北師大版七年級數(shù)學寒假班講義(基礎班)

第一講整式的乘方

一.同底數(shù)鬲的乘法

優(yōu)（其中明〃都是正整數(shù)）.即同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

要點詮釋:（1）同底數(shù)幕是指底數(shù)相同的幕，底數(shù)可以是任意的實數(shù)，也可以是單項式、多項式.

（2）三個或三個以上同底數(shù)幕相乘時，也具有這一性質(zhì),即屋?"=屋…"（機n.〃都是正整數(shù)）.

（3）逆用公式：把一個鬲分解成兩個或多個同底數(shù)幕的積，其中它們的底數(shù)與原來的底數(shù)相同，它們的

指數(shù)之和等于原來的幕的指數(shù)。即a”（m,〃都是正整數(shù)）.

例題

1.計算a6?a2的結(jié)果是（)

A.a23B.a4C.a8D.a12

2.下列各式計算結(jié)果不為a"的是（

A.a7+a7B.a2*a3*a4*a5*C.(-a)2?(-a)3?(-a)%(-a)5D.a5*a9

3.化簡（-a）2a3所得的結(jié)果是（)

A.a5B.-a5C.a6D.-a

同步練習

1.計算(x-y)3*(y-x)=()

A.(x-y)4B.(y-x)4C.?(x?y)4D.(x+y)4

2.21。40.51。。的計算結(jié)果正確的是（)

A.1B.2C.0.5D.10

3.已知Xm=2,Xn=3,則xm+n的值是()

A.5B.6C.8D.9

二.幕的乘方與積的乘方

鬲的乘方法則：（""）”二產(chǎn)（其中相，〃都是正整數(shù)津口幕的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

要點詮釋：（1）公式的推廣：）"）〃=，幾〃，〃均為正整數(shù)）

（2）逆用公式：，根據(jù)題目的需要常常逆用鬲的乘方運算能將某些靠變形，

從而解決問題.

積的乘方法則：（aby=an-b"（其中〃是正整數(shù)）.即積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方,再把所得

的鬲相乘.

要點詮釋：（1）公式的推廣：（abc）n=優(yōu)0V”（〃為正整數(shù)）.

（2）逆用公式：優(yōu)〃〃=（,疝）"逆用公式適當?shù)淖冃慰珊喕\算過程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時，

計算更簡便如x2,0=^x2^|=1.

例題：

1.計算丹3?（&3）2的結(jié)果是（）

A.a8B.a9C.a11D.a18

2.下列運算正確的是（）

A.a2?a3=a6B.a3+a2=a5C.(a2)4=a8D.a3-a2=a

3.計算（-a2b尸的結(jié)果是（）

A.-a6b3B.a6bC.3a6b3D.-3a6b3

4.（-5x3y）2計算的結(jié)果是（）

A.25x5y2B.25x6y2C.-5x3y2D.-lOxy

5.計算（a2）3.（a2?a3）的結(jié)果是（)

A.0B.1C.aD.a3

同步練習：

1.計算：(X4)2+(X2)4-X(X2)2-x3-(-X)3?(-x2)2*(-x)

2.計算：(2m2n3n3.

3.已知ax=-2,ay=3.求:

(1)ax+y的值;

(2)a3x的值；

(3)a?x+2y的值.

4.計算:(-x)3*x2n-1+x2n*(-x)2.

m+122

5.計算:(-3am)2-am+i.am-1+2(a)-ra.

三.單項式乘以單項式

單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它們的

指數(shù)作為積的一個因式.

要點詮釋：(1)單項式的乘法法則的實質(zhì)是乘法的交換律和同底數(shù)幕的乘法法則的綜合應用.

(2)單項式的乘法方法步驟：積的系數(shù)等于各系數(shù)的積，是把各單項式的系數(shù)交換到一起進行有理

數(shù)的乘法計算，先確定符號，再計算絕對值；相同字母相乘，是同底數(shù)幕的乘法，按照"底數(shù)

不變，指數(shù)相加"進行計算；只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫在積里作為積

的一個因式.

(3)運算的結(jié)果仍為單項式，也是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)這三部分組成.

(4)三個或三個以上的單項式相乘同樣適用以上法則.

例題：

1?計算：4a3b.eabc),

2.算：(-2x2y3)2-x?y4?3xy2.

3.計算：

(l).2a*3a2(2).[(-x)乎.

4.計算

(1).(-3a).(2ab)(2).(-2x2)3+4X3?X3.

同步練習：

1.計算：

(1).a6*a5*a7;(2).2(m2)4+m4(m2)2.

2.計算：

(1).x2*y2(-xy3)2.(2),,&2bl.(-2a2b2c產(chǎn)

3.化簡.5a3b?(-3b)2+(-ab)(-6ab)2.

四.單項式乘以多項式

單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.即+Z?+c)=ma+mb+me.

要點詮釋：(1)單項式與多項式相乘的計算方法，實質(zhì)是利用乘法的分配律將其轉(zhuǎn)化為多個單項式乘單項式的

問題.

(2)單項式與多項式的乘積仍是一個多項式，項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同.

(3)計算的過程中要注意符號問題，多項式中的每一項包括它前面的符號，同時還要注意單項式的

(4)對混合運算，應注意運算順序，最后有同類項E寸，必須合并，從而得到最簡的結(jié)果.

例題：

1.化簡：(1).4m+2(m-2n)(2).(2x)3-6x(x2+2x-1).

2.計算：

(1).(-2xy2)2?3x2y；(2).(-2a2)(3ab2-5ab3)

同步練習：

2

1.計算：(l).6ab(2a2b\b2).(2).(3x3y2-6x2y)Axy

3J

(3).(-3x)(7x2+4x-2)

五?多項式乘以多項式

多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即

（加+〃）=am+an+bm+bn.

要點詮釋：多項式與多項式相乘，仍得多項式.在合并同類項之前，積的項數(shù)應該等于兩個多項式的項數(shù)之積.

多項式與多項式相乘的最后結(jié)果需化簡，有同類項的要合并.特殊的二項式相乘：

（工+〃）（無+力）=冗2+（4+〃）x+a〃.

例題

1.如圖，某市有一塊長為（3a+b）米，寬為（2a+b）米的長方形地塊，規(guī)劃部門計劃將陰影部分進行綠化，中

間將修建一座雕像，則綠化的面積是多少平方米？并求出當a=3,b=2時的綠化面積.

2化簡(1).「+7)r-6)-(x-2)(x+l)

3.若x+y=3，且(x+2)(y+2)=12.

(1)求xy的值.(2)求x2+3xy+y2的值.

同步練習：

1.先閱讀后作答：我們已經(jīng)知道，根據(jù)幾何圖形的面積關(guān)系可以說明完全平方，實際上還有一些等式也可以用這

種方式加以說明，例如：(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,就可以用圖①的面積關(guān)系來說明.

(1)根據(jù)圖②寫出一個等式：.

(2)已知等式：(x+1)(x+3)=x2+4x+3,請你畫出一個相應的幾何圖形加以說明(仿照圖①或圖②畫出圖形即

可).

2.計算：

(1).(■x6)?(-x3)?(-x2)?(-X5)(2).(xm-2yn)(3xm+yn)

3.計算：2x(x-4)+(3x-1)(x+3)

綜合考查：

1.下面的計算不正確的是()

A.5a3-a3=4a3B.2m*3n=6m+nC.2m*2n=2m4-nD.-a2*(-a3)=a5

2.已知3n=a,3m=b,則3m+n+1=

3.計算a?a5?(2a3)2的結(jié)果為()

A.a6-2a5B.-a6C.a6-4a5D.-3a6

4.計算：-(-X2)3?(-X2)2-x*(-x3)3.

5.已知am=5,an=3,求a2m+3n的值

6.計算：

(1),b3*bm?bm+1(2).(-2a6)2+(-3a3)3豆.

7.計算：

(1).a(a-b)+ab;(2).2(a2-3)-(2a2-l).

8.計算:2x(x-4)+(3x-1)(x+3)

第二講乘法公式

一?平方差公式

平方差公式：(。+份(。-b)=a2-b2

兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.

要點詮釋：在這里，〃力既可以是具體數(shù)字，也可以是單項式或多項式.

抓住公式的幾個變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反

項"，而結(jié)果是"相同項"的平方減去"相反項"的平方.常見的變式有以下類型：

(1)位置變化：如(。+力(4+〃)利用加法交換律可以轉(zhuǎn)化為公式的標準型

(2)系數(shù)變化：如(3%+5y)(3x-5y)

(3)指數(shù)變化:如(〃/十〃2)(，〃3-〃2)

(4)符號變化：如“33一份

(5)增項變化：如(，"+〃+〃)("[-〃+〃)

(6”曾因式變化：如(。一8)(。+6)(/+/)(/+/)

例題:

1.若(2a+3b)()=4a2-9b2,則括號內(nèi)應填的代數(shù)式是()

A.-2a-3bB.2a+3bC.2a-3bD.3b-2a

2.(-5a2+4b2)()=25a4-16b4,括號內(nèi)應填()

A.5于+4b2B.5a2-4b2C.-5a2-4b2D.-5a2+4b2

3.下列多項式乘法中可以用平方差公式計算的是()

A.(-a+b)(a-b)B.(x+2)(2+x)C.(摟+y)(y-勿D.(x-2)(x+l)

4.下列運用平方差公式計算,錯誤的是()

A.(b+a)(a-b)=a2-b2B.(m2+n2)(m2-n2)=m4-n4

C.(2-3x)(-3x-2)=9x2-4D.(2x+l)(2x-l)=2x2-1

同步練習

1.計算(a-3b)(a+3b)-(-a-2b)(a-2b)

2.計算:

(1).(x+2y)(2x-y)(2).(2a-3b)(-2a-3b)

3.運用乘法公式計算

（1）.103x97(2).1022

二.完全平方公式

完全平方公式：（a+bf=a2^-lab+b2（a-b）2=a2-2ab+b2

兩數(shù)和（差）的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.

要點詮釋：公式特點：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）

這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見的變形:

a2+b2=(6z+Z?)2-2ab=(t?-/?)2+2ab

(a+b)2=(a—b)2+4ab

例題：

1.運用乘法公式計算（a-3）2的結(jié)果是（)

A.a2-6a+9B.a2-3a+9C.a2-9D.a2-6a-9

2.若(a+b)2=(a?b)2+A"(^()

A.2abB.-2abC.4abD.-4ab

3.運算結(jié)果是x4y2-2x2y+l的是()

A.(-l+x2y2)2B.(l+＞：2y2)2C.(-l+x2y)2D.(-1-x2y)2

4.若a+b=3,ab=2,則a?+b2的值是()

A.2.5B.5C.10D.15

同步練習

1.計算(-2m-1產(chǎn)等于()

A.-4m2-4m+lB.4m2-4m+1C.4m2+4m+lD.-(4m2-4m-1)

2.運用完全平方公式計算：992.

3.已知：a+b=-3,ab=2，求a2+b2的值.

b

4.將4個數(shù)abcd排成兩行，兩列，兩邊各加一條豎直線記成00,定義&=ad-be.上述記號叫做2階行

cd|cd|

列式，若"1lr=8.求x的值.

1-xx+1

綜合考查：

1.下列各式中能用平方差公式計算的是()

A.(-3x-2y)(3x-2y)B.(-2a-b)(2a+b)C.(x+2y)(2x-y)D.(m-n)(n-m)

2.下列關(guān)于962的計算方法正確的是()

A.962;(100-4)2=1002-42=9984B.962=(95+1)(95-1)=952-1=9024

C.96』(90+6)2=902+62=8136D.962=(100-4)2=1002-2x4xl00+42=9216

3.x2-4x+m2是一個完全平方式,則m的值是()

A.2B.-2C.+2和?2D.4

4.如果二次三項式x2-8x+m能配成完全平方式，那么m的值是.

5.若代數(shù)式x2-8x+m為完全平方式，則m=

6.(一個正方形的面積是(a2+8a+16)cm2,則此正方形的邊長是cm.

7.如果9x2+kx+25是一個完全平方式,那么k的值是.

8.計算：

(l).(2a+l)(-a-2);(2).(x+y-3)(x-y+3).

第三講相交線及三線八角

一.對頂角和鄰補角

對頂角

1.對頂角的模型：

Z1和/2是對頂角，/3和/4是對頂角.

要點詮釋：①成對出現(xiàn)；②兩個角有公共的頂點；③角的兩邊互為反向延長線.

2.對頂角的性質(zhì):對頂角相等.

鄰補角

1.鄰補角：兩個角有一條公共邊，他1門的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角互為鄰補角.

zl和/3是鄰補角，zl和/4是鄰補角,z2和/3是鄰補角，z2和/4是鄰補角，

要點詮釋：①成對出現(xiàn)；②兩個角有公共的頂點；③兩個角有一條公共邊，另一邊互為反向延長線.

3.鄰補角的性質(zhì)：兩個角的和為180°.

例題：

1.如圖，直線a、b相交于點O,將量角器的中心與點O重合，發(fā)現(xiàn)表示60。的點在直線a上，表示138。的點在直

2.如圖，直線AB、CD、EF相交于點O.

(1)寫出NBOE的對頂角和鄰補角；

(2)若/AOC:zAOE=2:1,zEOD=90°,求NBOC的度數(shù).

同步練習：

1.如圖，有一個破損的扇形零件，小明利用圖中的量角器量出這個扇形零件的圓心角度數(shù)為50。，你認為小明測

量的依據(jù)是()

A.垂線段最短B.對頂角相等C,圓的定義D.三角形內(nèi)角和等于180°

2.下面四個圖中，是對頂角的是（)

3.下列各圖中，zl和/2可能是鄰補角的只有（

二.垂線

垂線

1.兩直線相交所形成的角中，當有一個角等于90°時,這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂

線，他們的交點叫做垂足.

2.垂直的模型：

b

O3a-

要點詮釋：①直線a是直線b的垂線（或直線b是直線a的垂線），垂足為O.

②直線a垂直于直線b于點。(或直線b垂直于直線a于點0).

結(jié)論：兩垂直直線形成的四個角都是直角，均為90°.

3.在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

垂線段

1.過直線外一點作直線的垂線，以這個點和垂足為端點的線段叫做這個點到直線的垂線段.

2.垂線段模型：

a3

線段AB是點A到直線a的垂線段.

3.連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.

簡單說成：垂線段最短.

4.直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.

注意：距離是長度，不是線段.

例題：

L如圖，OMJLNP,ONJLNP,所以ON與0M重合，理由是—

■。

NP

2.如圖，直線AB,CD相交于點O,EO_LAB,垂足為O.

(1)寫出圖中與N1互為余角的角；

(2)若/AOC:z2=3:2,求N1的度數(shù).

D

3.如圖所示,AD±BD,BC±CD,AB=5cm,BC=3cm,則BD的長度的取值范圍是

4.如圖,BCJLAC,CB=8cm,AC=6cm,AB=10cm,那么點B至ijAC的距離是_____cm，點A至I」BC的距離

cm,C至!JAB的B巨離是_________cm.

同步練習：

1.如圖，點A,B,C,D,E在直線I上，點P在直線I外，PC±I于點C,在線段PA,PB,PC,PD,PE中，

最短的一條線段是，理由是

2.如圖，體育課上老師測量跳遠成績是這樣操作的：用一塊直角三角板的一邊附在踏跳板上，另一邊與拉直的皮

尺重合，并且使皮尺經(jīng)過被測試同學的落點，這樣做的理由是

三.三線八角

模型：

1.同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角分別在兩直線的同一方，并且在第三條直線（截線）

的同旁，則這樣一對角叫做同位角.如與/8,Z2與N5.

2.內(nèi)錯角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線之間，并且在第三條直線;截線）的兩側(cè)，

則這樣一對角叫做內(nèi)錯角.如N1與/6,/4與/5.

3.同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線之間，并且在第三條直線（截線）的同

一旁，則這樣一對角叫做同旁內(nèi)角.如N1與N5,N4與N6.

要點詮釋.三線八角中的某兩個角是不是同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角，完全由那兩個角在圖形中的相對位置決定.在

復雜的圖形中判別三類角時，應從角的兩邊入手，具有上述關(guān)系的角必有兩邊在同一直線上，此直線即為截線，而

另外不在同一直線上的兩邊，它們所在的直線即為被截的線.同位角的邊構(gòu)成"F〃形，內(nèi)錯角的邊構(gòu)成"Z"形，

同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成"U"形.

例題：

2.如圖，已知直線a,b被直線c,d所截，直線a,c,d相交于點。，按要求完成下列各小題.

（1）在圖中的/I~/9這9個角中，同位角共有多少對？請你全部寫出來；

（2）z4和/5是什么位置關(guān)系的角？z6和/8之間的位置關(guān)系與/4和N5的相同嗎？

同步練習：

1.如圖，直線AB,AF被BC所截，則/2的同位角是（）

A.zlB.z2C.Z3D.z4

2.如圖，與是同旁內(nèi)角的是（）

A.z2B.z3C.z4D.z5

3.如圖，四邊形ABCD的對角線AC,BD交于點O,則/DAC的內(nèi)錯角是（）

A.zABDB.zBDCC.zACBD.zDOC

4.下列所示的四個圖形中，N1和/2是同位角的是（）

A.①②B.②③C.①③D.②④

綜合考查：

1.如圖是一把剪刀，其中/1=/2,其理由是

2.如圖，線段AD、AE、AF分別是^ABC的高線，角平分線，中線，比較線段AC、AD、AE、AF的長短，其中最

短的是________________，

3.如圖所示,AB±li,AC±I2,則點A到直線li的距離是線段的長度.

4.如圖所示，直線AD與直線BD相交于點D,BE±AD,垂足為點E,AC與DC垂直于點C.點B到直線AD的距

離是線=殳的長度，點D到直線AB的距離是線段的長度.

5.如圖，直線a、b被直線c所截，互為同旁內(nèi)角是.

6.如圖所示，兩只手的食指和拇指在同一平面內(nèi)，它們構(gòu)成的一對角可以看成.

7.如圖，OC_LAB于點。，N1=N2,則圖中互余的角有_________對.

c

8.如圖,直線AB、CD相交于點O,0E平分/BOD,zAOC=76°,zDOF=90°,求/EOF的度數(shù).

9.如圖所示：

(1)與/B是同旁內(nèi)角的有哪些角？

(2)與/C是內(nèi)錯角的有哪些角?

它們分別是哪兩條直線被哪一條直線所截形成的？

第四講平行線

一.平行公理及推論

1.在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線只有兩種位置關(guān)系：相交和平行.直線a與直線b不相交時，直線a與b互相

平行，記作alib.

2.平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行.

平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.

例題：

1.如圖,已知OAllCD,OBllCD,那么NAOB是平角,為什么?

A0B

CD

2.如圖，ADIIBC,E為AB上任一點，過E點作EFIIAD交DC于F.問EF與BC的位置關(guān)系怎樣,為什么？

同步練習：

1.如果aiib,bile,那么aiic,這個推理的依據(jù)是（）

A.等量代換B.兩直線平行，同位角相等

C.平行公理D.平行于同一直線的兩條直線平行

2.對于同一平面內(nèi)的直線a、b、c,如果a與b平行，c與a平行，那么c與b的位置關(guān)系是

二.平行線的判定

1.平行線的判定方法：

，上:C

8S1圖2S3

判定方法1兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等,,那么這兩條直線平行.

簡單說成：同位角相等，兩直線平行.

如圖1,,.,z4=z2,..alib.

判定方法2兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等,，那么這兩條直線平行.

簡單說成：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.

,

如圖2,.z4=z5z/.alib.

判定方法3兩條直線被第三條直線所截,如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行.

簡單說成：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.

如圖3,vz4+zl=180°r/.alib.

2.重要結(jié)論：在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行.

注意：條件"同一平面"不能缺少，否則結(jié)論不成立.

例題：

1.ABXBC,zl+z2=90°,z2=z3.BE與DF平行嗎?為什么?

解:BEIIDF.

\AB±BC,

/.zABC=—。,

即/3+/4=—°.

X/zl+z2=90°z

fiz2=z3,

理由是：________

/.BEliDF.

理由是：____________

同步練習：

2.如圖，點E在AC的延長線上，下列條件能判斷ABIICD的是（)

B.z3=z4C.zD=zDCED.zD+zACD=180°

3.如圖，能判定alib的條件是（)

A.zl=z5B.z2+z4=180°C.z3=z4D.z2+zl=180°

4.如圖,已知(3x+24)°,z2=(5x+20)°,要使mIIn,那么N1二（度）.

平行線的性質(zhì)：

性質(zhì)1兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡單說成：兩直線平行，同位角相等.

如圖1,,/alibz/.z4=z2.

性質(zhì)2兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等.簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

如圖2,'/alib,.,.z4=z5.

性質(zhì)3兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補.簡單說成：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.

如圖3,valib,/.z4+zl=180c.

例題:

1.如圖，zACB=90°,BD平分/ABE,CDllAB交BD于點D,若N1=20°,求/2的度數(shù).

2.如圖所示,AB,CD,AE和CE均為筆直的公路，已知ABllCD,AE與AB的夾角/BAE為32°,若線段CF與

EF的長度相等，則CD與CE的夾角/DCE為（）

A.58°B.32°C.16°D,15°

同步練習：

1.把一塊直尺與一塊三角板如圖放置，若/2=140。，則N1的度數(shù)為（）

C.40°D.45°

2.如圖，將一塊三角板疊放在直尺上，若/1=25。，貝k2的度數(shù)為（）

B.65°C.75°D.80°

四.平行線的判定與性質(zhì)的綜合運用

兩直線平行o同位角相等.

兩直線平行=內(nèi)錯角相等.

兩直線平行。同旁內(nèi)角互補.

o"叫做"等價于"，即由左邊能推出右邊，由右邊也能推出左邊.

例題:

1.把下面的推理過程補充完整，并在括號內(nèi)注明理由.

如圖，點D,E,F分別是三角形ABC的邊BC,CA;,,連接DE,DF,DEllAB,zBFD=zCED,連接

BE交DF于點G,試說明：zEGF+zAEG=180°.

理由:/DEIIAB(已知),

.-.zA=zCED(),

又?「NBFD=NCED(已知),

/.zA=zBFD(),

.1.DFllAE()

/.zEGF+zAEG=180°().

同步練習：

1.如圖，若/1+/2=180度，則下列結(jié)論正確的是()

D.z2+z3=180°.

2.如圖所示，AB±EF,CD±EF,ZL=/F=40。，且A,C,F三點共線，那么與/FCD相等的角有()

3.如圖，AB與CD相交于點0,如果4=/C=40°,NA=80°,那么NB的度數(shù)是()

A.40°B.80°C.60°D.無法確定

五.命題、定理、證明

1.命題：判斷T牛事情的語句叫做命題.

數(shù)學中的命題?？梢詫懗?如果……那么......"的形式，"如果”后接的部分是題設，"那么"后接的部分是結(jié)論.

2.真命題：如果題設成立，那么結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做真命題.

假命題：題設成立時，不能保證結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做假命題.

3.定理：經(jīng)過推理證實的真命題叫做定理.

判斷一個命題正確性的推理過程叫做證明.

4.判斷一個命題是真命題，需要進行證明；判斷一個命題是假命題，只要舉出一個例子(反例)，它符合命題的題

設，但不滿足結(jié)論就可以了.

例題：

L如圖，已知：點A、B、C在一條直線上.

(1)請從三個論斷①ADHBE;②N1=/2;③NA:/E中，選兩個作為條件,另一個作為結(jié)論構(gòu)成一個真命題：

條件：.

結(jié)論：.

(2)證明你所構(gòu)建的是真命題.

2.下列命題中是真命題的是（)

A.相等的角是對頂角B.相等的角的余角相等

C.若xy=O,則x=0D.若一個數(shù)帶有根號，則它是無理數(shù)

同步練習：

1.下列命題中，屬于假命題的是（)

A.三角形的內(nèi)角和等于180°B.圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是圓的對稱軸

C.對頂角相等D.在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線相互平行

2.下列命題是真命題的是（）

A.若awO,則abwOB.所有的命題都是定理

C.g|a|=|b|,則a=bD.定理是用來判斷其他命題真假的依據(jù)

綜合考查：

1.下列說法：①兩點之間的距離是兩點間的線段的長度；②過一點有且只有一條直線與已知直線平行；③兩點之

間的所有連線中，線段最短；④若a，b,c，b,則a與b的關(guān)系是平行；⑤只有一個公共點的兩條直線叫做相

交直線；其中正確的是

2.下列結(jié)論正確的是（）

A.同位角相等B.同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線

C.過一點有且只有一條直線與已知直線平行D.垂直于同一條直線的兩條直線互相平行

3.已矢：!：如圖，zl=z2,z3=z4,z5=z6.求證:EDliFB.

4.如圖，zA=22°,zE=30°zACllEF,則的度數(shù)為

D

5.如圖，已知/ABC+/ECB=180°,/P=/Q.求證:zl=z2.

6.如圖，zDAB+zD=180°,AC平分/DAB,且NCAD=25°,求/C的度數(shù).

D

AR

第五講函數(shù)

一.常量與變量

在一個變化過程中，我們稱數(shù)值發(fā)生變化的量為變量，數(shù)值始終不變的量為常量.

注意：字母可以表示數(shù)，但不一定是變量.

例題：

1.我國是一個嚴重缺水的國家，我們都應該倍加珍惜水資源,節(jié)約用水.據(jù)測試，擰不緊的水龍頭每秒會滴下2滴

水，每滴水約0.5毫升.小燕子同學在洗手時，沒有擰緊水龍頭，當小燕子離開x（時）后水龍頭滴了y（毫升）

水.在這段文字中涉及的量中，哪些是常量，哪些是變量？

同步練習：

1.（如果用總長為60m的籬笆圍成一個長方形場地，設長方形的面積為S（m2）周長為p（m）,一邊長為a（m）,

那么S、p、a中，常量是（）

A.aB.pC.SD.p,a

2.駱駝被稱為“沙漠之舟"，它的體溫隨時間的變化而發(fā)生較大的變化.在這一問題中，自變量是（）

A.時間B.駱駝C.沙漠D.體溫

3.在圓的周長公式C=2TIR中，是變量的是（）

A.CB.RC.TI和R口工和口

二.函數(shù)的相關(guān)概念

1.函數(shù)：在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y,并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對

應，那么我們就說x是自變量,y是因變量，y是x的函數(shù).

2.函數(shù)值：在一個函數(shù)中，如果當x=a時y=b,那么b叫做自變量的值為a時的函數(shù)值.

3.解析式：用關(guān)于自變量的數(shù)學式子表示函數(shù)與自變量之間的關(guān)系，這種式子叫做函數(shù)解析式.

4.函數(shù)自變量的取值范圍

確定自變量的取值范圍時，不僅要考慮使函數(shù)關(guān)系式有意義，而且還要注意問題的實際意義.

例題：

1.某公司銷售部門發(fā)現(xiàn)，該公司的銷售收入隨銷售量的變化而變化其中_______是自變量,___________是因變量.

3.判斷下列選項中的變量y是否為x的函數(shù)？

①y=2x；②y=2x2；@y2=2x;?y=2|x|;⑤M=2x.

4.求下列函數(shù)自變量x的取值范圍.

(1)y=-x2-5x+6;

(2)y=V47^3;

⑶y二等

1,x是有理數(shù)

5.著名的狄利克雷(DcicHer)函數(shù)是這樣定義的：y=

0,x是無理數(shù)

(1)這個函數(shù)的自變量與因變量分別是什么？

(2)這個函數(shù)的自變量的取值范圍和函數(shù)值的取值范圍分別是什么？

（3）請分別寫出當x=l,&,6.4,3.1415時的函數(shù)值.

同步練習：

1.下列各曲線表示的y與x之間的關(guān)系中，y不是x的函數(shù)的是（）

3.使函數(shù)y二后方意義的自變量x的取值范圍是（）

A.x>6B.x>0C.x<6D.x<0

4.函數(shù)y=l-6的自變量x的取值范圍是（）

A.x<lB.x>0C.x>0D.x<0

三.函數(shù)的表示方法

①函數(shù)的表示方法一圖象法

1.函數(shù)圖象

對于一個函數(shù)，如果把自變量x與函數(shù)的每對對應值y分別作為點的橫坐標、縱坐標，那么坐標平面內(nèi)由這些點

組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象.

注：①以滿足函數(shù)解析式的有序?qū)崝?shù)對為坐標的點一定在函數(shù)圖象上；

②函數(shù)圖象上點的坐標滿足函數(shù)解析5t

2.畫函數(shù)圖象的步驟：

①列表（表中隨機取出一些自變量的值及其對應的函數(shù)值）；

②描點(在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標,相應的函數(shù)值為縱坐標，描出表中數(shù)值對應的各點);

③連線(按橫坐標由小到大的順序把描出的各點用平滑的曲線連接起來).

3.用圖象法表示函數(shù)的優(yōu)缺點

優(yōu)點：直觀的反應兩個變量之間的關(guān)系，形象的反應函數(shù)的一些性質(zhì)及變化趨勢.

缺點：由圖象所得到的有關(guān)數(shù)據(jù)和數(shù)量關(guān)系不準確.

例題：

1.小紅幫弟弟蕩秋千(如圖1),秋千離地面的高度h(m)與擺動時間t(s)之間的關(guān)系如圖2所示.

(1)根據(jù)函數(shù)的定義，請判斷變量h是否為關(guān)于t的函數(shù)？

(2)結(jié)合圖象回答：

①當t=0.7s時，h的值是多少？并說明它的實際意義.

2.一天，王亮同學從家里跑步到體育館，在那里鍛煉了一陣后又走到某書店去買書，然后散步走回家如圖反映的是

在這一過程中，王亮同學離家的距離s(千米)與離家的時間t(分)之間的關(guān)系，請根據(jù)圖象解答下列問題：

(1)體育館離家的距離為千米，書店離家的距離為千米；王亮同學在書店待了_______分鐘.

(2)分別求王亮同學從體育館走到書店的平均速度和從書店出來散步回家的平均速度.

0153550S0110“分鐘）

②函數(shù)的表示方法一列表法

列表法的優(yōu)缺點：

優(yōu)點：可以直接找到函數(shù)值.

缺點：只能列出部分自變量與函數(shù)的對應值，總結(jié)出的規(guī)律不一定可靠.

同步練習：

1.父親告訴小明："距離地面越遠，溫度越低，”并給小明出示了下面的表格.

距離地面高度(千米)012345

(℃)201482-4-10

根據(jù)上表，父親還給小明出了下面幾個問題，你和小明一起回答.

(1)上表反映了哪兩個變量之間的關(guān)系？哪個是自變量？哪個是因變量？

(2)如果用h表示距離地面的高度，用t表示溫度，那么隨著h的變化，t是怎么變化的？

(3)你知道距離地面5千米的高空溫度是多少嗎？

(4)你能猜出距離地面6千米的高空溫度是多少嗎？

③函數(shù)的表示方法一解析式法

解析式法表示函數(shù)的優(yōu)缺點

優(yōu)點：簡單準確的反應兩個變量之間的關(guān)系.

缺點：不能形象直觀的反應函數(shù)關(guān)系的變化趨勢.有些函數(shù)關(guān)系不能用解析式表示.

例題：

1.將長為40cm,寬為15cm的長方形白紙，按圖所示的方法粘合起來，粘合部分寬為5cm.

5

(1)根據(jù)圖，將表格補充完整.

白紙張數(shù)12345???

紙條長度40110145???

(2)設x張白紙粘合后的總長度為ycm,求y與x之間的函數(shù)解析式.

(3)你認為粘合起來白紙的總長度可能為2017cm嗎?為什么？

同步練習：

1.下表反映的是某地區(qū)電的使用量x(千瓦時)與應交電費y(元)之間的關(guān)系，下列說法不正確的是(

用電量x(千瓦時)1234...

應交電費y(元)0.551.11.652.2...

A.x與y都是變量，且x是自變量，y是x的函數(shù)B.用電量每增加1千瓦時，電費增加0.55元

C.當交電費20.5元時，用電量為37千瓦時D.若用電量為8千瓦時，則應交電費4.4元

2.彈簧掛上物體后伸長,已知一彈簧的長度y(cm)與所掛物體的質(zhì)量m(kg)之間的關(guān)系如下表:

所掛物體的質(zhì)量m/kg012345

彈費的長度y/cm1012.51517.52022.5

下列說法錯誤的是()

A.在沒掛物體時，彈簧的長度為10cm

B.彈簧的長度隨所掛物體的質(zhì)量的變化而變化，彈簧的長度是自變量，所掛物體的質(zhì)量是因變量

C.彈簧的長度y(cm)與所掛物體的質(zhì)量m(kg)之間的關(guān)系可用關(guān)系式y(tǒng)=2.5m+10來表示

D.在彈簧能承受的范圍內(nèi)，當所掛物體的質(zhì)量為4kg時，彈簧的長度為20cm

綜合考老：

1在利用太陽能熱水器來加熱水的過程中，熱水器里的水溫隨所曬時間的長短而變化這個問題中因變量是()

A.太陽光強弱B.水的溫度C.所曬時間D.熱水器

2.生活中太陽能熱水器已進入千家萬戶，你知道嗎，在利用太陽能熱水器來加熱水的過程中，熱水器里的水溫所

曬時間的長短而變化，這個問題中因變量是()

A.水的溫度B.太陽光強弱C.所曬時間D.熱水器

3.李明準備租用一輛出租車搞個體營運，現(xiàn)有甲乙兩家出租車公司可以和他簽訂合同，設汽車每月行駛x千米，

應付給甲公司的月租費yi元，應付給乙公司的月租費是y2元，vi、丫2與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示，請

根據(jù)圖象回答下列問題：

(1)每月行駛的路程在多少時，租甲，乙兩家公司的費用相同？

(2)每月行駛的路程在什么范圍內(nèi)時，租甲公司的車合算？

(3)若李明估計每月行駛的路程為2300千米時，租哪家合算？

4.如圖表示一人騎自行車離家的距離與時間的關(guān)系,騎車者9時離開家，15時到家，根據(jù)圖象回答問題：

(1)到達離家最遠的地方是什么時間？離家多遠？

(2)第一次休息時離家多遠？

(3)返回時的平均速度是多少？

5.哥哥與弟弟兩個人跑步，哥哥讓弟弟先跑，如圖所示的是兩個人之間的距離y與時間x之間的函數(shù)圖象，根據(jù)

圖中信息回答下列問題.

(1)哥哥讓弟弟先跑多少秒？哥哥出發(fā)幾秒后追上了弟弟？

(2)哥哥與弟弟的速度分別是多少？

6.根據(jù)科學研究表明，在彈費的承受范圍內(nèi)，彈費掛上物體后會伸長，測得一彈費的長度y(cm)與所掛的物體

的重量x(kg)間有下表的關(guān)系：下列說法不正確的是()

x/kg012345

y/cm2020.52121.52222.5

A.x與y都是變量，且x是自變量,v是因變量B.彈簧不掛重物時的長度為0cm

C.隨著所掛物體的重量增加，彈簧長度逐漸變長D.所掛物體的重