備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)易錯題03基本初等函數(shù)含解析

易錯點03基本初等函數(shù)—備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)易錯題【典例分析】（2024年一般高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)）基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位:天)的改變規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿意R0=1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0=3.28，T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍須要的時間約為(ln2≈0.69)（）A.1.2天 B.1.8天C.2.5天 D.3.5天【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意可得，設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍須要的時間為天，依據(jù)，解得即可得結(jié)果.【詳解】因，，，所以，所以，設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍須要的時間為天，則，所以，所以，所以天.故選：B.【點睛】本題考查了指數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用，考查了指數(shù)式化對數(shù)式，屬于基礎(chǔ)題.【易錯警示】易錯點1．函數(shù)定義域理解不透【例1】已知函數(shù)的定義域為[0，1]，求函數(shù)的定義域【錯解】由于函數(shù)的定義域為[0，1]，即，∴的定義域是[1，2]【錯因】不明白與定義域之間的區(qū)分與聯(lián)系，其實在這里只要明白：中取值的范圍與中式子的取值范圍一樣就好了.【正解】由于函數(shù)的定義域為[0，1]，即∴滿意，，∴的定義域是[－1，0]易錯點2．沒有理解分段函數(shù)的意義【例2】已知：，求.【錯解】∵，∴故，∴＝3－3＝0.【錯因】沒有理解分段函數(shù)的意義，的自變量是3，應(yīng)代入中去，而不是代入－5中，只有將自變量化為不小于6的數(shù)才能代入解析式求解.【正解】∵，∴＝＝＝7-5＝2易錯點3．忽視函數(shù)的定義域【例3】推斷函數(shù)的奇偶性.【錯解】∵＝∴∴是偶函數(shù)【錯因】對函數(shù)奇偶性定義實質(zhì)理解不全面.對定義域內(nèi)隨意一個x，都有f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)的實質(zhì)是：函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱.這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件.【正解】有意義時必需滿意即函數(shù)的定義域是｛｜｝，由于定義域不關(guān)于原點對稱，所以該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)易錯點4．奇偶性的判別方法不敏捷【例4】推斷的奇偶性.【錯解】∵∴且所以該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)【錯因】對數(shù)運算公式不熟識，或者說奇偶性的判別方法不敏捷.定義中f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)，也可改為探討f(-x)+f(x)=0，f(-x)-f(x)＝0是否成立.【正解】方法一：∵＝＝＝－，∴是奇函數(shù)方法二：∵＝∴是奇函數(shù)易錯點5．不理解定義域和單調(diào)性的聯(lián)系【例5】已知奇函數(shù)f(x)是定義在(－3，3)上的減函數(shù)，且滿意不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,求x的取值范圍.【錯解】∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是減函數(shù)，∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0解得x>2或x<－3又f(x)是定義在(－3，3)上的函數(shù)，所以2＜x＜3【錯因】只考慮到奇函數(shù)與單調(diào)性，而沒有正確理解函數(shù)的定義域.【正解】由,故0<x<,又∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是減函數(shù)，∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,綜上得2<x<,即A={x|2<x<},易錯點6．不理解符合函數(shù)的單調(diào)性【例6】已知在[0，1]上是的減函數(shù)，則的取值范圍是【錯解】∵是由，復(fù)合而成，又＞0∴在[0，1]上是的減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)關(guān)系知應(yīng)為增函數(shù)，∴＞1【錯因】解題中雖然考慮了對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)復(fù)合關(guān)系，卻忽視了數(shù)定義域的限制，單調(diào)區(qū)間應(yīng)是定義域的某個子區(qū)間，即函數(shù)應(yīng)在[0，1]上有意義.【正解】∵是由，復(fù)合而成，又＞0∴在[0，1]上是的減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)關(guān)系知應(yīng)為增函數(shù)，∴＞1又由于在[0，1]上時有意義，又是減函數(shù)，∴＝1時，取最小值是＞0即可，∴＜2綜上可知所求的取值范圍是1＜＜2易錯點7．公式運用不嫻熟沒有得到最終解【例7】已知求【錯解】∵∴∴錯因：因?qū)π再|(zhì)不熟而導(dǎo)致題目沒解完.【正解】∵∴∴易錯點8．關(guān)于方程根考慮不全面【例8】已知有且只有一根在區(qū)間（0,1）內(nèi)，求的取值范圍.【錯解】設(shè)∵有且只有一根在區(qū)間（0,1）內(nèi)∴得＜－2【錯因】對于一般，若，那么，函數(shù)在區(qū)間（a,b）上至少有一個零點，但不肯定唯一.對于二次函數(shù)，若則在區(qū)間（a,b）上存在唯一的零點，一次函數(shù)有同樣的結(jié)論成立.但方程＝0在區(qū)間（a,b）上有且只有一根時，不僅是，也有可能.如二次函數(shù)圖像是下列這種狀況時，就是這種狀況.由圖可知＝0在區(qū)間（a,b）上有且只有一根，但是【正解】設(shè)，（1）當(dāng)＝0時方程的根為－1，不滿意條件.（2）當(dāng)≠0∵有且只有一根在區(qū)間（0,1）內(nèi)，又＝1＞0∴有兩種可能情形①得＜－2或者②得不存在綜上所得，＜－2易錯點9．應(yīng)用題理解題意有誤【例9】將進(jìn)價為8元的商品，按每件10元售出，每天可銷售200件，若每件售價漲價0.5元，其銷售量就削減10件，問應(yīng)將售價定為多少時，才能使所賺利潤最大，并求出這個最大利潤.【錯解】設(shè)每件售價提高x元，利潤為y元，則y=∴=1時，（元）【錯因】沒理解題意，每天銷售200件是在定價10元時的狀況下，所設(shè)的應(yīng)理解為在定價目10元的基礎(chǔ)上，再每件售價提高x元，故利潤每件應(yīng)為（2+x）元，此時的銷售量為（200－20）元【正解】設(shè)每件售價提高x元，利潤為y元，則y==故當(dāng)，即定價為14元時，每天可獲得最大利潤為720元.易錯點10．不理解二次函數(shù)在閉區(qū)間上恒成立【例10】已知函數(shù)若時，≥0恒成立，求的取值范圍.【錯解一】恒成立，∴△＝≤0恒成立解得的取值范圍為【錯解二】∵若時，≥0恒成立∴即解得的取值范圍為【錯因】對二次函數(shù)＝當(dāng)上≥0恒成立時，△≤0片面理解為，≥0，恒成立時，△≤0【正解】設(shè)的最小值為（1）當(dāng)即＞4時，＝＝7－3≥0，得故此時不存在；(2)當(dāng)即－4≤≤4時，＝3－－≥0，得－6≤≤2又－4≤≤4，故－4≤≤2；（3）即＜－4時，＝＝7＋≥0，得≥－7，又＜－4故－7≤＜－4綜上，得－7≤≤2【變式練習(xí)】1．函數(shù)的定義域為()A． B． C． D．【答案】D【解析】要使得函數(shù)有意義，必需滿意，解得：或，故選D2．已知的定義域為，的定義域是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】的定義域為；；；的定義域為；；；的定義域為．故選：D．3．若，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵,∴,∴,∵,∴.故選：A4．冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，或.當(dāng)時，在上是增函數(shù)，解除；當(dāng)時，在上是減函數(shù)，∴.故選：.5．基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位:天)的改變規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿意R0=1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0=3.28，T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍須要的時間約為(ln2≈0.69)（）A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天【答案】B【解析】因為，，，所以，所以，設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍須要的時間為天，則，所以，所以，所以天.故選：B.6．某跨國飲料公司在對全世界全部人均（即人均純收入）在0.5~8千美元的地區(qū)銷售該公司飲料的狀況調(diào)查時發(fā)覺：該飲料在人均處于中等地區(qū)的年人均銷售量最大，然后向兩邊遞減．下列幾個模擬函數(shù)中用哪個模擬函數(shù)來描述人均飲料銷售量與地區(qū)的人均關(guān)系更合適？（表示人均，單位：千美元，表示年人均飲料的銷售量，單位：L）（）A． B．C．且 D．且【答案】A【解析】因為該飲料在人均GDP處于中等的地區(qū)銷量最多，然后向兩邊遞減，所以用來模擬比較合適，故選項正確.而選項表示的函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，所以不合適.故選：.7．設(shè)，若，則（）A．4 B．2 C． D．【答案】C【解析】若，由，得，所以；若，由，得，無解.綜上，.故選：C8．函數(shù)的零點個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】函數(shù)f(x)=ex|lnx|﹣2的零點可以轉(zhuǎn)化為：|lnx|的零點；在坐標(biāo)系中畫出兩個函數(shù)的圖象，依據(jù)圖象可得有兩個交點；故原函數(shù)有兩個零點.故選：B.9．已知，函數(shù)，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】時，，所以其對稱軸為，開口向上，當(dāng)時，在上遞減，在上遞增，所以時，有最小值，解得，當(dāng)時，在上遞減，所以當(dāng)時，有最小值，綜上得，當(dāng)時，，，當(dāng)時，在上遞增，所以，解得，所以此時，當(dāng)時，在上遞減，在上遞增，所以，解得，此時，綜上，即的取值范圍是，故選：D.10．函數(shù)在的圖像大致為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，所以為奇函數(shù)，關(guān)于原點對稱，故解除，又因為，，，，故解除、,故選：D.11．已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】C【解析】因為設(shè)，定義域，所以為奇函數(shù)，，所以單調(diào)遞增，不等式解得故選C項.【真題演練】1．【2024年高考全國I卷理數(shù)】若，則A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則為增函數(shù)，因為所以，所以，所以.，當(dāng)時，，此時，有當(dāng)時，，此時，有，所以C、D錯誤.故選：B．【點晴】本題主要考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，涉及到構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是一道中檔題.2．【2024年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓．為解決困難，很多志愿者踴躍報名參與配貨工作．已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)料其次天的新訂單超過1600份的概率為0.05．志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使其次天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少須要志愿者A．10名 B．18名 C．24名 D．32名【答案】B【解析】由題意，其次天新增訂單數(shù)為，設(shè)須要志愿者x名，，,故須要志愿者名.故選：B【點晴】本題主要考查函數(shù)模型的簡潔應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3．【2024年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】設(shè)函數(shù)，則f(x)A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減【答案】D【解析】由得定義域為，關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，又，為定義域上的奇函數(shù)，可解除AC；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，解除B；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，依據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，D正確.故選：D．【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的推斷；推斷奇偶性的方法是在定義域關(guān)于原點對稱的前提下，依據(jù)與的關(guān)系得到結(jié)論；推斷單調(diào)性的關(guān)鍵是能夠依據(jù)自變量的范圍化簡函數(shù)，依據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)“同增異減”性得到結(jié)論.4．【2024年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)城．有學(xué)者依據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I()=0.95K時，標(biāo)記著已初步遏制疫情，則約為（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．69【答案】C【解析】，所以，則，所以，，解得.故選：C．【點睛】本題考查對數(shù)的運算，考查指數(shù)與對數(shù)的互化，考查計算實力，屬于中等題.5．【2024年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】已知55<84，134<85．設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則A．a(chǎn)<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b【答案】A【解析】由題意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.綜上所述，.故選：A.【點睛】本題考查對數(shù)式的大小比較，涉及基本不等式、對數(shù)式與指數(shù)式的互化以及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查推理實力，屬于中等題.6．【2024年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】若2x?2y<3?x?3?y，則A．ln(y?x+1)>0 B．ln(y?x+1)<0 C．ln|x?y|>0 D．ln|x?y|<0【答案】A【解析】由得：，令，為上的增函數(shù)，為上的減函數(shù)，為上的增函數(shù)，，，，，則A正確，B錯誤；與的大小不確定，故CD無法確定.故選：A．【點睛】本題考查對數(shù)式的大小的推斷問題，解題關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造函數(shù)的方式，利用函數(shù)的單調(diào)性得到的大小關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.7．【2024年高考天津】函數(shù)的圖象大致為ABCD【答案】A【解析】由函數(shù)的解析式可得：，則函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，選項CD錯誤；當(dāng)時，，選項B錯誤.故選：A．【點睛】函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，推斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，推斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，推斷圖象的改變趨勢．(3)從函數(shù)的奇偶性，推斷圖象的對稱性．(4)從函數(shù)的特征點，解除不合要求的圖象．利用上述方法解除、篩選選項．8．【2024年高考天津】設(shè)，則的大小關(guān)系為A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，，，所以.故選：D．【點睛】本題考查的是有關(guān)指數(shù)冪和對數(shù)值的比較大小問題，在解題的過程中，留意應(yīng)用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，確定其對應(yīng)值的范圍.比較指對冪形式的數(shù)的大小關(guān)系，常用方法：（1）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：，當(dāng)時，函數(shù)遞增；當(dāng)時，函數(shù)遞減；（2）利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：，當(dāng)時，函數(shù)遞增；當(dāng)時，函數(shù)遞減；（3）借助于中間值，例如：0或1等.9．【2024年新高考全國Ⅰ卷】基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位:天)的改變規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿意R0=1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0=3.28，T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍須要的時間約為(ln2≈0.69)A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天【答案】B【解析】因為，，，所以，所以，設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍須要的時間為天，則，所以，所以，所以天.故選：B．【點睛】本題考查了指數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用，考查了指數(shù)式化對數(shù)式，屬于基礎(chǔ)題.10．【2024年新高考全國Ⅰ卷】若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿意的x的取值范圍是A． B．C． D．【答案】D【解析】因為定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以在上也是單調(diào)遞減，且，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以由可得：或或.解得或，所以滿意的的取值范圍是，故選：D．【點睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性解抽象函數(shù)不等式，考查分類探討思想方法，屬中檔題.11．【2024年新高考全國Ⅰ卷】信息熵是信息論中的一個重要概念.設(shè)隨機(jī)變量X全部可能的取值為，且，定義X的信息熵.A．若n=1，則H(X)=0B．若n=2，則H(X)隨著的增大而增大C．若，則H(X)隨著n的增大而增大D．若n=2m，隨機(jī)變量Y全部可能的取值為，且，則H(X)≤H(Y)【答案】AC【解析】對于A選項，若，則，所以，所以A選項正確.對于B選項，若，則，，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，兩者相等，所以B選項錯誤.對于C選項，若，則，則隨著的增大而增大，所以C選項正確.對于D選項，若，隨機(jī)變量的全部可能的取值為，且（）..由于，所以，所以，所以，所以，所以D選項錯誤.故選：AC【點睛】本小題主要考查對新定義“信息熵”的理解和運用，考查分析、思索和解決問題的實力，涉及對數(shù)運算和對數(shù)函數(shù)及不等式的基本性質(zhì)的運用，屬于難題.12．【2024年高考天津】已知函數(shù)若函數(shù)恰有4個零點，則的取值范圍是A． B．C． D．【答案】D【解析】留意到，所以要使恰有4個零點，只需方程恰有3個實根即可，令，即與的圖象有個不同交點.因為，當(dāng)時，此時，如圖1，與有個不同交點，不滿意題意；當(dāng)時，如圖2，此時與恒有個不同交點，滿意題意；當(dāng)時，如圖3，當(dāng)與相切時，聯(lián)立方程得，令得，解得（負(fù)值舍去），所以.綜上，的取值范圍為.故選：D．【點晴】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)