎn)。在PQ上,

點(diǎn)、E在MN,PQ兩平行線之間，則N4EC=/+Z；

【應(yīng)用】如圖2,已知直線八〃/2,點(diǎn)A,B在八上，點(diǎn)C,D在也上,連接4。，BC.AE,CE分別是

ZBAD,/BCD的平分線，Za=70°,Zp=30a.

（1）求NAEC的度數(shù)；

（2）將線段AO沿CO方向平移，如圖3所示，其他條件不變，求NAEC的度數(shù).

【變式4-2］（2023春?奉化區(qū)校級期末）如圖1,AB,8c被直線AC所截，點(diǎn)。是線段AC上的點(diǎn)，過點(diǎn)。

DE//AB,連接AE,/B=/E=70°.

（1）請說明的理由.

（2）將線段4E沿著直線4c平移得到線段PQ,連接。Q.

①如圖2,當(dāng)。E_LOQ時，求/Q的度數(shù);

（2）如圖②，若點(diǎn)、E,尸在4c上，且滿足/產(chǎn)OC=NAOC,并且O石平分N8OF.則NEOC的度數(shù)等

于（在橫線上填上答案即可）；

（3）在（2）的條件下，若平行移動AC,如圖③，那么N0C8：ZOFB的值是否隨之發(fā)生變化？若變

化，試說明理由；若不變，求出這個比值;

（4）在（3）的條件下，在平行移動AC的過程中，若使此時/OCA的度數(shù)等于（在

橫線上填上答案即可）.

【考點(diǎn)5平行線中的輔助線構(gòu)造】

【例5】（2023秋?西鄉(xiāng)縣期末）（1）【問題】

如圖1,若NBEP=25°,ZPFC=150°.求NE/乎的度數(shù)；

（2）【問題遷移】

如圖2,點(diǎn)P在48的上方，問NPE4,NPFC,/EP尸之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；

（3）【聯(lián)想拓展】

如圖3所示，在（2）的條件下，已知NEP〃=a,NPE4的平分線和NPFC的平分線交于點(diǎn)G,用含有

a的式子表示NG的度數(shù).

【變式5-1］（2023秋?濟(jì)陽區(qū)期末）如圖，AB//CD,定點(diǎn)E,產(chǎn)分別在直線48,CD±,在平行線48,CD

之間有一個動點(diǎn)P,滿足0。CNEPFC180。.

（1）試問：NAEP,NCFP,/EP/滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？

解：由于點(diǎn)夕是平行線4從之間一動點(diǎn)，因此需對點(diǎn)。的位置進(jìn)行分類討論.

①如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在￡尸的左惻時，猜想NAEP,ZCFP,NEPr滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：

②如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在￡尸的右側(cè)時，直接寫出NA￡P(guān),ZCFP,/EP/滿足的數(shù)量關(guān)系為.

（2）如圖3,QE,。尸分別平分NPE8,ZPFD,且點(diǎn)尸在左側(cè).

①若NE/P=100°,則/EQF的度數(shù)為；

②猜想NEP尸與NEQ尸的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

圖1圖2

【變式5-2］（2023秋?農(nóng)安縣期末）已知直線A8〃CO,P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接力、PD.

（1）如圖1,已知N4=50°,ZD=150°,求NAP。的度數(shù)；

（2）如圖2,判斷/以B、NCDP、NAP。之間的數(shù)量關(guān)系為.

（3）如圖3,在⑵的條件下，APLPD,ON平分NPDC,若NAPQ,求乙4M）的

度數(shù).

【變式5-3］（2023秋?南崗區(qū)校級期中）已知，點(diǎn)C在48上方，連接BC、CD.

(1)如圖1,求證：ZBCD+^CDE=ZABC；

（2）如圖2,過點(diǎn)C作CRLBC交石。的延長線于點(diǎn)F,探究N48C和//之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）如圖3,在（2）的條件下，NCFO的平分線交CD于點(diǎn)G,連接GB并延長至點(diǎn)，，若877平分N

ABC,求N8G。-NCG/7的值.

【考點(diǎn)6與平行線有關(guān)的實(shí)際問題】

【例6】（2023秋?羅湖區(qū)期末）請解答下列各題：

（1）閱讀并回答：

科學(xué)實(shí)驗(yàn)證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的角相

等.如圖1,一束平行光線人8與。E射向一個水平鏡面后被反射.此時N1=N2,Z3=Z4.

①由條件可知：Z1=Z3,依據(jù)是,Z2=Z4,依據(jù)是.

②反射光線8c與所平行，依據(jù)是.

（2）解決問題：

如圖2,一束光線機(jī)射到平面儻。上，被。反射到平面鏡山上，又被〃鏡反射，若〃射出的光線〃平行

于〃?，且Nl=42°,則N2=：N3=.

圖1圖2

【變式6-1］（2023秋?嵩縣期末）圖1展示了光線反射定律：EF是鏡面A8的垂線，一束光線，〃射到平面

鏡A8上，被人8反射后的光線為〃，則入射光線〃?，反射光線〃與垂線石廠所夾的銳角b=例.

（1）在圖1中，證明：Z1=Z2.

（2）圖2中，AB,是平面鏡，入射光線機(jī)經(jīng)過兩次反射后得到反射光線〃，已知Nl=30°,N4=

60°,判斷直線〃?與直線〃的位置關(guān)系，并說明理由.

（3）圖3是潛望鏡工作原理示意圖，48,CD是平行放置的兩面平面鏡.請解釋進(jìn)入潛望鏡的光線〃，為

什么和離開潛望鏡的光線〃是平行的？

m

n

圖1

【變式6-21（2023秋?開江縣期末）當(dāng)光線經(jīng)過鏡面反射時，入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對應(yīng)相等.例

如：在圖①、圖②中都有NI=N2,N3=N4.設(shè)鏡子AB與8C的夾角/48C=a.

（1）如圖①，若a=90°,判斷入射光線E尸與反射光線GH的位置關(guān)系，并說明理由.

（2）如圖②，若90°<?<180°,入射光線EF與反射光線G"的夾角探索a與0的數(shù)量

關(guān)系，并說明理由.

（3）如圖卷，若a=130。，設(shè)鏡子8與3。的夾角N3CQ為鈍角，入射光線與鏡面/W的夾角N

l=x（00<A<90°）.已知入射光線E尸從鏡面AB開始反射，經(jīng)過〃（〃為正整數(shù)，且〃W3）次反射,

當(dāng)笫〃次反射光線與入射光線EF平行時，請直接寫出NBCZ）的度數(shù)（可用含x的代數(shù)式表示）.

【變式6-3］（2023春?廣寧縣期末）“一帶一路”讓中國和世界更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見在某段

鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈.如圖1所示，燈A射線從AM開始順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，

燈B射線從開始順時針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視.若燈人轉(zhuǎn)動的速度是每秒2

度，燈B轉(zhuǎn)動的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即PQ〃MM且NBAM：NBAN=2：L

（1）填空：/BAN=；

（2）如圖2,

①若燈B射線先轉(zhuǎn)動30s,燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈B射線到達(dá)BQ之前，設(shè)燈A轉(zhuǎn)動t秒（0V/V90）,

則NM4Af=,NPBP=；（用含/的式子表示）

②在①的條件下，若AM'//BP,則/=秒.

（3）如圖3,若兩燈同時轉(zhuǎn)動，在燈A射線到達(dá)AN之前.若射出的光束交于點(diǎn)C,過。作NACQ交

PQ于點(diǎn)。，且NACQ=120°,則在轉(zhuǎn)動過程中，請?zhí)骄縉8AC與N3CO的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若

不變，請求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請說明理由.

圖1圖2圖3

【考點(diǎn)7平行線中的旋轉(zhuǎn)問題】

【例7】（2023秋?三水區(qū)期末）將一副三角板中的兩個直角頂點(diǎn)C疊放在一起（如圖①），其中NAC8=N

DC￡=90°,NA=30°,NB=60°,ZD=ZE=45°,設(shè)NACE=x.

（1）填空：ZBCE=,ZACD=：（用含x的代數(shù)式表示）

（2）若NBCD=5NACE,求/ACE的度數(shù)：

（3）若三角板4BC不動，三角板。CE繞頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動一周，當(dāng)N8CE等于多少度時C?！ㄈ思?？

【變式7-1］（2023秋?太倉市期末）如圖所示，已知直線48〃直線CQ,直線石廠分別交直線八艮C。于點(diǎn)

A,C.且NMC=60°,現(xiàn)將射線42繞點(diǎn)人以每秒2。的轉(zhuǎn)速逆時計旋轉(zhuǎn)得到射線人同時射線CE

繞點(diǎn)C以每秒3。的轉(zhuǎn)速順時針旋轉(zhuǎn)得到射線CM當(dāng)射線CN旋轉(zhuǎn)至與射線。重合時，則射線CN、

射線4M均停止轉(zhuǎn)動，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為1（秒）.

（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，若射線4W與射線CN相交，設(shè)交點(diǎn)為P.

①當(dāng)f=20（秒）時，則NC%=°；

②若NC%=70°,求此時，的值；

（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在AM〃CN?若存在，求出此時/的值；若不存在，請說明理由.

備用圖

【變式7-2］（2023春?醴陵市期末）錢塘江汛期來臨前，防汛指揮部準(zhǔn)備在一危險地帶兩岸各安置了一探照

燈，便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況.如圖，燈A射線自4M順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B

射線自BP順時針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視.若燈人轉(zhuǎn)動的速度是3度/秒，燈8

轉(zhuǎn)動的速度是1度/秒.假定這一帶長江兩岸河堤是平行的，PQ//MN.

（1）當(dāng)A燈轉(zhuǎn)動，秒時（0</<60）,用/的代數(shù)式表示燈A射線轉(zhuǎn)動的角度大??；

（2）若燈3射線先轉(zhuǎn)動30秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈3射線到達(dá)3。之前，A燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈

的光束互相平行？

QBP

MAN

【變式7-3］（2023春?萊山區(qū)期末）我區(qū)正在打造某河流夜間景觀帶，計劃在河兩岸設(shè)置兩座可以旋轉(zhuǎn)的射

燈.如圖1,燈A射線從AM開始順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從BP開始順時針旋轉(zhuǎn)至BQ

便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射.若燈A轉(zhuǎn)動的速度是2度/秒，燈3轉(zhuǎn)動的速度是1度/秒，假定河兩

（2）燈A射線從4例開始順時針旋轉(zhuǎn)至AN需要秒；

（3）若燈8射線8。（交MN于點(diǎn)。）先轉(zhuǎn)動30秒，燈A射線AC（交PQ于點(diǎn)C）才開始轉(zhuǎn)動.設(shè)AC

轉(zhuǎn)動時間為，秒，當(dāng)AC到達(dá)AN之前時，如圖2所示.

①NPBD=度，ZMAC=度（用含有/的代數(shù)式表示）；

②求當(dāng)AC轉(zhuǎn)動幾秒時，兩燈的光束射線AC//BD?

（4）在3。到達(dá)8Q之前，是否還存在某一時刻，使兩燈的光束射線AC〃8。？若存在，直接寫出轉(zhuǎn)動

時間，若不存在，請說明理由.

【考點(diǎn)8與平行線有關(guān)的綜合題】

【例8】（2023秋?豐澤區(qū)期末）已知點(diǎn)M在直線48上，點(diǎn)N、。在直線CD上，點(diǎn)?在直線

AB、C。之間，連接PM、PN、PQ,PQ平分NMPN,如圖①.

（1）若/PMA=a、NPQC=B，求/NPQ的度數(shù)（用含a,0的式子表示）；

（2）過點(diǎn)。作QE〃PN交的延長線于點(diǎn)E,過石作Eb平分NPEQ交PQ于點(diǎn)F,如圖②，請你判

新EF與PQ的位置關(guān)系，并說明理由；

【變式8-1］（2023秋?仁壽縣期末）如圖①.已知AM〃CM點(diǎn)4為平面內(nèi)一點(diǎn)，ABLBC于點(diǎn)、B,過點(diǎn)B

作于點(diǎn)。，設(shè)/BCN=a.

（1）若a=30",求NA3Q的度數(shù)；

（2）如圖②，若點(diǎn)E、F在DM上,連接8E、BF、CF,使得BE平分NA8。、BF平分/DBC,求NEBF

的度數(shù)；

（3）如圖③，在（2）問的條件下，若C尸平分N8C”，且/BFC=3NBCN,求NEBC的度數(shù).

圖①圖②圖③

【變式8-2］（2023秋?香坊區(qū)校級期中〉點(diǎn)石在射線D4上，點(diǎn)尸、G為射線8C上兩個動點(diǎn)，滿足NO8產(chǎn)

=NDEF,NBDG=NBGD,DG平分NBDE.

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)尸右側(cè)時，求證：BD//EF；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)/左側(cè)時，求證：NDGE=NBDG+NFEG；

(3)如圖3,在(2)的條件下，尸為8。延長線上一點(diǎn)，DM平分N8QG,交BC于點(diǎn)M,ON平分N

【變式8-3](2023秋?南崗區(qū)校級期末)已知：直線A8〃C。，一塊三角板EFH,其中NE/77=90°,ZEHF

=60°.

(1)如圖I,三角板EF”的頂點(diǎn)，落在直線C。上，并使與直線相交于點(diǎn)G,若N2=2N1,

求N1的度數(shù)；

(2)如圖2,當(dāng)三角板EF”的頂點(diǎn)廠落在直線人8上，且頂點(diǎn)，仍在直線CD上時，E尸與直線。。相

交于點(diǎn)M，試確定NE、NAFE、NM”石的數(shù)顯關(guān)系；

(3)如圖3,當(dāng)三角板的頂點(diǎn)尸落在直線44上，頂點(diǎn)〃在46、8之間，而頂點(diǎn)￡恰好落在直

線C。上時得在線段E"上取點(diǎn)P,連接“并延長交直線C。于點(diǎn)丁，在線段EF上取點(diǎn)K,連

接PK并延長交NCE”的角平分線于點(diǎn)Q,若NQ-/HFT=15°,且NEFT=NETF,求證：PQ//FH.

專題2.7相交線與平行線章末重難點(diǎn)突破

【北師大版】

〒善百丁相豆塞市運(yùn)席云薊就最浦i

【例1】(2023春?武昌區(qū)期中)如圖，直線M。、CN相交于點(diǎn)。，0A是NMOC內(nèi)的一條

射線，。5是NN。。內(nèi)的一條射線，ZMON=70；

(備用圖)

(1)若/BOD=3/COD,求NBON的度數(shù)；

(2)若NAOO=2N8。。，NBOC=3NAOC,求NBON的度數(shù).

分析：(I)根據(jù)對頂角的定義可得/COD的度數(shù)，再根據(jù)/5。。一方NCOD可得

的度數(shù)，然后根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得答案；

(2)設(shè)NAOC=x°,則NBOC=3x°,利用角的和差運(yùn)算即可解得x,進(jìn)而可得NBON

的度數(shù).

【解答】解：(I)???/MON=70°,

:.NCOD=/MON=10°,

???ZBOD=^ZCOD=1x70°=35°,

???NBON=180°?NMON-/8。。=180°-70°?35°=75°；

(2)設(shè)NAOC=x°,則N5OC=3x°,

'：4C0D=NMON=W0,

：,ZBOD=ZBOC-ZCOD=3x°-70°,

AZAOD=ZAOC+ZCOD=x°+70°,

：NAOD=2NBOD,

Ax+70=2(3x-70),

解得x=42,

AZBOD=3x0-70°=3X420-70°=56°,

???NBON=1800-NMON-NDOB=180°-70°-56°=54°.

【變式1-1](2023春?饒平縣校級期末)如圖，A3、CD交于點(diǎn)O,ZAOE=4ZDOE,Z

AOE的余角比NQOE小10°(題中所說的角均是小于平角的角).

(1)求/人OE的度數(shù)；

(2)請寫山NAOC在圖中的所有補(bǔ)角；

(3)從點(diǎn)O向直線AB的右側(cè)引出一?條射線OP,當(dāng)NCOP=/AOE+NDOP時，求/

BOP的度數(shù).

分析：(1)設(shè)NQOE=x,則NAOE=4x,列方程即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)補(bǔ)角的定義即可得到結(jié)論；

(3)如圖，當(dāng)。尸在C。的上方時，當(dāng)OP在CO的下方時，列方程即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)設(shè)/。OE=x,貝iJ/A0E=4x,

???/4OE的余角比/QOE小10。，

/.900-4x=x-10°,

/.x=20°,

???NAOE=80°；

(2)NAOC在圖中的所有補(bǔ)角是NAOO,ZBOC,/BOE；

(3)VZAOE=80°,NQOE=20°,

/.ZAOD=\00C,

???N4OC=80°,

如圖，當(dāng)。尸在C。的上方時,

設(shè)N40P=JG

，NOOP=100°-A,

4cop=/AOE+/DOP,

???80°+x=80°+100°-x,

/.x=50°,

???NAOP=NQOP=5Q°,

*：ABOD=ZAOC=W,

??.N3OP=800+50°=130°:

當(dāng)。尸在CD的下方時，

設(shè)NOOP=x,

???N3OP=80°-x,

ZCOP=NAOE+NDOP,

A100°ix=80°-x,

Ax=50°,

???NBOP=30°,

綜上所述，N8OP的度數(shù)為130°或30°.

【變式1-2]（2023春?石城縣期中）平面內(nèi)兩條直線EF、CD相交于點(diǎn)O,OA1OB.OC

恰好平分NAOF.

（1）如圖1,若NAOE=40°,求N8O。的度數(shù)；

（2）在圖1中，若40七=工。，請求出N8。。的度數(shù)（用含有x的式子表示），并寫

出NAOE和/BO。的數(shù)量關(guān)系；

（3）如圖2,當(dāng)OA,。8在直線E尸的同側(cè)時，NAOE和N8。。的數(shù)量關(guān)系是否會發(fā)生

改變？若不變，請直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系；若發(fā)生變化，請說明理由.

分析：(1)根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和角平分線的定義解答即可；

(2)根據(jù)垂線的定義、鄰補(bǔ)角的定義和角平分線的定義解答即可；

(3)根據(jù)(1)(2)解答即可.

【解答】解：(1)???乙40石=40°,

???/4。/=180°?NAOE=140°,

???OC平分/AOP,

1

：.Z.AOC=^AOF=70°,

,：OA1OB,

/.ZAOB=90°,

.,.ZB(?D=1800-ZAOB-ZAOC=20°；

(2)VZAOE=xc,

AZ.AOF=\^°-ZAOE=(180-x)°,

?/0c平分NAO凡

：.Z.AOC=^/-AOF=(90-1x)0,

yOAlOB,

???NAO8=90°,

1i

"BOD=180°-AAOB-Z-AOC=180°-90°-(90°-4x)°=ix°;

：.NAOE=2NBOD；

(3)不變，NAOE=2/BOD.

【變式1-3](2023秋?南崗區(qū)期中)如圖，直線AB、。。相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作OELCD.

(1)如圖I,求證：NBOE-N4OC=90°；

(2)如圖2,將射線OB沿著直線C。翻折得到射線。凡即N8OD=/R7O,求證：

OE平分NAOR

(3)如圖3,在(2)的條件下，過點(diǎn)。作0G_LA8,當(dāng)NFOG：ZAOE=2：3時，求

NCOG的度數(shù).

分析：(I)由垂直的定義及角度的和差計算可得；

(2)證明0E平分NAOF,即證明NAOE=NEOR通過題目中角度的和差運(yùn)算可得；

(3)設(shè)出NR9G的度數(shù)，表示出/AOE的度數(shù)，找到等量關(guān)系，列出等式，求出未知

數(shù)的值，即可.

【解答】解:⑴如圖，???AB,。。相交于點(diǎn)0,

???ZA0C=4B0D,

*：OELOD.

???NOOE=90°,

：?ND0E=NB0E-/BOD=90°,

：,ZBOE-ZAOC=9Q°.

(2)如圖，???0EJ_0￡>,

；?NOOE=90°,

???NEOF+N/。。=90°,

2ZEOF+2ZFOD=1800,

?：NBOD=NFOD,

：,ZFOB=2ZFOD,

???2NEOF=1800-ZFOB=ZAOF,

ZAOE=NEOF,

；?OE平分NA。尸.

(3)如圖，

VZFOG：ZAOE=2：3.

，設(shè)NFOG=2a,則NAOE=3a,

/.NEOG=3a-2a=a,

???/EOG+NGOQ=90°,ZGOD+ZBOD=90°,

:./EOG=NBOD=a,

：?NF0D=4B0D=a.

???A,O,B三點(diǎn)在一條直線上,

.*.3a+a+2a+a=180

解得a=22.5°,

???NCOG=112.5°.

【考點(diǎn)2相交線中運(yùn)用分類討論思想求角】

【例2】(2023秋?永嘉縣校級期末)直線48與直線CO相交于點(diǎn)。，OE平分N80D

(1)如圖①，若N8OC=130°,求NAOE的度數(shù)；

(2)如圖②，射線0r在NAOQ內(nèi)部.

①若。尸J_OE,判斷0尸是否為NAO。的平分線，并說明理由；

②若。/平分NAOE,ZAOF=求N8O。的度數(shù).

分析：(1)根據(jù)/8OC=130°,OE平分NBOD即可求/AOE的度數(shù)；

(2)①根據(jù)O以LOE,OE平分N3OD,即可判斷。?是NAO。的平分線；

②根據(jù)"平分NAOE,ZAOF=\ADOF,即可求/40。的度數(shù).

【解答】解:(1)VZfiOC=130°,

???NAOO=N8OC=150°,

ZBOD=\SO°?N8OC=50°

???。￡：平分/30。，

：.ZDOE=25°

：.ZAOE=ZAOD+ZDOE=155°.

答：NAOE的度數(shù)為155°

(2)①。尸是NAOO的平分線，理由如下：

VOF1OE,

JNEO廣=90°

???N3O￡+NAOb=9(r

???OE平分NBO。，

：.ZBOE=ZDOE

：,ZDOE+ZAOF=90"

^DOE+^DOF=90°

???ZAOF=ZDOF

??.0r是NAO。的平分線：

②2ZAOF=\ADOF.

設(shè)NQOF=3x,則NAOF=/5x,

???》平分NA。，

???ZAOF=ZEOF=5x

???ZD0E=2x

???0E平分NBO。，

：.ZBOD=4x

5X+3A+4.V=180°

Ax=15°.

???NBOO=4x=60°.

答：NBO。的度數(shù)為60°.

【變式2-1】(2023秋?南崗區(qū)校級月考)如圖，點(diǎn)。在直線E/上，點(diǎn)A、B與點(diǎn)C、。分

別在直線￡尸兩側(cè)，且NAO4=12()°,NCOD=70；

(1)如圖1,若OC平分NBOD,求NAO。的度數(shù)；

(2)如圖2,在(1)的條件下，OE平分NAOD,過點(diǎn)O作射線OGLO13,求NEOG

的度數(shù)；

(3)如圖3,若在NBOC內(nèi)部作一條射線OH,若NCOH：ZBOH=2：3,ZDOE=5

/FOH,試判斷NAOE與NQOE的數(shù)最關(guān)系.

分析：(I)根據(jù)角平分線定義和周角是360°可得NAOC的度數(shù)；

(2)分兩種情況：當(dāng)OG在E尸下方時：當(dāng)OG在E尸上方時，計算即可：

(3)由NCOH：NB()H=2：3,ZDOE=5ZFOH,設(shè)NOOE=5a,則N*OH=Q,再

結(jié)合角平分線的性質(zhì)可用a表達(dá)出4C0H/B0C的度數(shù)，求出N4OE與ZDOE的度數(shù).

【解答】解：(1)TOC平分N8。。，

/.ZBOD=2ZCOD=2X10Q=140°,

VZAOB=I20°,

???/40。=360°-NAOB-N8OD=360°-120°-140°=100°.

(2)當(dāng)OG在EV下方時，

平分NAO。，ZAOD=100°,

：.^AOE=^Z-AOD=50°,

■:OGLOB,

???N8OG=90°,

：,ZAOG=ZAOB-ZBOG=\2()a-90“=30°,

：,NEOG=N4OG+NAOE=80°.

當(dāng)OG在EF上方時，

平分NAO。，ZAOD=100°,

：.AAOE=^AAOD=50°.

???0G_L08,

???N3OG=90°,

?.?NAOE+NAOB+NBOG+NEOG=36()°,NAO8=120°,

；?NEOG=360°-50c-120°-90°=100°；

(3)設(shè)NOOE=5a,則/尸O"=a,

圖3

NCO”=180°-ZDOE-/CO。-ZFOH=110°-6a,

/.ZBOC=275°-15a,

???NAOO=360°-/CO。-NBOC-NAO8=360°-70°-（2750-15a）-120°=

15a-105°,

：.ZAOE=\0a-105°,

：.ZAOE=2ZDOE~105°.

【變式2-2］（2023秋?門頭溝區(qū)期末）已知，點(diǎn)O在直線AB上，在直線外取一點(diǎn)C,

畫射線OC,0。平分/30C.射線在直線A8上方，且于O.

（1）如圖1,如果點(diǎn)C在直線A6上方，HZZ?OC=30°,

①依題意補(bǔ)全圖1；

②求NAOE的度數(shù)（O'VN4OEV180。）；

（2）如果點(diǎn)C在直線外，且N40C=a,請直接寫出NAOE的度數(shù).（用含。的代

數(shù)式表示，旦0°<Z.4OE<180°）

oBAOB

圖1備用圖

分析：（1）①依據(jù)。。平分N80C,射線0E在直線48上方，且。E_LOQ于O,進(jìn)行

畫圖即可.

②依據(jù)角平分線的定義以及垂線的的定義，即可得出/AOE的度數(shù)；

（2）分兩種情況討論：點(diǎn)C在直線4B上方，點(diǎn)C在直線A8下方，分別依據(jù)角平分線

的定義以及垂線的的定義，進(jìn)行計算即可.

【解答】解：（1）①如圖所示：

②???/80。=30°,0D平分NBOC,

1

：.ZB0D=^B0C=\50，

???OD1OE,

又???點(diǎn)0在直線匕

???NAOE=180°-90°-15°=75°；

（2）分兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)C在直線A8上方時，如圖1,

同理可得，NBOD二a,ZDOE=90°,

/.ZAOE=180°-90°=90°-1a；

②當(dāng)點(diǎn)C在直線AB下方時，如圖2,

E

???。。平分N30C,

1

，4B0D=加，

■:OD1OE,

/.ZDOE=90°,

???N8。E=90°a,

又?..點(diǎn)。在直線人〃上，

???NAOE=180°-（90°-1a）=90°+1a.

綜上所述，N4OE的度數(shù)為90°-*a或900+b.

【變式2?3】（2023秋?金湖縣期末）【問題情境】蘇科版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)七上第178頁

第13題有這樣的一個問題：“如圖1,OC是N/1O8內(nèi)一條射線，O。、OE分別平分N

AOB.ZAOC.若N4OC=30°,ZBOC=90°,求NOOE的度數(shù)”，小明在做題中發(fā)

現(xiàn)：解決這個問題時NAOC的度數(shù)不知道也可以求出/。。后的度數(shù).

也就是說這個題目可以簡化為：如圖1,OC是NAO5內(nèi)一條射線，OD、。上分別平分N

AOB.ZAOC.若NBOC=90°,求/OOE的度數(shù).

（1）請你先完成這個簡化后的問題的解答；

【變式探究】小明在完成以上問題解答后，作如下變式探究：

（2）如圖1,若NBOC=W,則NOOE=-°：

—2—

【變式拓展】小明繼續(xù)探究：

（3）已知直線AM、BN相交于點(diǎn)O,若OC是NAOB外一條射線，且不與OM、ON重

合，OD、OE分別平分NAO8、ZAOC,當(dāng)N80C=〃?°時，求NOOE的度數(shù)（自己在

備用圖中畫出示意圖求解）.

D

B

圖1

分析：（1）首先假設(shè)/AOC=a°,然后用。表示NA08,再根據(jù)O。，0E兩條角平分

線，推出NQ0E即可；

（2）首先假設(shè),然后用a表示,人。氏再根據(jù)OZ）,OE兩條角平分線，用

mQ表示NOOE即可；

（3）分三種情況討論，第一種：0C在AM上，第二種：0C在AM下側(cè)，NM0N之間,

第三種：0C在NAON之間，即可得到NOOE,

【解答】解：（1）設(shè)/AOC=a°,

則NA08=N40C+/B0C=a0+90°,

???0。平分NAOB,OE平分4OC,

.??ZDOE=ZAOD-ZAOE=^ZAOB-2/AOC

=1Ca0+90。）一方。=1x90°=45°；

（2）設(shè)NAOC=a",

則NAO8=NAOC+N8OC=〃°+〃?0,

;。。平分NAO&。￡平分4OC,

/.ZDOE=ZAOD-ZAOE=^ZAOB-^ZAOC

m

故答案為：y°；

(3)①當(dāng)OC在AM上，即OC在N80M之間,

設(shè)N4OC=a°,

則NAOB=N4OC+N80c=。°+〃?°,

TO。平分NAOB,?！昶椒諲AOC,

②當(dāng)0C在直線AM下方，且OC在NMON之間時,

ZBOC=ZAOB+ZAOC=m°,

③當(dāng)OC在直線/1M下方，且0c在/人ON之間時,

由②得，ZBOC=m0,

111n1°

ZDOE=^ZAOC+^AOB=*80。=號：

綜上所述./。。后二啰或應(yīng)。。一啰.、

【考點(diǎn)3平行線的判定與性質(zhì)綜合證明題】

【例3】（2023春?鎮(zhèn)江期中）已知：如圖所示，NBAC和NACO的平分線交于E,AE交CD

于點(diǎn)F,Zl+Z2=90°.

（1）求證：AB//CD；

（2）試探究N2與N3的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

B

1

y3M_________

FD

分析：（1）根據(jù)角平分線定義得出N8AC=2N1,NACO=2N2,根據(jù)Nl+N2=90°

得出NBAC+N4CD=180°,根據(jù)平行線的判定得出即可；

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線定義得出/1=/3,即可求出答案.

【解答】（I）證明：和NAC。的平分線交于E,

/.ZBAC=2Z1,ZACD=2Z2,

VZ1+Z2=9O°,

???NB4C+NACZ）=180°,

:.AB〃CD、

（2）解；Z24-Z3=90°,理由如下：

???4尸平分NBAC,

?:AB"CD,

?'?NBA尸=N3,

AZ1=Z3,

VZ1+Z2=9O°,

，N2+N3=90".

【變式3-1］（2023秋?建寧縣期末）如圖，一條直線分別與直線BE、直線CE、直線BF、

直線C尸相交于A,G,H,D,且N1=N2,ZB=ZC.

求證：3）8/〃EC；

（2）NA=N。.

分析：（1）由NI=N2直接可得結(jié)論；

（2）根據(jù)8尸〃EC,NB=NC,可得NB=NBFD,從而AB〃CD,即得NA=ND

【解答】證明：（1）VZ1=Z2（己知），

???B/〃石C（同位角相等，兩直線平行）；

（2）-：BF//EC（已證），

:./C=/BFD（兩直線平行，同位角相等），

???NB=NC（己知），

：.4B=4BFD（等量代換），

:?AB〃CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），

???NA=N。（兩直線立行，內(nèi)錯角相等）.

【變式3-2］（2023秋?九龍縣期末）如圖，已知點(diǎn)A在E尸上，點(diǎn)尸，。在BC上，Z￡=Z

EMA,4BQM=/BMQ.

（1）求證：EF/ZBCx

（2）FPLAC,N2+NC=90°,求證：Z1=Z￡；

（3）若N3+N4=180°,NBA尸=3/尸?20°,求N8的度數(shù).

分析：（1）根據(jù)，NE=/EMA,NBQM=NBMQ,結(jié)合對頂角相等可得/石=/BQM,

利用內(nèi)錯角相等兩直線平行可證明結(jié)論；

（2）根據(jù)垂直的定義可得NPGC=90°,由兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得NEAC+NC

=180°,結(jié)合N2+NC=90°,可求得N84C=90。，利用同位角相等兩直線平行可得

AB//FP,進(jìn)而可證明結(jié)論；

（3）根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)可判定AB〃FP,結(jié)合NBA尸=3/r-20°可求解Nb的度數(shù)，

根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NB=NF,即可求解.

【解答】（I）證明：ZE=ZEMA,NBQM=NBMQ,NEMA=/BMQ,

；.NE=NBQM,

:,EF〃BC；

（2）證明：VFPX4C,

???NPGC=90°,

YEF〃BC,

，NE4C+NC=180°,

VZ2+ZC=90°,

???NBAC=NPGC=90°,

:.AB〃FP,

AZ1=ZB；

（3）解：VZ3+Z4=180°,N4=NMN/，

AZ3+ZM/VF=180o.

：.AB//FP,

，NF+NBAr=180°,

VZ5AF=3ZF-20°,

AZF+3ZF-2O0=180°,

解得/尸=50°,

?：AB〃FP,EF//BC,

AZB=Z1,Z1=ZF,

AZ?=ZF=50o.

【變式3-3](2023秋?安居區(qū)期末)如圖，NAOE+N8C尸=180°,A/平分NBA。，Z.BAD

=2ZF.

(1)與4c平行嗎？請說明理由.

(2)48與E/的位置關(guān)系如何？為什么？

(3)若BE平分/ABC.試說明：①NABC=2NE；②/E+N/=90°.

分析：(1)由乙40E+NBC/=I80°結(jié)合鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，可得出NBCF=NAOC,再利用

“同位角相等，兩直線平行”可得出4O〃8C；

(2)根據(jù)角平分線的定義及NB4Q=2NF,可得出NZM〃=NF,再利用“內(nèi)錯角相等，

兩直線平行”可得出A8〃EF；

(3)①由AB〃EF,利用“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”可得出N4BE=NE,結(jié)合角平分

線的定義可得出NA8C=2NE：

②由AD//BC,利用“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”可得出N84Q+N/WC=180°,再

結(jié)合N84O=2/尸，N4BC=2NE可得出NE+N尸=90°.

【解答】解：(1)AO〃8C,埋由如下：

VZADE+ZBCF=\^(]°,ZADE+ZADC=180°,

，NBCF=ZADC,

J.AD//BC.

(2)AB//EF,理由如下：

戶平分NBA。，NBAD=2NF,

：.ZBAF=^BAD=ZF,

C.AB//EF.

(3)?ZABC=2ZE,理由如下：

*：AB//EF,