北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)寒假班講義(基礎(chǔ)班)

第一講整式的乘方

一.同底數(shù)鬲的乘法

優(yōu)（其中明〃都是正整數(shù)）.即同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

要點(diǎn)詮釋:（1）同底數(shù)幕是指底數(shù)相同的幕，底數(shù)可以是任意的實(shí)數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式.

（2）三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)幕相乘時(shí)，也具有這一性質(zhì),即屋?"=屋…"（機(jī)n.〃都是正整數(shù)）.

（3）逆用公式：把一個(gè)鬲分解成兩個(gè)或多個(gè)同底數(shù)幕的積，其中它們的底數(shù)與原來的底數(shù)相同，它們的

指數(shù)之和等于原來的幕的指數(shù)。即a”（m,〃都是正整數(shù)）.

例題

1.計(jì)算a6?a2的結(jié)果是（)

A.a23B.a4C.a8D.a12

2.下列各式計(jì)算結(jié)果不為a"的是（

A.a7+a7B.a2*a3*a4*a5*C.(-a)2?(-a)3?(-a)%(-a)5D.a5*a9

3.化簡（-a）2a3所得的結(jié)果是（)

A.a5B.-a5C.a6D.-a

同步練習(xí)

1.計(jì)算(x-y)3*(y-x)=()

A.(x-y)4B.(y-x)4C.?(x?y)4D.(x+y)4

2.21。40.51。。的計(jì)算結(jié)果正確的是（)

A.1B.2C.0.5D.10

3.已知Xm=2,Xn=3,則xm+n的值是()

A.5B.6C.8D.9

二.幕的乘方與積的乘方

鬲的乘方法則：（""）”二產(chǎn)（其中相，〃都是正整數(shù)津口幕的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

要點(diǎn)詮釋：（1）公式的推廣：）"）〃=，幾〃，〃均為正整數(shù)）

（2）逆用公式：，根據(jù)題目的需要常常逆用鬲的乘方運(yùn)算能將某些靠變形，

從而解決問題.

積的乘方法則：（aby=an-b"（其中〃是正整數(shù)）.即積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方,再把所得

的鬲相乘.

要點(diǎn)詮釋：（1）公式的推廣：（abc）n=優(yōu)0V”（〃為正整數(shù)）.

（2）逆用公式：優(yōu)〃〃=（,疝）"逆用公式適當(dāng)?shù)淖冃慰珊喕\(yùn)算過程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時(shí)，

計(jì)算更簡便如x2,0=^x2^|=1.

例題：

1.計(jì)算丹3?（&3）2的結(jié)果是（）

A.a8B.a9C.a11D.a18

2.下列運(yùn)算正確的是（）

A.a2?a3=a6B.a3+a2=a5C.(a2)4=a8D.a3-a2=a

3.計(jì)算（-a2b尸的結(jié)果是（）

A.-a6b3B.a6bC.3a6b3D.-3a6b3

4.（-5x3y）2計(jì)算的結(jié)果是（）

A.25x5y2B.25x6y2C.-5x3y2D.-lOxy

5.計(jì)算（a2）3.（a2?a3）的結(jié)果是（)

A.0B.1C.aD.a3

同步練習(xí)：

1.計(jì)算：(X4)2+(X2)4-X(X2)2-x3-(-X)3?(-x2)2*(-x)

2.計(jì)算：(2m2n3n3.

3.已知ax=-2,ay=3.求:

(1)ax+y的值;

(2)a3x的值；

(3)a?x+2y的值.

4.計(jì)算:(-x)3*x2n-1+x2n*(-x)2.

m+122

5.計(jì)算:(-3am)2-am+i.am-1+2(a)-ra.

三.單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式

單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它們的

指數(shù)作為積的一個(gè)因式.

要點(diǎn)詮釋：(1)單項(xiàng)式的乘法法則的實(shí)質(zhì)是乘法的交換律和同底數(shù)幕的乘法法則的綜合應(yīng)用.

(2)單項(xiàng)式的乘法方法步驟：積的系數(shù)等于各系數(shù)的積，是把各單項(xiàng)式的系數(shù)交換到一起進(jìn)行有理

數(shù)的乘法計(jì)算，先確定符號(hào)，再計(jì)算絕對(duì)值；相同字母相乘，是同底數(shù)幕的乘法，按照"底數(shù)

不變，指數(shù)相加"進(jìn)行計(jì)算；只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫在積里作為積

的一個(gè)因式.

(3)運(yùn)算的結(jié)果仍為單項(xiàng)式，也是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)這三部分組成.

(4)三個(gè)或三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用以上法則.

例題：

1?計(jì)算：4a3b.eabc),

2.算：(-2x2y3)2-x?y4?3xy2.

3.計(jì)算：

(l).2a*3a2(2).[(-x)乎.

4.計(jì)算

(1).(-3a).(2ab)(2).(-2x2)3+4X3?X3.

同步練習(xí)：

1.計(jì)算：

(1).a6*a5*a7;(2).2(m2)4+m4(m2)2.

2.計(jì)算：

(1).x2*y2(-xy3)2.(2),,&2bl.(-2a2b2c產(chǎn)

3.化簡.5a3b?(-3b)2+(-ab)(-6ab)2.

四.單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即+Z?+c)=ma+mb+me.

要點(diǎn)詮釋：(1)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的計(jì)算方法，實(shí)質(zhì)是利用乘法的分配律將其轉(zhuǎn)化為多個(gè)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的

問題.

(2)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘積仍是一個(gè)多項(xiàng)式，項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同.

(3)計(jì)算的過程中要注意符號(hào)問題，多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)包括它前面的符號(hào)，同時(shí)還要注意單項(xiàng)式的

(4)對(duì)混合運(yùn)算，應(yīng)注意運(yùn)算順序，最后有同類項(xiàng)E寸，必須合并，從而得到最簡的結(jié)果.

例題：

1.化簡：(1).4m+2(m-2n)(2).(2x)3-6x(x2+2x-1).

2.計(jì)算：

(1).(-2xy2)2?3x2y；(2).(-2a2)(3ab2-5ab3)

同步練習(xí)：

2

1.計(jì)算：(l).6ab(2a2b\b2).(2).(3x3y2-6x2y)Axy

3J

(3).(-3x)(7x2+4x-2)

五?多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即

（加+〃）=am+an+bm+bn.

要點(diǎn)詮釋：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，仍得多項(xiàng)式.在合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)該等于兩個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)之積.

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的最后結(jié)果需化簡，有同類項(xiàng)的要合并.特殊的二項(xiàng)式相乘：

（工+〃）（無+力）=冗2+（4+〃）x+a〃.

例題

1.如圖，某市有一塊長為（3a+b）米，寬為（2a+b）米的長方形地塊，規(guī)劃部門計(jì)劃將陰影部分進(jìn)行綠化，中

間將修建一座雕像，則綠化的面積是多少平方米？并求出當(dāng)a=3,b=2時(shí)的綠化面積.

2化簡(1).「+7)r-6)-(x-2)(x+l)

3.若x+y=3，且(x+2)(y+2)=12.

(1)求xy的值.(2)求x2+3xy+y2的值.

同步練習(xí)：

1.先閱讀后作答：我們已經(jīng)知道，根據(jù)幾何圖形的面積關(guān)系可以說明完全平方，實(shí)際上還有一些等式也可以用這

種方式加以說明，例如：(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,就可以用圖①的面積關(guān)系來說明.

(1)根據(jù)圖②寫出一個(gè)等式：.

(2)已知等式：(x+1)(x+3)=x2+4x+3,請(qǐng)你畫出一個(gè)相應(yīng)的幾何圖形加以說明(仿照?qǐng)D①或圖②畫出圖形即

可).

2.計(jì)算：

(1).(■x6)?(-x3)?(-x2)?(-X5)(2).(xm-2yn)(3xm+yn)

3.計(jì)算：2x(x-4)+(3x-1)(x+3)

綜合考查：

1.下面的計(jì)算不正確的是()

A.5a3-a3=4a3B.2m*3n=6m+nC.2m*2n=2m4-nD.-a2*(-a3)=a5

2.已知3n=a,3m=b,則3m+n+1=

3.計(jì)算a?a5?(2a3)2的結(jié)果為()

A.a6-2a5B.-a6C.a6-4a5D.-3a6

4.計(jì)算：-(-X2)3?(-X2)2-x*(-x3)3.

5.已知am=5,an=3,求a2m+3n的值

6.計(jì)算：

(1),b3*bm?bm+1(2).(-2a6)2+(-3a3)3豆.

7.計(jì)算：

(1).a(a-b)+ab;(2).2(a2-3)-(2a2-l).

8.計(jì)算:2x(x-4)+(3x-1)(x+3)

第二講乘法公式

一?平方差公式

平方差公式：(。+份(。-b)=a2-b2

兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.

要點(diǎn)詮釋：在這里，〃力既可以是具體數(shù)字，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.

抓住公式的幾個(gè)變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項(xiàng)，又有“相反

項(xiàng)"，而結(jié)果是"相同項(xiàng)"的平方減去"相反項(xiàng)"的平方.常見的變式有以下類型：

(1)位置變化：如(。+力(4+〃)利用加法交換律可以轉(zhuǎn)化為公式的標(biāo)準(zhǔn)型

(2)系數(shù)變化：如(3%+5y)(3x-5y)

(3)指數(shù)變化:如(〃/十〃2)(，〃3-〃2)

(4)符號(hào)變化：如“33一份

(5)增項(xiàng)變化：如(，"+〃+〃)("[-〃+〃)

(6”曾因式變化：如(。一8)(。+6)(/+/)(/+/)

例題:

1.若(2a+3b)()=4a2-9b2,則括號(hào)內(nèi)應(yīng)填的代數(shù)式是()

A.-2a-3bB.2a+3bC.2a-3bD.3b-2a

2.(-5a2+4b2)()=25a4-16b4,括號(hào)內(nèi)應(yīng)填()

A.5于+4b2B.5a2-4b2C.-5a2-4b2D.-5a2+4b2

3.下列多項(xiàng)式乘法中可以用平方差公式計(jì)算的是()

A.(-a+b)(a-b)B.(x+2)(2+x)C.(摟+y)(y-勿D.(x-2)(x+l)

4.下列運(yùn)用平方差公式計(jì)算,錯(cuò)誤的是()

A.(b+a)(a-b)=a2-b2B.(m2+n2)(m2-n2)=m4-n4

C.(2-3x)(-3x-2)=9x2-4D.(2x+l)(2x-l)=2x2-1

同步練習(xí)

1.計(jì)算(a-3b)(a+3b)-(-a-2b)(a-2b)

2.計(jì)算:

(1).(x+2y)(2x-y)(2).(2a-3b)(-2a-3b)

3.運(yùn)用乘法公式計(jì)算

（1）.103x97(2).1022

二.完全平方公式

完全平方公式：（a+bf=a2^-lab+b2（a-b）2=a2-2ab+b2

兩數(shù)和（差）的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.

要點(diǎn)詮釋：公式特點(diǎn)：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）

這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見的變形:

a2+b2=(6z+Z?)2-2ab=(t?-/?)2+2ab

(a+b)2=(a—b)2+4ab

例題：

1.運(yùn)用乘法公式計(jì)算（a-3）2的結(jié)果是（)

A.a2-6a+9B.a2-3a+9C.a2-9D.a2-6a-9

2.若(a+b)2=(a?b)2+A"(^()

A.2abB.-2abC.4abD.-4ab

3.運(yùn)算結(jié)果是x4y2-2x2y+l的是()

A.(-l+x2y2)2B.(l+＞：2y2)2C.(-l+x2y)2D.(-1-x2y)2

4.若a+b=3,ab=2,則a?+b2的值是()

A.2.5B.5C.10D.15

同步練習(xí)

1.計(jì)算(-2m-1產(chǎn)等于()

A.-4m2-4m+lB.4m2-4m+1C.4m2+4m+lD.-(4m2-4m-1)

2.運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：992.

3.已知：a+b=-3,ab=2，求a2+b2的值.

b

4.將4個(gè)數(shù)abcd排成兩行，兩列，兩邊各加一條豎直線記成00,定義&=ad-be.上述記號(hào)叫做2階行

cd|cd|

列式，若"1lr=8.求x的值.

1-xx+1

綜合考查：

1.下列各式中能用平方差公式計(jì)算的是()

A.(-3x-2y)(3x-2y)B.(-2a-b)(2a+b)C.(x+2y)(2x-y)D.(m-n)(n-m)

2.下列關(guān)于962的計(jì)算方法正確的是()

A.962;(100-4)2=1002-42=9984B.962=(95+1)(95-1)=952-1=9024

C.96』(90+6)2=902+62=8136D.962=(100-4)2=1002-2x4xl00+42=9216

3.x2-4x+m2是一個(gè)完全平方式,則m的值是()

A.2B.-2C.+2和?2D.4

4.如果二次三項(xiàng)式x2-8x+m能配成完全平方式，那么m的值是.

5.若代數(shù)式x2-8x+m為完全平方式，則m=

6.(一個(gè)正方形的面積是(a2+8a+16)cm2,則此正方形的邊長是cm.

7.如果9x2+kx+25是一個(gè)完全平方式,那么k的值是.

8.計(jì)算：

(l).(2a+l)(-a-2);(2).(x+y-3)(x-y+3).

第三講相交線及三線八角

一.對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角

對(duì)頂角

1.對(duì)頂角的模型：

Z1和/2是對(duì)頂角，/3和/4是對(duì)頂角.

要點(diǎn)詮釋：①成對(duì)出現(xiàn)；②兩個(gè)角有公共的頂點(diǎn)；③角的兩邊互為反向延長線.

2.對(duì)頂角的性質(zhì):對(duì)頂角相等.

鄰補(bǔ)角

1.鄰補(bǔ)角：兩個(gè)角有一條公共邊，他1門的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角.

zl和/3是鄰補(bǔ)角，zl和/4是鄰補(bǔ)角,z2和/3是鄰補(bǔ)角，z2和/4是鄰補(bǔ)角，

要點(diǎn)詮釋：①成對(duì)出現(xiàn)；②兩個(gè)角有公共的頂點(diǎn)；③兩個(gè)角有一條公共邊，另一邊互為反向延長線.

3.鄰補(bǔ)角的性質(zhì)：兩個(gè)角的和為180°.

例題：

1.如圖，直線a、b相交于點(diǎn)O,將量角器的中心與點(diǎn)O重合，發(fā)現(xiàn)表示60。的點(diǎn)在直線a上，表示138。的點(diǎn)在直

2.如圖，直線AB、CD、EF相交于點(diǎn)O.

(1)寫出NBOE的對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角；

(2)若/AOC:zAOE=2:1,zEOD=90°,求NBOC的度數(shù).

同步練習(xí)：

1.如圖，有一個(gè)破損的扇形零件，小明利用圖中的量角器量出這個(gè)扇形零件的圓心角度數(shù)為50。，你認(rèn)為小明測

量的依據(jù)是()

A.垂線段最短B.對(duì)頂角相等C,圓的定義D.三角形內(nèi)角和等于180°

2.下面四個(gè)圖中，是對(duì)頂角的是（)

3.下列各圖中，zl和/2可能是鄰補(bǔ)角的只有（

二.垂線

垂線

1.兩直線相交所形成的角中，當(dāng)有一個(gè)角等于90°時(shí),這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂

線，他們的交點(diǎn)叫做垂足.

2.垂直的模型：

b

O3a-

要點(diǎn)詮釋：①直線a是直線b的垂線（或直線b是直線a的垂線），垂足為O.

②直線a垂直于直線b于點(diǎn)。(或直線b垂直于直線a于點(diǎn)0).

結(jié)論：兩垂直直線形成的四個(gè)角都是直角，均為90°.

3.在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.

垂線段

1.過直線外一點(diǎn)作直線的垂線，以這個(gè)點(diǎn)和垂足為端點(diǎn)的線段叫做這個(gè)點(diǎn)到直線的垂線段.

2.垂線段模型：

a3

線段AB是點(diǎn)A到直線a的垂線段.

3.連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.

簡單說成：垂線段最短.

4.直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離.

注意：距離是長度，不是線段.

例題：

L如圖，OMJLNP,ONJLNP,所以O(shè)N與0M重合，理由是—

■。

NP

2.如圖，直線AB,CD相交于點(diǎn)O,EO_LAB,垂足為O.

(1)寫出圖中與N1互為余角的角；

(2)若/AOC:z2=3:2,求N1的度數(shù).

D

3.如圖所示,AD±BD,BC±CD,AB=5cm,BC=3cm,則BD的長度的取值范圍是

4.如圖,BCJLAC,CB=8cm,AC=6cm,AB=10cm,那么點(diǎn)B至ijAC的距離是_____cm，點(diǎn)A至I」BC的距離

cm,C至!JAB的B巨離是_________cm.

同步練習(xí)：

1.如圖，點(diǎn)A,B,C,D,E在直線I上，點(diǎn)P在直線I外，PC±I于點(diǎn)C,在線段PA,PB,PC,PD,PE中，

最短的一條線段是，理由是

2.如圖，體育課上老師測量跳遠(yuǎn)成績是這樣操作的：用一塊直角三角板的一邊附在踏跳板上，另一邊與拉直的皮

尺重合，并且使皮尺經(jīng)過被測試同學(xué)的落點(diǎn)，這樣做的理由是

三.三線八角

模型：

1.同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角分別在兩直線的同一方，并且在第三條直線（截線）

的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同位角.如與/8,Z2與N5.

2.內(nèi)錯(cuò)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線之間，并且在第三條直線;截線）的兩側(cè)，

則這樣一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角.如N1與/6,/4與/5.

3.同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線之間，并且在第三條直線（截線）的同

一旁，則這樣一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角.如N1與N5,N4與N6.

要點(diǎn)詮釋.三線八角中的某兩個(gè)角是不是同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，完全由那兩個(gè)角在圖形中的相對(duì)位置決定.在

復(fù)雜的圖形中判別三類角時(shí)，應(yīng)從角的兩邊入手，具有上述關(guān)系的角必有兩邊在同一直線上，此直線即為截線，而

另外不在同一直線上的兩邊，它們所在的直線即為被截的線.同位角的邊構(gòu)成"F〃形，內(nèi)錯(cuò)角的邊構(gòu)成"Z"形，

同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成"U"形.

例題：

2.如圖，已知直線a,b被直線c,d所截，直線a,c,d相交于點(diǎn)。，按要求完成下列各小題.

（1）在圖中的/I~/9這9個(gè)角中，同位角共有多少對(duì)？請(qǐng)你全部寫出來；

（2）z4和/5是什么位置關(guān)系的角？z6和/8之間的位置關(guān)系與/4和N5的相同嗎？

同步練習(xí)：

1.如圖，直線AB,AF被BC所截，則/2的同位角是（）

A.zlB.z2C.Z3D.z4

2.如圖，與是同旁內(nèi)角的是（）

A.z2B.z3C.z4D.z5

3.如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,則/DAC的內(nèi)錯(cuò)角是（）

A.zABDB.zBDCC.zACBD.zDOC

4.下列所示的四個(gè)圖形中，N1和/2是同位角的是（）

A.①②B.②③C.①③D.②④

綜合考查：

1.如圖是一把剪刀，其中/1=/2,其理由是

2.如圖，線段AD、AE、AF分別是^ABC的高線，角平分線，中線，比較線段AC、AD、AE、AF的長短，其中最

短的是________________，

3.如圖所示,AB±li,AC±I2,則點(diǎn)A到直線li的距離是線段的長度.

4.如圖所示，直線AD與直線BD相交于點(diǎn)D,BE±AD,垂足為點(diǎn)E,AC與DC垂直于點(diǎn)C.點(diǎn)B到直線AD的距

離是線=殳的長度，點(diǎn)D到直線AB的距離是線段的長度.

5.如圖，直線a、b被直線c所截，互為同旁內(nèi)角是.

6.如圖所示，兩只手的食指和拇指在同一平面內(nèi)，它們構(gòu)成的一對(duì)角可以看成.

7.如圖，OC_LAB于點(diǎn)。，N1=N2,則圖中互余的角有_________對(duì).

c

8.如圖,直線AB、CD相交于點(diǎn)O,0E平分/BOD,zAOC=76°,zDOF=90°,求/EOF的度數(shù).

9.如圖所示：

(1)與/B是同旁內(nèi)角的有哪些角？

(2)與/C是內(nèi)錯(cuò)角的有哪些角?

它們分別是哪兩條直線被哪一條直線所截形成的？

第四講平行線

一.平行公理及推論

1.在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線只有兩種位置關(guān)系：相交和平行.直線a與直線b不相交時(shí)，直線a與b互相

平行，記作alib.

2.平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行.

平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.

例題：

1.如圖,已知OAllCD,OBllCD,那么NAOB是平角,為什么?

A0B

CD

2.如圖，ADIIBC,E為AB上任一點(diǎn)，過E點(diǎn)作EFIIAD交DC于F.問EF與BC的位置關(guān)系怎樣,為什么？

同步練習(xí)：

1.如果aiib,bile,那么aiic,這個(gè)推理的依據(jù)是（）

A.等量代換B.兩直線平行，同位角相等

C.平行公理D.平行于同一直線的兩條直線平行

2.對(duì)于同一平面內(nèi)的直線a、b、c,如果a與b平行，c與a平行，那么c與b的位置關(guān)系是

二.平行線的判定

1.平行線的判定方法：

，上:C

8S1圖2S3

判定方法1兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等,,那么這兩條直線平行.

簡單說成：同位角相等，兩直線平行.

如圖1,,.,z4=z2,..alib.

判定方法2兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等,，那么這兩條直線平行.

簡單說成：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.

,

如圖2,.z4=z5z/.alib.

判定方法3兩條直線被第三條直線所截,如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行.

簡單說成：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

如圖3,vz4+zl=180°r/.alib.

2.重要結(jié)論：在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行.

注意：條件"同一平面"不能缺少，否則結(jié)論不成立.

例題：

1.ABXBC,zl+z2=90°,z2=z3.BE與DF平行嗎?為什么?

解:BEIIDF.

\AB±BC,

/.zABC=—。,

即/3+/4=—°.

X/zl+z2=90°z

fiz2=z3,

理由是：________

/.BEliDF.

理由是：____________

同步練習(xí)：

2.如圖，點(diǎn)E在AC的延長線上，下列條件能判斷ABIICD的是（)

B.z3=z4C.zD=zDCED.zD+zACD=180°

3.如圖，能判定alib的條件是（)

A.zl=z5B.z2+z4=180°C.z3=z4D.z2+zl=180°

4.如圖,已知(3x+24)°,z2=(5x+20)°,要使mIIn,那么N1二（度）.

平行線的性質(zhì)：

性質(zhì)1兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡單說成：兩直線平行，同位角相等.

如圖1,,/alibz/.z4=z2.

性質(zhì)2兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等.簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

如圖2,'/alib,.,.z4=z5.

性質(zhì)3兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ).簡單說成：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

如圖3,valib,/.z4+zl=180c.

例題:

1.如圖，zACB=90°,BD平分/ABE,CDllAB交BD于點(diǎn)D,若N1=20°,求/2的度數(shù).

2.如圖所示,AB,CD,AE和CE均為筆直的公路，已知ABllCD,AE與AB的夾角/BAE為32°,若線段CF與

EF的長度相等，則CD與CE的夾角/DCE為（）

A.58°B.32°C.16°D,15°

同步練習(xí)：

1.把一塊直尺與一塊三角板如圖放置，若/2=140。，則N1的度數(shù)為（）

C.40°D.45°

2.如圖，將一塊三角板疊放在直尺上，若/1=25。，貝k2的度數(shù)為（）

B.65°C.75°D.80°

四.平行線的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用

兩直線平行o同位角相等.

兩直線平行=內(nèi)錯(cuò)角相等.

兩直線平行。同旁內(nèi)角互補(bǔ).

o"叫做"等價(jià)于"，即由左邊能推出右邊，由右邊也能推出左邊.

例題:

1.把下面的推理過程補(bǔ)充完整，并在括號(hào)內(nèi)注明理由.

如圖，點(diǎn)D,E,F分別是三角形ABC的邊BC,CA;,,連接DE,DF,DEllAB,zBFD=zCED,連接

BE交DF于點(diǎn)G,試說明：zEGF+zAEG=180°.

理由:/DEIIAB(已知),

.-.zA=zCED(),

又?「NBFD=NCED(已知),

/.zA=zBFD(),

.1.DFllAE()

/.zEGF+zAEG=180°().

同步練習(xí)：

1.如圖，若/1+/2=180度，則下列結(jié)論正確的是()

D.z2+z3=180°.

2.如圖所示，AB±EF,CD±EF,ZL=/F=40。，且A,C,F三點(diǎn)共線，那么與/FCD相等的角有()

3.如圖，AB與CD相交于點(diǎn)0,如果4=/C=40°,NA=80°,那么NB的度數(shù)是()

A.40°B.80°C.60°D.無法確定

五.命題、定理、證明

1.命題：判斷T牛事情的語句叫做命題.

數(shù)學(xué)中的命題常可以寫成"如果……那么......"的形式，"如果”后接的部分是題設(shè)，"那么"后接的部分是結(jié)論.

2.真命題：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做真命題.

假命題：題設(shè)成立時(shí)，不能保證結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做假命題.

3.定理：經(jīng)過推理證實(shí)的真命題叫做定理.

判斷一個(gè)命題正確性的推理過程叫做證明.

4.判斷一個(gè)命題是真命題，需要進(jìn)行證明；判斷一個(gè)命題是假命題，只要舉出一個(gè)例子(反例)，它符合命題的題

設(shè)，但不滿足結(jié)論就可以了.

例題：

L如圖，已知：點(diǎn)A、B、C在一條直線上.

(1)請(qǐng)從三個(gè)論斷①ADHBE;②N1=/2;③NA:/E中，選兩個(gè)作為條件,另一個(gè)作為結(jié)論構(gòu)成一個(gè)真命題：

條件：.

結(jié)論：.

(2)證明你所構(gòu)建的是真命題.

2.下列命題中是真命題的是（)

A.相等的角是對(duì)頂角B.相等的角的余角相等

C.若xy=O,則x=0D.若一個(gè)數(shù)帶有根號(hào)，則它是無理數(shù)

同步練習(xí)：

1.下列命題中，屬于假命題的是（)

A.三角形的內(nèi)角和等于180°B.圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑都是圓的對(duì)稱軸

C.對(duì)頂角相等D.在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線相互平行

2.下列命題是真命題的是（）

A.若awO,則abwOB.所有的命題都是定理

C.g|a|=|b|,則a=bD.定理是用來判斷其他命題真假的依據(jù)

綜合考查：

1.下列說法：①兩點(diǎn)之間的距離是兩點(diǎn)間的線段的長度；②過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；③兩點(diǎn)之

間的所有連線中，線段最短；④若a，b,c，b,則a與b的關(guān)系是平行；⑤只有一個(gè)公共點(diǎn)的兩條直線叫做相

交直線；其中正確的是

2.下列結(jié)論正確的是（）

A.同位角相等B.同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線

C.過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行D.垂直于同一條直線的兩條直線互相平行

3.已矢：!：如圖，zl=z2,z3=z4,z5=z6.求證:EDliFB.

4.如圖，zA=22°,zE=30°zACllEF,則的度數(shù)為

D

5.如圖，已知/ABC+/ECB=180°,/P=/Q.求證:zl=z2.

6.如圖，zDAB+zD=180°,AC平分/DAB,且NCAD=25°,求/C的度數(shù).

D

AR

第五講函數(shù)

一.常量與變量

在一個(gè)變化過程中，我們稱數(shù)值發(fā)生變化的量為變量，數(shù)值始終不變的量為常量.

注意：字母可以表示數(shù)，但不一定是變量.

例題：

1.我國是一個(gè)嚴(yán)重缺水的國家，我們都應(yīng)該倍加珍惜水資源,節(jié)約用水.據(jù)測試，擰不緊的水龍頭每秒會(huì)滴下2滴

水，每滴水約0.5毫升.小燕子同學(xué)在洗手時(shí)，沒有擰緊水龍頭，當(dāng)小燕子離開x（時(shí)）后水龍頭滴了y（毫升）

水.在這段文字中涉及的量中，哪些是常量，哪些是變量？

同步練習(xí)：

1.（如果用總長為60m的籬笆圍成一個(gè)長方形場地，設(shè)長方形的面積為S（m2）周長為p（m）,一邊長為a（m）,

那么S、p、a中，常量是（）

A.aB.pC.SD.p,a

2.駱駝被稱為“沙漠之舟"，它的體溫隨時(shí)間的變化而發(fā)生較大的變化.在這一問題中，自變量是（）

A.時(shí)間B.駱駝C.沙漠D.體溫

3.在圓的周長公式C=2TIR中，是變量的是（）

A.CB.RC.TI和R口工和口

二.函數(shù)的相關(guān)概念

1.函數(shù)：在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x與y,并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)

應(yīng)，那么我們就說x是自變量,y是因變量，y是x的函數(shù).

2.函數(shù)值：在一個(gè)函數(shù)中，如果當(dāng)x=a時(shí)y=b,那么b叫做自變量的值為a時(shí)的函數(shù)值.

3.解析式：用關(guān)于自變量的數(shù)學(xué)式子表示函數(shù)與自變量之間的關(guān)系，這種式子叫做函數(shù)解析式.

4.函數(shù)自變量的取值范圍

確定自變量的取值范圍時(shí)，不僅要考慮使函數(shù)關(guān)系式有意義，而且還要注意問題的實(shí)際意義.

例題：

1.某公司銷售部門發(fā)現(xiàn)，該公司的銷售收入隨銷售量的變化而變化其中_______是自變量,___________是因變量.

3.判斷下列選項(xiàng)中的變量y是否為x的函數(shù)？

①y=2x；②y=2x2；@y2=2x;?y=2|x|;⑤M=2x.

4.求下列函數(shù)自變量x的取值范圍.

(1)y=-x2-5x+6;

(2)y=V47^3;

⑶y二等

1,x是有理數(shù)

5.著名的狄利克雷(DcicHer)函數(shù)是這樣定義的：y=

0,x是無理數(shù)

(1)這個(gè)函數(shù)的自變量與因變量分別是什么？

(2)這個(gè)函數(shù)的自變量的取值范圍和函數(shù)值的取值范圍分別是什么？

（3）請(qǐng)分別寫出當(dāng)x=l,&,6.4,3.1415時(shí)的函數(shù)值.

同步練習(xí)：

1.下列各曲線表示的y與x之間的關(guān)系中，y不是x的函數(shù)的是（）

3.使函數(shù)y二后方意義的自變量x的取值范圍是（）

A.x>6B.x>0C.x<6D.x<0

4.函數(shù)y=l-6的自變量x的取值范圍是（）

A.x<lB.x>0C.x>0D.x<0

三.函數(shù)的表示方法

①函數(shù)的表示方法一圖象法

1.函數(shù)圖象

對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量x與函數(shù)的每對(duì)對(duì)應(yīng)值y分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)

組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖象.

注：①以滿足函數(shù)解析式的有序?qū)崝?shù)對(duì)為坐標(biāo)的點(diǎn)一定在函數(shù)圖象上；

②函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析5t

2.畫函數(shù)圖象的步驟：

①列表（表中隨機(jī)取出一些自變量的值及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值）；

②描點(diǎn)(在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo),相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表中數(shù)值對(duì)應(yīng)的各點(diǎn));

③連線(按橫坐標(biāo)由小到大的順序把描出的各點(diǎn)用平滑的曲線連接起來).

3.用圖象法表示函數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)

優(yōu)點(diǎn)：直觀的反應(yīng)兩個(gè)變量之間的關(guān)系，形象的反應(yīng)函數(shù)的一些性質(zhì)及變化趨勢.

缺點(diǎn)：由圖象所得到的有關(guān)數(shù)據(jù)和數(shù)量關(guān)系不準(zhǔn)確.

例題：

1.小紅幫弟弟蕩秋千(如圖1),秋千離地面的高度h(m)與擺動(dòng)時(shí)間t(s)之間的關(guān)系如圖2所示.

(1)根據(jù)函數(shù)的定義，請(qǐng)判斷變量h是否為關(guān)于t的函數(shù)？

(2)結(jié)合圖象回答：

①當(dāng)t=0.7s時(shí)，h的值是多少？并說明它的實(shí)際意義.

2.一天，王亮同學(xué)從家里跑步到體育館，在那里鍛煉了一陣后又走到某書店去買書，然后散步走回家如圖反映的是

在這一過程中，王亮同學(xué)離家的距離s(千米)與離家的時(shí)間t(分)之間的關(guān)系，請(qǐng)根據(jù)圖象解答下列問題：

(1)體育館離家的距離為千米，書店離家的距離為千米；王亮同學(xué)在書店待了_______分鐘.

(2)分別求王亮同學(xué)從體育館走到書店的平均速度和從書店出來散步回家的平均速度.

0153550S0110“分鐘）

②函數(shù)的表示方法一列表法

列表法的優(yōu)缺點(diǎn)：

優(yōu)點(diǎn)：可以直接找到函數(shù)值.

缺點(diǎn)：只能列出部分自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值，總結(jié)出的規(guī)律不一定可靠.

同步練習(xí)：

1.父親告訴小明："距離地面越遠(yuǎn)，溫度越低，”并給小明出示了下面的表格.

距離地面高度(千米)012345

(℃)201482-4-10

根據(jù)上表，父親還給小明出了下面幾個(gè)問題，你和小明一起回答.

(1)上表反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系？哪個(gè)是自變量？哪個(gè)是因變量？

(2)如果用h表示距離地面的高度，用t表示溫度，那么隨著h的變化，t是怎么變化的？

(3)你知道距離地面5千米的高空溫度是多少嗎？

(4)你能猜出距離地面6千米的高空溫度是多少嗎？

③函數(shù)的表示方法一解析式法

解析式法表示函數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)

優(yōu)點(diǎn)：簡單準(zhǔn)確的反應(yīng)兩個(gè)變量之間的關(guān)系.

缺點(diǎn)：不能形象直觀的反應(yīng)函數(shù)關(guān)系的變化趨勢.有些函數(shù)關(guān)系不能用解析式表示.

例題：

1.將長為40cm,寬為15cm的長方形白紙，按圖所示的方法粘合起來，粘合部分寬為5cm.

5

(1)根據(jù)圖，將表格補(bǔ)充完整.

白紙張數(shù)12345???

紙條長度40110145???

(2)設(shè)x張白紙粘合后的總長度為ycm,求y與x之間的函數(shù)解析式.

(3)你認(rèn)為粘合起來白紙的總長度可能為2017cm嗎?為什么？

同步練習(xí)：

1.下表反映的是某地區(qū)電的使用量x(千瓦時(shí))與應(yīng)交電費(fèi)y(元)之間的關(guān)系，下列說法不正確的是(

用電量x(千瓦時(shí))1234...

應(yīng)交電費(fèi)y(元)0.551.11.652.2...

A.x與y都是變量，且x是自變量，y是x的函數(shù)B.用電量每增加1千瓦時(shí)，電費(fèi)增加0.55元

C.當(dāng)交電費(fèi)20.5元時(shí)，用電量為37千瓦時(shí)D.若用電量為8千瓦時(shí)，則應(yīng)交電費(fèi)4.4元

2.彈簧掛上物體后伸長,已知一彈簧的長度y(cm)與所掛物體的質(zhì)量m(kg)之間的關(guān)系如下表:

所掛物體的質(zhì)量m/kg012345

彈費(fèi)的長度y/cm1012.51517.52022.5

下列說法錯(cuò)誤的是()

A.在沒掛物體時(shí)，彈簧的長度為10cm

B.彈簧的長度隨所掛物體的質(zhì)量的變化而變化，彈簧的長度是自變量，所掛物體的質(zhì)量是因變量

C.彈簧的長度y(cm)與所掛物體的質(zhì)量m(kg)之間的關(guān)系可用關(guān)系式y(tǒng)=2.5m+10來表示

D.在彈簧能承受的范圍內(nèi)，當(dāng)所掛物體的質(zhì)量為4kg時(shí)，彈簧的長度為20cm

綜合考老：

1在利用太陽能熱水器來加熱水的過程中，熱水器里的水溫隨所曬時(shí)間的長短而變化這個(gè)問題中因變量是()

A.太陽光強(qiáng)弱B.水的溫度C.所曬時(shí)間D.熱水器

2.生活中太陽能熱水器已進(jìn)入千家萬戶，你知道嗎，在利用太陽能熱水器來加熱水的過程中，熱水器里的水溫所

曬時(shí)間的長短而變化，這個(gè)問題中因變量是()

A.水的溫度B.太陽光強(qiáng)弱C.所曬時(shí)間D.熱水器

3.李明準(zhǔn)備租用一輛出租車搞個(gè)體營運(yùn)，現(xiàn)有甲乙兩家出租車公司可以和他簽訂合同，設(shè)汽車每月行駛x千米，

應(yīng)付給甲公司的月租費(fèi)yi元，應(yīng)付給乙公司的月租費(fèi)是y2元，vi、丫2與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示，請(qǐng)

根據(jù)圖象回答下列問題：

(1)每月行駛的路程在多少時(shí)，租甲，乙兩家公司的費(fèi)用相同？

(2)每月行駛的路程在什么范圍內(nèi)時(shí)，租甲公司的車合算？

(3)若李明估計(jì)每月行駛的路程為2300千米時(shí)，租哪家合算？

4.如圖表示一人騎自行車離家的距離與時(shí)間的關(guān)系,騎車者9時(shí)離開家，15時(shí)到家，根據(jù)圖象回答問題：

(1)到達(dá)離家最遠(yuǎn)的地方是什么時(shí)間？離家多遠(yuǎn)？

(2)第一次休息時(shí)離家多遠(yuǎn)？

(3)返回時(shí)的平均速度是多少？

5.哥哥與弟弟兩個(gè)人跑步，哥哥讓弟弟先跑，如圖所示的是兩個(gè)人之間的距離y與時(shí)間x之間的函數(shù)圖象，根據(jù)

圖中信息回答下列問題.

(1)哥哥讓弟弟先跑多少秒？哥哥出發(fā)幾秒后追上了弟弟？

(2)哥哥與弟弟的速度分別是多少？

6.根據(jù)科學(xué)研究表明，在彈費(fèi)的承受范圍內(nèi)，彈費(fèi)掛上物體后會(huì)伸長，測得一彈費(fèi)的長度y(cm)與所掛的物體

的重量x(kg)間有下表的關(guān)系：下列說法不正確的是()

x/kg012345

y/cm2020.52121.52222.5

A.x與y都是變量，且x是自變量,v是因變量B.彈簧不掛重物時(shí)的長度為0cm

C.隨著所掛物體的重量增加，彈簧長度逐漸變長D.所掛物體的重