題型18 4類數(shù)列綜合（數(shù)列不等式的證明、不等式放縮、參數(shù)求解、三角函數(shù)綜合）-高考數(shù)學(xué)必考模型歸納

題型184類數(shù)列綜合（數(shù)列中不等式的證明、不等式放縮、參數(shù)求解、三角函數(shù)綜合）技法01技法01數(shù)列中不等式的證明技法02數(shù)列中的不等式放縮技法03數(shù)列中的參數(shù)求解技法04數(shù)列與三角函數(shù)綜合技法01數(shù)列中不等式的證明數(shù)列不等式的證明是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中極其重要的一部分，它不僅涉及到數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用，還要求學(xué)生具備嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S和靈活的解題技巧。數(shù)列不等式的證明是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中極其重要的一部分，它不僅涉及到數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用，還要求學(xué)生具備嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S和靈活的解題技巧。難度中等偏上、需強(qiáng)加練習(xí).例1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．【詳解】（1）由得，則當(dāng)時(shí)，有，兩式相減得，整理得，即，因此數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）及可得，因此．于是，所以，由于，所以，故．1．（2024·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且為，的等比中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：.2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，且成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．3．（2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考二模）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，記.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.技法02數(shù)列中的不等式放縮放縮的基本思路是將通項(xiàng)適當(dāng)放大或縮小，向便于相消或便于求和的方向轉(zhuǎn)化.放縮的策略是通過(guò)多角度觀察通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，思前想后，找準(zhǔn)突破口，怡當(dāng)放縮放縮的基本思路是將通項(xiàng)適當(dāng)放大或縮小，向便于相消或便于求和的方向轉(zhuǎn)化.放縮的策略是通過(guò)多角度觀察通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，思前想后，找準(zhǔn)突破口，怡當(dāng)放縮，難度中等偏上、需強(qiáng)加練習(xí).（1），其中：可稱為“進(jìn)可攻，退可守”，可依照所證不等式不等號(hào)的方向進(jìn)行選擇。注：對(duì)于，可聯(lián)想到平方差公式，從而在分母添加一個(gè)常數(shù)，即可放縮為符合裂項(xiàng)相消特征的數(shù)列，例如：，這種放縮的尺度要小于（1）中的式子。此外還可以構(gòu)造放縮程度更小的，如：（2），從而有：注：對(duì)于還可放縮為：（3）分子分母同加常數(shù)：此結(jié)論容易記混，通常在解題時(shí)，這種方法作為一種思考的方向，到了具體問(wèn)題時(shí)不妨先構(gòu)造出形式再驗(yàn)證不等關(guān)系。（4）可推廣為：例2．（2022·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，證明：．【詳解】（1）因?yàn)椋?/p>

①當(dāng)時(shí)，，

②

①②，得，所以，

又時(shí)，，所以．（2）由（1）結(jié)合已知條件可得：．當(dāng)時(shí)，，，即成立．

當(dāng)時(shí)，，所以

綜上，．1．（2024·廣東茂名·統(tǒng)考一模）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知是首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)令，為數(shù)列的前項(xiàng)積，證明：.2．（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)之積為，滿足（）.(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)之和為，證明：.3．（2023上·黑龍江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，是與的等差中項(xiàng)．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)證明：．4．（2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)對(duì)任意，數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足．(1)證明：?jiǎn)握{(diào)遞增，且；(2)記，證明：存在常數(shù)，使得．5．（2022·云南·云南民族大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，(1)求和(2)求證：．技法03數(shù)列中的參數(shù)求解對(duì)于此類含參數(shù)不等式愿型,大部分可以通過(guò)分離參數(shù)等方式轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題,對(duì)于求最值,需要分析單調(diào)性,函數(shù)類型可通過(guò)運(yùn)算法則或者求導(dǎo)進(jìn)行判斷,數(shù)列可通過(guò)作差法進(jìn)行判斷數(shù)列對(duì)于此類含參數(shù)不等式愿型,大部分可以通過(guò)分離參數(shù)等方式轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題,對(duì)于求最值,需要分析單調(diào)性,函數(shù)類型可通過(guò)運(yùn)算法則或者求導(dǎo)進(jìn)行判斷,數(shù)列可通過(guò)作差法進(jìn)行判斷數(shù)列的單調(diào)性，難度中等偏上、需強(qiáng)加練習(xí).例3．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，，.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由題意可得：，當(dāng)時(shí)，可得，則，所以數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）可得：，則，可得，則，兩式相減得：，所以，因?yàn)?，則，原題意等價(jià)于關(guān)于的不等式恒成立，可得，構(gòu)建，令，則，解得或3，則，即當(dāng)或時(shí)，取到最大值，可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍.1．（2023·河南·信陽(yáng)高中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且為正項(xiàng)等比數(shù)列，，.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2．（2024·云南曲靖·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，求使得成立的的最小值．3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，且．(1)若，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，，設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)任意的，恒成立，求m的最小值．4．（2023·浙江·統(tǒng)考一模）已知等差數(shù)列滿足.(1)若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，，且是等差數(shù)列，記是數(shù)列的前項(xiàng)和.對(duì)任意，不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.技法04數(shù)列與三角函數(shù)綜合數(shù)列、三角是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，從本質(zhì)上看它們是特殊的函數(shù)，都具有函數(shù)的某些性質(zhì)。數(shù)列、三角是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，從本質(zhì)上看它們是特殊的函數(shù)，都具有函數(shù)的某些性質(zhì)。數(shù)列也可和三角函數(shù)綜合考查，需強(qiáng)化復(fù)習(xí)例4．（2023·山東濟(jì)南·一模）已知函數(shù)，記的最小值為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．若數(shù)列滿足，則【詳解】A選項(xiàng)，，故，由基本不等式可得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，A正確；B選項(xiàng)，由柯西不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，依次類推，可得，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，故，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，所以，故在上恒成立，，C正確；D選項(xiàng)，，，故，D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】常見的裂項(xiàng)相消法求和類型：分式型：，，等；指數(shù)型：，等，根式型：等，對(duì)數(shù)型：，且；1．（2024·重慶·統(tǒng)考一模）已知首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足，，．?dāng)?shù)列滿足，其中，．已知如下結(jié)論：當(dāng)時(shí)，．(1)求的通項(xiàng)公式．(2)證明：．3．（2024