專題9-5 圓錐曲線大題基礎(chǔ)：定點歸類-高考數(shù)學一輪復(fù)習熱點題型歸納與變式演練

專題9-5圓錐曲線大題基礎(chǔ)：定點歸類目錄TOC\o"1-3"\h\u【題型一】直線過定點基礎(chǔ)：y=kx+m型 1【題型二】直線過定點基礎(chǔ)：x=tx+m型 2【題型三】定點轉(zhuǎn)化1：斜率積型 3【題型四】定點轉(zhuǎn)化2：斜率和型 3【題型五】斜率轉(zhuǎn)化3：斜率比值型 3【題型六】訂單轉(zhuǎn)化4：三斜率型 4【題型七】圓過定點 4【題型八】切線型定點 5【題型九】圓切線切點弦定點 5真題再現(xiàn) 6模擬檢測 7【題型一】直線過定點基礎(chǔ)：y=kx+m型【典例分析】設(shè)橢圓C：（）過點，離心率為，橢圓的右頂點為A.(1)求橢圓C的方程；(2)若直線與橢圓交于兩點M，N（M，N不同于點A），若，求證：直線l過定點，并求出定點坐標【提分秘籍】基本規(guī)律定點問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與曲線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達定理的形式；③利用韋達定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達定理整理；④由所得等式恒成立可整理得到定點.【變式演練】已知橢圓E：的離心率為，且過點.(1)求橢圓E的標準方程；(2)已知定點，直線l：滿足且與橢圓E相交于不同的兩點A，B，始終滿足，證明：直線l過一定點T，并求出定點T的坐標.【題型二】直線過定點基礎(chǔ)：x=tx+m型【典例分析】已知橢圓的焦距為，且經(jīng)過點，(1)求橢圓的標準方程；(2)設(shè)為坐標原點，在橢圓短軸上有兩點(不與短軸端點重合)滿足，直線分別交橢圓于兩點，求證：直線過定點.【提分秘籍】基本規(guī)律（1）直線AB方程為，聯(lián)立曲線方程，結(jié)合韋達定理化簡整理得到只關(guān)于t、m的方程，即可求出t、m的關(guān)系，即可進一步討論直線AB過定點的情況；（2）設(shè)直線時注意考慮AB斜率不存在的情況，聯(lián)立方程也要注意討論判別式.【變式演練】如圖，平面直角坐標系內(nèi)，為坐標原點，點在軸正半軸上，點在第一象限內(nèi)，.(1)若過點，且為線段的中點，求直線的方程；(2)若，求的面積取得最大值時直線的方程；(3)設(shè)，，若，求證：直線過一定點，并求出此定點的坐標.【題型三】定點轉(zhuǎn)化1：斜率積型【典例分析】已知圓C的圓心坐標為，與y軸的正半軸交于點A且y軸截圓C所得弦長為8．(1)求圓C的標準方程；(2)直線n交圓C于的M，N兩點（點M，N異于A點），若直線AM，AN的斜率之積為2，求證：直線n過一個定點，并求出該定點坐標．【變式演練】已知拋物線：（）的焦點為，點在上，且．(1)求的方程；(2)若不過點的直線與相交于兩點，且直線，的斜率之積為1，證明：直線過定點．【題型四】定點轉(zhuǎn)化2：斜率和型【典例分析】在平面直角坐標系中，已知等軸雙曲線過點(1)求雙曲線的方程；(2)已知點，斜率為的直線與雙曲線交于兩點（不同于點），且，求證直線過定點.【變式演練】．在平面直角坐標系中，已知動圓與圓內(nèi)切，且與直線相切，設(shè)動圓圓心的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)曲線上存在一點，不經(jīng)過點的直線與交于，兩點，若直線，的斜率之和為，證明：直線過定點．【題型五】斜率轉(zhuǎn)化3：斜率比值型【典例分析】已知雙曲線的左焦點坐標為，直線與雙曲線交于兩點，線段中點為.(1)求雙曲線的方程；(2)經(jīng)過點與軸不重合的直線與雙曲線交于兩個不同點，點，直線與雙曲線分別交于另一點.①若直線與直線的斜率都存在，并分別設(shè)為.是否存在實常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.②證明：直線恒過定點.【變式演練】在一張紙上有一個圓：，定點，折疊紙片使圓上某一點好與點重合，這樣每次折疊都會留下一條直線折痕，設(shè)折痕與直線的交點為．(1)求證：為定值，并求出點的軌跡方程；(2)設(shè)，為曲線上一點，為圓上一點（，均不在軸上）．直線，的斜率分別記為，，且，求證：直線過定點，并求出此定點的坐標．【題型六】訂單轉(zhuǎn)化4：三斜率型【典例分析】已知橢圓：（）的離心率為，的長軸的左、右端點分別為、，與圓上點的距離的最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)一條不垂直坐標軸的直線交于C、D兩點（C、D位于x軸兩側(cè)），設(shè)直線、、、的斜率分別為、、、，滿足，問直線是否經(jīng)過定點，若過定點，求出該定點，否則說明理由.【變式演練】且橢圓的離心率為，左頂點和上頂點分別為A、B．(1)求橢圓C的方程；(2)點P在橢圓上，求線段的長度的最大值及取最大值時點P的坐標；(3)不過點A的直線l交橢圓C于M，N兩點，記直線l，的斜率分別為，若，證明：直線l過定點，并求出定點的坐標．【題型七】圓過定點【典例分析】已知雙曲線經(jīng)過點，兩條漸近線的夾角為，直線交雙曲線于兩點.(1)求雙曲線的方程.(2)若動直線經(jīng)過雙曲線的右焦點，是否存在軸上的定點，使得以線段為直徑的圓恒過點？若存在，求實數(shù)的值；若不存在，請說明理由.【變式演練】.已知雙曲線：與雙曲線有相同的漸近線，直線被雙曲線所截得的弦長為6．(1)求雙曲線的方程；(2)過雙曲線右焦點的直線與雙曲線相交于，兩點，求證：以為直徑的圓恒過軸上的定點，并求此定點坐標．【題型八】切線型定點【典例分析】動點到定點的距離和到直線的距離之比為，(1)求動點的軌跡；(2)設(shè)點，動點的軌跡方程為，過點作曲線的兩條切線，切點為，求證：直線過某一個定點.【變式演練】已知雙曲線的漸近線方程為，且經(jīng)過點.(1)求雙曲線的方程；(2)若點Q是直線上一動點，過點Q引雙曲線兩條切線，切點為A，B，試探究：直線AB是否恒過定點.若是，求出該定點的坐標；若不是，請說明理由.【題型九】圓切線切點弦定點【典例分析】已知直線，O為坐標原點，動點Q滿足，動點Q的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)若直線l與圓交于不同的兩點A，B，當時，求k的值；(3)若，P是直線l上的動點，過點P作曲線C的兩條切線PC、PD，切點為C、D，探究：直線CD是否過定點.【變式演練】．已知圓?，點?是直線?上一動點，過點?作圓?的切線?，切點分別是?和?.(1)當點?的橫坐標為3時，求切線的方程;(2)試問直線?是否恒過定點，若是求出這個定點，若否說明理由.1.（·北京·高考真題）如圖，為橢圓的兩個頂點，為橢圓的兩個焦點．(1)寫出橢圓的方程及準線方程；(2)過線段上異于O，A的任一點K作的垂線，交橢圓于P，兩點，直線與交于點M．求證：點M在雙曲線上．2．（·重慶·高考真題（理））如圖，和是平面上的兩點，動點P滿足：．(1)求點P的軌跡方程；(2)若，求點P的坐標．3．（·上?！じ呖颊骖}）設(shè)分別為橢圓的左、右兩個焦點．(1)若橢圓C上的點到兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程；(2)設(shè)K是（1）中所得橢圓上的動點，求線段的中點的軌跡方程；(3)已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線的斜率都存在，并記為、時，那么與之積是與點P位置無關(guān)的定值．試對雙曲線寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明．4（·江蘇·高考真題）在平面直角坐標系xOy中，設(shè)二次函數(shù)的圖象與兩坐標軸有三個交點，經(jīng)過這三個交點的圓記為C.(1)求實數(shù)b的取值范圍；(2)求圓C的方程；(3)請問圓C是否經(jīng)過某定點（其坐標與b無關(guān)）？請證明你的結(jié)論.5．（2020·山東·高考真題）已知橢圓C：的離心率為，且過點．（1）求的方程：（2）點，在上，且，，為垂足．證明：存在定點，使得為定值．1．已知直線：，，為坐標原點，動點滿足，動點的軌跡為曲線(1)求曲線的方程；(2)若直線與圓：交于不同的兩點，當∠時，求的值；(3)若，是直線上的動點，過點作曲線的兩條切線，切點為，探究：直線是否過定點．2．已知圓C的圓心坐標為C（3，0），且該圓經(jīng)過點A（0，4）．(1)求圓C的標準方程；(2)直線n交圓C于的M，N兩點（點M，N異于A點），若直線AM，AN的斜率之積為2，求證：直線n過一個定點，并求出該定點坐標．3．已知點在橢圓上，橢圓C的左右焦點分別為，，的面積為.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)點A，B在橢圓C上，直線PA，PB均與圓相切，記直線PA，PB的斜率分別為，.（i）證明：；（ii）證明：直線AB過定點.4．在平面直角坐標系xOy中，已知點，點P到點F的距離比點P到x軸的距離大2，記P的軌跡為C．(1)求C的方程；(2)A、B是C上的兩點，直線OA、OB的斜率分別為且，求證直線過定點．5．在平面