專題10-1 排列組合20種模型方法歸類-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型歸納與變式演練（解析版）

專題10-1排列組合20種模型方法歸類目錄TOC\o"1-3"\h\u【題型一】基礎(chǔ)：相鄰與不相鄰 2【題型二】球放盒子：先分組后排列 3【題型三】平均分配：醫(yī)生與護(hù)士型 5【題型四】特殊元素（位置）優(yōu)先排 7【題型五】模型1：下電梯型 8【題型六】模型2：公交車模型 9【題型七】模型3：排課表 11【題型八】模型4：節(jié)假日值班 12【題型九】模型5：書架插書型（不改變順序） 14【題型十】模型6：地圖染色 15【題型十一】模型7：幾何體染色 17【題型十二】模型8：相同元素 19【題型十三】模型9：停車位、空座位（相同元素） 21【題型十四】模型10：走路口（相同元素） 22【題型十五】模型11：上臺(tái)階（相同元素） 25【題型十六】模型12：“波浪數(shù)”型（高低站位） 26【題型十七】模型13：配對(duì)型 28【題型十八】模型14：電路圖型 30【題型十九】模型15：機(jī)器人跳動(dòng)型 31【題型二十】難點(diǎn)：多重限制與分類討論 33真題再現(xiàn) 36模擬檢測 40【題型一】基礎(chǔ)：相鄰與不相鄰【典例分析】陽春三月，草長鶯飛；絲絳拂堤，盡飄香玉．三個(gè)家庭的3位媽媽帶著3名女寶和2名男寶共8人踏春．在沿行一條小溪時(shí)，為了安全起見，他們排隊(duì)前進(jìn)，三位母親互不相鄰照顧孩子；3名女寶相鄰且不排最前面也不排最后面；為了防止2名男寶打鬧，2人不相鄰，且不排最前面也不排最后面．則不同的排法種數(shù)共有(

)A．144種 B．216種 C．288種 D．432種【答案】C【分析】利用捆綁法和插空法進(jìn)行求解．【詳解】第一步：先將3名母親全排，共有種排法；第二步：將3名女寶“捆綁”在一起，共有種排法；第三步：將“捆綁”在一起的3名女寶作為一個(gè)元素，在第一步形成的2個(gè)空中選擇1個(gè)插入，有種排法；第四步：首先將2名男寶之中的一人，插入第三步后相鄰的兩個(gè)媽媽中間，然后將另一個(gè)男寶插入由女寶與媽媽形成的2個(gè)空中的其中1個(gè)，共有種排法．∴不同的排法種數(shù)有：種．故選：C．【提分秘籍】基本規(guī)律相鄰和不相鄰排列：（1）相鄰問題采取“捆綁法”；（2）不相鄰問題采取“插空法”；【變式演練】1.三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲與男生乙相鄰，且三名女生中恰好有兩名女生相鄰，則不同的站法共有A．72種 B．108種 C．36種 D．144種【答案】D【分析】根據(jù)題意，利用捆綁法和插空法，再利用分布乘法原理，即可求出結(jié)果．【詳解】解：先將男生甲與男生乙“捆綁”，有種方法，再與另一個(gè)男生排列，則有種方法，三名女生任選兩名“捆綁”，有種方法，再將兩組女生插空，插入男生3個(gè)空位中，則有種方法，利用分步乘法原理，共有種.故選：D．2.在某班進(jìn)行的歌唱比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能連著出場，且女生甲不能排在第一個(gè)，那么出場順序的排法種數(shù)為A．30 B．36 C．60 D．72【答案】C【分析】記事件位男生連著出場，事件女生甲排在第一個(gè)，利用容斥原理可知所求出場順序的排法種數(shù)為，再利用排列組合可求出答案．【詳解】記事件位男生連著出場，即將位男生捆綁，與其他位女生形成個(gè)元素，所以，事件的排法種數(shù)為，記事件女生甲排在第一個(gè)，即將甲排在第一個(gè)，其他四個(gè)任意排列，所以，事件的排法種數(shù)為，事件女生甲排在第一位，且位男生連著，那么只需考慮其他四個(gè)人，將位男生與其他個(gè)女生形成三個(gè)元素，所以，事件的排法種數(shù)為種，因此，出場順序的排法種數(shù)種，故選C．3.現(xiàn)將5張連號(hào)的電影票分給甲乙等5個(gè)人，每人一張，且甲乙分得的電影票連號(hào)，則共有不同分法的種數(shù)為A．12 B．24 C．48 D．60【答案】C【詳解】先從四組兩張連號(hào)票比如（1,2）（2,3）（3,4）（4,5）中取出一組，分給甲乙兩人，共有種，其余的三張票隨意分給剩余的三人，共有種方法，根據(jù)分步乘法原理可知，共有種，故選C.【題型二】球放盒子：先分組后排列【典例分析】我市擬向新疆哈密地區(qū)的三所中學(xué)派出5名教師支教，要求每所中學(xué)至少派遣一名教師，則不同的派出方法有A．300種 B．150種 C．120種 D．90種【答案】B【詳解】分析：根據(jù)題意，先選后排.①先選，將5名教師分成三組，有兩種方式，即1，1，3與1，2，2，注意去除重復(fù)部分；②后排，將分好的三組全排列，即可得到答案.詳解：根據(jù)題意：分兩步計(jì)算（1）將5名教師分成三組，有兩種方式即1，1，3與1，2，2；

①分成1，1，3三組的方法有

②分成1，2，2三組的方法有一共有種的分組方法；（2）將分好的三組全排列有種方法.則不同的派出方法有種.故選B.點(diǎn)睛：對(duì)于排列組合混合問題，可先選出元素，再排列．【提分秘籍】基本規(guī)律“球放盒子”類型，要討論“用了幾個(gè)盒子”，放了幾個(gè)球。同一盒子放多個(gè)球時(shí)“只選不排”注意分類套路不遺漏【變式演練】1.我們想把9張寫著1~9的卡片放入三個(gè)不同盒子中，滿足每個(gè)盒子中都有3張卡片，且存在兩個(gè)盒子中卡片的數(shù)字之和相等，則不同的放法有___________種.【答案】198【分析】首先列出至少有兩個(gè)卡片之和相等的盒子的情況，然后利用全排列即可求解.【詳解】由題意可知，設(shè)存在的這兩個(gè)盒子中卡片的數(shù)字之和相等，設(shè)其相等的和為．當(dāng)時(shí)，共有1種情況，即；當(dāng)時(shí)，共有3種情況，即，，{(1，5，6)，(2，3，7)}；當(dāng)時(shí)，共有5種情況，即，，，，；當(dāng)時(shí)，共有7種情況，即，，，，，，；當(dāng)時(shí)，共有2種情況，即，；當(dāng)時(shí)，共有7種情況，即，，，，，，；當(dāng)時(shí)，共有5種情況，即，，，，{(1，7，9)，(3，6，8)}；當(dāng)時(shí)，共有2種情況，即，；當(dāng)x＝19時(shí)，共有1種情況，即{(3，7，9)，(5，6，8)}；綜上所述，共有1＋3＋5＋7＋2＋7＋5＋2＋1＝33(種)情況，∴不同的放法共有：種．故答案為：198．2.將5個(gè)不同的小球全部放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，若每個(gè)盒子中所放的球的個(gè)數(shù)不大于其編號(hào)數(shù)，則共有_________種不同的放法.【答案】535【分析】根據(jù)每個(gè)盒子中所放的球的個(gè)數(shù)不大于其編號(hào)數(shù)，將每個(gè)盒子能放入的球個(gè)數(shù)列舉出來，由總球數(shù)為5，以可能的球數(shù)組合列舉分組，結(jié)合組合數(shù)求出它們所有不同放法【詳解】四個(gè)盒子放球的個(gè)數(shù)如下1號(hào)盒子：{0，1}2號(hào)盒子：{0，1，2}3號(hào)盒子：{0，1，2，3}4號(hào)盒子：{0，1，2，3，4}結(jié)合由5個(gè)不同的小球全部放入盒子中，不同組合下放法5=1+4：種5=2+3：種5=1+1+3：種5=1+2+2：種5=1+1+1+2：種∴5個(gè)相同的小球放入四個(gè)盒子方式共有535種故答案為：535【點(diǎn)睛】本題考查了組合數(shù)，對(duì)問題分類、分組，應(yīng)用組合數(shù)的計(jì)算3.某小區(qū)因疫情需求，物業(yè)把招募的5名志原者中分配到3處核酸采樣點(diǎn)，每處采樣點(diǎn)至少分配一名，則不同的分配方法共有（

）A．150種 B．180種 C．200種 D．280種【答案】A【分析】分情況討論，分三處分別有1，2，2人與1，1，3人兩種情況求解即可.【詳解】先將5人分組，可能情況有1，2，2人與1，1，3人兩種情況.①分成1，2，2人的所有情況共種情況；②分成1，1，3人的所有情況共種情況；再將分好的組分配到3處核酸采樣點(diǎn)，共種情況.故選：A【題型三】平均分配：醫(yī)生與護(hù)士型【典例分析】某醫(yī)院分配3名醫(yī)生6名護(hù)士緊急前往三個(gè)小區(qū)協(xié)助社區(qū)做核酸檢測.要求每個(gè)小區(qū)至少一名醫(yī)生和至少一名護(hù)士.問共有多少種分配方案？（

）A．3180 B．3240 C．3600 D．3660【答案】B【分析】分三種情況進(jìn)行分類討論，依據(jù)先分組再分配原則解決“至少”問題.【詳解】每個(gè)小區(qū)至少一名護(hù)士，則把護(hù)士分為3組，共有3種情況：1,1,4；1,2,3；2,2,2把護(hù)士分為3組，3組人數(shù)分別為1,1,4，共有種分法，再分配給3個(gè)小區(qū)，有種分法.每個(gè)小區(qū)1名醫(yī)生有種分法，則分配方案數(shù)為；把護(hù)士分為3組，3組人數(shù)分別為1,2,3，共有種分法，再分配給3個(gè)小區(qū)，有種分法.每個(gè)小區(qū)1名醫(yī)生有種分法，則分配方案數(shù)為；把護(hù)士分為3組，3組人數(shù)分別為2,2,2，共有種分法，再分配給3個(gè)小區(qū)，有種分法.每個(gè)小區(qū)1名醫(yī)生有種分法，則分配方案數(shù)為綜上，分配方案總數(shù)為故選：B【提分秘籍】基本規(guī)律平均分配思維：1.同除相同元素的組數(shù)全排列。2.如果限制條件少，可以以“盒”為單位一個(gè)一個(gè)“要人”，不在排列了【變式演練】1.袋中有40個(gè)小球，其中紅色球16個(gè)、藍(lán)色球12個(gè)，白色球8個(gè)，黃色球4個(gè)，從中隨機(jī)抽取10個(gè)球作成一個(gè)樣本，則這個(gè)樣本恰好是按分層抽樣方法得到的概率為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分層抽樣的方法計(jì)算出每種顏色所抽取的數(shù)量，在根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理和古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求的概率.【詳解】根據(jù)分層抽樣的知識(shí)可知，抽樣比為，即紅球個(gè)，藍(lán)球個(gè)，白球個(gè)，黃球個(gè)，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理和古典概型概率計(jì)算公式得所求概率為，故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查分層抽樣抽樣比的計(jì)算，考查分步計(jì)數(shù)原理，考查古典概型概率計(jì)算，考查組合數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.2.某高校大一新生中的6名同學(xué)打算參加學(xué)校組織的“雅荷文學(xué)社”、“青春風(fēng)街舞社”、“羽乒協(xié)會(huì)”、“演講團(tuán)”、“吉他協(xié)會(huì)”五個(gè)社團(tuán)，若每名同學(xué)必須參加且只能參加1個(gè)社團(tuán)且每個(gè)社團(tuán)至多兩人參加，則這6個(gè)人中至多有1人參加“演講團(tuán)”的不同參加方法數(shù)為A．4680 B．4770 C．5040 D．5200【答案】C【詳解】若有人參加“演講團(tuán)”，則從人選人參加該社團(tuán)，其余人去剩下個(gè)社團(tuán)，人數(shù)安排有種情況：和，故人參加“演講團(tuán)”的不同參加方法數(shù)為，若無人參加“演講團(tuán)”，則人參加剩下個(gè)社團(tuán)，人數(shù)安排安排有種情況：和，故無人參加“演講團(tuán)”的不同參加方法數(shù)為，故滿足條件的方法數(shù)為，故選C.3.將6名志愿者分配到3個(gè)社區(qū)進(jìn)行核酸檢測志愿服務(wù)，若志愿者甲和乙必須在一起，且每個(gè)社區(qū)至少有一名志愿者，則不同的分配方案共有（

）A．150種 B．180種 C．360種 D．540種【答案】A【分析】利用捆綁法將甲和乙看成一個(gè)整體，即把5個(gè)元素分成3組，可分為1，1，3與1，2，2，由此即可算出答案.【詳解】由于志愿者甲和乙必須在一起，所以可以把甲和乙看成一個(gè)整體，則6個(gè)人變成了5個(gè)元素，再把這5個(gè)元素分成3組，當(dāng)分配的元素分別是1，1，3時(shí)，共有種分配方案，當(dāng)分配的元素分別是1，2，2時(shí)，共有種分配方案，所以共有種不同的分配方案.故選：A.【題型四】特殊元素（位置）優(yōu)先排【典例分析】某學(xué)生將語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物6科的作業(yè)安排在周六、周日完成，要求每天至少完成兩科，且數(shù)學(xué)，物理作業(yè)不在同一天完成，則完成作業(yè)的不同順序種數(shù)為A．600 B．812 C．1200 D．1632【答案】C【解析】根據(jù)特殊元素優(yōu)先安排的原則，分兩類，一天2科，另一天4科或每天各3科.一天2科，另一天4科的情況：先安排數(shù)學(xué)、物理，再安排另外4科，先分組再分配，一組1科，一組3科，最后給兩個(gè)大組分別全排列．每天各3科的情況同理．最后把兩種情況相加即可．【詳解】分兩類：一天2科，另一天4科或每天各3科.①第一步，安排數(shù)學(xué)、物理兩科作業(yè)，有種方法；，第二步，安排另4科一組1科，一組3科，有種方法；第三步，完成各科作業(yè)，有種方法，所以共有種.②兩天各3科，數(shù)學(xué)、物理兩科各一組，另4科每組2科，第一步，安排數(shù)學(xué)、物理兩科作業(yè)，有種方法；第二步，安排另4科每組2科，有種方法；第三步，完成各科作業(yè)，有種方法，所以共有種，綜上，共有種.故選C.【提分秘籍】基本規(guī)律元素有特殊要求，位置有特殊限制的類型，一般情況下，可以直接思維，也可以間接思維“正難則反”直接思維，可以從元素出發(fā)，特殊元素優(yōu)先排，也可以從位置出發(fā)，特殊位置優(yōu)先坐。【變式演練】1.學(xué)校將從4名男生和4名女生中選出4人分別擔(dān)任辯論賽中的一、二、三、四辯手，其中男生甲不適合擔(dān)任一辯手，1.女生乙不適合擔(dān)任四辯手．現(xiàn)要求：如果男生甲入選，則女生乙必須入選．那么不同的組隊(duì)形式有_________種．【答案】【詳解】分析：分三種情況討論，分別求出甲乙都入選、甲不入選，乙入選、甲乙都不入選,，相應(yīng)的情況不同的組隊(duì)形式的種數(shù)，然后求和即可得出結(jié)論.詳解：若甲乙都入選，則從其余人中選出人，有種，男生甲不適合擔(dān)任一辯手，女生乙不適合擔(dān)任四辯手，則有種，故共有種；若甲不入選，乙入選，則從其余人中選出人，有種，女生乙不適合擔(dān)任四辯手，則有種，故共有種；若甲乙都不入選，則從其余6人中選出人，有種，再全排，有種，故共有種，綜上所述，共有，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用，屬于難題.有關(guān)排列組合的綜合問題，往往是兩個(gè)原理及排列組合問題交叉應(yīng)用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類計(jì)數(shù)加法原理討論時(shí)，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準(zhǔn)確率.2.從6名短跑運(yùn)動(dòng)員中選4人參加4×100米接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，則共有____________多少種參賽方法（用數(shù)字作答）．【答案】.【分析】先做出所有的情況六人中取四人參加的種數(shù)，減去甲、乙兩人中至少有一人不排在恰當(dāng)位置的種數(shù)，這樣就重復(fù)減去了兩個(gè)人同時(shí)不合題意的結(jié)果數(shù)，再加上多減去的部分，即可得到結(jié)果.【詳解】從六人中取四人參加的方法數(shù)為，去掉甲、乙兩人中至少有一人不排在恰當(dāng)位置的有種方法，因前后把甲、乙兩人都不在恰當(dāng)位置的方法數(shù)減去了兩次,故共有種方法,故答案為.【題型五】模型1：下電梯型【典例分析】電梯有位乘客，在層樓房的每一層停留，如果有兩位乘客從同一層出去，另兩位在同一層出去，最后兩人各從不同的樓層出去，則不同的下樓方法的種類數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】先把6人按分面四組，然后選擇4個(gè)樓層讓這四組的人分別下去即可得．【詳解】由題意所有種類數(shù)為．故選：C．【提分秘籍】基本規(guī)律下電梯模型，實(shí)質(zhì)就是“球放盒子”擴(kuò)展應(yīng)用。要分組討論“誰和誰一起”，有沒有“空盒子”?！咀兪窖菥殹?.有3人同時(shí)從底樓進(jìn)入同一電梯，他們各自隨機(jī)在第2至第7樓的任一樓走出電梯．如果電梯正常運(yùn)行，那么恰有兩人在第4樓走出電梯的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意結(jié)合分步乘法、排列組合的知識(shí)可得所有基本情況數(shù)及滿足要求的情況數(shù)，再由古典概型概率公式即可得解.【詳解】3人同時(shí)從底樓進(jìn)入同一電梯，他們各自隨機(jī)在第2至第7樓的任一樓走出電梯,共有種不同情況；恰有兩人在第4樓走出電梯，共有種不同情況；故所求概率.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查了古典概型概率的求解，屬于基礎(chǔ)題.2.甲、乙、丙人從樓乘電梯去商場的到樓，每層樓最多下人，則下電梯的方法有A．種 B．種 C．種 D．種【答案】D【解析】分兩種情況討論：①每個(gè)樓層下人；②人中有人從一個(gè)樓層下，另人從其它樓層選一個(gè)樓層下，利用排列組合思想結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理可得出結(jié)果.【詳解】分兩種情況討論：①每個(gè)樓層下人，則人下電梯的方法種數(shù)為；②人中有人從一個(gè)樓層下，另人從其它樓層選一個(gè)樓層下，此時(shí)，人下電梯的方法種數(shù)為.由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，人下電梯的方法種數(shù)為種.故選：D.3.某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第17，18，19，20層?？?，若該電梯在底層有5個(gè)乘客，且每位乘客在這四層的每一層下電梯的概率為，用ξ表示5位乘客在第20層下電梯的人數(shù)，則P(ξ＝4)＝________.【答案】【分析】考查一位乘客是否在第20層下電梯為一次試驗(yàn)，這是5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，【詳解】每一位乘客是在第20層下電梯為一次試驗(yàn)，且每一位乘客在第20層下電梯的概率都是，因此這是5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故，所以.故答案為：.【題型六】模型2：公交車模型【典例分析】北京公交101路是北京最早的無軌電車之一，最早可追溯至1957年.游客甲與乙同時(shí)從紅廟路口西站上了開往百萬莊西口站方向的101路公交車，甲將在朝陽門外站之前的任意一站下車，乙將在神路街站之前的任意一站下車，他們都至少坐一站再下車，則甲比乙后下車的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，確定總的基本事件個(gè)數(shù)，以及滿足條件的基本事件個(gè)數(shù)，基本事件個(gè)數(shù)之比即為所求概率.【詳解】甲下車的站名可能為小莊路口東站、呼家樓西站，關(guān)東店站，東大橋路口西站、神路街站，乙下車的站名可能為小莊路口東站、呼家樓西站、關(guān)東店站、東大橋路口西站.所以甲、乙下車的所有情況共有種，其中甲比乙后下車的情況有：乙在小莊路口東站下車，甲可以在呼家樓西站，關(guān)東店站，東大橋路口西站、神路街站下車；乙在呼家樓西站下車，甲可以在關(guān)東店站，東大橋路口西站、神路街站下車；乙在關(guān)東店站下車，甲可以在東大橋路口西站、神路街站下車；乙在東大橋路口西站下車，甲可以在神路街站下車；共有10種.故甲比乙后下車的概率為.故選：D.【提分秘籍】基本規(guī)律和“下電梯”模型比較接近。【變式演練】1.車上有6名乘客，沿途有3個(gè)車站，每名乘客可任選1個(gè)車站下車，則乘客不同的下車方法數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用每名乘客都有3種下車方式，總共有6名乘客，相乘直接計(jì)算得到答案【詳解】根據(jù)題意，汽車上有6名乘客，沿途有3個(gè)車站，每名乘客可以在任意一個(gè)車站下車，即每名乘客都有3種下車方式，則6名乘客有種可能的下車方式．故選：B2.有四位朋友于七夕那天乘坐高鐵G77從武漢出發(fā)（G77只會(huì)在長沙、廣州、深圳停），分別在每個(gè)停的站點(diǎn)至少下一個(gè)人，則不同的下車方案有（

）A．24種 B．36種 C．81種 D．256種【答案】B【解析】先按2+1+1分成三組，再分配到三個(gè)站點(diǎn)，即得結(jié)果.【詳解】依據(jù)題意每個(gè)停的站點(diǎn)至少下一個(gè)人，先按2+1+1分成三組，有種分法，再分配到三個(gè)站點(diǎn)，有種分法，所以一共有種不同的下車方案.故選：B.3.某公交線路某區(qū)間內(nèi)共設(shè)置四個(gè)站點(diǎn)（如圖），分別記為，現(xiàn)有甲、乙兩人同時(shí)從站點(diǎn)上車，且他們中的每個(gè)人在站點(diǎn)下車是等可能的.則甲、乙兩人不在同一站點(diǎn)下車的概率為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出甲、乙在同一站下車的概率，然后由對(duì)立事件概率公式計(jì)算．【詳解】設(shè)事件“甲、乙兩人不在同一站下車”，因?yàn)榧?、乙兩人同在站下車的概率為；甲、乙兩人同在站下車的概率為；甲、乙兩人同在站下車的概率為；所以甲、乙兩人在同一站下車的概率為，則.故選A.【題型七】模型3：排課表【典例分析】某校高二年級(jí)一班星期一上午有4節(jié)課，現(xiàn)從語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、歷史和體育這6門學(xué)科中任選4門排在上午的課表中，若前2節(jié)只能排語文、數(shù)學(xué)和英語，數(shù)學(xué)課不能排在第4節(jié)，體育只能排在第4節(jié)，則不同的排法種數(shù)為（

）A．18 B．48 C．50 D．54【答案】C【分析】根據(jù)題意，利用分類加法計(jì)數(shù)原理求解即可.【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)體育課排在第四節(jié)時(shí)，有種排法；當(dāng)體育課不排在第四節(jié)，且數(shù)學(xué)課排在第一節(jié)或第二節(jié)時(shí)，有種；當(dāng)體育課不排在第四節(jié)，且數(shù)學(xué)課不排在第一節(jié)或第二節(jié)時(shí)，有種；所以不同的排法共有：種，故選：C.【提分秘籍】基本規(guī)律排課表，是屬于多重限制條件下的“特殊元素優(yōu)先排”模型，綜合運(yùn)用：元素相鄰的排列問題——“捆邦法”；元素相間的排列問題——“插空法”；元素有順序限制的排列問題——“除序法”；(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問題——間接法.【變式演練】1.某學(xué)校為高一年級(jí)排周一上午的課表，共5節(jié)課，需排語文?數(shù)學(xué)?英語?生物?地理各一節(jié)，要求語文?英語之間恰排1門其它學(xué)科，則不同的排法數(shù)是（

）A．18 B．26 C．36 D．48【答案】C【分析】先從剩余的3門學(xué)科選1科放到語文?英語之間，再將它們看成一個(gè)整體與剩余的2門學(xué)科進(jìn)行排列，再利用分步計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】分兩步如下：（1）將語文?英語之間恰排1門其它學(xué)科，并將它們看成一個(gè)整體有種；（2）將上面整體和剩余的2門學(xué)科進(jìn)行排列有種；再利用分步計(jì)數(shù)原理可知共有種排法，故選：C2.某教師一天上3個(gè)班級(jí)的課，每班上1節(jié)，如果一天共8節(jié)課，上午5節(jié)，下午3節(jié)，并且教師不能連上3節(jié)課（第5節(jié)和第6節(jié)不算連上），那么這位教師一天的課表的所有不同排法有（

）A．312種 B．300種 C．52種 D．50種【答案】A【分析】利用間接法求解，即先求出所有的上課方法，再減去連上3節(jié)課的情況.【詳解】該教師一天8節(jié)課上3節(jié)的所有的上課方法有，連著上3節(jié)課的情況（一二三、二三四、三四五、六七八）有種，則利用間接法可知所求的方法有.故選：A3.大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)安排某班級(jí)某天上午五節(jié)課課表，語文?數(shù)學(xué)?外語?物理?化學(xué)各一節(jié)，現(xiàn)要求數(shù)學(xué)和物理不相鄰，且都不排在第一節(jié)，則課表排法的種數(shù)為（

）A．24 B．36 C．72 D．144【答案】B【分析】分?jǐn)?shù)學(xué)排在第一節(jié)、物理排在第一節(jié)、數(shù)學(xué)和物理都不排在第一節(jié)但相鄰三類，分別求得排法數(shù)求和，由5節(jié)課任意排的排法減去三類情況的排法數(shù)即可.【詳解】1、將數(shù)學(xué)排在第一節(jié)的排法有種；2、將物理排在第一節(jié)的排法有種；3、數(shù)學(xué)和物理都不排在第一節(jié)，但相鄰的排法有種；而5節(jié)課任意排的排法有種，∴數(shù)學(xué)和物理不相鄰且都不排在第一節(jié)的排法有種.故選：B.【題型八】模型4：節(jié)假日值班【典例分析】甲、乙、丙三人是某商場的安保人員，根據(jù)值班需要甲連續(xù)工作2天后休息一天，乙連續(xù)工作3天后休息一天，丙連續(xù)工作4天后休息一天，已知3月31日這一天三人均休息，則4月份三人在同一天工作的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】列舉出三人所有工作日，由古典概型公式可得.【詳解】解：甲工作的日期為1，2，4，5，7，8，10，…，29.乙工作的日期為1，2，3，5，6，7，9，10，…，30.丙工作的日期為1，2，3，4，6，7，8，9，…，29.在同一天工作的日期為1，2，7，11，13，14，17，19，22，23，26，29∴三人同一天工作的概率為．故選：B．【變式演練】1.2021年7月20日鄭州特大暴雨引發(fā)洪災(zāi)，各地志愿者積極赴鄭州救災(zāi).某志愿小組共5人，隨機(jī)分配4人去值班，每人只需值班一天，若前兩天每天1人，第三天2人，且其中的甲、乙兩人不同在第三天值班，則滿足條件的排法共有（

）A．72種 B．60種 C．54種 D．48種【答案】C【分析】分隨機(jī)選4人只含甲乙中的一個(gè)、含甲乙兩人兩種情況，結(jié)合分步計(jì)算及間接法分別求得安排方法數(shù)，最后加總即可.【詳解】若隨機(jī)選4人中只含甲乙中的一個(gè)，則種，前兩天每天1人，第三天2人，有種，此時(shí)，共有種；若隨機(jī)選4人中含甲乙兩人，則種，前兩天每天1人，第三天2人且甲、乙不同在第三天值班，有種，此時(shí)，共有種.綜上，共有54種.故選：C2.某校安排甲、乙、丙三位老師擔(dān)任五月一日至五月五日的值班工作，每天1人值班，每人不能連續(xù)兩天值班，且每人都參與值班，則不同的安排方法共有（

）種A．14 B．16 C．42 D．48【答案】C【分析】將五月一日至五月五日編號(hào)為1,2,3,4,5，由題意，先放中間的3，再放2,4，最后放1,5求解.【詳解】解：將五月一日至五月五日編號(hào)為1,2,3,4,5，先放中間的3，再放2,4，最后放1,5，先放3有種，若2,4同一個(gè)人有2種，此時(shí)1,5有3種情況，共有種，若2,4不同人有2種，此時(shí)1,5有4種情況，共有種，所以共有種，故選：C3.某單位從6男4女共10名員工中，選出3男2女共5名員工，安排在周一到周五的5個(gè)夜晚值班，每名員工值一個(gè)夜班且不重復(fù)值班，其中女員工甲不能安排在星期一、星期二值班，男員工乙不能安排在星期二值班，其中男員工丙必須被選且必須安排在星期五值班，則（

）A．甲乙都不選的方案共有432種B．選甲不選乙的方案共有216種C．甲乙都選的方案共有96種D．這個(gè)單位安排夜晚值班的方案共有1440種【答案】ABC【分析】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，對(duì)于A：從4男3女中，選出2男2女共4名員工排列；對(duì)于B：甲只能排星期三或星期四，從剩下的從4男3女中，選出2男1女共3名員工排列；對(duì)于C：分情況討論：乙排星期一或乙不排星期一；對(duì)于D：分為四種情況：甲乙都不選、選甲不選乙、選乙不選甲和甲乙都選，重點(diǎn)分析運(yùn)算選乙不選甲．【詳解】男員工丙必須被選且必須安排在星期五值班，則原題可理解為從5男4女共9名員工中，選出2男2女共4名員工，安排在周一到周四的4個(gè)夜晚值班，每名員工值一個(gè)夜班且不重復(fù)值班，其中女員工甲不能安排在星期一、星期二值班，男員工乙不能安排在星期二值班甲乙都不選的方案共有種，A正確選甲不選乙的方案共有種，B正確甲乙都選，則分兩種情況：乙排星期一或乙不排星期一乙排星期一的方案共有種乙不排星期一的方案共有種∴甲乙都選的方案共有96種，C正確這個(gè)單位安排夜晚值班分為四種情況：甲乙都不選、選甲不選乙、選乙不選甲和甲乙都選選乙不選甲的方案共有種∴這個(gè)單位安排夜晚值班的方案共有432+216+432+96=1176種，D錯(cuò)誤故選：ABC．【題型九】模型5：書架插書型（不改變順序）【典例分析】書架上某一層有5本不同的書，新買了3本不同的書插進(jìn)去，要保持原來5本書的順序不變，則不同的插法種數(shù)為（

）.A．60 B．120 C．336 D．504【答案】C【分析】依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理即可求得不同的插法種數(shù).【詳解】將新買的3本書逐一插進(jìn)去：第1本書插入5本書形成的6個(gè)空隙中的1個(gè)，有6種插法；第2本書插入6本書形成的7個(gè)空隙中的1個(gè)，有7種插法；最后1本書插入7本書形成的8個(gè)空隙中的1個(gè)，有8種插法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知不同的插法種數(shù)為6×7×8=336.故選：C【提分秘籍】基本規(guī)律“書架插書法”模型，實(shí)質(zhì)就是“定序”，可以模擬為書架插書：1.書要一本一本插入。2.所插入的書，還要注意是否相同，如果相同，則只選插入的縫隙，而不排列【變式演練】1.書架上有排好順序的6本書，如果保持這6本書的相對(duì)順序不變，再放上3本書，則不同的放法共有（

）.A．210種 B．252種 C．504種 D．505種【答案】C【分析】可看成一共有9本書，9個(gè)位置，將3本書排列到這9個(gè)位置中的3個(gè)位置即可.【詳解】可轉(zhuǎn)換為將3本書排列到所有的9本書中的其中3個(gè)位置上.共種情況.故選：C2.10名同學(xué)進(jìn)行隊(duì)列訓(xùn)練，站成前排3人后排7人，現(xiàn)體育教師要從后排7人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先從7個(gè)人中選2人調(diào)整到前排，再把兩個(gè)人在5個(gè)位子中選2個(gè)進(jìn)行排列即可求解.【詳解】先從7個(gè)人中選2人調(diào)整到前排有種，調(diào)整后前排有5個(gè)人，再把兩個(gè)人在5個(gè)位子中選2個(gè)進(jìn)行排列，原來的3人按照原順序站在剩下的3個(gè)位子，有種，按照乘法計(jì)數(shù)原理可得總共有種.故選：B.3.某同學(xué)計(jì)劃用他姓名的首字母，身份證的后4位數(shù)字（4位數(shù)字都不同）以及3個(gè)符號(hào)設(shè)置一個(gè)六位的密碼．若必選，且符號(hào)不能超過兩個(gè)，數(shù)字不能放在首位和末位，字母和數(shù)字的相對(duì)順序不變，則他可設(shè)置的密碼的種數(shù)為（

）A．864 B．1009 C．1225 D．1441【答案】D【分析】先按照符號(hào)的個(gè)數(shù)分類，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理分別計(jì)算每類的情況種數(shù)，再利用分類加法計(jì)數(shù)原理求解即可.【詳解】①當(dāng)符號(hào)的個(gè)數(shù)為0時(shí)，六位密碼由字母及身份證的后4位數(shù)字組成，此時(shí)只有1種情況；②當(dāng)符號(hào)的個(gè)數(shù)為1時(shí)，六位密碼由母，3個(gè)數(shù)字及1個(gè)符號(hào)組成.若末位是符號(hào)，則首位是字母，可能的種數(shù)為；若末位是字母，則可能的種數(shù)為；③當(dāng)符號(hào)的個(gè)數(shù)為2時(shí)，六位密碼由字母，2個(gè)數(shù)字及2個(gè)符號(hào)組成.若首位和末位均為符號(hào)，則可能的種數(shù)為；若首位和末位均為字母，則可能的種數(shù)為；若首位和末位一個(gè)是字母、一個(gè)是符號(hào)，則可能的種數(shù)為.故他可設(shè)置的密碼的種數(shù)為.故選：D.【題型十】模型6：地圖染色【典例分析】在如圖所示的5個(gè)區(qū)域內(nèi)種植花卉，每個(gè)區(qū)域種植1種花卉，且相鄰區(qū)域種植的花卉不同，若有6種不同的花卉可供選擇，則不同的種植方法種數(shù)是（

）A．1440 B．720 C．1920 D．960【答案】C【分析】按照地圖涂色問題的方法，先分步再分類去種植花卉即可求得不同的種植方法種數(shù).【詳解】如圖，設(shè)5個(gè)區(qū)域分別是A，B，C，D，E.第一步，選擇1種花卉種植在A區(qū)域，有6種方法可以選擇；第二步：從剩下的5種不同的花卉中選擇1種種植在B區(qū)域，有5種方法可以選擇；第三步：從剩下的4種花卉中選擇1種種植在C區(qū)域，有4種方法可以選擇；第四步；若區(qū)域D與區(qū)域A種植同1種花卉，則區(qū)域E可選擇的花卉有4種；若區(qū)域D與區(qū)域A種植不同種花卉，則有3種方法可以選擇；則區(qū)域E可選擇的花卉有種，故不同的種植方法種數(shù)是.故選：C【提分秘籍】基本規(guī)律染色問題，要從“顏色用了幾種”，“地圖有沒有公用區(qū)域”方向考慮：1.用了幾種顏色。如果顏色沒有全部用完，就要有選色的步驟2.盡量先從公共相鄰區(qū)域開始。所以要觀察“地圖”是否可以“拓?fù)洹鞭D(zhuǎn)化比如，以下這倆圖，就是“拓?fù)洹币恢碌慕Y(jié)構(gòu)【變式演練】1.如圖，用五種不同的顏色給圖中的O，A，B，C，D，E六個(gè)點(diǎn)涂色（五種顏色不一定用完），要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同的顏色，則不同的涂法種數(shù)是（

）A．480 B．720 C．1080 D．1200【答案】D【分析】分類討論按照O，A，B，C，D，E的順序按題意要求去依次涂色即可解決.【詳解】先給O涂色，有種方法，接著給A涂色，有種方法，接著給B涂色，有種方法，①若C與A同色，則有1種涂色方法，接著給D涂色，有3種涂色方法，最后E有2種涂色方法；②若C與A不同色，則有2種涂色方法，接著給D涂色，若D與A同色，則有1種涂色方法，最后E有3種涂色方法；若D與A不同色，則有2種涂色方法，最后E有2種涂色方法.綜上，涂色方法總數(shù)為故選：D2.如圖，用四種不同的顏色給圖中的A，B，C，D，E，F(xiàn)，G七個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法有（

）A．192 B．336 C．600 D．以上答案均不對(duì)【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合計(jì)數(shù)原理，先排E，F(xiàn)，G，然后根據(jù)A，B，C，D的情況討論．【詳解】解：E，F(xiàn)，G分別有4，3，2種方法，當(dāng)A與F相同時(shí)，A有1種方法，此時(shí)B有2種，若與F相同有C有1種方法，同時(shí)D有3種方法，若C與F不同，則此時(shí)D有2種方法，故此時(shí)共有：種方法；當(dāng)A與G相同時(shí)，A有1種方法，此時(shí)B有3種方法，若C與F相同，C有1種方法，同時(shí)D有2種方法，

若C與F不同，則D有1種方法，

故此時(shí)共有：種方法；當(dāng)A既不同于F又不同于G時(shí)，A有1種方法，若B與F相同，則C必須與A相同，同時(shí)D有2種方法；若B不同于F，則B有1種方法，Ⅰ若C與F相同則C有1種方法同時(shí)D有2種方法；Ⅱ若C與F不同則必與A相同，C有1種方法，同時(shí)D有2種方法；故此時(shí)共有：種方法；綜上共有種方法．故選：C．3.用五種不同的顏色給圖中六個(gè)小長方形區(qū)域涂色，要求顏色齊全且有公共邊的區(qū)域顏色不同，則共有涂色方法A．種 B．種 C．種 D．種【答案】D【詳解】其中可能共色的區(qū)域有AC,AD,AE,AF,BE,BF,CD,CF,DF共9種,故共有涂色方法為,選D.點(diǎn)睛：求解排列、組合問題常用的解題方法：(1)元素相鄰的排列問題——“捆邦法”；(2)元素相間的排列問題——“插空法”；(3)元素有順序限制的排列問題——“除序法”；(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問題——間接法.【題型十一】模型7：幾何體染色【典例分析】用五種不同顏色給三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)涂色，要求每個(gè)頂點(diǎn)涂一種顏色，且每條棱的兩個(gè)頂點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂法有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】D【分析】對(duì)所選顏色的種數(shù)進(jìn)行分類討論，先涂、、三點(diǎn)，再確定、、三點(diǎn)顏色的選擇方法種數(shù)，結(jié)合分步乘法和分類加法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】分以下幾種情況討論：①若種顏色全用上，先涂、、三點(diǎn)，有種，然后在、、三點(diǎn)中選擇兩點(diǎn)涂另外兩種顏色，有種，最后一個(gè)點(diǎn)有種選擇，此時(shí)共有種；②若用種顏色染色，由種選擇方法，先涂、、三點(diǎn)，有種，然后在、、三點(diǎn)中需選擇一點(diǎn)涂最后一種顏色，有種，不妨設(shè)涂最后一種顏色的為點(diǎn)，若點(diǎn)與點(diǎn)同色，則點(diǎn)只有一種顏色可選，若點(diǎn)與點(diǎn)同色，則點(diǎn)有兩種顏色可選，此時(shí)共有種；③若用種顏色染色，則有種選擇方法，先涂、、三點(diǎn)，有種，點(diǎn)有種顏色可選，則、的顏色只有一種選擇，此時(shí)共有.由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有種涂色方法.故選：D.【提分秘籍】基本規(guī)律立體型結(jié)構(gòu)，可以“拍扁了”，“拓?fù)洹睘槠矫嫘腿旧@是幾何體染色的一個(gè)小技巧所以注意這類圖形之間的互相轉(zhuǎn)化【變式演練】1.正方體六個(gè)面上分別標(biāo)有A、B、C、D、E、F六個(gè)字母，現(xiàn)用5種不同的顏色給此正方體六個(gè)面染色，要求有公共棱的面不能染同一種顏色，則不同的染色方案有（

）種.A．420 B．600 C．720 D．780【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)面的顏色是否相同，分①三對(duì)面染相同的顏色、②兩對(duì)面染相同顏色，另一對(duì)面染不同顏色、③一對(duì)面染相同顏色，另兩對(duì)面染不同顏色，分別求出不同的染色方案，最后加總即可.【詳解】分三類：1、若三對(duì)面染相同的顏色，則有種；2、若兩對(duì)面染相同顏色，另一對(duì)面染不同顏色，則有種；3、若一對(duì)面染相同顏色，另兩對(duì)面染不同顏色，則有種；∴共有種.故選：D2.過三棱柱中任意兩個(gè)頂點(diǎn)連線作直線，在所有這些直線連線中構(gòu)成異面直線的對(duì)數(shù)為（

）A．18 B．30 C．36 D．54【答案】C【解析】根據(jù)題意，分棱柱側(cè)棱與底面邊、棱柱側(cè)棱與側(cè)面對(duì)角線、底面邊與側(cè)面對(duì)角線、底面邊與底面邊、側(cè)面對(duì)角線與側(cè)面對(duì)角線五類依次計(jì)數(shù)即可得答案.【詳解】解：如圖，分以下幾類：棱柱側(cè)棱與底面邊之間所構(gòu)成的異面直線有：對(duì)；棱柱側(cè)棱與側(cè)面對(duì)角線之間所構(gòu)成的異面直線有：對(duì)；底面邊與側(cè)面對(duì)角線之間所構(gòu)成的異面直線有：對(duì)；底面邊與底面邊之間所構(gòu)成的異面直線有：對(duì)；側(cè)面對(duì)角線與側(cè)面對(duì)角線之間所構(gòu)成的異面直線有：對(duì)；所以共有對(duì).故選：C.3.給正方體的八個(gè)頂點(diǎn)涂色，要求同一條棱的兩個(gè)端點(diǎn)不同色，現(xiàn)有三種顏色可供選擇，不同的涂色方法有________種．【答案】114【分析】先考慮兩種顏色的情況，易得有6種方法；再考慮三種顏色的情況，分同色、同色不同色，同色不同色，及不同色四種情況，對(duì)每個(gè)點(diǎn)的著色情況進(jìn)行考慮，最終可得答案.【詳解】如下圖所示的正方體，①用兩種顏色，和同色，則有種；②用三種顏色，若同色，則各有兩種選色方法，故共有種；若同色，與之不同色，注意又與不同色，故只有一種涂色，同理也只有一種涂色，而各有兩種涂色方法，故共有種；若同色，與之不同色，同理，共有種；注意到顏色互不相同是不可能事件，否則無色可涂，故同色的情況討論完畢.若不同色，則各只有一種涂色方法，另外要么與同色，要么與同色，否則無色可涂，若與同色，則有兩種涂色，一種是與同色，則有兩種涂色方法，只有一種涂色方法，共有種，一種是與不同色，則必與同色，否則無色可涂，此時(shí)，都只有一種涂色方法，共有種；若與同色，與上述討論的情況等價(jià)，同理可得共有種；至此，所有情況討論完畢，故共有種.故答案為：114..【題型十二】模型8：相同元素【典例分析】將1個(gè)參加青少年科技創(chuàng)新大賽的名額分配給3個(gè)學(xué)校，要求每校至少有一個(gè)名額且各校分配的名額互不相等，則不同的分配方法種數(shù)為()A．96 B．114 C．128 D．136【答案】B【分析】先確定分配名額，再對(duì)應(yīng)學(xué)校，最后根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求結(jié)果.【詳解】不同的名額分配方法為（1，2，15），（1，3，14），…,（1，8，9）；（2，3，13），（2，4，12），…,（2，7，9）；…,(5,6,7)，共種方法，再對(duì)應(yīng)分配給學(xué)校有,選B.【提分秘籍】基本規(guī)律相同元素?zé)o排列，可以用擋板法解決，可以以先排不相同元素，再放上相同元素（反過來也行，區(qū)別是先放相同元素，此時(shí)是只選不排）【變式演練】1.有張卡片分別寫有數(shù)字，從中任取張，可排出不同的四位數(shù)個(gè)數(shù)為A． B． C． D．【答案】C【詳解】分析：根據(jù)題意，分四種情況討論：①取出四張卡片中沒有重復(fù)數(shù)字，即取出四張卡片中的數(shù)字為1,2,3,4；②取出四張卡片中4有2個(gè)重復(fù)數(shù)字，則2個(gè)重復(fù)的數(shù)字為1或2；③若取出的四張卡片為2張1和2張2；④取出四張卡片中有3個(gè)重復(fù)數(shù)字，則重復(fù)數(shù)字為1，分別求出每種情況下可以排出四位數(shù)的個(gè)數(shù)，由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得結(jié)論.詳解：根據(jù)題意，分四種情況討論：①取出四張卡片中沒有重復(fù)數(shù)字，即取出四張卡片中的數(shù)字為1,2,3,4；此時(shí)有種順序，可以排出24個(gè)四位數(shù).②取出四張卡片中4有2個(gè)重復(fù)數(shù)字，則2個(gè)重復(fù)的數(shù)字為1或2，若重復(fù)的數(shù)字為1，在2,3,4中取出2個(gè)，有種取法，安排在四個(gè)位置中，有種情況，剩余位置安排數(shù)字1，可以排出個(gè)四位數(shù)同理，若重復(fù)的數(shù)字為2，也可以排出36個(gè)重復(fù)數(shù)字；③若取出的四張卡片為2張1和2張2，在4個(gè)位置安排兩個(gè)1，有種情況，剩余位置安排兩個(gè)2，則可以排出個(gè)四位數(shù)；④取出四張卡片中有3個(gè)重復(fù)數(shù)字，則重復(fù)數(shù)字為1，在2,3,4中取出1個(gè)卡片，有種取法，安排在四個(gè)位置中，有種情況，剩余位置安排1，可以排出個(gè)四位數(shù)，則一共有個(gè)四位數(shù)，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用，屬于難題.有關(guān)排列組合的綜合問題，往往是兩個(gè)原理及排列組合問題交叉應(yīng)用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類計(jì)數(shù)加法原理討論時(shí)，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準(zhǔn)確率.2.由可組成不同的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為__________．【答案】204【解析】根據(jù)所選的數(shù)字的情況將此問題可以分為以下三種情況：i）選取的4個(gè)數(shù)字是1,2,3,4；ii）從四組中任取兩組；iii）從四組中任取一組，再從剩下的3組中的不同的三個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)不同的數(shù)字，利用排列與組合的計(jì)算公式及其乘法原理即可得出.【詳解】詳解：i）選取的四個(gè)數(shù)字是1,2,3,4，則可組成個(gè)不同的四位數(shù)；ii）從四組中任取兩組有種取法，如假設(shè)取的是1，1，2，2四個(gè)數(shù)：得到以下6個(gè)四位數(shù)：1122，2211，1212，2121，1221，2112．所以此時(shí)共有個(gè)不同的四位數(shù)；iii）從四組中任取一組有種取法，再從剩下的三組中的不同的三個(gè)數(shù)中任取2個(gè)不同的數(shù)字有種取法，把這兩個(gè)不同的數(shù)字安排到四個(gè)數(shù)位上共有種方法，而剩下的兩個(gè)相同數(shù)字只有一種方法，由乘法原理可得此時(shí)共有個(gè)不同的四位數(shù)；綜上可知，用8個(gè)數(shù)字1,1,2,2,3,3,4,4可以組成不同的四位數(shù)個(gè)數(shù)是，故答案為：2043.把a(bǔ)，a，a，b，b，，排成一排，要求三個(gè)“a”兩兩不相鄰，且兩個(gè)“b”也不相鄰，則這樣的排法共有______種．【答案】96【分析】計(jì)數(shù)綜合問題，可先對(duì)b，b，，進(jìn)行排列，然后用“插空法”解決三個(gè)“a”兩兩不相鄰的問題，最后減去兩個(gè)“b”相鄰的情況即為所求【詳解】根據(jù)題意，分情況進(jìn)行分析：①先排列b，b，，，若，不相鄰，則有（種）排法，若，相鄰，則有（種）排法．所以b，b，，的排法有（種），排好后有5個(gè)空位．②從所形成的5個(gè)空中選3個(gè)插入a，共有（種）方法，若b，b相鄰，從所形成的4個(gè)空中選3個(gè)插入a，共有（種）方法，故三個(gè)“a”兩兩步相鄰，且兩個(gè)“b”也不相鄰的排法共有（種）．故答案為：96【題型十三】模型9：停車位、空座位（相同元素）【典例分析】某停車場只有并排的8個(gè)停車位，恰好全部空閑，現(xiàn)有3輛汽車依次駛?cè)?，并且隨機(jī)停放在不同車位，則至少有2輛汽車停放在相鄰車位的概率是A． B． C． D．【答案】C【詳解】分析：先求三輛車皆不相鄰的概率，再根據(jù)對(duì)立事件概率關(guān)系求結(jié)果.詳解：因?yàn)槿v車皆不相鄰的情況有，所以三輛車皆不相鄰的概率為,因此至少有2輛汽車停放在相鄰車位的概率是選C.【提分秘籍】基本規(guī)律空車位，就是相同元素，如果多個(gè)空車位連在一起，就不是“相同元素了”。所以有多個(gè)空車位連你在一起，要先選后排?！咀兪窖菥殹?.現(xiàn)有一排10個(gè)位置的空停車場，甲、乙、丙三輛不同的車去停放，要求每輛車左右兩邊都有空車位且甲車在乙、丙兩車之間的停放方式共有_________種.【答案】40【分析】根據(jù)題意，先將甲、乙、丙三輛不同的車排列，使得甲車在乙、丙兩車之間，有2種排法，再將剩余的7個(gè)空車位分為4組，分別排在甲、乙、丙三輛車形成的四個(gè)空上，然后，求出不同的分組方法，最后利用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解【詳解】先將甲、乙、丙三輛不同的車排列，使得甲車在乙、丙兩車之間，有2種排法，再將剩余的7個(gè)空車位分為4組，分別排在甲、乙、丙三輛車形成的四個(gè)空上，有1，1，1，4；1，1，2，3；1，2，2，2三種分組方法，則不同的分組方法共有種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的停放方式共有種.【點(diǎn)睛】本題考查計(jì)數(shù)原理，熟練應(yīng)用計(jì)數(shù)原理合理分步是解題的關(guān)鍵，屬于簡單題.2.．某校共有7個(gè)車位，現(xiàn)要停放3輛不同的汽車，若要求4個(gè)空位必須都相鄰，則不同的停放方法共有(

)A．16種 B．18種 C．24種 D．32種【答案】C【分析】由題意4個(gè)空位必須都相鄰，則三輛車的位置可以是：三輛車都在最左邊；左邊兩輛，最右邊一輛；左邊一輛，最右邊兩輛；最右邊三輛.分別求出三輛車的排列即可得出答案.【詳解】由題意知本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問題，首先安排三輛車的位置，假設(shè)車位是從左到右一共7個(gè)，當(dāng)三輛車都在最左邊時(shí)，三車之間的一個(gè)排列，當(dāng)左邊兩輛，最右邊一輛時(shí)，三車之間的一個(gè)排列，當(dāng)左邊一輛，最右邊兩輛時(shí)，三車之間的一個(gè)排列，當(dāng)最右邊三輛時(shí)，三車之間的一個(gè)排列，總上可知共有不同的排列法4×=24種結(jié)果，故選：C．3.某電影院第一排共有9個(gè)座位，現(xiàn)有3名觀眾前來就座，若他們每兩人都不能相鄰，且要求每人左右至多兩個(gè)空位，則不同的坐法共有A．36種 B．42種 C．48種 D．96種【答案】C【詳解】試題分析：共有6個(gè)空位，如果3人旁邊有三個(gè)位置時(shí)空位，那就是222的空位組合，共有種情況，當(dāng)3人旁邊有4個(gè)位置有空位，那空位組合就是1122的組合，采用插空法，共有種情況，所以不同的做法就是12+36=48種情況，故選C.考點(diǎn)：1.排列；2.組合.【題型十四】模型10：走路口（相同元素）【典例分析】如圖，在某城市中，M?N兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中???是道路網(wǎng)中位于一條對(duì)角線上的4個(gè)交匯處，今在道路網(wǎng)M?N處的甲?乙兩人分別要到N?M處，他們分別隨機(jī)地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時(shí)出發(fā)，直到到達(dá)N?M處為止，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．甲從M必須經(jīng)過到達(dá)N處的方法有9種B．甲?乙兩人相遇的概率為C．甲乙兩人在處相遇的概率為D．甲從M到達(dá)N處的方法有20種【答案】B【分析】分別計(jì)算兩人經(jīng)過的走法種數(shù)，由排列組合與古典概型對(duì)選項(xiàng)逐一判斷【詳解】對(duì)于甲，經(jīng)過到達(dá)有1種，經(jīng)過到達(dá)有種，經(jīng)過到達(dá)有種，經(jīng)過到達(dá)有1種，甲從M到達(dá)N處的方法共有20種，同理對(duì)于乙，經(jīng)過到達(dá)分別有種．對(duì)于A，甲從M必須經(jīng)過到達(dá)N處的方法有9種，A正確，對(duì)于B，甲乙兩人相遇的概率，B錯(cuò)誤，對(duì)于C，甲乙兩人在處相遇的概率，C正確，對(duì)于D，甲從M到達(dá)N處的方法共有20種，D正確故選：B【提分秘籍】基本規(guī)律“走路空”模型，一般情況下，可以借助“數(shù)字化法”，把路口轉(zhuǎn)化為相同數(shù)字來進(jìn)行排列。比如，向右，定為數(shù)字1，向上，定為數(shù)字2，如下圖，從A到B，只向右和向上，那么向右2步，向上3步，可以理解為數(shù)字1,1,2,2,2五個(gè)數(shù)字全排列，那么只選不排，相當(dāng)于五個(gè)位置，先放三個(gè)2，共有種放法，【變式演練】1.夏老師從家到學(xué)校，可以選擇走錦繡路、楊高路、張楊路或者浦東大道，由于夏老師不知道楊高路有一段在修路導(dǎo)致第一天上班就遲到了，所以夏老師決定以后要繞開那段維修的路，如圖，假設(shè)夏老師家在處，學(xué)校在處，段正在修路要繞開，則夏老師從家到學(xué)校的最短路徑有（

）條．A．23 B．24 C．25 D．26【答案】D【分析】先求出由到的最短路徑的條數(shù)，然后求出由到且經(jīng)過的最短路徑的條數(shù)，最后相減即可.【詳解】由到的最短路徑需要向右走四段路，向上走三段路，所以有條路，由到的最短路徑需要向右走兩段路，向上走一段路，所以有條路，由到的最短路徑需要向右走一段路，向上走兩段路，所以有條路，所以由到不經(jīng)過的最短路徑有.故選：D.2.如圖，小明從街道的處出發(fā)，選擇最短路徑到達(dá)處參加志愿者活動(dòng)，在小明從處到達(dá)處的過程中，途徑處的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用組合數(shù)與分步乘法計(jì)數(shù)原理，計(jì)算出從處出發(fā)到達(dá)處的最短路徑數(shù)，并計(jì)算出小明從處到達(dá)處的過程中，途徑處的最短路徑數(shù)，然后利用古典概型的概率公式，即可得到結(jié)果.【詳解】解：由題意，小明從處出發(fā)到達(dá)處，最短需要走四橫三縱共七段路，共有條不同的路；小明從處到處，最短需要走兩橫兩縱共四段路，共有條不同的路，從處到處，最短需要走兩橫一縱共三段路，共有條不同的路.所以小明從處到達(dá)處的過程中，途徑處的概率.故選：.3.如圖，一次移動(dòng)是指：從某一格開始只能移動(dòng)到鄰近的一格，并且總是向右或右上或右下移動(dòng)，而一條移動(dòng)路線由若干次移動(dòng)構(gòu)成，如1→3→4→5→6→7就是一條移動(dòng)路線，則從數(shù)字“1”到“7”，漏掉兩個(gè)數(shù)字的移動(dòng)路線條數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】分類分步排列即可.【詳解】由題意1和7是不能漏掉的，所以由以下路線：（1,3,5,6,7），（1,3,4,6,7），（1,3,4,5,7），（1,2,4,6,7），（1,2,4,5,7），（1,2,3,5,7）共6條，故選：B.【題型十五】模型11：上臺(tái)階（相同元素）【典例分析】有一道樓梯共10階，小王同學(xué)要登上這道樓梯，登樓梯時(shí)每步隨機(jī)選擇一步一階或一步兩階，小王同學(xué)7步登完樓梯的概率為___________.【答案】【分析】由題意可分為步、步、步、步、步、步共6種情況，分別求出每種的基本事件數(shù)，再利用古典概型的概率公式計(jì)算可得；【詳解】解：由題意可分為步、步、步、步、步、步共6種情況，①步：即步兩階，有種；②步：即步兩階與步一階，有種；③步：即步兩階與步一階，有種；④步：即步兩階與步一階，有種；⑤步：即步兩階與步一階，有種；⑥步：即步一階，有種；綜上可得一共有種情況，滿足7步登完樓梯的有種；故7步登完樓梯的概率為故答案為：【提分秘籍】基本規(guī)律“上臺(tái)階”模型，也可以如“走路口”模型一樣，轉(zhuǎn)化為“數(shù)字化法”，一步n級(jí)臺(tái)階，可以記為數(shù)字n，然后總臺(tái)階可以借助“不定方程”計(jì)算。【變式演練】1.某幢樓從二樓到三樓的樓梯共10級(jí)，上樓可以一步上一級(jí)，也可以一步上兩級(jí)，若規(guī)定從二樓到三樓用8步走完，則方法有（

）A．45種 B．36種 C．28種 D．25種【答案】C【解析】由題意可知，10級(jí)樓梯要8步走完，這8步中有6步是一步上一級(jí)，2步是一步上兩級(jí)，所以此問題轉(zhuǎn)化為從8步中選2步即為答案.【詳解】由題意，這8步中有6步是一步上一級(jí)，2步是一步上兩級(jí)，只需確定這8步中，哪2步是一步上兩級(jí)即得答案為，故選：C.2.共有10級(jí)臺(tái)階，某人一步可跨一級(jí)臺(tái)階，也可跨兩級(jí)臺(tái)階或三級(jí)臺(tái)階，則他恰好6步上完臺(tái)階的方法種數(shù)是（

）A．30 B．90 C．75 D．60【答案】B【分析】根據(jù)分類和分步計(jì)數(shù)原理及組合即可求解.【詳解】由題意可知，完成這件事情分三類；第一類，按照的走法有種；第二類，按照的走法有種；第三類，按照的走法有種；所以他恰好6步上完臺(tái)階的方法種數(shù)是.故選：B.3.某人從上一層到二層需跨10級(jí)臺(tái)階.他一步可能跨1級(jí)臺(tái)階，稱為一階步，也可能跨2級(jí)臺(tái)階，稱為二階步，最多能跨3級(jí)臺(tái)階，稱為三階步.從一層上到二層他總共跨了6步，而且任何相鄰兩步均不同階.則他從一層到二層可能的不同過程共有（

）種.A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【詳解】按題意要求，不難驗(yàn)證這6步中不可能沒有三階步，也不可能有多于1個(gè)的三階步.因此，只能是1個(gè)三階步，2個(gè)二階步，3個(gè)一階步.為形象起見，以白、黑、紅三種顏色的球來記錄從一層到二層跨越10級(jí)臺(tái)階的過程：白球表示一階步，黑球表示二階步，紅球表示三階步.每一過程可表為3個(gè)白球、2個(gè)黑球、1個(gè)紅球的一種同色球不相鄰的排列.下面分三種情形討論.（1）第1、第6球均為白球，則兩黑球必分別位于中間白球的兩側(cè).此時(shí)，共有4個(gè)黑白球之間的空位放置紅球.所以，此種情況共有4種可能的不同排列.（2）第1球不是白球.（i）第1球?yàn)榧t球，則余下5球只有一種可能的排列；（ii）若第1球?yàn)楹谇颍瑒t余下5球因紅、黑球的位置不同有兩種不同的排列，此種情形共有3種不同排列.（3）第6球不是白球，同（2），共有3種不同排列.總之，按題意要求從一層到二層共有種可能的不同過程.【題型十六】模型12：“波浪數(shù)”型（高低站位）【典例分析】在給某小區(qū)的花園綠化時(shí)，綠化工人需要將6棵高矮不同的小樹在花園中栽成前后兩排，每排3棵，則后排的每棵小樹都對(duì)應(yīng)比它前排每棵小樹高的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出事件A包含的基本事件個(gè)數(shù)，再根據(jù)古典概型的公式計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)六棵樹從矮到高的順序?yàn)?，2，3，4，5，6，后排的每棵小樹都對(duì)應(yīng)比它前排每棵小樹高為事件A．則6必在后排，1在前排，因此，分為1-6相對(duì)和1-6不對(duì)兩種情況（相對(duì)的意思是前后相鄰），1-6相對(duì)：5必在后排，2必在前排，因此，又可分為2-5相對(duì)和2-5不對(duì)兩種情況，①2-5相對(duì)時(shí)，3-4相對(duì)且4在后排，所以有種情況；②2-5不對(duì)，有種情況．1-6不對(duì)：可分為5在前排和5在后排兩種情況，1）5在前排，則5-6相對(duì)且4在后排，又可分為1-4相對(duì)和1-4不對(duì)兩種情況，1-4相對(duì)：有種；1-4不對(duì)：有種．2）5在后排，又可分為1-5相對(duì)和1-5不對(duì)兩種情況，①1-5相對(duì)：2必在前排，又分為2-6相對(duì)和2-6不對(duì)兩種，2-6相對(duì)：有種；2-6不對(duì)：有種．②1-5不對(duì)，有種．所以，故選：C．【提分秘籍】基本規(guī)律“波浪數(shù)”主要方法是分類討論。不重復(fù)不遺漏【變式演練】1.因演出需要，身高互不相等的8名演員要排成一排成一個(gè)“波浪形”，即演員們的身高從最左邊數(shù)起：第一個(gè)到第三個(gè)依次遞增，第三個(gè)到第六個(gè)依次遞減，第六、七、八個(gè)依次遞增，則不同的排列方式有（

）種．A．181 B．109 C．84 D．96【答案】A【分析】依題意，重點(diǎn)要先排好3號(hào)位和6號(hào)位，余下的分類討論分析即可.【詳解】依題意作圖如下：上面的數(shù)字表示排列的位置，必須按照上圖的方式排列，其中3號(hào)位必須比12456要高，1，6兩處是排列里最低的，3，8兩處是最高點(diǎn)，設(shè)8個(gè)演員按照從矮到高的順序依次編號(hào)為1，2，3，4，5，6，7，8，則3號(hào)位最少是6，最大是8，下面分類討論：①第3個(gè)位置選6號(hào)：先從1，2，3，4，5號(hào)中選兩個(gè)放入前兩個(gè)位置，余下的3個(gè)號(hào)中放入4，5，6號(hào)順序是確定的只有一種情況，然后7，8號(hào)放入最后兩個(gè)位置也是確定的，此時(shí)共種情況；②第3個(gè)位置選7號(hào)：先從1，2，3，4，5，6號(hào)中選兩個(gè)放入前兩個(gè)位置，余下的4個(gè)號(hào)中最小的放入6號(hào)位置，剩下3個(gè)選2個(gè)放入4，5兩個(gè)位置，余下的號(hào)和8號(hào)放入最后兩個(gè)位置，此時(shí)共種情況；③第3個(gè)位置選8號(hào)：先從1，2，3，4，5，6，7號(hào)中選兩個(gè)放入前兩個(gè)位置，余下的5個(gè)號(hào)中最小的放入6號(hào)位置，剩下4個(gè)選2個(gè)放入4，5兩個(gè)位置，余下的2個(gè)號(hào)放入最后兩個(gè)位置，此時(shí)共種情況；由分類計(jì)數(shù)原理可得共有種排列方式；故選：A.2.由1，2，3，4，5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，從中任意抽取一個(gè)，則其恰好為“前3個(gè)數(shù)字保持遞減，后3個(gè)數(shù)字保持遞增”（如五位數(shù)“43125”，前3個(gè)數(shù)字“431”保持遞減，后3個(gè)數(shù)字“125”保持遞增）的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)已知條件“定位”中間數(shù)字，其次在剩余的四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字，放置在首或末位，則其余數(shù)字排列方式唯一確定.最后由古典概型計(jì)算公式即可得解【詳解】由1，2，3，4，5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)共個(gè)，前3個(gè)數(shù)字保持遞減，后3個(gè)數(shù)字保持遞增，說明中間數(shù)字為1；在剩余的四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字，按照遞減順序,僅有一種排列方式放置在首兩位（或末兩位），則剩余兩位數(shù)字排列方式唯一確定，放置在最后兩位（或首兩位）.因此“前3個(gè)數(shù)字保持遞減，后3個(gè)數(shù)字保持遞增”的五位數(shù)有個(gè)，所以所求的概率．故選：A．3.幾只猴子在一棵枯樹上玩耍，假設(shè)它們均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的過程中依次撞擊到樹枝A，B，C；（2）乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝D，E，F(xiàn)；（3）丙在下落的過程中依次撞擊到樹枝G，A，C；（4）丁在下落的過程中依次撞擊到樹枝B，D，H；（5）戊在下落的過程中依次撞擊到樹枝I，C，E,則這九棵樹枝從高到低不同的順序共有（

）A．23 B．24 C．32 D．33【答案】D【分析】先判斷出，按順序排在前四個(gè)位置中的三個(gè)位置，，，且一定排在后四個(gè)位置，然后分排在前四個(gè)位置中的一個(gè)位置與不排在前四個(gè)位置中的一個(gè)位置兩種情況討論，利用分類計(jì)數(shù)加法原理可得結(jié)果.【詳解】不妨設(shè)代表樹枝的高度，五根樹枝從上至下共九個(gè)位置，根據(jù)甲依次撞擊到樹枝；乙依次撞擊到樹枝；丙依次撞擊到樹枝；丁依次撞擊到樹枝；戊依次撞擊到樹枝可得，在前四個(gè)位置，，，且一定排在后四個(gè)位置，（1）若排在前四個(gè)位置中的一個(gè)位置，前四個(gè)位置有4種排法，若第五個(gè)位置排C,則第六個(gè)位置一定排D，后三個(gè)位置共有3種排法，若第五個(gè)位置排D，則后四個(gè)位置共有4種排法，所以I排在前四個(gè)位置中的一個(gè)位置時(shí)，共有種排法；（2）若不排在前四個(gè)位置中的一個(gè)位置，則按順序排在前四個(gè)位置，由于，所以后五個(gè)位置的排法就是H的不同排法，共5種排法，即若不排在前四個(gè)位置中的一個(gè)位置共有5種排法，由分類計(jì)數(shù)原理可得，這9根樹枝從高到低不同的次序有種.故選：D.【題型十七】模型13：配對(duì)型【典例分析】新冠疫情期間，網(wǎng)上購物成為主流．因保管不善，五個(gè)快遞ABCDE上送貨地址模糊不清，但快遞小哥記得這五個(gè)快遞應(yīng)分別送去甲乙丙丁戊五個(gè)地方，全部送錯(cuò)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】5個(gè)快遞送到5個(gè)地方有種方法，全送錯(cuò)的方法：第一步A送錯(cuò)有4種可能，然后第二步是關(guān)鍵，考慮A送錯(cuò)的地方對(duì)應(yīng)的快遞，如送到丙地，第二步考慮快遞，而送錯(cuò)位置分兩類，一類是送到甲，一類是送其他三個(gè)地方，再對(duì)剩下的3個(gè)快遞分別考慮即可完成．【詳解】5個(gè)快遞送到5個(gè)地方有種方法，全送錯(cuò)的方法數(shù)：先分步：第一步快遞送錯(cuò)有4種方法，第二步考慮所送位置對(duì)應(yīng)的快遞，假設(shè)送到丙地，第二步考慮快遞，對(duì)分類，第一類送到甲地，則剩下要均送錯(cuò)有2種可能（丁戊乙，戊乙?。诙愃偷揭叶∥熘械囊粋€(gè)地方，有3種可能，如送到丁地，剩下的只有甲乙戊三地可送，全送錯(cuò)有3種可能（甲戊乙，戊甲乙，戊乙甲），∴總的方法數(shù)為，所求概率為．故選：C．【提分秘籍】基本規(guī)律“配對(duì)型”模型，一般從這幾方面入手：1.樹圖法，詳細(xì)的分類討論2.先選后排。把“配對(duì)”的弦選出開，配錯(cuò)的，可以樹圖法寫出來【變式演練】1.．由雙不同的鞋中任取只，其中至少有兩只配成一雙的取法共有(

)A．種 B．種 C．種 D．種【答案】A【分析】根據(jù)組合計(jì)算全部取法，然后求解對(duì)立事件的取法，即可由全部取法去掉對(duì)立事件的取法即可求解.【詳解】從雙不同鞋子取出只鞋的取法種數(shù)是，取出的四只鞋都不成雙的方法有，故事件“從雙不同鞋子中取出只鞋，其中至少有只鞋配成一雙”的取法種數(shù)是，故選：．2.柜子里有3雙不同的鞋，隨機(jī)地取出2只，取出的鞋一只是左腳的，一只是右腳的，但它們不成對(duì)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】這是一個(gè)古典概型，先根據(jù)柜子里有3雙不同的鞋，算出隨機(jī)取出2只的方法數(shù)，然后先選出左腳的一只，再從剩下兩雙的右腳中選出一只的方法數(shù)，然后代入公式求解.【詳解】因?yàn)楣褡永镉?雙不同的鞋，所以隨機(jī)取出2只，共有種方法，然后先選出左腳的一只有種選法，再從剩下兩雙的右腳中選出一只有種方法，所以一共有種方法，故隨求事件的概率為，故選：A3.—對(duì)夫婦帶著他們的兩個(gè)小孩一起去坐纜車，他們隨機(jī)地坐在了一排且連在一起的個(gè)座位上（一人一座）．為安全起見，管理方要求每個(gè)小孩旁邊要有家長相鄰陪坐，則他們?nèi)说淖ǚ习踩?guī)定的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】計(jì)算出人隨機(jī)坐的坐法種數(shù)，并計(jì)算出每個(gè)小孩旁邊要有家長相鄰陪坐的坐法種數(shù)，利用古典概型的概率公式可計(jì)算出所求事件的概率.【詳解】人隨機(jī)坐有種坐法，除去兩個(gè)小孩相鄰且坐在兩端的情況，有種符合安全規(guī)定的坐法，因此，所求事件的概率為.故選：C．【題型十八】模型14：電路圖型【典例分析】如圖，電路中共有個(gè)電阻與一個(gè)電燈A，若燈A不亮，則因電阻斷路的可能性的種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】每個(gè)電阻都有斷路與通路兩種情況，圖中從上到下有3條支線，分別計(jì)算每條支線斷路的種數(shù)，再根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果．【詳解】每個(gè)電阻都有斷路與通路兩種狀態(tài)，圖中從上到下的三條支線路，分別記為支線，支線中至少有一個(gè)電阻斷路情況都均為有種；支線中至少有一個(gè)電阻斷路的情況有種，每條支線至少有一個(gè)電阻斷路，燈就不亮，因此燈不亮的情況共有種情況，所以D正確.故選：D.【變式演練】1.如圖，電路中共有個(gè)電阻與一個(gè)電燈A，若燈A不亮，則因電阻斷路的可能性的種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】每個(gè)電阻都有斷路與通路兩種情況，圖中從上到下有3條支線，分別計(jì)算每條支線斷路的種數(shù)，再根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果．【詳解】每個(gè)電阻都有斷路與通路兩種狀態(tài)，圖中從上到下的三條支線路，分別記為支線，支線中至少有一個(gè)電阻斷路情況都均為有種；支線中至少有一個(gè)電阻斷路的情況有種，每條支線至少有一個(gè)電阻斷路，燈就不亮，因此燈不亮的情況共有種情況，所以D正確.故選：D.2.如圖所示，在，間有四個(gè)焊接點(diǎn)1，2，3，4，若焊接點(diǎn)脫落導(dǎo)致斷路，則電路不通，則焊接點(diǎn)脫落的不通情況有（

）種.A．9 B．11 C．13 D．15【答案】C【分析】根據(jù)題意分脫落1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)和4個(gè)，進(jìn)而列舉出所有情況得到答案.【詳解】解：按照可能脫落的個(gè)數(shù)分類討論，若脫落1個(gè)，則有（1），（4）兩種情況，若脫落2個(gè)，則有，，，，，共6種情況，若脫落3個(gè)，則有，，，共4種情況，若脫落4個(gè)，則有共1種情況，綜上共有種情況.故選：C.3.如圖，在由開關(guān)組與組成的電路中，閉合開關(guān)使燈發(fā)光的方法有（

）種A． B． C． D．【答案】D【分析】按組開關(guān)閉合的個(gè)數(shù)分類即可求解【詳解】分兩類,每類中分兩步.第一類:第步:組開關(guān)閉合一個(gè),有種閉法,第步:組開關(guān)閉合個(gè),有種閉法;組開關(guān)閉合個(gè),有種閉法;組開關(guān)閉合個(gè),有種閉法.此時(shí)共種閉法.第二類:第步:組開關(guān)閉合個(gè),共種閉法,第步:組開關(guān)閉合個(gè),有種閉法;組開關(guān)閉合個(gè),有種閉法;組開關(guān)閉合個(gè),有種閉法.此時(shí)共種閉法.綜上,共種閉法.故選：D【題型十九】模型15：機(jī)器人跳動(dòng)型【典例分析】一只小青蛙位于數(shù)軸上的原點(diǎn)處，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳動(dòng)一個(gè)單位或者兩個(gè)單位距離的能力，且每次跳動(dòng)至少一個(gè)單位.若小青蛙經(jīng)過5次跳動(dòng)后，停在數(shù)軸上實(shí)數(shù)2位于的點(diǎn)處，則小青蛙不同的跳動(dòng)方式共有種.A．105 B．95 C．85 D．75【答案】A【詳解】分析：根據(jù)題意，分4種情況討論：①，小青蛙向左跳一次2個(gè)單位，向右跳4次，每次1個(gè)單位，②，小青蛙向左跳2次，每次2個(gè)單位，向右跳3次，每次2個(gè)單位，③，小青蛙向左跳2次，一次2個(gè)單位，一次1個(gè)單位，向右跳3次，2次2個(gè)單位，1次1個(gè)單位，④，小青蛙向左跳2次，每次1個(gè)單位，向右跳3次，1次2個(gè)單位，2次1個(gè)單位，由加法原理計(jì)算可得答案．詳解：根據(jù)題意，分4種情況討論：①，小青蛙向左跳一次2個(gè)單位，向右跳4次，每次1個(gè)單位，有C51=5種情況，②，小青蛙向左跳2次，每次2個(gè)單位，向右跳3次，每次2個(gè)單位，有C52=10種情況，③，小青蛙向左跳2次，一次2個(gè)單位，一次1個(gè)單位，向右跳3次，2次2個(gè)單位，1次1個(gè)單位，有C52A33=60種情況，④，小青蛙向左跳2次，每次1個(gè)單位，向右跳3次，1次2個(gè)單位，2次1個(gè)單位，有C52C32=30種情況，則一共有5+10+60+30=105種情況，即有105種不同的跳動(dòng)方式．故選A．【變式演練】1.一只小蜜蜂位于數(shù)軸上的原點(diǎn)處，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飛行一個(gè)單位或者兩個(gè)單位距離的能力，且每次飛行至少一個(gè)單位.若小蜜蜂經(jīng)過5次飛行后，停在數(shù)軸上實(shí)數(shù)3位于的點(diǎn)處，則小蜜蜂不同的飛行方式有多少種？A．5 B．25 C．55 D．75【答案】D【詳解】由題意知：小蜜蜂經(jīng)過5次飛行后，停在數(shù)軸上實(shí)數(shù)3位于的點(diǎn)處，共有以下四種情形：一、小蜜蜂在5次飛行中，有4次向正方向飛行，1次向負(fù)方向飛行，且每次飛行一個(gè)單位，共有種情況；二、小蜜蜂在5次飛行中，有3次向正方向飛行每次飛行一個(gè)單位，1次向正方向飛行，且每次飛行兩個(gè)單位，1次向負(fù)方向飛行，且每次飛行兩個(gè)單位，共有種情況；三、小蜜蜂在5次飛行中，有1次向正方向飛行每次飛行一個(gè)單位，2次向正方向飛行，且每次飛行兩個(gè)單位，2次向負(fù)方向飛行，且每次飛行一個(gè)單位，共有種情況；四、小蜜蜂在5次飛行中，有3次向正方向飛行每次飛行兩個(gè)單位，有1次向負(fù)方向飛行且飛行兩個(gè)單位，有1次向負(fù)方向飛行且飛行一個(gè)單位，共有種情況；故而共有種情況，故選：D．2.如圖，由個(gè)邊長為1個(gè)單位的小正方形組成一個(gè)大正方形．某機(jī)器人從C點(diǎn)出發(fā)，沿若小正方形的邊走到D點(diǎn)，每次可以向右走一個(gè)單位或者向上走一個(gè)單位．如果要求機(jī)器人不能接觸到線段，那么不同的走法共有______種．【答案】28【分析】根據(jù)題意畫出機(jī)器人能走的方格區(qū)域，然后分類討論路線的可能性，即可得答案.【詳解】由題意可知，機(jī)器人所成走動(dòng)的路線如圖所示的方格：圖中小寫字母表示機(jī)器人所能走的那一步路線，那么第一步是固定的只有一種走法，從第二步開始如果走a，第三步走c,第四步如果走h(yuǎn),那么這時(shí)共有3種走法，第四步如果走f，那么后面四步走的一個(gè)長方形的邊，這時(shí)共有種走法；第二步如果走b,第三步如果走d,第四步走e,第五步只能走h(yuǎn)，此時(shí)共有3種走法，第四步如果走f，此時(shí)共有種走法，第三步若果走g，后面五步是沿著一個(gè)長方形的邊走，此時(shí)共有種走法，故共有的走法為種，故答案為：283.動(dòng)點(diǎn)M位于數(shù)軸上的原點(diǎn)處，M每一次可以沿?cái)?shù)軸向左或者向右跳動(dòng)，每次可跳動(dòng)1個(gè)單位或者2個(gè)單位的距離，且每次至少跳動(dòng)1個(gè)單位的距離.經(jīng)過3次跳動(dòng)后，M在數(shù)軸上可能位置的個(gè)數(shù)為（）A．7 B．9 C．11 D．13【答案】D根據(jù)題意，分為動(dòng)點(diǎn)M①向左跳三次，②向右跳三次，③向左跳2次，向右跳1次，④向左跳1次，向右跳2次，四種情況進(jìn)行討論，得到相應(yīng)的位置，從而得到答案.【詳解】根據(jù)題意，分4種情況討論：①，動(dòng)點(diǎn)M向左跳三次，3次均為1個(gè)單位，3次均為2個(gè)單位，2次一個(gè)單位，2次2個(gè)單位，故有﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，②，動(dòng)點(diǎn)M向右跳三次，3次均為1個(gè)單位，3次均為2個(gè)單位，2次一個(gè)單位，2次2個(gè)單位，故有6，5，4，3，③，動(dòng)點(diǎn)M向左跳2次，向右跳1次，故有﹣3，﹣2，﹣1，0，2，④，動(dòng)點(diǎn)M向左跳1次，向右跳2次，故有0，1，2，3，故M在數(shù)軸上可能位置的個(gè)數(shù)為﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6共有13個(gè)，故選：D.【題型二十】難點(diǎn)：多重限制與分類討論【典例分析】小林同學(xué)喜歡吃4種堅(jiān)果：核桃?腰果?杏仁?榛子，他有5種顏色的“每日?qǐng)?jiān)果”袋.每個(gè)袋子中至少裝1種堅(jiān)果，至多裝4種堅(jiān)果.小林同學(xué)希望五個(gè)袋子中所裝堅(jiān)果種類各不相同，且每一種堅(jiān)果在袋子中出現(xiàn)的總次數(shù)均為偶數(shù)，那么不同的方案數(shù)為（

）A．20160 B．20220 C．20280 D．20340【答案】A【分析】設(shè)出核桃、腰果、杏仁、榛子為H，Y，X，Z，分類討論求出分堆情況，再進(jìn)行排列，求出最后答案.【詳解】依次記核桃、腰果、杏仁、榛子為H，Y，X，Z，則每個(gè)字母出現(xiàn)2次或4次，分類計(jì)算分堆可能：（1）H，H；Y，Y；X，X；Z，Z.若是“8=4+1+1+1+1”，則其中的“4”必須是HYXZ，故1種可能；若是“8=3+2+1+1+1”，則考慮（HYX）（Z※）（※）（※），故有種可能；若是“8=1+1+2+2+2”，則考慮（Z）（X）（Z※）（X※）（※※），故有種可能；小計(jì)：1+12+12=25；（2）諸如“H，H，H，H；Y，Y；X，X；Z，Z”類型若是“10=4+3+1+1+1”，則四個(gè)H無論怎么安排，都會(huì)出現(xiàn)某兩個(gè)袋僅放H，故0種可能；若是“10=4+2+2+1+1”，則“1+1”中有一個(gè)是H，“4+2+2”中各一個(gè)H，“2+